沪科版（2024）数学八年级上册13.1三角形中的边角关系同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025八上·宁波期末）下列各组线段中，首尾相接不能组成三角形的是（ ）
A．12cm，8cm，5cm B．12cm，8cm，6cm
C．12cm，5cm，6cm D．8cm，5cm，6cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
∴长为12cm， 8cm， 5cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 8cm， 6cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 5cm， 6cm的三条线段不能组成三角形，符合题意；
∴长为8cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形， 不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可.
2．（2025八上·旺苍期末）下列各图形中，分别是四位同学所画的中边上的高，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A．不是任何边的高，故不符合题意；
B．不是任何边的高，故不符合题意；
C．是边的高，故不符合题意；
D．是边的高，故符合题意
故答案为：D．
【分析】根据三角形的高的定义“三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高”逐项判断解题．
3．（2025八上·慈溪期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：露出的角是钝角，因此是钝角三角形，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形进行判断即可.
4．（2024八上·简阳期末）将一副三角板按照如图方式摆放，点B，C，D共线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
5．（2025八上·海珠期末）已知：如图，在中，是的平分线，E为上一点，且于点F．若，，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵EF⊥BC，∠DEF＝15°，
∴∠ADB＝90° 15°＝75°，
∵∠C＝35°，
∴∠CAD＝75° 35°＝40°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC＝2∠CAD＝80°，
∴∠B＝180° ∠BAC ∠C＝180° 80° 35°＝65°，
故答案为：B．
【分析】先求出∠ADB＝90° 15°＝75°，再根据三角形外角的性质求出∠CAD＝75° 35°＝40°，最后根据角平分线的定义和三角形的内角和定理计算求解即可。
6．（2023八上·榆阳期末）如图，在中，，，是的外角，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：在中，可得：
又
可化为：
即：
解得：
故答案为：C．
【分析】由已知可得∠C=∠B=∠BAC-15°，从而根据三角形的内角和定理建立方程可求出∠BAC=70°，最后根据邻补角可求出∠DAC的度数.
7．（2025八上·安陆期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
8．（2020八上·嘉兴月考）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线.已知∠BAC=80°，∠C=40°.求∠DAE的大小.
【答案】证明：∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=80°，
∴∠EAC= ∠BAC=40°
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC=90°
又∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=50°
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=50°-40°=10°
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】由角平分线的定义求得 ∠EAC的度数，在直角△ADC中，由三角形内角和定理求得∠DAC的度数，则由角的关系可求∠DAE的度数.
9．（2024八上·花溪期中）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长少的长与的长的和为，求的长．
【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；加减消元法解二元一次方程组
10．（2024八上·江岸月考）如图，在中，平分交于点D，于点E，与交于点F．若，，求的度数．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
11．（2024八上·乌鲁木齐月考）如图， 在中， 为边上的高， 点D为边上的一点，连接．
（1）当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长；
（2）当为的角平分线时， 若， ， 求的度数．
【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
二、能力提高
12．（2024八上·浙江期中）在直角三角形中，，的平分线交于点，的平分线交于点，、相交于点，过点作，过点作于点，有以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故②正确；
③∵的度数不确定，
∴根据已知条件无法证明平分，故③不正确；
④∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的个数是3个，
故答案为：C．
【分析】①根据三角形内角和定理得，由角平分线定义得，再利用三角形内角和定理得；②由平行线的性质得，结合角平分线性质得；③根据已知条件无法判断；④先推出，结合三角形外角的性质以及角平分线定义得.
13．（2024八上·金华月考）已知中，
（1），，求、、的度数．
（2），，，是三角形的三边长，且，，，都是整数．化简：
【答案】（1）解：∵∠A-∠B=20°，∠C=2∠B，
∴∠A=∠B+20°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+20°+∠B+2∠B=180°，
∴∠B=40°，
∴∠A=40°+20°=60°，∠C=2×40°=80°.
（2）解：∵a，b，c是三角形的三边长，
根据三角形的三边关系可得，a+c＞b，c-a＜b，
∴a-b+c＞0，c-a-b＜0，
∴
=（a-b+c）-（c-a-b）-（a+b）
=a-b+c-c+a+b-a-b
=a-b
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；三角形内角和定理；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合已知条件即可求解；
（2）由三角形的三边关系可知，，，得出∴a-b+c＞0，c-a-b＜0，进而化简绝对值，再根据整式的加减进行计算即可．
（1）解：∵设，则，，
，
，
解得：，
，，；
（2）解：，，是三角形的三边长，
，，，
∴，，
．
14．（2024八上·襄阳月考）如图，的和的平分线相交于点．
（1）若，则______；
（2）若，求的度数（用含的式子表示）；
（3）在（1）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）10
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质
15．（2024八上·黄陂月考）如图所示，相交于点O，．
（1）若平分交于平分交于G，求的度数；
（2）延长至点H，若直线平分交于F，平分交直线于M，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；对顶角及其性质
16．（2024八上·襄阳月考）（1）如图1，将一张三角形纸片沿着折叠，使点C落在边上的处，若，则____________，其中是的____________线．
（2）如图2，将一张三角形纸片沿着折叠（点D、E分别在边和上），并使得点A和点重合，若，则____________．
（3）如图3，将长方形纸片沿着和折叠成图示的形状，和重合，的度数是多少？请说明理由．
【答案】（1），角平分；（2）；（3）．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）
17．（2024八上·南湖月考）【概念认识】如图①，在中，若，则、叫做的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．
【问题解决】
（1）如图①，，、是的“三分线”，则 ；
（2）如图②，在中，，，若的“三分线”交于点D，则 ；
（3）如图③，在中，、分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数．
【答案】（1）
（2）75或90
（3）
【知识点】三角形内角和定理；角n等分模型
18．（2024八上·玉林期中）（1）如图，求出的度数．
（2）如图，求出的度数．
【答案】（1）；（2）
【知识点】三角形外角的概念及性质；多边形内角与外角
三、拓展创新
19．（2024八上·拱墅月考）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点．
（1）________．
（2）若，求证：为“智慧三角形”．
（3）当为“智慧三角形”时，请求出的度数．
【答案】（1）
（2）证明：∵，，，
，
为“智慧三角形”；
（3）∵，
，
∵为“智慧三角形”，
①、当时，，
；
②、当时，，
∵，
∴此种情况不存在；
③、当时，
则，
，
；
④、当时，，
，
；
⑤、当时，，
；
⑥、当时，
则，
，
∴此种情况不存在；
综上，当为“智慧三角形”时，的度数为或或或．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余；分类讨论
【解析】【解答】解：（1），
，
，
故答案为：；
【分析】（）根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（）求出的度数，得到，据此即可求证；
（）由可得，再分、、、、和六种情况解答即可求解.
（1）解：，
，
，
故答案为：；
（2）证明：∵，，
，
，
为“智慧三角形”；
（3）解：∵，
，
∵为“智慧三角形”，
①、当时，，
；
②、当时，，
∵，
∴此种情况不存在；
③、当时，
则，
，
；
④、当时，，
，
；
⑤、当时，，
；
⑥、当时，
则，
，
∴此种情况不存在；
综上，当为“智慧三角形”时，的度数为或或或．
20．（2024八上·香洲月考）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻BA三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，则∠BDC的度数为________；
（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠BPC＝135°，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）；（2）；（3）或
【知识点】三角形外角的概念及性质；角n等分模型
21．（2024八上·龙湾月考）如图1，平分．
（1）求的度数．
（2）如图2，若把“”改为“点在的延长线上，”，其他条件不变，求的度数．
（3）如图3，作平分分别交于点，过作，若，，其他条件不变，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质
1 / 1沪科版（2024）数学八年级上册13.1三角形中的边角关系同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025八上·宁波期末）下列各组线段中，首尾相接不能组成三角形的是（ ）
A．12cm，8cm，5cm B．12cm，8cm，6cm
C．12cm，5cm，6cm D．8cm，5cm，6cm
2．（2025八上·旺苍期末）下列各图形中，分别是四位同学所画的中边上的高，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025八上·慈溪期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
4．（2024八上·简阳期末）将一副三角板按照如图方式摆放，点B，C，D共线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八上·海珠期末）已知：如图，在中，是的平分线，E为上一点，且于点F．若，，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
6．（2023八上·榆阳期末）如图，在中，，，是的外角，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025八上·安陆期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2020八上·嘉兴月考）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线.已知∠BAC=80°，∠C=40°.求∠DAE的大小.
9．（2024八上·花溪期中）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长少的长与的长的和为，求的长．
10．（2024八上·江岸月考）如图，在中，平分交于点D，于点E，与交于点F．若，，求的度数．
11．（2024八上·乌鲁木齐月考）如图， 在中， 为边上的高， 点D为边上的一点，连接．
（1）当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长；
（2）当为的角平分线时， 若， ， 求的度数．
二、能力提高
12．（2024八上·浙江期中）在直角三角形中，，的平分线交于点，的平分线交于点，、相交于点，过点作，过点作于点，有以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2024八上·金华月考）已知中，
（1），，求、、的度数．
（2），，，是三角形的三边长，且，，，都是整数．化简：
14．（2024八上·襄阳月考）如图，的和的平分线相交于点．
（1）若，则______；
（2）若，求的度数（用含的式子表示）；
（3）在（1）的条件下，若，，求的长．
15．（2024八上·黄陂月考）如图所示，相交于点O，．
（1）若平分交于平分交于G，求的度数；
（2）延长至点H，若直线平分交于F，平分交直线于M，求的度数．
16．（2024八上·襄阳月考）（1）如图1，将一张三角形纸片沿着折叠，使点C落在边上的处，若，则____________，其中是的____________线．
（2）如图2，将一张三角形纸片沿着折叠（点D、E分别在边和上），并使得点A和点重合，若，则____________．
（3）如图3，将长方形纸片沿着和折叠成图示的形状，和重合，的度数是多少？请说明理由．
17．（2024八上·南湖月考）【概念认识】如图①，在中，若，则、叫做的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．
【问题解决】
（1）如图①，，、是的“三分线”，则 ；
（2）如图②，在中，，，若的“三分线”交于点D，则 ；
（3）如图③，在中，、分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数．
18．（2024八上·玉林期中）（1）如图，求出的度数．
（2）如图，求出的度数．
三、拓展创新
19．（2024八上·拱墅月考）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点．
（1）________．
（2）若，求证：为“智慧三角形”．
（3）当为“智慧三角形”时，请求出的度数．
20．（2024八上·香洲月考）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻BA三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，则∠BDC的度数为________；
（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠BPC＝135°，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
21．（2024八上·龙湾月考）如图1，平分．
（1）求的度数．
（2）如图2，若把“”改为“点在的延长线上，”，其他条件不变，求的度数．
（3）如图3，作平分分别交于点，过作，若，，其他条件不变，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
∴长为12cm， 8cm， 5cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 8cm， 6cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 5cm， 6cm的三条线段不能组成三角形，符合题意；
∴长为8cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形， 不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A．不是任何边的高，故不符合题意；
B．不是任何边的高，故不符合题意；
C．是边的高，故不符合题意；
D．是边的高，故符合题意
故答案为：D．
【分析】根据三角形的高的定义“三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高”逐项判断解题．
3．【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：露出的角是钝角，因此是钝角三角形，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形进行判断即可.
4．【答案】C
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵EF⊥BC，∠DEF＝15°，
∴∠ADB＝90° 15°＝75°，
∵∠C＝35°，
∴∠CAD＝75° 35°＝40°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC＝2∠CAD＝80°，
∴∠B＝180° ∠BAC ∠C＝180° 80° 35°＝65°，
故答案为：B．
【分析】先求出∠ADB＝90° 15°＝75°，再根据三角形外角的性质求出∠CAD＝75° 35°＝40°，最后根据角平分线的定义和三角形的内角和定理计算求解即可。
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：在中，可得：
又
可化为：
即：
解得：
故答案为：C．
【分析】由已知可得∠C=∠B=∠BAC-15°，从而根据三角形的内角和定理建立方程可求出∠BAC=70°，最后根据邻补角可求出∠DAC的度数.
7．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
8．【答案】证明：∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=80°，
∴∠EAC= ∠BAC=40°
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC=90°
又∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=50°
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=50°-40°=10°
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】由角平分线的定义求得 ∠EAC的度数，在直角△ADC中，由三角形内角和定理求得∠DAC的度数，则由角的关系可求∠DAE的度数.
9．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；加减消元法解二元一次方程组
10．【答案】
【知识点】三角形内角和定理
11．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
12．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故②正确；
③∵的度数不确定，
∴根据已知条件无法证明平分，故③不正确；
④∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的个数是3个，
故答案为：C．
【分析】①根据三角形内角和定理得，由角平分线定义得，再利用三角形内角和定理得；②由平行线的性质得，结合角平分线性质得；③根据已知条件无法判断；④先推出，结合三角形外角的性质以及角平分线定义得.
13．【答案】（1）解：∵∠A-∠B=20°，∠C=2∠B，
∴∠A=∠B+20°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+20°+∠B+2∠B=180°，
∴∠B=40°，
∴∠A=40°+20°=60°，∠C=2×40°=80°.
（2）解：∵a，b，c是三角形的三边长，
根据三角形的三边关系可得，a+c＞b，c-a＜b，
∴a-b+c＞0，c-a-b＜0，
∴
=（a-b+c）-（c-a-b）-（a+b）
=a-b+c-c+a+b-a-b
=a-b
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；三角形内角和定理；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合已知条件即可求解；
（2）由三角形的三边关系可知，，，得出∴a-b+c＞0，c-a-b＜0，进而化简绝对值，再根据整式的加减进行计算即可．
（1）解：∵设，则，，
，
，
解得：，
，，；
（2）解：，，是三角形的三边长，
，，，
∴，，
．
14．【答案】（1）
（2）
（3）10
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质
15．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；对顶角及其性质
16．【答案】（1），角平分；（2）；（3）．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）
17．【答案】（1）
（2）75或90
（3）
【知识点】三角形内角和定理；角n等分模型
18．【答案】（1）；（2）
【知识点】三角形外角的概念及性质；多边形内角与外角
19．【答案】（1）
（2）证明：∵，，，
，
为“智慧三角形”；
（3）∵，
，
∵为“智慧三角形”，
①、当时，，
；
②、当时，，
∵，
∴此种情况不存在；
③、当时，
则，
，
；
④、当时，，
，
；
⑤、当时，，
；
⑥、当时，
则，
，
∴此种情况不存在；
综上，当为“智慧三角形”时，的度数为或或或．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余；分类讨论
【解析】【解答】解：（1），
，
，
故答案为：；
【分析】（）根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（）求出的度数，得到，据此即可求证；
（）由可得，再分、、、、和六种情况解答即可求解.
（1）解：，
，
，
故答案为：；
（2）证明：∵，，
，
，
为“智慧三角形”；
（3）解：∵，
，
∵为“智慧三角形”，
①、当时，，
；
②、当时，，
∵，
∴此种情况不存在；
③、当时，
则，
，
；
④、当时，，
，
；
⑤、当时，，
；
⑥、当时，
则，
，
∴此种情况不存在；
综上，当为“智慧三角形”时，的度数为或或或．
20．【答案】（1）；（2）；（3）或
【知识点】三角形外角的概念及性质；角n等分模型
21．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质
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