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专题02 函数的基本性质
题型一：求函数的单调区间
题型二：利用函数单调性的性质解不等式
题型三：已知函数的奇偶性求表达式
题型四：抽象函数的奇偶性问题
题型一：求函数的单调区间
1．如果函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，那么称函数是区间上的“可变函数”，区间叫做“可变区间”.若函数是区间上的“可变函数”，则“可变区间”为（ ）
A．和 B．
C． D．
2．设函数在上有定义，对于给定的正数K，定义函数， 取函数，当时，函数在下列区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
3．判断下列选项中正确的是（ ）
A．函数的单调递减区间是
B．若对于区间I上的函数，满足对于任意的，，，则函数在I上是增函数
C．已知时，，则
D．已知，则．
4．下列说法中错误的为（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为
C．函数的单调递减区间是
D．函数与函数是同一个函数
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．若对任意，，当时，，则在上是增函数
B．函数在上是增函数
C．函数在定义域上是增函数
D．函数的单调减区间是和
6．函数的单调递增区间为 .
7．已知函数，则的单调递增区间为 .
8．函数的单调递减区间为 ．
9．已知函数
(1)求实数a值；
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)求函数的单调区间．
10．已知函数，
(1)画出函数的图象；
(2)求的值；
(3)写出函数的单调区间．
题型二：利用函数单调性的性质解不等式
11．已知函数，且的最大值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
13．定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．
D．满足不等式的的取值范围是
15．已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（ ）
A．
B．函数在区间为增函数
C．函数在区间为增函数
D．
16．“求方程的解”有如下解题思路：设，则是上的严格减函数，且，所以原方程有唯一解，类比上述解题思路，可得不等式的解集为 ．
17．已知函数的定义域是且，当时，，且，满足不等式的的取值范围为 .
18．已知函数，且，.
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性并用单调性的定义证明你的判断；
(3)若不等式恒成立，求的取值范围.
19．已知函数，.
(1)判断函数的单调性，并证明：
(2)解不等式：.
20．设函数，已知.
(1)求m的值；
(2)若存在实数，使得在区间上的值域为，求的取值范围；
(3)若k取满足（2）中条件的k的最小值，求不等式的解集
题型三：已知函数的奇偶性求表达式
21．对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在三对“隐对称点”，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
22．定义在的奇函数，当时，，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
23．已知定义在上的奇函数，当时，．若对于任意的实数有成立，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．已知是定义在上的奇函数，且当时，，对任意的，不等式恒成立，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25．下列命题中正确的是（ ）
A．若幂函数的图像过点，则
B．若函数在R上单调递增，则的取值范围是
C．已知，，且，则的最小值为
D．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则的解析式为
26．下列命题是真命题的是（ ）
A．函数与是同一函数
B．函数是定义在上的奇函数，若时，，则时，
C．不等式的解集是
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
27．已知函数是奇函数，函数为偶函数，若，则 .
28．是定义在上的奇函数，且当时，．则时， ；不等式的解集是 ．
29．已知函数是偶函数，当时，，若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是 .
30．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
题型四：抽象函数的奇偶性问题
31．若定义上的函数满足：对任意有若的最大值和最小值分别为，则的值为（ ）
A．2022 B．2018 C．4036 D．4044
32．已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
33．设函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且图象过原点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
34．若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
35．已知函数的定义域为，且对任意的实数x，y，都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为偶函数
C． D．
36．已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．是偶函数
37．已知函数对任意的，有，设函数，且在区间上单调递增.若，则实数的取值范围为 .
38．已知偶函数在上是严格减函数，.则不等式的解集为 .
39．已知函数在定义域R上单调递增，且对任意的x，y都满足.
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)若对所有的均成立，求实数m的取值范围.
40．已知函数的定义域为，且，，.
(1)求和值；
(2)判断的奇偶性，并证明；
(3)若，则，求的解集.
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专题02 函数的基本性质
题型一：求函数的单调区间
题型二：利用函数单调性的性质解不等式
题型三：已知函数的奇偶性求表达式
题型四：抽象函数的奇偶性问题
题型一：求函数的单调区间
1．如果函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，那么称函数是区间上的“可变函数”，区间叫做“可变区间”.若函数是区间上的“可变函数”，则“可变区间”为（ ）
A．和 B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为的单调递减区间为，
在和上为增函数，
所以的“可变区间”为和，
故选：A
2．设函数在上有定义，对于给定的正数K，定义函数， 取函数，当时，函数在下列区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，解得，
在同一直角坐标系中作出与的图象，如图，
所以，所以函数的单调减区间为.
故选：D.
3．判断下列选项中正确的是（ ）
A．函数的单调递减区间是
B．若对于区间I上的函数，满足对于任意的，，，则函数在I上是增函数
C．已知时，，则
D．已知，则．
【答案】D
【详解】取，则，所以函数单调递减区间是错误，故A错误；
由可得，由函数的单调性定义知函数为减函数，故B错误；
由可得，故C错误；
因为，所以，故D正确.
故选：D
4．下列说法中错误的为（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为
C．函数的单调递减区间是
D．函数与函数是同一个函数
【答案】BCD
【详解】对于A选项，因为函数的定义域为，所以，，解得，故函数的定义域为，正确；
对于B选项，关于的不等式恒成立，显然当时，，不等式成立，当时，，解得，综合，的取值范围为，错误；
对于C选项，函数的单调递减区间是，不能写为，故错误；
对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为，故函数与函数不是同一个函数，错误.
故选：BCD
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．若对任意，，当时，，则在上是增函数
B．函数在上是增函数
C．函数在定义域上是增函数
D．函数的单调减区间是和
【答案】AD
【详解】对于A：若对任意，，当时，，则有，
由函数单调性的定义可知在上是增函数，故A正确．
对于B，由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
对于C，由反比例函数单调性可知，在和上单调递增，故C错误；
对于D：由反比例函数单调性可知，单调减区间是和，故D正确．
故选：AD．
6．函数的单调递增区间为 .
【答案】
【详解】，
由，得，
当时，单调递减，单调递增；
当时，单调递减，单调递增，
所以的单调增区间为．
故答案为：．
7．已知函数，则的单调递增区间为 .
【答案】，
【详解】当时，，
函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为；
当时，，
函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为.
综上，的单调递增区间为，.
故答案为：，
8．函数的单调递减区间为 ．
【答案】
【详解】令，解得，
设，，
外函数为增函数，则复合函数的减区间即为内函数的减区间，
，对称轴为，其开口向下，故其减区间为.
故答案为：.
9．已知函数
(1)求实数a值；
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)求函数的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)增区间是，单调递减区间是和
【详解】（1）由条件可知，，得；
（2），
设，
，
，
因为，所以，，且，则，
所以，
所以，即，
所以函数在上单调递增；
（3）由（2）可知，，
当时，，，，则，
所以，，即，
所以函数在上单调递减，
当，，，，则，
所以，，即，
所以函数在上单调递减，
综上可知，函数的增区间是，单调递减区间是和.
10．已知函数，
(1)画出函数的图象；
(2)求的值；
(3)写出函数的单调区间．
【答案】(1)作图见解析
(2)
(3)单调递减区间：和；单调递增区间为：和.
【详解】（1）如图所示：
（2）；
（3）由（1）得到的图象可知，的单调递减区间为和．
单调递增区间为：和.
题型二：利用函数单调性的性质解不等式
11．已知函数，且的最大值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得函数的对称轴方程为，
当时，在上单调递减，则，不符合题意；
当时，要使的最大值为，则，即，
解得（舍去），或，
所以实数的取值范围是，
故选：C.
12．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令，
因为对，且，都有成立，
不妨设，则，故，则，即，
所以在上单调递增，
又因为，所以，故可化为，
所以由的单调性可得，即不等式的解集为.
故选：A.
13．定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为对任意的，且，都有，
即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有，
所以有，设函数，
则函数在上单调递减，且.
当时，不等式等价于，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C
14．已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．
D．满足不等式的的取值范围是
【答案】ABD
【详解】A选项，令得，∴，A正确；
B选项，任选，且，中，令，得，
因为当时，，又，所以，
故，
所以在定义域上单调递增，B正确；
C选项，中，令得，
故，
故，C错误；
D选项，因为，所以，中，令得，
∵，∴，
由于在定义域上单调递增，故，解得，D正确.
故选：ABD
15．已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（ ）
A．
B．函数在区间为增函数
C．函数在区间为增函数
D．
【答案】ABD
【详解】依题意，当时，恒有，
令则，
即，所以，故A正确；
不妨设，设，
则，
因为，所以，
所以，
所以在为增函数，故B正确；
设，的符号无法判断，
所以的单调性无法判断，故C错误；
由上述判断可知，函数在为增函数，
所以，所以，
所以，
同理，所以，
所以，
所以，故D正确；
故选：ABD.
16．“求方程的解”有如下解题思路：设，则是上的严格减函数，且，所以原方程有唯一解，类比上述解题思路，可得不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】不等式变形为：，
令，则，
考察函数，知为上的严格增函数，
所以由，得，
所以不等式，可化为，解得，
故答案为：
17．已知函数的定义域是且，当时，，且，满足不等式的的取值范围为 .
【答案】
【详解】解：，
任取，则，
因为时，，所以，
，
故，
所以，因此在递减，
不等式，即，
，
故答案为：
18．已知函数，且，.
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性并用单调性的定义证明你的判断；
(3)若不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)在上的单调递增；证明见解析
(3)
【详解】（1）因为函数，且，，
所以，解得，所以；
（2）函数在上单调递增，理由如下：
，且，
，
因为，，所以，，
所以，所以，所以，
所以在上的单调递增；
（3）由（1）可得，解得，解得或，
所以，
又因为，由，可得，
由（2）可知在上的单调递增；
所以，解得或，
所以的取值范围为.
19．已知函数，.
(1)判断函数的单调性，并证明：
(2)解不等式：.
【答案】(1)增函数，证明见解析
(2).
【详解】（1）任取、且，即，
，
因为，则，，
，即，
所以函数在区间上是增函数；
（2）由（1）可知函数在区间上是增函数，且，
因此由可得.
因此，不等式的解集为.
20．设函数，已知.
(1)求m的值；
(2)若存在实数，使得在区间上的值域为，求的取值范围；
(3)若k取满足（2）中条件的k的最小值，求不等式的解集
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）∵，
∴，即，
∴，∴.
（2）由（1）知，则在上单调递增，
∵在区间上的值域为，
∴，.
∴方程有两个不相等的实根，则且，
∴方程在上有两个不相等的实根.
∴
解得，
∴k的取值范围是 .
（3）由题意知，.
由，得，
整理得.
设函数，则在上单调递增，注意到，
∴原不等式等价于.
由，解得或，由，解得，
∴原不等式的解集为.
题型三：已知函数的奇偶性求表达式
21．对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在三对“隐对称点”，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由“隐对称点”的定义可知，
函数的图象上存在关于原点对称的点，
设的图象与图象关于原点对称，
设，则，即 ，
所以，
故函数的图象与的图象有3个交点，
如图①所示，，
当时，，即有两个交点，如图②所示，
且，当且仅当时取等号，
所以，
当时，，即有一个交点，
因为函数在单调递增，即,
综上所示，.
故选：B.
22．定义在的奇函数，当时，，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为是的奇函数，
且当时，，
则时，，
所以，
对于不等式，
则当时，则，
故，
当时，则，
故，
综上知，的取值范围是.
故选：B.
23．已知定义在上的奇函数，当时，．若对于任意的实数有成立，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】；当时，时，；当时，；
故，
当时，，则，
综上所述：，
画出函数图像，如图所示：
根据图像知：，即，故.
故选：C.
24．已知是定义在上的奇函数，且当时，，对任意的，不等式恒成立，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵是定义在上的奇函数，且当 时，
∴当，有，，
∴，即，
∴，
∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足，
∵不等式在恒成立，
∴在恒成立，
∴在恒成立，
∴
解得，则实数t的取值范围是，
故选：C
25．下列命题中正确的是（ ）
A．若幂函数的图像过点，则
B．若函数在R上单调递增，则的取值范围是
C．已知，，且，则的最小值为
D．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则的解析式为
【答案】AC
【详解】对于A，，将代入得，，解得，故，故A正确；
对于B，当时，，
其图象如下：
满足在R上单调递增，故B错误；
对于C，已知，，且，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
则的最小值为，故C正确；
对于D，函数是定义在R上的奇函数，且当时，，
当时，，所以，
又因为，所以，
当时，，
所以的解析式为，故D错误，
故选：AC.
26．下列命题是真命题的是（ ）
A．函数与是同一函数
B．函数是定义在上的奇函数，若时，，则时，
C．不等式的解集是
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】CD
【详解】A选项，函数的定义域为，函数的定义域是，
所以不是同一函数，所以A选项错误，
B选项，当时，，所以，
所以B选项错误.
C选项，不等式等价于，解得或，
所以不等式的解集为，所以C选项正确.
D选项，等价于“且”，
所以则“”是“”的必要不充分条件，D选项正确.
故选：CD
27．已知函数是奇函数，函数为偶函数，若，则 .
【答案】
【详解】因为函数是奇函数，函数为偶函数，且①，
所以，，即②，
联立①②得，，故.
故答案为：.
28．是定义在上的奇函数，且当时，．则时， ；不等式的解集是 ．
【答案】
【详解】当时，，
所以，因为是奇函数，
所以，所以，
所以时，；
由可得：，
当时，在上单调递增，
因为是奇函数，所以在上单调递增，
所以，所以.
故答案为：；.
29．已知函数是偶函数，当时，，若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【详解】）设，则，则，因为为偶函数，
所以，所以，作出的图象如图：
因为函数在区间上具有单调性，
由图可得或，解得或，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
30．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，当时，，
任取，则，所以，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，，
综上，；
（2）当时，，所以在上单调递增；
因为函数是定义在上的奇函数，所以函数在上单调递增，
所以可化为：
即，解得：，即实数的取值范围是.
题型四：抽象函数的奇偶性问题
31．若定义上的函数满足：对任意有若的最大值和最小值分别为，则的值为（ ）
A．2022 B．2018 C．4036 D．4044
【答案】D
【详解】对任意有，则令，
令，
令，则，故为上的奇函数，
故.
故选：D.
32．已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，，
当时，，可得，
当时，，可得，
函数是定义在上且不恒为零的函数，
令，可得，则函数是奇函数，
令，,
得，所以，
所以.
故选：.
33．设函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且图象过原点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数向右平移1个单位得到函数，
由题意可知，函数关于直线对称，函数的定义域为，
因为在区间上是减函数，所以在区间上是增函数，
且，根据对称性可知，，在区间，
在区间，，
上图是满足函数性质的图象，
不等式，等价于或，即或，
得或，
所以不等式的解集为.
故选：C
34．若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，
所以当时，，
当时，.
所以由可得：或或,
解得或或，即或.
所以满足的的取值范围是.
故选：D.
35．已知函数的定义域为，且对任意的实数x，y，都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为偶函数
C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A，因为，
令，，则，
又，所以，故A错误；
对于B，因为函数的定义域为，
又令，得，
所以，所以为偶函数，故B正确；
对于C，令，则，
即，所以，故C正确；
对于D，令，得，
所以，
所以当时，得，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，故D正确.
故选：BCD.
36．已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．是偶函数
【答案】ABC
【详解】对于A选项，令，则，即，A正确；
对于B选项，令，则，令，则，则，故.B正确；
对于C选项，是奇函数，C正确；
对于D选项，是非奇非偶函数，D不正确.
故选：ABC.
37．已知函数对任意的，有，设函数，且在区间上单调递增.若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为函数对任意的，有，又，
则，
所以函数为奇函数，
因为在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，又函数为奇函数，
所以在区间上单调递增，
所以不等式，可化为，
所以，解得，
故答案为：.
38．已知偶函数在上是严格减函数，.则不等式的解集为 .
【答案】
【详解】因为函数为偶函数，且，所以，
又因为函数在上单调递减，且，
所以不等式可化为，解得：；
因为函数为偶函数，且函数在上单调递减，
所以函数在上单调递增，
当时，不等式可化为，解得：，
综上：原不等式的解集为：，
故答案为：.
39．已知函数在定义域R上单调递增，且对任意的x，y都满足.
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)若对所有的均成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析；
(2)实数m的取值范围为.
【详解】（1）函数是奇函数．证明如下：
因为对任意的x，y都满足，令，则，即，所以是奇函数；
（2）因为当时，恒成立，由(1)可得当时恒成立，又因为在定义域上单调递增，所以当时，恒成立，
因为，所以，
所以恒成立，
所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以，所以，
所以实数m的取值范围为.
40．已知函数的定义域为，且，，.
(1)求和值；
(2)判断的奇偶性，并证明；
(3)若，则，求的解集.
【答案】(1)，
(2)是偶函数，证明见解析
(3)
【详解】（1）令，得，得.
令，得，得.
（2）是偶函数，
理由如下：的定义域关于原点对称，
令，得，得，
所以是偶函数；
（3）由，得，
，，且，则.
因为，所以，所以，即，
所以在上单调递增，又是偶函数，所以在上单调递减.
由，得
解得，且.
故的解集为.
1
