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专题01 函数的概念及其表示
题型一：抽象函数求定义域
题型二：求函数的值域
题型三：分段函数求值、不等式问题
题型四：求函数的解析式
题型一：抽象函数求定义域
1．已知函数的定义域为，值域为，则（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的定义域和值域都是
D．函数的定义域和值域都是
【答案】B
【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误；
对于B选项：因为的值域为，所以的值域为，可得向下平移两个单位的函数的值域也为，故B选项正确；
对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误；
对于D选项：若函数的值域为，则，此时无法判断其定义域是否为，故D选项错误.
故选：B
2．函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由于的定义域为，故，
因此的定义域满足，解得且，
故定义域为，
故选：C
3．下列说法错误的是（ ）
A．已知函数，则
B．与是同一函数
C．若函数的定义域是，则函数的定义域是
D．函数的值域为
【答案】C
【详解】对于A，，令，而方程有实数解，所以，A正确；
对于B，函数的定义域相同，对应法则相同，它们是同一函数，B正确；
对于C，在函数中，，则，于是在函数中，，
解得，所以函数的定义域是，C错误；
对于D，函数中，，解得或，
的取值集合是，因此函数的值域为，D正确.
故选：C
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为的定义域为，所以在中，，则，
则在中，，则．
又，所以的定义域为．
故选：B.
5．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，都有”的否定是“，使得”
B．若，则
C．与表示同一函数
D．函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】AD
【详解】对于A，由全称命题的否定是特称可得命题“，都有”的否定是“，使得”，故A正确；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，当时，无意义，而，故C错误；
对于D，因为函数的定义域为，所以，
即，解得，所以函数的定义域为，故D正确；
故选：AD.
6．下列说法正确的是（ ）
A．与表示同一个函数
B．方程 有且仅有一个根，则实数的值为
C．函数的值域为
D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】AD
【详解】对于选项A：由，解得，所以的定义域为，
由，解得，所以的定义域为，
且，
故两函数有相同的定义域及对应关系，表示同一个函数，故A正确；
对于选项B：若，方程 有且仅有一个根，符合题意，故B错误；
对于选项C：令，则，
可得，
因为函数在上单调递增，
当时，，可得，所以函数的值域为，故C错误；
对于选项D：因为函数的定义域为，所以，解得，
所以函数的定义域为，故D正确；
故选：AD.
7．若函数的定义域为，则函数的定义域是
【答案】
【详解】由题意可得：，
解得：，
所以定义域是，
故答案为：
8．若函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【详解】由题可知，对于函数满足，所以，
所以对于函数有，所以，
所以函数定义域为.
故答案为：.
9．已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【答案】答案见解析
【详解】由题意，，即.
当或，即或时，不存在，
即的定义域为，不满足函数定义，函数无意义；
当，即时，，的定义域为；
当，即时，，的定义域为；
当时，即时，，故的定义域为；
当时，即时，，故的定义域为．
综上：
①当或时，的定义域为；
②当时，的定义域为；
③当时，的定义域为；
④当或时，函数定义域为，不存在．
10．（1）已知函数的定义域是，求函数的定义域．
（2）已知函数的定义域是，求函数的定义域．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）由题意，，则，
解得或，
因此函数的定义域为．
（2）由题意，的定义域为，即，
所以有，，
故函数的定义域为．
题型二：求函数的值域
11．满足的实数对，构成的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】C
【详解】由，又，
则，所以在单调递增，
故值域为，
即是的两根，解得，
当时，点为，
当时，点为，
当时，点为.
故选：C
12．已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（ ）
A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5
【答案】D
【详解】函数的定义域为A，值域为B，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，；
所以，又，
所以若，解得或，因为，所以.
此时，所以，则；
若，又，所以不成立.
综上，.
故选：D.
13．函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则，
所以，
因为，在上单调递增，所以当时，，
当时，，
所以函数，的值域是，
故选：D.
14．已知函数，则该函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，则，解得，
所以函数的定义域为，
则，因为，所以，
所以，则，所以，
显然，所以，即该函数的值域为.
故选：D
15．已知集合，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】函数中，则，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，则，故C正确；
对于D，集合A的元素是数，集合的元素是有序实数对，因此，故D正确.
故选：BCD.
16．与函数值域相同的函数有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】当时，函数，当且仅当时，等号成立，则的值域为，
对于A，函数，当时有最小值，故其值域为，故A正确；
对于B，因为，则，则的值域为，故B错误；
对于C，因为，所以，
当且仅当时，等号成立，故的值域为，故C正确；
对于D，当时，函数，其值域为，故D错误．
故选：AC.
17．下列函数值域是的为（ ）
A． B．
C． D．，
【答案】AB
【详解】对A，因为，所以，A正确；
对B，因为，所以，B正确；
对C，，C错误；
对D，，
因为，所以，，
所以，D错误.
故选：AB.
18．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）
A．若为的跟随区间，则
B．函数不存在跟随区间
C．是函数的一个跟随区间
D．二次函数存在“倍跟随区间”
【答案】BCD
【详解】对于A，在上单调递增，的值域为，
，解得：（舍）或，A错误；
对于B，在，上单调递增，
若存在跟随区间，则，即为方程的两根，
即，无解，不存在跟随区间，B正确；
对于C，，
当时，；又，，，
在上的值域为，即是的一个跟随区间，C正确；
对于D，若存在“倍跟随区间”，则其值域为；
当时，在上单调递增，，
则是方程的两根，解得：或，即，，
是的一个“倍跟随区间”，D正确.
故选：BCD.
19．求下列函数的值域：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的值域为.
（2）令，则，
可得，
当时，等号成立，
所以函数的值域为.
（3）因为，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
即，所以函数的值域为.
20．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆．建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声．现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，，建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．
(1)求的值；
(2)若在此地块上建一座图书馆，其平面图为直角梯形（如图2，点在上，点在上，点在曲线上，），求图书馆平面图周长的最大值．
【答案】(1)2
(2)17
【详解】（1）因为为一次函数，，则，
所以的函数解析式为，
所以，
由图象知，的图象经过点，则，解得.
（2）由（1）得，，的函数解析式为，
设，则，，
所以，，，
设直角梯形周长为，
所以，
令，
所以，
所以当，即时，周长有最大值，最大值为17.
所以图书馆平面图周长的最大值为17.
题型三：分段函数求值、不等式问题
21．已知函数若实数满足且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示：
因为且，
从图像可得，
因为，所以，即，
因为，所以，
则，
所以的取值范围为，
故选：C.
22．如果函数那么（ ）
A．2020 B．2021 C．2023 D．2025
【答案】B
【详解】记，，
根据可得，
，
而，
，，
，
，
，
所以的周期为5，取值分别为2023，2024，2020，2021，2022，
.
故选：B
23．设函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】函数，则，
不等式，当时，，解得，因此；
当时，，即，解得或，因此或，
所以不等式的解集是.
故选：B
24．设，定义符号函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于选项A，，，故，故A不正确；
对于选项B，，，故，故B不正确；
对于选项C， ，，故，故C不正确；
对于选项D，，，故，故D正确.
故选：D.
25．下列选项中正确的有（ ）
A．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为
B．与表示同一函数
C．函数的图象与直线的交点最多有1个
D．若函数，则5
【答案】ACD
【详解】对A，设，则，
即，解得或，故A正确；
对B，定义域为，定义域为，所以不是同一函数，故B错误；
对C，当在的定义域内时，函数的图象与直线有一个交点，
当不在的定义域内时，函数的图象与直线没有交点，故C正确；
对D，由解析式，故D正确.
故选：ACD
26．已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A． B．若，则x的值是
C．的解集为 D．的值域为
【答案】ABD
【详解】对于A，因为，则，
所以，故A正确；
对于B，当时，，解得：（舍）；
当时，，解得：（舍）或；
的解为， 故B正确；
对于C，当时，，解得：；
当时，，解得：；
的解集为，故C错误；
对于D，当时，；
当时，；
的值域为， 故D正确.
故选：ABD.
27．，用表示，的较小者，记为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数有最小值，无最大值
C．不等式的解集是
D．若a，b，c是方程的三个不同的实数解，则
【答案】ACD
【详解】注意到或，.
则.
A选项，，故A正确.
B选项，由可知无最小值，无最大值，故B错误；
C选项，当时，；
当时，不存在.
综上，不等式的解集是，故C正确；
D选项，当时，；
当时，，
则，故D正确.
故选：ACD
28．（1）已知是一次函数，且满足，求；
（2）已知，求；
（3）已知函数，求；
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）令，又，
所以，
所以，故；
（2）由题设，联立，
所以，则，故；
（3）由题设，时，时，时，
所以.
29．已知函数
(1)求的值；
(2)若，求实数的值；
(3)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)或；
(3).
【详解】（1）依题意，，而,
所以.
（2）当时，，解得，不合题意；
当时，，即，而，则；
当时，，解得，符合题意，
所以当时，或.
（3）由，得或或，
解得或或或,
所以实数的取值范围是.
30．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线右侧的图形的面积为函数．
(1)求的解析式；
(2)已知时，．若正实数满足，求的最小值．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）当时，，
当时，；
当时，；
综上所述
（2）由（1）知，当时，，或-1（舍去）；
当时，，或3（舍去）；
所以．
，
都是正实数，，
当且仅当，即，时，等号成立，
取最小值，的最小值为．
题型四：求函数的解析式
31．设函数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，
所以 ，解得：，，
所以.
故选：D
32．设函数为一次函数，且，则（ ）
A．3或1 B．1 C．1或 D．或1
【答案】B
【详解】设一次函数，
则，
，
，
解得或，
或，
或.
故选：B.
33．已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令，则，，
∴，
∴.
故选：B.
34．设函数，记，，…，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数，
则，
，
，
，
所以
故选：A
35．已知，则函数的解析式为（ ）
A． B．（）
C．（） D．（）
【答案】C
【详解】设（），则，
，
所以（），
故选：C.
36．已知定义域为，则错误的是（ ）
A． B．
C．， D．函数的定义域为
【答案】ABD
【详解】已知，设，则.
因为，所以.
那么，化简可得，，即，.
当时，，所以无定义，A选项错误.
当时，，所以无定义，B选项错误.
由前面的计算可知，，C选项正确.
对于函数，因为的定义域为，所以.
解不等式得，所以函数的定义域为，D选项错误.
故选：ABD.
37．下列说法正确的是（ ）
A．已知，则
B．已知，则
C．已知一次函数满足，则
D．定义在上的函数满足，则
【答案】AD
【详解】对于A选项，若，则，A对；
对于B选项，若，令，则且，
所以，，故，B错；
对于C选项，因为一次函数满足，设，
则，
所以，，解得或，
因此，或，C错；
对于D选项，定义在上的函数满足①，
可得②，
由①②可得，D对.
故选：AD.
38．下列选项中正确的有（ ）
A．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为
B．与表示同一函数
C．函数的值域为
D．定义在上的函数满足，则
【答案】ACD
【详解】对A，设，则，
即，解得或，
所以的解析式可能为，故A正确；
对B，定义域为，定义域为，
两者定义域不同，所以不是同一函数，故B错误；
对于C，因为，
则函数，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的值域为，故C正确.
对于D，因为定义在上的函数满足①，
用替换可得②，
由①+②，得，所以，故D正确.
故选：ACD.
39．已知
(1)求出的函数解析式
(2)若是一次函数，，用表示和的最大者，求的解析式
【答案】(1)
(2)；
【详解】（1）因为，
所以，，解得，，
则，故的函数解析式为.
（2）由题意得是一次函数，设，
因为，所以，，
解得，则，令，
解得，令，解得，
而用表示和的最大者，
故.
40．（1）已知，求；
（2）已知为二次函数，且，求．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）法一，设，则，得到，
所以，故.
解法二：因为，
所以.
（2）设，
则，
又因为，
所以，解得，
所以．
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专题01 函数的概念及其表示
题型一：抽象函数求定义域
题型二：求函数的值域
题型三：分段函数求值、不等式问题
题型四：求函数的解析式
题型一：抽象函数求定义域
1．已知函数的定义域为，值域为，则（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的定义域和值域都是
D．函数的定义域和值域都是
2．函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法错误的是（ ）
A．已知函数，则
B．与是同一函数
C．若函数的定义域是，则函数的定义域是
D．函数的值域为
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，都有”的否定是“，使得”
B．若，则
C．与表示同一函数
D．函数的定义域为，则函数的定义域为
6．下列说法正确的是（ ）
A．与表示同一个函数
B．方程 有且仅有一个根，则实数的值为
C．函数的值域为
D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
7．若函数的定义域为，则函数的定义域是
8．若函数的定义域为，则函数的定义域为 .
9．已知函数的定义域为，求函数的定义域．
10．（1）已知函数的定义域是，求函数的定义域．
（2）已知函数的定义域是，求函数的定义域．
题型二：求函数的值域
11．满足的实数对，构成的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
12．已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（ ）
A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5
13．函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数，则该函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
15．已知集合，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．与函数值域相同的函数有（ ）
A． B．
C． D．
17．下列函数值域是的为（ ）
A． B．
C． D．，
18．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）
A．若为的跟随区间，则
B．函数不存在跟随区间
C．是函数的一个跟随区间
D．二次函数存在“倍跟随区间”
19．求下列函数的值域：
(1)
(2)
(3)
20．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆．建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声．现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，，建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．
(1)求的值；
(2)若在此地块上建一座图书馆，其平面图为直角梯形（如图2，点在上，点在上，点在曲线上，），求图书馆平面图周长的最大值．
题型三：分段函数求值、不等式问题
21．已知函数若实数满足且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
22．如果函数那么（ ）
A．2020 B．2021 C．2023 D．2025
23．设函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
24．设，定义符号函数，则（ ）
A． B． C． D．
25．下列选项中正确的有（ ）
A．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为
B．与表示同一函数
C．函数的图象与直线的交点最多有1个
D．若函数，则5
26．已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A． B．若，则x的值是
C．的解集为 D．的值域为
27．，用表示，的较小者，记为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数有最小值，无最大值
C．不等式的解集是
D．若a，b，c是方程的三个不同的实数解，则
28．（1）已知是一次函数，且满足，求；
（2）已知，求；
（3）已知函数，求；
29．已知函数
(1)求的值；
(2)若，求实数的值；
(3)若，求实数的取值范围．
30．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线右侧的图形的面积为函数．
(1)求的解析式；
(2)已知时，．若正实数满足，求的最小值．
题型四：求函数的解析式
31．设函数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
32．设函数为一次函数，且，则（ ）
A．3或1 B．1 C．1或 D．或1
33．已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
34．设函数，记，，…，，则（ ）
A． B．
C． D．
35．已知，则函数的解析式为（ ）
A． B．（）
C．（） D．（）
36．已知定义域为，则错误的是（ ）
A． B．
C．， D．函数的定义域为
37．下列说法正确的是（ ）
A．已知，则
B．已知，则
C．已知一次函数满足，则
D．定义在上的函数满足，则
38．下列选项中正确的有（ ）
A．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为
B．与表示同一函数
C．函数的值域为
D．定义在上的函数满足，则
39．已知
(1)求出的函数解析式
(2)若是一次函数，，用表示和的最大者，求的解析式
40．（1）已知，求；
（2）已知为二次函数，且，求．
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