沪科版（2024）数学八年级上册14.2全等三角形的判定同步分层练习

沪科版（2024）数学八年级上册14.2全等三角形的判定同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八上·朝阳期中）如图，点E，C，F，B在一条直线上，，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八上·石家庄月考）如图所示，选项的图形中与图中一定全等的三角形是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·榕城期末）数学来源于生活，又服务于生活.以下四幅图中用数学原理解释不正确的是(　　)
A．图(1)两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线
B．图(2)人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性
C．图(3)体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短
D．图(4)一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法SAS
4．（2024八上·船营月考）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（　　）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
5．（2025七下·深圳期中）如图，且且，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积是（　　）
A．50 B．44 C．38 D．32
6．（2025八上·温州期末）如图，在中，，．以A为圆心，为半径画弧交于点D；分别以C，D为圆心，大于长为半径画弧交于点E，射线交于点F，连结，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·芝罘期中）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，根据全等三角形的判定方法，下列能证明的条件是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八上·营口期中）如图，，．
（1）求证：；
（2）若，则__________°．
9．（2024八上·东城期中）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
10．（2024八上·柯桥月考）下面是多媒体上的一道习题：
如图是的中线，，求的取值范围．
请将下面的解题过程补充完整．
解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴ ， 在和中， ， ∴（ ）， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知：_____________________， 又∵， ∴______________________．
二、能力提高
11．（2025七下·杭州期末） 如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则　 　．
12．（2025七下·光明期中）如图，在中，是中线，过点作于点，过点作交BF的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13．（2024八上·武汉月考）如图，已知平分的外角，为上一点，，过点作于点，若，，则线段的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．5.5
14．（2023八上·浠水月考）如图所示，在平面直角坐标系中，
（1）点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且，
①求证：：
②求的值；
（2）点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且，求的值．
15．（2024八上·金华月考）
（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围。请写出的取值范围，并说明理由
（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：。小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使……，请你帮她完成证明过程。
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明.
16．（2024八上·长春高新技术产业开发期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）【感知】
当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，易证△ADC≌△CEB（不需要证明），进而得到DE、AD、BE之间的数量关系为　 　．
（2）【探究】
当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE＝AD－BE．
（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，直接写出DE、AD、BE之间的数量关系．
17．（2024七下·贵阳期中）有两个三角形，分别为△ABC和△ADE，其中∠CAB=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE.
（1）若按如图(1)所示位置摆放，使得AC与AD重合，连接BD，CE，则BD与CE的数量关系是　 　；
（2）在图(2)中，延长BD交CE于点F，求∠BFC的度数；
（3）若按如图(3)所示位置摆放，连接BD，CE，且BD与CE交于点F，BD与AC交于点H，请判断BD与CE之间的关系，并说明理由.
18．如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°.
（1）求C点坐标；
（2）求过B、C两点直线的解析式；
（3）在坐标平面内求一点D，使△ABD与△ABC全等.直接写出所有点D的坐标；
（4）在y轴上求一点P，使△APB的面积与△ABC的面积相等.直接写出所有点P的坐标.
19．（2024八上·北京市开学考）如图，点A，E，F，C在一条直线上，，．过点E，F分别作，，点B，D分别在直线两侧，．连接，与直线交于点G．
（1）求证：，．
（2）若，，直接写出的长度　 　．
（3）若保持不动，将的边沿直线方向移动，其余条件不变，请你画出图形，并直接写出的长度（用m、n表示）
三、拓展创新
20．（2023八上·夏津期中）在平面中，对于点M，N，P，若，且，则称点P是点M和点N的“垂等点”．
在平面直角坐标系中，
（1）已知点，点，则点中是点M和点N的“垂等点”的是___________；
（2）已知点．
①若在第二象限内存在点C，使得点B是点A和点C的“垂等点”，写出点C的坐标（用含b的式子表示），并说明理由；
②当时，点D，点E是线段AO，BO上的动点（点D，点E不与点A，B，O重合）．若点F是点D和点E的“垂等点”，直接写出点F的纵坐标t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
2．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
3．【答案】D
【知识点】两点确定一条直线；垂线段最短及其应用；三角形的稳定性；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：】解：A： 图(1)两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线正确，所以A不符合题意；
B：图(2)人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性正确，所以B不符合题意；
C： 图(3)体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 正确，所C不符合题意；
D： 图(4)一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法ASA，所以D不正确，符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据 两点确定一条直线 ； 三角形的稳定性 ； 垂线段最短 ，以及全等三角形的判定，即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据题意，得，
在和中，
，
∴，
∴判定三角形全等的依据是三边分别相等的两个三角形全等，
故答案为：A.
【分析】根据作一个角等于已知角的基本作图，可得，从而可知判定三角形全等的依据为“SSS”.
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；梯形；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AE⊥AB，EF⊥AF，BM⊥AM，
∴∠F=∠AMB=∠EAB=90°，
∴∠FEA+∠EAF=90，∠EAF+∠BAM=90°，
∴∠FEA=∠BAM，
在△FEA和△MAB中
∴△FEA≌△MAB(AAS)
∴AM=EF=6，AF=BM=3，
同理CM=DH=2，BM=CH=3，
∴FH=3+6+2+3=14，
∴梯形EFHD的面积=×（EF+DH）×FH=×（6+2）×14=56，
∴阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC
=56-×6×3-×（6+2）×3+×3×2
=32，
故答案为：D.
【分析】先利用“AAS”证出△FEA≌△MAB，可得AM=EF=6，AF=BM=3，再同理证出CM=DH=2，BM=CH=3，利用线段的和差求出FH的长，最后利用割补法求出阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC=56-×6×3-×（6+2）×3+×3×2=32即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由作法得，平分，
，
在和中，
，
∴，
∴.
故答案为： B．
【分析】先根据三角形内角和定理算出∠C=60°，由作法得AC=AD，AE平分∠BAC， 从而用SAS证明△ACF≌△ADF，由全等三角形的对应角相等及三角形的内角和定理得到∠AFD=∠AFC=75°.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
另有，
、添加，利用不能判定，故此选项不合题意；
、添加，利用不能判定，故此选项不合题意；
、添加，可得，利用不能判定，故此选项不合题意；
、添加，利用能判定，故此选项符合题意；
故选．
【分析】
判定一般三角形全等的方法有：、、、，注意、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．由已知可得，结合，则只有或AC=DF时才能证明两三角形全等．
8．【答案】（1）证明：在和中，
，
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（2）解：，，
，
由（1）知，
，
故答案为：20．
【分析】（1）直接利用得到两三角形全等即可；
（2）根据三角形内角和定理得到的度数，再根据全等三角形的对应角相等解答即可．
（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
故答案为：20．
9．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再结合，即可证出；
（2）先利用“HL”证出，利用全等三角形的性质可得BF=CD=7，再利用线段的和差求出CE的长即可.
（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
10．【答案】；；1；7；0.5；3.5
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：延长至点E，使，连接．
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，根据“三角形三边关系”可知：，
又∵，
∴．
故答案为：，，1，7，0.5，3.5.
【分析】延长到E，使，连接，利用中线的性质可得，再利用SAS判定定理证，可得，再在△ABD中利用三角形三边关系即可求AE得范围，即可求出AD的范围．
11．【答案】3或7
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：情况一，点D在线段BC上
过点E作EG⊥AB，垂足为G
∵∠ABC=90° ∴∠BAD+∠ADB=90°
∵∠EAD=90° ∴∠BAD+∠EAB=90°
∴∠ADB=∠EAB
∵AD=AE，∠ABC=∠AGE=90° ∴
∴EG=AB=5，AG=BD=5-4=1，BG=4
∵EG=BC，∠EFG=∠CFB（对顶角相等），∠EGF=∠FBC
∴
∴
∴AF=1+2=3
情况二，点D在线段BC的延长线上
过点E作EI⊥AB，垂足为I
易证得∴AI=BD=5+4=9 ∴BI=4
易证得∴
∴AF=5+2=7
故答案为：3或7.
【分析】根据点D为射线BC上一动点可以进行分类讨论，即点D在线段BC上和点D在线段BC的延长线上，再利用全等三角形的性质计算边长即可。
12．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；余角；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵AE是中线，
∴①BE=CE，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABF+∠DBC=90°，
∵于点，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴③∠BAE=∠DBC，
又交BF的延长线于点．
∴∠BCD=90°，
在△ABE和△BCD中：∠BAE=∠DBC，AB=BC，∠ABE=∠BCD=90°，
∴△ABE≌△BCD，
∴②；BE=CD，
∵BC=2BE，
∴⑤．
又∵AE与CD不可能平行，
∴④；
故正确的个数有①②③⑤，④不正确。
故答案为：C.
【分析】首先根据中线的定义，得出①正确；再根据同角的余角相等得出③正确，再由ASA证得△ABE≌△BCD，进一步得出②正确，同时BE=CD，再结合AE是中线，即可得出BC=2BE，从而等量代换为⑤，易知AE与CD不可能平行，故而得出④；综上即可得出答案。
13．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
14．【答案】（1）①证明：如图，过点P作轴于E，作轴于F，
∴，
∵，
∴，
在和，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点P作轴于E，作轴于F，
同理得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）①过点P作轴于E，作轴于F，根据两点间距离可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
②根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）过点P作轴于E，作轴于F，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．【答案】（1）解：，在和中，
，，，
，，
（2）解：如图，延长到，使得，连结，.
在和中，
，，，
又，，
在中，，，，
（3）解：结论：.
理由：延长到，使得.
，，
，，，
，，，
，
，，
，
，，
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），得到CE＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），得到BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）结论：AF＋EC＝EF．延长BC到H，使得CH＝AF，通过两次全等证明AF＝CE，EF＝EH即可解决问题．
16．【答案】（1）DE＝AD＋BE
（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°．
∴∠CAD＝∠BCE．
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB．
∴CE＝AD， CD＝BE，
∴DE＝CE－ CD＝AD－BE；
（3）DE＝BE－AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴DE=AD+BE．
（3）DE=BE-AD，
理由：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）．
【分析】（1）根据垂直可得 ∠ADC=∠BEC=90°， 再根据角之间的关系可得 ∠DAC=∠BCE， 由全等三角形判定定理可得△ADC≌△CEB（AAS），则AD=CE，CD=BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据垂直可得∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据角之间的关系可得∠CAD＝∠BCE，由全等三角形判定定理可得△ADC≌△CEB，则CE＝AD， CD＝BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据垂直可得 ∠ADC=∠BEC=90°，再根据角之间的关系可 ∠ACD=∠EBC，由全等三角形判定定理可得 △ADC≌△CEB（AAS）， 则 AD=CE，CD=BE， 再根据边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】（1）BD=CE
（2）在△ABD和△ACE中，
因为AD=AE，∠DAB=∠EAC=90°，AB=AC，所以△ABD≌△ACE(SAS).
所以∠ABD=∠ACE.
又因为∠ADB=∠CDF，
所以∠DFC=180°-∠ACE-∠CDF=180°-∠ABD-∠ADB=∠BAD=90°.
所以∠BFC=90°.
（3）BD=CE且BD⊥CE.理由如下：
因为∠CAB=∠DAE=90°，
所以∠CAB+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠DAB=∠EAC.
又因为AD=AE，AB=AC，所以△ABD≌△ACE(SAS).
所以BD=CE，∠DBA=∠ECA.
因为∠AHB=∠FHC，
所以∠BFC=180°-∠FCH-∠FHC=180°-∠HBA-∠AHB=∠CAB=90°.
所以BD⊥CE.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：（1） 在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE.
【分析】（1）由几何直观及题干条件，找出与目标线段相等的两个三角形并证明其全等即可；
（2）在(1)全等的基础上，利用全等的性质结合三角形内角和进行角度转换即可；
（3）类似(1)(2)证明及其推导，需注意此处的关系包含数量关系及位置关系，利用全等性质推导即可.
18．【答案】（1）解：(1)∵一次函数 中，令 得： 令 解得 ∴ B的坐标是(0，2)， A的坐标是(3，0).如图，作( 轴于点D.
∵∠BAC = 90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO.
在△ABO与△CAD中，
，
∴△ABO≌△CAD(AAS)，
∴
∴，
则C的坐标是(5，3).
（2）解：
设直线BC的解析式是y= kx+b，
根据题意得：，解得：，
∴直线BC的解析式是
（3）解：若△ABD与△ABC全等， 则△ABD≌△ABC或△ABD≌△BAC或△ABD≌△BAC.
画图如下：
设点D的坐标为(m，n).
若 ，则点A是CD的中点，
故
解得
故点D的坐标为(
若 则 的中点与BC的中点重合，
故
解得 故点D的坐标为(2，5).
若 ，则AB的中点与 的中点重合，
则
解得
故点D的坐标为
综上所述，点D的坐标为(2，5)或( 或
（4）解：
设点P的坐标为(0，p).
若点P在AB上方，则
所以 解得
故此时点P的坐标为
若点P在AB下方，显然P在y轴负半轴，则 所以 解得
故此时点P的坐标为 综上所述，点P的坐标为 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)在 与 中，有两角及其中一角的对边对应相等，满足全等三角形判定的AAS定理；
(2)设过B、C两点直线的解析式为将B、C的坐标代入 得出关于k，b的二元一次方程组；
(3)若 与 全等，情况不唯一，需结合分类讨论思想进行求解；
(4)若点P在AB上方， 则 ，若点P在AB上方， 则 .
19．【答案】（1）解：∵∴，即
∵，
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴
∴，；
（2）2
（3）解：当点E在点F左边时
的长度为；
当点E在点F左边时
的长度为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平移的性质；作图﹣平移；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）∵，，
∴，
∴
∵，
∴；
（3）如图所示，当点E在点F左边时，
由（1）得，
∴
∵
∴；
当点E在点F右边时，
∵，．
∴
同（1）可证明出
∴
∵
∴，
综上所述，当点E在点F左边时，的长度为；当点E在点F右边时，的长度为．
【分析】（1）结合题意，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）由题意可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）画出图形，分情况讨论：当点E在点F左边时，当点E在点F右边时，结合全等三角形的判定定理及性质即可求出答案.
（1）∵
∴，即
∵，
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴
∴，；
（2）∵，，
∴，
∴
∵，
∴；
（3）如图所示，当点E在点F左边时，
由（1）得，
∴
∵
∴；
当点E在点F右边时，
∵，．
∴
同（1）可证明出
∴
∵
∴，
综上所述，当点E在点F左边时，的长度为；当点E在点F右边时，的长度为．
20．【答案】（1），
（2）解：①点的坐标是，
理由如下：在第二象限内存在点，使得点是点和点的“垂等点，
，，
，
，
，
∴，
，，
点，，，
点的坐标是；
②．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：，，
，
，
，，
，
，
，
点是点和点的“垂等点”，
同理点是点和点的“垂等点”，点不是点和点的“垂等点”，
故答案为：，；
（2）②当时，当，分别与，重合时，点是点和点的“垂等点”，点是线段的垂直平分线上的点，，，显然点的纵坐标是0或4，
当点是线段的垂直平分线上的点，显然点的纵坐标是，2．
的取值范围是．
【分析】（1）利用”垂等点“的定义分析求解即可；
（2）①先利用”AAS“证出，可得，，再结合点A、B的坐标求出点C的坐标即可；
②利用”垂等点“的定义求出点F的坐标，再求出t的取值范围即可.
（1）由题意得：，，
，
，
，，
，
，
，
点是点和点的“垂等点”，
同理点是点和点的“垂等点”，点不是点和点的“垂等点”，
故答案为：，；
（2）①点的坐标是，理由如下：
在第二象限内存在点，使得点是点和点的“垂等点，
，，
，
，
，
∴，
，，
点，，，
点的坐标是；
②当时，当，分别与，重合时，点是点和点的“垂等点”，点是线段的垂直平分线上的点，，，显然点的纵坐标是0或4，
当点是线段的垂直平分线上的点，显然点的纵坐标是，2．
的取值范围是．
1 / 1沪科版（2024）数学八年级上册14.2全等三角形的判定同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八上·朝阳期中）如图，点E，C，F，B在一条直线上，，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
2．（2024八上·石家庄月考）如图所示，选项的图形中与图中一定全等的三角形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
3．（2025七下·榕城期末）数学来源于生活，又服务于生活.以下四幅图中用数学原理解释不正确的是(　　)
A．图(1)两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线
B．图(2)人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性
C．图(3)体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短
D．图(4)一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法SAS
【答案】D
【知识点】两点确定一条直线；垂线段最短及其应用；三角形的稳定性；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：】解：A： 图(1)两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线正确，所以A不符合题意；
B：图(2)人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性正确，所以B不符合题意；
C： 图(3)体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 正确，所C不符合题意；
D： 图(4)一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法ASA，所以D不正确，符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据 两点确定一条直线 ； 三角形的稳定性 ； 垂线段最短 ，以及全等三角形的判定，即可得出答案。
4．（2024八上·船营月考）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（　　）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据题意，得，
在和中，
，
∴，
∴判定三角形全等的依据是三边分别相等的两个三角形全等，
故答案为：A.
【分析】根据作一个角等于已知角的基本作图，可得，从而可知判定三角形全等的依据为“SSS”.
5．（2025七下·深圳期中）如图，且且，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积是（　　）
A．50 B．44 C．38 D．32
【答案】D
【知识点】三角形的面积；梯形；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AE⊥AB，EF⊥AF，BM⊥AM，
∴∠F=∠AMB=∠EAB=90°，
∴∠FEA+∠EAF=90，∠EAF+∠BAM=90°，
∴∠FEA=∠BAM，
在△FEA和△MAB中
∴△FEA≌△MAB(AAS)
∴AM=EF=6，AF=BM=3，
同理CM=DH=2，BM=CH=3，
∴FH=3+6+2+3=14，
∴梯形EFHD的面积=×（EF+DH）×FH=×（6+2）×14=56，
∴阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC
=56-×6×3-×（6+2）×3+×3×2
=32，
故答案为：D.
【分析】先利用“AAS”证出△FEA≌△MAB，可得AM=EF=6，AF=BM=3，再同理证出CM=DH=2，BM=CH=3，利用线段的和差求出FH的长，最后利用割补法求出阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC=56-×6×3-×（6+2）×3+×3×2=32即可.
6．（2025八上·温州期末）如图，在中，，．以A为圆心，为半径画弧交于点D；分别以C，D为圆心，大于长为半径画弧交于点E，射线交于点F，连结，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由作法得，平分，
，
在和中，
，
∴，
∴.
故答案为： B．
【分析】先根据三角形内角和定理算出∠C=60°，由作法得AC=AD，AE平分∠BAC， 从而用SAS证明△ACF≌△ADF，由全等三角形的对应角相等及三角形的内角和定理得到∠AFD=∠AFC=75°.
7．（2024八上·芝罘期中）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，根据全等三角形的判定方法，下列能证明的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
另有，
、添加，利用不能判定，故此选项不合题意；
、添加，利用不能判定，故此选项不合题意；
、添加，可得，利用不能判定，故此选项不合题意；
、添加，利用能判定，故此选项符合题意；
故选．
【分析】
判定一般三角形全等的方法有：、、、，注意、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．由已知可得，结合，则只有或AC=DF时才能证明两三角形全等．
8．（2024八上·营口期中）如图，，．
（1）求证：；
（2）若，则__________°．
【答案】（1）证明：在和中，
，
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（2）解：，，
，
由（1）知，
，
故答案为：20．
【分析】（1）直接利用得到两三角形全等即可；
（2）根据三角形内角和定理得到的度数，再根据全等三角形的对应角相等解答即可．
（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
故答案为：20．
9．（2024八上·东城期中）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再结合，即可证出；
（2）先利用“HL”证出，利用全等三角形的性质可得BF=CD=7，再利用线段的和差求出CE的长即可.
（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
10．（2024八上·柯桥月考）下面是多媒体上的一道习题：
如图是的中线，，求的取值范围．
请将下面的解题过程补充完整．
解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴ ， 在和中， ， ∴（ ）， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知：_____________________， 又∵， ∴______________________．
【答案】；；1；7；0.5；3.5
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：延长至点E，使，连接．
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，根据“三角形三边关系”可知：，
又∵，
∴．
故答案为：，，1，7，0.5，3.5.
【分析】延长到E，使，连接，利用中线的性质可得，再利用SAS判定定理证，可得，再在△ABD中利用三角形三边关系即可求AE得范围，即可求出AD的范围．
二、能力提高
11．（2025七下·杭州期末） 如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则　 　．
【答案】3或7
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：情况一，点D在线段BC上
过点E作EG⊥AB，垂足为G
∵∠ABC=90° ∴∠BAD+∠ADB=90°
∵∠EAD=90° ∴∠BAD+∠EAB=90°
∴∠ADB=∠EAB
∵AD=AE，∠ABC=∠AGE=90° ∴
∴EG=AB=5，AG=BD=5-4=1，BG=4
∵EG=BC，∠EFG=∠CFB（对顶角相等），∠EGF=∠FBC
∴
∴
∴AF=1+2=3
情况二，点D在线段BC的延长线上
过点E作EI⊥AB，垂足为I
易证得∴AI=BD=5+4=9 ∴BI=4
易证得∴
∴AF=5+2=7
故答案为：3或7.
【分析】根据点D为射线BC上一动点可以进行分类讨论，即点D在线段BC上和点D在线段BC的延长线上，再利用全等三角形的性质计算边长即可。
12．（2025七下·光明期中）如图，在中，是中线，过点作于点，过点作交BF的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；余角；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵AE是中线，
∴①BE=CE，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABF+∠DBC=90°，
∵于点，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴③∠BAE=∠DBC，
又交BF的延长线于点．
∴∠BCD=90°，
在△ABE和△BCD中：∠BAE=∠DBC，AB=BC，∠ABE=∠BCD=90°，
∴△ABE≌△BCD，
∴②；BE=CD，
∵BC=2BE，
∴⑤．
又∵AE与CD不可能平行，
∴④；
故正确的个数有①②③⑤，④不正确。
故答案为：C.
【分析】首先根据中线的定义，得出①正确；再根据同角的余角相等得出③正确，再由ASA证得△ABE≌△BCD，进一步得出②正确，同时BE=CD，再结合AE是中线，即可得出BC=2BE，从而等量代换为⑤，易知AE与CD不可能平行，故而得出④；综上即可得出答案。
13．（2024八上·武汉月考）如图，已知平分的外角，为上一点，，过点作于点，若，，则线段的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．5.5
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
14．（2023八上·浠水月考）如图所示，在平面直角坐标系中，
（1）点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且，
①求证：：
②求的值；
（2）点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且，求的值．
【答案】（1）①证明：如图，过点P作轴于E，作轴于F，
∴，
∵，
∴，
在和，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点P作轴于E，作轴于F，
同理得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）①过点P作轴于E，作轴于F，根据两点间距离可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
②根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）过点P作轴于E，作轴于F，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．（2024八上·金华月考）
（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围。请写出的取值范围，并说明理由
（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：。小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使……，请你帮她完成证明过程。
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明.
【答案】（1）解：，在和中，
，，，
，，
（2）解：如图，延长到，使得，连结，.
在和中，
，，，
又，，
在中，，，，
（3）解：结论：.
理由：延长到，使得.
，，
，，，
，，，
，
，，
，
，，
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），得到CE＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），得到BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）结论：AF＋EC＝EF．延长BC到H，使得CH＝AF，通过两次全等证明AF＝CE，EF＝EH即可解决问题．
16．（2024八上·长春高新技术产业开发期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）【感知】
当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，易证△ADC≌△CEB（不需要证明），进而得到DE、AD、BE之间的数量关系为　 　．
（2）【探究】
当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE＝AD－BE．
（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，直接写出DE、AD、BE之间的数量关系．
【答案】（1）DE＝AD＋BE
（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°．
∴∠CAD＝∠BCE．
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB．
∴CE＝AD， CD＝BE，
∴DE＝CE－ CD＝AD－BE；
（3）DE＝BE－AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴DE=AD+BE．
（3）DE=BE-AD，
理由：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）．
【分析】（1）根据垂直可得 ∠ADC=∠BEC=90°， 再根据角之间的关系可得 ∠DAC=∠BCE， 由全等三角形判定定理可得△ADC≌△CEB（AAS），则AD=CE，CD=BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据垂直可得∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据角之间的关系可得∠CAD＝∠BCE，由全等三角形判定定理可得△ADC≌△CEB，则CE＝AD， CD＝BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据垂直可得 ∠ADC=∠BEC=90°，再根据角之间的关系可 ∠ACD=∠EBC，由全等三角形判定定理可得 △ADC≌△CEB（AAS）， 则 AD=CE，CD=BE， 再根据边之间的关系即可求出答案.
17．（2024七下·贵阳期中）有两个三角形，分别为△ABC和△ADE，其中∠CAB=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE.
（1）若按如图(1)所示位置摆放，使得AC与AD重合，连接BD，CE，则BD与CE的数量关系是　 　；
（2）在图(2)中，延长BD交CE于点F，求∠BFC的度数；
（3）若按如图(3)所示位置摆放，连接BD，CE，且BD与CE交于点F，BD与AC交于点H，请判断BD与CE之间的关系，并说明理由.
【答案】（1）BD=CE
（2）在△ABD和△ACE中，
因为AD=AE，∠DAB=∠EAC=90°，AB=AC，所以△ABD≌△ACE(SAS).
所以∠ABD=∠ACE.
又因为∠ADB=∠CDF，
所以∠DFC=180°-∠ACE-∠CDF=180°-∠ABD-∠ADB=∠BAD=90°.
所以∠BFC=90°.
（3）BD=CE且BD⊥CE.理由如下：
因为∠CAB=∠DAE=90°，
所以∠CAB+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠DAB=∠EAC.
又因为AD=AE，AB=AC，所以△ABD≌△ACE(SAS).
所以BD=CE，∠DBA=∠ECA.
因为∠AHB=∠FHC，
所以∠BFC=180°-∠FCH-∠FHC=180°-∠HBA-∠AHB=∠CAB=90°.
所以BD⊥CE.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：（1） 在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE.
【分析】（1）由几何直观及题干条件，找出与目标线段相等的两个三角形并证明其全等即可；
（2）在(1)全等的基础上，利用全等的性质结合三角形内角和进行角度转换即可；
（3）类似(1)(2)证明及其推导，需注意此处的关系包含数量关系及位置关系，利用全等性质推导即可.
18．如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°.
（1）求C点坐标；
（2）求过B、C两点直线的解析式；
（3）在坐标平面内求一点D，使△ABD与△ABC全等.直接写出所有点D的坐标；
（4）在y轴上求一点P，使△APB的面积与△ABC的面积相等.直接写出所有点P的坐标.
【答案】（1）解：(1)∵一次函数 中，令 得： 令 解得 ∴ B的坐标是(0，2)， A的坐标是(3，0).如图，作( 轴于点D.
∵∠BAC = 90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO.
在△ABO与△CAD中，
，
∴△ABO≌△CAD(AAS)，
∴
∴，
则C的坐标是(5，3).
（2）解：
设直线BC的解析式是y= kx+b，
根据题意得：，解得：，
∴直线BC的解析式是
（3）解：若△ABD与△ABC全等， 则△ABD≌△ABC或△ABD≌△BAC或△ABD≌△BAC.
画图如下：
设点D的坐标为(m，n).
若 ，则点A是CD的中点，
故
解得
故点D的坐标为(
若 则 的中点与BC的中点重合，
故
解得 故点D的坐标为(2，5).
若 ，则AB的中点与 的中点重合，
则
解得
故点D的坐标为
综上所述，点D的坐标为(2，5)或( 或
（4）解：
设点P的坐标为(0，p).
若点P在AB上方，则
所以 解得
故此时点P的坐标为
若点P在AB下方，显然P在y轴负半轴，则 所以 解得
故此时点P的坐标为 综上所述，点P的坐标为 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)在 与 中，有两角及其中一角的对边对应相等，满足全等三角形判定的AAS定理；
(2)设过B、C两点直线的解析式为将B、C的坐标代入 得出关于k，b的二元一次方程组；
(3)若 与 全等，情况不唯一，需结合分类讨论思想进行求解；
(4)若点P在AB上方， 则 ，若点P在AB上方， 则 .
19．（2024八上·北京市开学考）如图，点A，E，F，C在一条直线上，，．过点E，F分别作，，点B，D分别在直线两侧，．连接，与直线交于点G．
（1）求证：，．
（2）若，，直接写出的长度　 　．
（3）若保持不动，将的边沿直线方向移动，其余条件不变，请你画出图形，并直接写出的长度（用m、n表示）
【答案】（1）解：∵∴，即
∵，
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴
∴，；
（2）2
（3）解：当点E在点F左边时
的长度为；
当点E在点F左边时
的长度为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平移的性质；作图﹣平移；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）∵，，
∴，
∴
∵，
∴；
（3）如图所示，当点E在点F左边时，
由（1）得，
∴
∵
∴；
当点E在点F右边时，
∵，．
∴
同（1）可证明出
∴
∵
∴，
综上所述，当点E在点F左边时，的长度为；当点E在点F右边时，的长度为．
【分析】（1）结合题意，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）由题意可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）画出图形，分情况讨论：当点E在点F左边时，当点E在点F右边时，结合全等三角形的判定定理及性质即可求出答案.
（1）∵
∴，即
∵，
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴
∴，；
（2）∵，，
∴，
∴
∵，
∴；
（3）如图所示，当点E在点F左边时，
由（1）得，
∴
∵
∴；
当点E在点F右边时，
∵，．
∴
同（1）可证明出
∴
∵
∴，
综上所述，当点E在点F左边时，的长度为；当点E在点F右边时，的长度为．
三、拓展创新
20．（2023八上·夏津期中）在平面中，对于点M，N，P，若，且，则称点P是点M和点N的“垂等点”．
在平面直角坐标系中，
（1）已知点，点，则点中是点M和点N的“垂等点”的是___________；
（2）已知点．
①若在第二象限内存在点C，使得点B是点A和点C的“垂等点”，写出点C的坐标（用含b的式子表示），并说明理由；
②当时，点D，点E是线段AO，BO上的动点（点D，点E不与点A，B，O重合）．若点F是点D和点E的“垂等点”，直接写出点F的纵坐标t的取值范围．
【答案】（1），
（2）解：①点的坐标是，
理由如下：在第二象限内存在点，使得点是点和点的“垂等点，
，，
，
，
，
∴，
，，
点，，，
点的坐标是；
②．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：，，
，
，
，，
，
，
，
点是点和点的“垂等点”，
同理点是点和点的“垂等点”，点不是点和点的“垂等点”，
故答案为：，；
（2）②当时，当，分别与，重合时，点是点和点的“垂等点”，点是线段的垂直平分线上的点，，，显然点的纵坐标是0或4，
当点是线段的垂直平分线上的点，显然点的纵坐标是，2．
的取值范围是．
【分析】（1）利用”垂等点“的定义分析求解即可；
（2）①先利用”AAS“证出，可得，，再结合点A、B的坐标求出点C的坐标即可；
②利用”垂等点“的定义求出点F的坐标，再求出t的取值范围即可.
（1）由题意得：，，
，
，
，，
，
，
，
点是点和点的“垂等点”，
同理点是点和点的“垂等点”，点不是点和点的“垂等点”，
故答案为：，；
（2）①点的坐标是，理由如下：
在第二象限内存在点，使得点是点和点的“垂等点，
，，
，
，
，
∴，
，，
点，，，
点的坐标是；
②当时，当，分别与，重合时，点是点和点的“垂等点”，点是线段的垂直平分线上的点，，，显然点的纵坐标是0或4，
当点是线段的垂直平分线上的点，显然点的纵坐标是，2．
的取值范围是．
1 / 1