专题01 集合概念的两大常考题型
题型一：元素与集合的关系求参
题型二：集合中元素的特性及应用
题型一：元素与集合的关系求参
1．已知集合，则实数a的值为 ．
【答案】或5
【分析】由元素与集合的关系建立方程，再由集合元素的互异性排除错误答案，即可得到结果.
【详解】依题意，当时，或．
若，则，符合题意；
若，则，对于集合B，不满足集合中元素的互异性，所以不符合．
当时，或．
若，则，对于集合A，不满足集合中元素的互异性，所以不符合；
若，则，，符合题意．
综上所述，a的值为或5．
故答案为：或5．
2．已知集合，若且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围.
【详解】由且，得，解得．
故选：A
3．已知，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】讨论对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可.
【详解】若，显然时不符合集合元素的互异性；
若，不符合集合元素的互异性；
若或，不符合集合元素的互异性；
综上，.
故选：C
4．设集合，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由元素与集合的关系求出参数，求解方程从而得到集合.
【详解】，所以，时，，
解得或，即．
故选：D．
5．设集合.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，求的取值范围.
【详解】因为，所以，所以.
故选：C
6．已知集合，且，则实数的值为 ．
【答案】3
【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案.
【详解】因为，所以分为以下两种情况：
①或，当时，集合满足题意；
当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去；
②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去；
综上所述，.
故答案为：3.
7．若，若实数的值为 .
【答案】
【分析】根据元素的确定性和互异性可求实数的值.
【详解】因为，故或，故或，
若时，，与元素的互异性矛盾；
当，，符合题意；
故，
故答案为：
8．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】由题意可得或或，分别求解后再验证即可.
【详解】解：因为，
当，即时，此时，不满足元素的互异性；
当，即时，此时，满足题意；
当，即时，此时无解；
综上，.
故答案为：
9．已知集合，若且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果.
【详解】由题可知且
解得.
故选：C.
10．已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合中的元素特征得出不等式组可解得结果.
【详解】由且，得
解得，
故选：A．
11．已知集合，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合与元素的包含关系求解即可.
【详解】因为集合，，
所以，解得，
故选：D
12．已知集合，且，则的值为 .
【答案】或
【分析】利用元素与集合的关系确定的值，结合元素的互异性验证.
【详解】由题意可得或，解得或或，
当时，，符合题意.
当时，，符合题意，
当时，，不满足集合中元素的互异性，不符合.
综上得或.
故答案为：或.
13．已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】由题意可得或，运算求解，注意集合的互异性.
【详解】∵，
∴或，
解得或，
当时，不满足集合的互异性，故舍弃，
当时，，符合题意，
所以.
故答案为：．
14．已知集合，，若且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由元素与集合的关系列出不等式组，解之即得.
【详解】因为且，所以，解得.
故选：A．
15．已知集合，，若，则实数 .
【答案】
【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值.
【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求；
若，则，此时，符合要求；
若，则，此时集合违背互异性，不符合要求；
综上所述，.
故答案为：.
16．已知集合，若，则 .
【答案】14
【分析】根据元素与集合的关系得解.
【详解】因为，，
所以当时，，,不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，，符合题意.
故答案为：14
17．若，则实数 .
【答案】
【分析】根据元素与集合的关系列方程，结合集合元素的互异性来求得正确答案.
【详解】依题意，，
当，时，，不符合.
当时，解得或（舍去），
当时，集合为，符合题意.
所以.
故答案为：
18．设集合，且，则实数m的值为 ．
【答案】5
【分析】由得或，求出m，再求出A并结合集合中元素的互异性检验即可得解.
【详解】因为，所以或，解得或或，
当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符；
当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符；
当时，，符合.
所以实数m的值为5.
故答案为：5.
19．若，则或．( )
【答案】错误
【分析】根据题意可得或，然后再利用由集合中的元素的互异性验证即可.
【详解】因为，所以或，
当时，，不合题意，舍去，
当时，或（舍去），
时，集合为，
综上，.
故答案为：错误
20．设集合，若，则实数的值为 ．
【答案】2
【分析】根据元素与集合的关系，建立关于的方程，解方程及验证得解.
【详解】集合，且，
（i）当时，，，违反集合元素的互异性，
（ii）当时，解得或，
①当时，不满足集合元素的互异性，舍去，
②当时，，满足题意，则实数的值为.
故答案为：.
题型二：集合中元素的特性及应用
21．已知，则实数a的值是（ ）
A．3 B．1 C．3或1 D．0
【答案】A
【分析】由元素与集合的关系可得出或，然后再检查集合元素的互异性.
【详解】由题意得或，当时，集合为，符合题意；
当时，集合为，不符合题意，所以.
故选：A
22．若集合，则实数的取值可以是（ ）
A．2 B．3 C． D．5
【答案】BD
【分析】根据集合中元素的互异性求解.
【详解】集合，则，解得，知BD符合.
故选：BD.
23．若，则实数 ．
【答案】
【分析】根据元素与集合的关系求解，利用集合中元素的互异性验证．
【详解】当时，，不满足元素的互异性，舍去.
当时，解得或4，
当时，不符合题意，
当时，集合为，符合题意,
所以．
故答案为：．
24．已知集合，集合.
(1)若，求的值；
(2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解；
（2）按照，讨论，验证即可求解.
【详解】（1）∵，
当，即时，此时，不成立，
当，即，此时，成立，
∴；
（2）由题意可得，，
若，则，不符合题意，
若，则，不符合题意，
故不存在实数a和x的值，使得.
25．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值．
【答案】
【分析】本题根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算 即可.
【详解】由可得0且（否则不满足集合中元素的互异性）．
所以，或
解得，或．
经检验，满足题意．
所以．
26．举例说明：设集合M中含有三个元素3，，：
(1)求实数，应满足的条件；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)且且且且；
(2)或或.
【分析】（1）根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可；
（2）若，则或，进而求解即可得答案.
【详解】（1）据集合中元素的互异性，可知，
即且且且且；
（2）若，则或，解得：或或，
若，则，满足题意；
若，则，满足题意；
若，则，满足题意；
故或或.
27．已知含有两个元素的集合，其中．
(1)实数m不能取哪些数？
(2)若，求实数m的值．
【答案】(1)不能取0和4；
(2)．
【分析】（1）根据集合元素的互异性，列式算出答案；
（2）若4为集合A的元素，结合（1）的结论可知，从而算出实数m的值．
【详解】（1）根据题意，可得，解得且，
因此，实数m不能取0和4；
（2）由（1）的结论，可知m≠4，
若，则，解得（不符合题意），
因此，实数m的值是．
28．已知集合.
(1)若A中只有一个元素，求的值；
(2)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可
(2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素
的情况即可得出的取值范围
【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时，
为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素，
A中只有一个元素时或.
（2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且
，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为.
29．已知集合，若，求实数a的取值集合．
【答案】
【分析】让集合中每个元素等于1，求出值，然后检验是否符合互异性即可得
【详解】解：因为，所以
①若，解得，此时集合为，元素重复，所以不成立，即
②若，解得或，当时，集合为，满足条件，即成立．
当时，集合为，元素重复，所以不成立，即
③若，解得或，由①②知都不成立．
所以满足条件的实数的取值集合为
30．含有三个实数的集合，若且，求的值.
【答案】1
【分析】利用集合中元素的互异性可求解.
【详解】由,可知，故，所以解得，
又可得或，
当时，与集合中元素的互异性矛盾，
所以且，所以，
故，，所以.
31．已知集合，若，求实数a的值．
【答案】.
【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，列方程求解并验证作答.
【详解】集合，因，则或，
解得：，此时，矛盾，即，
解得：，则有，当时，，符合题意，则，
所以实数a的值是.
32．已知集合，，且，求集合．
【答案】
【分析】根据题意，结合集合中元素的确定性与互异性，分类讨论即可求解.
【详解】根据题意，当时，.若，则，根据互异性可知，不满足题意；若，则，此时，.
而当时，集合中，根据互异性可知，不满足题意.
综上，.
33．设，集合中含有三个元素3，，．
(1)求实数应满足的条件；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)且且
(2)
【分析】(1)根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可；
(2)分析的取值范围，进而可得.
【详解】（1）根据集合中元素的互异性，可知，
即且且；
（2）因为，且，
所以．
34．设关于的方程的解集为．
（1）求证：中至少有2个元素；
（2）若中有3个元素，求的值及中3个元素之和．
【答案】（1）证明见解析；（2）；当时，中3个元素之和为；当时，中3个元素之和为3．
【分析】（1）将方程去绝对值，进而通过判别式法判定方程根的个数，最后解决问题；
（2）结合（1），根据题意再利用判别式法求出a，进而解得答案.
【详解】（1）方程等价于或．
记方程的解集为，
因为，所以中含有2个元素．
又因为，所以中至少有2个元素．
（2）记方程的解集为，由（1）知，中恰有1个元素．
所以，因此，．
当时，，中2个元素之和为-2，所以中3个元素之和为；
当时，，中2个元素之和为2，所以中3个元素之和为3．
35．若a，，集合．
求：(1);
(2)．
【答案】(1) 0; (2) 2;
【解析】(1)根据可得出,
(2)由(1)得，即,根据元素的互异性可得, ,代入计算即可.
【详解】(1)根据元素的互异性，得或，若，则无意义，故;
(2) 由(1)得，即，据元素的互异性可得：，，
∴.
【点睛】本题考查集合中元素的互异性，属于基础题.
36．已知集合，若，求实数的值.
【答案】实数a的值为－1或0.
【分析】分三种情况讨论即可.
【详解】①若，则a＝－2，
此时A＝{1，1，2}，不符合集合中元素的互异性，舍去.
②若，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A＝{3，1，2}，满足题意；
当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去.
③若，则a＝－1，
此时A＝{2，0，1}，满足题意.
综上所述，实数a的值为－1或0.
【点睛】本题考查的是集合的基本知识，较简单.
37．已知集合,
(1)当时,求.
(2)是否存在实数,使得,说明你的理由;
(3)记若中恰好有3个元素,求所有满足条件的实数的值.(直接写出答案即可)
【答案】(1).(2)不存在,证明见解析;(3),.
【分析】解:(1)将代入集合中,再求出即可.(2)不存在.证明:若,则且,将代入集合和中,再求交集,得出,与矛盾,故不存在.
(3)根据得出,再根据中恰好有3个元素,即可得出满足条件的实数的值.
【详解】解:(1)当时,
,
所以.
(2)不存在实数,使得,
证明:若,则,且,
所以,则,
则,与矛盾,
故不存在实数,使得;
(3)因为,
所以含有，
,含有，
又因为中恰好有3个元素,
所以当时,, ,
当,,,
所以满足条件的实数的值有,.
【点睛】本题考查集合的基本性质和集合的基本运算,注意集合的互异性是解题中容易出错的地方.
38．已知集合，且，则实数的值为 .
【答案】1或2
【分析】分别讨论或,并根据元素的互异性检验即可
【详解】因为集合，且，
所以或，解得或，
当，集合，满足题意；
当，集合，满足题意；
故答案为：1或2
39．已知集合，若，则实数a的值为 ．
【答案】
【分析】根据集合中元素的特征，用集合元素互异性分析即可.
【详解】由集合中元素的互异性得，故，则，又，所以，解得．
故答案为：
40．非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集 ．（写出一个即可）
【答案】（或）
【分析】设，结合题意与集合的性质分析即可.
【详解】不妨设，根据题意有，ab， 所以，，中必有两个是相等的．
若，则，故，又或，所以（舍去）或或，此时．
若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时．
综上，或．
故答案为：（或）
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专题01 集合概念的两大常考题型
题型一：元素与集合的关系求参
题型二：集合中元素的特性及应用
题型一：元素与集合的关系求参
1．已知集合，则实数a的值为 ．
2．已知集合，若且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
4．设集合，若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．设集合.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，且，则实数的值为 ．
7．若，若实数的值为 .
8．若，则的值为 ．
9．已知集合，若且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知集合，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知集合，且，则的值为 .
13．已知，则的值为 ．
14．已知集合，，若且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知集合，，若，则实数 .
16．已知集合，若，则 .
17．若，则实数 .
18．设集合，且，则实数m的值为 ．
19．若，则或．( )
20．设集合，若，则实数的值为 ．
题型二：集合中元素的特性及应用
21．已知，则实数a的值是（ ）
A．3 B．1 C．3或1 D．0
22．若集合，则实数的取值可以是（ ）
A．2 B．3 C． D．5
23．若，则实数 ．
24．已知集合，集合.
(1)若，求的值；
(2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由.
25．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值．
26．举例说明：设集合M中含有三个元素3，，：
(1)求实数，应满足的条件；
(2)若，求实数的值.
27．已知含有两个元素的集合，其中．
(1)实数m不能取哪些数？
(2)若，求实数m的值．
28．已知集合.
(1)若A中只有一个元素，求的值；
(2)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
29．已知集合，若，求实数a的取值集合．
30．含有三个实数的集合，若且，求的值.
31．已知集合，若，求实数a的值．
32．已知集合，，且，求集合．
33．设，集合中含有三个元素3，，．
(1)求实数应满足的条件；
(2)若，求实数的值．
34．设关于的方程的解集为．
（1）求证：中至少有2个元素；
（2）若中有3个元素，求的值及中3个元素之和．
35．若a，，集合．
求：(1);
(2)．
36．已知集合，若，求实数的值.
37．已知集合,
(1)当时,求.
(2)是否存在实数,使得,说明你的理由;
(3)记若中恰好有3个元素,求所有满足条件的实数的值.(直接写出答案即可)
38．已知集合，且，则实数的值为 .
39．已知集合，若，则实数a的值为 ．
40．非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集 ．（写出一个即可）
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