2024-2025人教版（2019）高中数学选择性必修一3.3抛物线 题型总结（含解析）

3.3抛物线题型总结
【题型1 抛物线的定义及辨析】
【例1】已知抛物线上一点到焦点的距离是，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式1.1】 已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1.2】已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1.3】已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【题型2 求抛物线的轨迹方程】
【例2】若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2.1】已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【变式2.2】已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.3】 如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】
【例3】已知抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3.1】抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3.2】抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式3.3】已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 求抛物线的标准方程】
【例4】准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式4.1】已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4.2】若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4.3】若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 根据抛物线的方程求参数】
【例5】已知抛物线上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5.1】已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（ ）.
A．1 B． C．2 D．
【变式5.2】设第四象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则（ ）
A．-4 B． C． D．-32
【变式5.3】设抛物线的焦点为，准线为是上一点，是与轴的交点，若，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【题型6 抛物线的对称性的应用】
【例6】若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6.1】已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【变式6.2】为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式6.3】在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（ ）
A． B．64 C． D．80
【题型7 与抛物线有关的最值问题】
【例7】已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为( )
A．8 B． C．9 D．3
【变式7.1】已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．8 B．12 C．10 D．16
【变式7.2】已知为曲线上的动点，记到直线和到轴的距离分别为，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【变式7.3】已知抛物线的焦点为，P为抛物线上一点，若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型8 抛物线的实际应用问题】
【例8】图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（ ）
A． B． C． D．8m
【变式8.1】世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ）
A．0.25 B．0.5 C．1 D．2
【变式8.2】清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（ ）

A． B． C． D．
【变式8.3】如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（ ）
A． B． C． D．
3.3抛物线题型总结答案
【题型1 抛物线的定义及辨析】
【例1】已知抛物线上一点到焦点的距离是，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由抛物线方程求焦点坐标及准线方程，结合抛物线定义条件可转化为点到准线的距离为，由此可求结论.
【解答过程】由抛物线可得焦点，准线方程为，
因为点到焦点的距离是，
由抛物线的定义，可得点到准线的距离为，
所以点到轴的距离为.
故选：B.
【变式1.1】已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解.
【解答过程】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5，
故点到直线的距离为4，故，
故选：B.
【变式1.2】已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】由条件结合抛物线定义列方程求可得结论.
【解答过程】抛物线的准线方程为，
点到直线的距离为，
因为点与焦点的距离为，
所以，
所以.
故选：B.
【变式1.3】已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【解题思路】根据给定条件，利用抛物线的定义求解即得.
【解答过程】抛物线的准线为，设点，则，解得，
所以点到轴的距离为4.
故选：D.
【题型2 求抛物线的轨迹方程】
【例2】若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分析可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得解.
【解答过程】因为点到直线和它到点的距离相等，
所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
设其方程为，则，可得，
故点的轨迹方程为.
故选：D.
【变式2.1】已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【解题思路】设，根据已知条件列方程，化简后求得正确答案.
【解答过程】设，其中，
则，即，
所以，
所以点的轨迹为不包含，两点的抛物线.
故选：D.
【变式2.2】已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据给定条件可得，再利用数量积的坐标表示求出方程.
【解答过程】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径，
而点在轴上，则，又，
于是，而不重合，即，
所以M点的轨迹方程为.
故选：D.
【变式2.3】 如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【解题思路】设所求点，根据点在直线上可得，根据点在直线上可得，最后根据轴得，化简即可.
【解答过程】设，
因为直线的方程为，且点在直线上，所以，
因为直线的方程为，且点在直线上，所以，
因为轴，所以，则，故D正确.
故选：D．
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】
【例3】已知抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据抛物线的标准方程可得出该抛物线的焦点坐标.
【解答过程】抛物线的标准方程为，则，可得，，
故抛物线的焦点坐标为.
故选：C.
【变式3.1】抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】化为标准方程：，根据准线方程的定义求解．
【解答过程】抛物线的方程为：，
则其焦点坐标为：，准线方程为：．
故选：D.
【变式3.2】抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】写出抛物线的标准方程，进而得到焦点坐标.
【解答过程】由题设，抛物线的标准方程为，则焦点坐标为.
故选：C.
【变式3.3】（24-25高二上·安徽·期末）已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】把抛物线方程化为标准方程可得结果.
【解答过程】∵抛物线的方程为，
∴标准方程为，
∴抛物线的准线方程为.
故选：A.
【题型4 求抛物线的标准方程】
【例4】准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由准线方程求出抛物线的标准方程即可求解.
【解答过程】由题意可知抛物线开口向下，故设抛物线方程为.
因为抛物线的准线方程为，所以，即，所以该抛物线的标准方程为．
故选：D.
【变式4.1】已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设抛物线的方程为，根据焦点坐标求出，求出抛物线的标准方程.
【解答过程】设抛物线的方程为，
因为抛物线的焦点是，
所以，所以，
所以抛物线的标准方程为.
故选：A.
【变式4.2】若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离求解.
【解答过程】抛物线的准线方程为，
所以点P到焦点的距离为，
所以，抛物线的方程为.
故选：B.
【变式4.3】 若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】代入点的坐标可得，即可得标准方程求解.
【解答过程】将代入可得，解得，
故抛物线的标准方程为，
故准线方程为，
故选：A.
【题型5 根据抛物线的方程求参数】
【例5】已知抛物线上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将点坐标代入抛物线的方程，从而求得的值.
【解答过程】点坐标代入抛物线的方程得，解得.
故选：A.
【变式5.1】已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（ ）.
A．1 B． C．2 D．
【解题思路】利用抛物线定义可知，再由等边三角形的边长为2即可求得.
【解答过程】根据题意，易知，由抛物线定义可得，
设准线与l的交点为，如下图所示：

因此与平行，又是边长为2的等边三角形，
所以，即,
可得，即.
故选：A.
【变式5.2】设第四象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则（ ）
A．-4 B． C． D．-32
【解题思路】根据焦半径公式求的值，再代入点的坐标，即可求的值.
【解答过程】由抛物线的方程可得焦点坐标为，由抛物线的性质可得，所以，
将的坐标代入抛物线的方程：，所以，又因为在第四象限，
所以.
故选：.
【变式5.3】设抛物线的焦点为，准线为是上一点，是与轴的交点，若，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【解题思路】根据抛物线定义和图形中的几何关系直接计算求解即可.
【解答过程】如图所示，作，
由抛物线定义可知，，
在中，，
则在抛物线上，
所以，即，则.
故选：D.
【题型6 抛物线的对称性的应用】
【例6】若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用抛物线关于x轴对称求解即可
【解答过程】由抛物线关于x轴对称易知，点一定在该抛物线上.
故选：B.
【变式6.1】已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案.
【解答过程】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，
可设另外两个顶点的坐标分别为，
，解得，
故这个等边三角形的边长为.
故选：A.
【变式6.2】为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】在抛物线中可借助直角三角形的正切值的求解.再由对称性求.
【解答过程】
抛物线中时可得，且
则，取（如图）

，
,又对称性可知.
故选；C.
【变式6.3】在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（ ）
A． B．64 C． D．80
【解题思路】线段的垂直平分线交于两点,结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形,可设点坐标,通过几何关系求出点坐标,在代入抛物线方程即可求解.
【解答过程】因为线段的垂直平分线交于两点，
所以结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形.
设点且则线段的垂直平分线方程为，
令与轴交于点,又，

则在直角三角形中
继而可得，
所以点坐标为，
代入抛物线，可得，解得，
直角三角形中,
所以四边形的周长为.
故选：A.
【题型7 与抛物线有关的最值问题】
【例7】已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为( )
A．8 B． C．9 D．3
【解题思路】把点代入抛物线中求出，再设利用两点间距离计算根据二次函数求最值即可.
【解答过程】因为点在抛物线上，所以，解得，
所以抛物线方程为，设，
则，
所以的最小值为.
故选：B.
【变式7.1】已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．8 B．12 C．10 D．16
【解题思路】首先求出抛物线的准线方程，过点作垂直于准线，交准线于点，根据抛物线的定义得到，从而求出的最小值.
【解答过程】抛物线的焦点为，准线方程为，
过点作垂直于准线，交准线于点，则，
所以，当且仅当、、三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
【变式7.2】已知为曲线上的动点，记到直线和到轴的距离分别为，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【解题思路】根据题意画出图形：根据抛物线的定义将问题转化为焦点到直线的距离减去1，利用点到直线的距离公式即可求解.
【解答过程】根据题意画出图形：
抛物线方程为，直线l的方程为，
，准线为，
在抛物线上有一动点到x轴的距离为，到直线的距离为，
∵根据抛物线的定义可知的最小值为焦点到直线的距离减去1，
∴最小值为.
故选：B.
【变式7.3】已知抛物线的焦点为，P为抛物线上一点，若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据焦点求得抛物线方程，由抛物线的定义结合图形即得.
【解答过程】因为抛物线的焦点为，则，得，
所以抛物线的方程为，令，则，
设过P作抛物线准线的垂线于点B，可得，则.
故点在抛物线内部，过点A作抛物线准线的垂线交抛物线于点P，此时取得最小值，最小值为.
故选：C.
【题型8 抛物线的实际应用问题】
【例8】图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（ ）
A． B． C． D．8m
【解题思路】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，将代入抛物线方程解出，再将代入即可求解.
【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系，则点,
设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以,
当时， ，所以水面宽度为．
故选：B.
【变式8.1】世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ）
A．0.25 B．0.5 C．1 D．2
【解题思路】建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，根据图形可得抛物线上一点坐标，代入可得p，然后可得.
【解答过程】如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线的方程为，
由图可得点在抛物线上，即
，解得，
故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为.
故选：A.
【变式8.2】清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（ ）

A． B． C． D．
【解题思路】如图建立平面直角坐标系，设碗体的抛物线方程为（），将点代入求出，即可得到抛物线方程，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为 ，则两抛物线在第一象限的交点为，代入方程计算可得.
【解答过程】以碗体的最低点为原点，向上方向为轴，建立直角坐标系，如图所示．

设碗体的抛物线方程为（），将点代入，得，
解得，则，
设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为 ，
则两抛物线在第一象限的交点为，代入到，解得，解得．
故选：C.
【变式8.3】如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据在可得，即可求解.
【解答过程】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为，
由题意可知在抛物线上，故，
因此焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为，
故选：D.