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专题03 幂函数及函数的应用(一）
题型一：求幂函数的定义域、值域及解析式
题型二：幂函数图像过定点问题
题型三：利用幂函数的单调性求解不等式问题
题型四：由幂函数的单调性比较大小
题型五：二次函数模型
题型六：分段函数模型
题型一：求幂函数的定义域、值域及解析式
1．已知幂函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为幂函数是增函数，且定义域为，
由得，解得.
所以实数a的取值范围是
故选：B
2．若,则不等式的解集是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由得是定义在上的增函数,
则由不等式得,解得:.
故选:A.
3．已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设，因为的图象过点，
所以，解得，即，
可得在上单调递减，
则函数，
由，解得或，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故选：A.
4．已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（ ）
A．定义域为 B．值域为
C．奇函数 D．减函数
【答案】C
【详解】因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以.
对A、B：因为，定义域为，值域为，故A错误，故B错误；
对C：，即为奇函数，故C正确；
对D：在区间，上单调递减，由可知在定义域上不是减函数，故D错误.
故选：C
5．若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意：函数是一个复合函数，要使值域为，
则函数的值域要包括，即最小值要小于等于．
当时，显然不成立，
所以，当时，则有，解得，
所以的取值范围是.
故选：B．
6．设函数，则（ ）
A．存在实数，使的定义域为R
B．若函数在区间上递增，则
C．函数一定有最小值
D．对任意的负实数，的值域为
【答案】ABC
【详解】A选项：函数，当时，即时，其定义域为，故A选项正确；
B选项：当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，不成立；
当，即时，，在上单调递增，满足在区间上递增，成立；
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，故，且，即；综上所述，若函数在区间上递增，，故B选项正确；
C选项：由恒成立，，
当时，，时取最小值为；
当且时，在或时取最小值为；当时，，时取最小值为；
当时，在或时取最小值为；故C选项正确；
D选项：当时，，其值域为，
当且时，在时取最大值为，其值域为，故D选项错误；
故选：ABC.
7．已知幂函数，则（ ）
A． B．定义域为
C． D．
【答案】AC
【详解】为幂函数，，得，A对；
函数的定义域为，B错误；
由于在上为增函数，，C对；
，，D错误，
故选：AC.
8．已知幂函数．
(1)若的定义域为R，求的解析式；
(2)若为奇函数，，使成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，
解得或，
当时，，定义域为，符合题意；
当时，，定义域为，不符合题意；
所以；
（2）由（1）可知为奇函数时，，
，使成立，即，使成立，
所以，使成立，
令，则，
且，则
，
因为，
所以，
所以，即，
所以在上是减函数，
所以，
所以，解得，
所以实数k的取值范围是
9．已知幂函数，且在区间上单调递减.
(1)求的解析式及定义域；
(2)设函数，求证：在上单调递减.
【答案】(1)，定义域为.
(2)证明见解析
【详解】（1）因为幂函数，在区间上单调递减，
所以，解得或，
所以，定义域为.
（2）由（1）知函数，
设，则
因为，所以，
所以，即，
所以在上单调递减.
10．已知幂函数(m∈N＋)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数f(x)经过点，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
【答案】(1)；增函数；
(2)m＝1；.
【详解】（1）∵m2＋m＝m(m＋1)(m∈N＋)，而m与m＋1中必有一个为偶数，
∴m2＋m为偶数，
∴函数(m∈N＋)的定义域为，并且该函数在上为增函数．
（2）∵函数f(x)经过点，∴，即，
解得m＝1或m＝－2，
又∵m∈N＋，∴m＝1，.
又∵f(2－a)>f(a－1)，所以，解得.
故函数f(x)经过点时，m＝1；满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为.
题型二：幂函数图像过定点问题
11．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图像是一条直线；
B．幂函数的图像都经过和点；
C．幂函数的定义域为；
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．
【答案】D
【详解】解：对于A，时，函数的图像是一条直线除去点，故错误；
对于B，幂函数的图像都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误；
对于C，函数，故定义域为，故错误；
对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确.
故选：D.
12．下列命题正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过、两点
B．当时，函数的图象是一条直线
C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同
D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点
【答案】D
【详解】解：对于A: 幂函数的图象都经过点，当时，不过点，故A不正确；
对于B：当时，幂函数的图象是一条直线，除去点，故B不正确；
对于C：当两个幂函数的图象有三个交点，如与有三个交点，这两个函数不相同，故C不正确；
对于D：因为幂函数的图象都经过点且为偶函数时，所以图象一定经过点，故D正确.
故选：D.
13．已知幂函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象都经过点
B．函数的图象不经过第四象限
C．若，则函数在上单调递增
D．若，则对任意实数，有
【答案】BCD
【详解】A选项，当时，，不经过原点，A错误；
B选项，当时，，故图象不经过第四象限，B正确；
C选项，若，则函数在上单调递增，C正确；
D选项，，，
，
故
，当且仅当时，等号成立，
故，D正确.
故选：BCD
14．约定：如果一个函数的图象上存在一个点，该点的横坐标和纵坐标相等，那么就称该点为该函数的一个回归点，称该函数是一个具有回归点的函数.如果一个函数有且仅有个回归点，那么就称该函数为一个具有个回归点的函数.例如，点和都是函数的回归点，函数是一个具有两个回归点的函数.根据约定，下列选项中正确的是（ ）
A．函数是一个具有回归点的函数
B．具有回归点的函数有无数个
C．存在无数个具有无数个回归点的函数
D．已知点是函数的一个回归点，则点也是函数的一个回归点
【答案】ABC
【详解】A.令，解得，函数是一个具有回归点的函数，且回归点为；
B. 具有回归点的函数有无数个，如幂函数是回归函数,都至少存在回归点（1，1）；
C. 存在无数个具有无数个回归点的函数，如函数，，且，则其图像上的任何一个点都是回归点；
D. 已知点是函数的一个回归点，对于，是函数的一个回归点，但不是函数的一个回归点，排除.
故选：ABC.
15．关于幂函数，下列命题正确的是 （填序号）．
①当时，图象是一条直线； ②图象都过点和；
③若是奇函数，则一定是增函数； ④图象不可能出现在第四象限．
【答案】④
【详解】对于①，当时，函数的定义域为，即，
故当时，图象是两条射线，①错；
对于②，当时，函数的图象不过点，②错；
对于③，函数为奇函数，该函数在、上均为减函数，③错；
对于④，因为幂函数在第一象限有图象，若该函数在第四象限有图象，这与函数的定义相矛盾，
故函数图象不可能出现在第四象限，④对.
故答案为：④.
16．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过，两点
C．幂函数图象不可能在第四象限内
D．若幂函数为奇函数，则是定义域内的严格增函数
【答案】C
【详解】对A，当时，函数的图象是一条直线除去点，所以A项不正确；
对B，幂函数的幂指数小于0时，图象不经过，所以B项不正确；
对C，幂函数的图象不可能在第四象限内，所以C项正确；
对D，当时，幂函数为奇函数，但在定义域内不是严格的增函数，所以D项不正确；
故选：C.
17．下列命题中正确的是（ ）
①幂函数的图象都经过点和点；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③当时，函数的图象是一条直线；
④幂函数当是增函数；
⑤当时，且当时，幂函数值随值的增大而减少.
A．①④ B．④⑤ C．②③ D．②⑤
【答案】D
【详解】对于①，当时，幂函数的图象不过原点，①错；
对于②，因为幂函数在第一象限有图象，若幂函数在第四象限有图象，
则存在，使得有两个值与之对应，与函数的定义矛盾，
故幂函数在第四象限没有图象，②对；
对于③，当时，对于函数，则，
且当时，，即幂函数的图象为两条射线，③错；
对于④，当时，在上为减函数，在上为增函数，④错；
对于⑤，当时，且当时，幂函数值随值的增大而减少，⑤对.
故选：D.
18．下列关于幂函数的命题中正确的有（ ）
A．幂函数图象都通过点
B．当幂指数时，幂函数的图象都经过第一、三象限
C．当幂指数时，幂函数是增函数
D．若，则函数图象不通过点
【答案】B
【详解】对于A，当时，幂函数图象不通过点，A错误；
对于B，幂指数时，幂函数分别为 ，三者皆为奇函数，
图象都经过第一、三象限，故B正确；
对于C，当时，幂函数在上皆单调递减，C错误；
对于D，若，则函数图象不通过点，通过点，D错误，
故选：B
19．下列命题正确的是（ ）
A．的图像是一条直线
B．幂函数的图像都经过点
C．若幂函数是奇函数，则是增函数
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限
【答案】D
【详解】对于，函数的图象是一条直线除去点，故错误；对于，幂函数的图象都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故错误；对于，若幂函数是奇函数，且时，是定义域上的增函数，时，在及上均为减函数，故错误；由幂函数的性质，幂函数的图象一定过第一象限，不可能出现在第四象限，正确，故选D.
20．下列关于幂函数说法不正确的是（ ）
A．一定是单调函数 B．可能是非奇非偶函数
C．图像必过点 D．图像不会位于第三象限
【答案】AD
【详解】幂函数的解析式为.
当时，，此函数先单调递减再单调递增，
则都是单调函数不成立，A选项错误；
当时，，定义域为，此函数为偶函数，
当时，，定义域为，此函数为非奇非偶函数，
所以可能是非奇非偶函数，B选项正确；
当时，无论取何值，都有，
图像必过点，C选项正确；
当时， 图像经过一三象限，D选项错误.
故选：AD.
题型三：利用幂函数的单调性求解不等式问题
21．若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】①若且时，不等式成立，此时
②若，此时不等式组的解为；
③若，不等式组无解，
综上，实数a的取值范围是.
故选：A.
22．已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，因为的定义域为关于原点对称，且，
所以是上的奇函数，
注意到幂函数都是上的增函数，
所以是上的增函数，
而，
所以，解得，
综上所述，的取值范围是.
故选：A.
23．“幂函数在上单调递减”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．充要条件
【答案】C
【详解】若是幂函数，则，
解得或，当时，，
由反比例函数性质得在上单调递减，
当时，，
由幂函数性质得在上单调递减，
故在上单调递减时，或，
即当在上单调递减时，无法推出，充分性不成立，
当时，可以推出在上单调递减，必要性成立，
综上，在上单调递减是的必要不充分条件，故C正确.
故选：C
24．已知幂函数为奇函数，且在区间上单调递增，则等于（ ）
A．1 B．2 C．1或3 D．3
【答案】C
【详解】因为在区间上单调递增，所以，解得，
又因为，所以，且为奇函数，所以，
故选：C.
25．幂函数在上单调递减，则等于（ ）
A． B．3 C．或3 D．
【答案】A
【详解】因为为幂函数，
所以，解得或，
当时，在上单调递减，符合题意，
当时，在上单调递增，不符合题意，
所以.
故选：.
26．下列说法正确的是（ ）
A．已知幂函数在上单调递减，则
B．函数在定义域内为增函数，则实数的取值范围是
C．已知，，，则恒成立
D．已知函数为奇函数，则的图象关于点中心对称
【答案】AC
【详解】对于A，依题意，，解得，A正确；
对于B，依题意，，解得，B错误；
对于C，依题意，
，C正确；
对于D，依题意，，，
即，令，则，，
所以的图象关于点中心对称，D错误.
故选：AC
27．已知函数是在上的减函数，则实数的取值可以是（ ）
A．4 B．5 C． D．7
【答案】AB
【详解】解：因为函数是在上的减函数，
所以，解之得，所以的取值可以是4，5.
故选：AB.
28．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．当时， D．当时，
【答案】ACD
【详解】解：设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，
因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
当时，，故C正确，
当时，，
又，所以，D正确．
故选：ACD.
29．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】BC
【详解】由于函数为幂函数，故，即，解得.当时，，当时，.由于“对任意，且，满足”知，函数在上为增函数，故.
易见，故函数是单调递增的奇函数.
由于，即，得，所以，此时，若当时，，故；当时，，故，故；当时，由知，，故或或，即或或.
综上可知，，且或或.
故选：BC.
30．已知幂函数在上单调递减.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围；
(3)设，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)2
【详解】（1）由是幂函数，得，解得或，
当时，，在上单调递增，不合题意；
当时，，在上单调递减，符合题意，
所以．
（2）若，即，
∵函数在上单调递增，
∴，解得．
（3），则，，
∵，
∴，当且仅当取等号，
∴的最大值为2．
题型四：由幂函数的单调性比较大小
31．幂函数的图象与坐标轴有交点，且，则的值（ ）
A．无法判断 B．等于0 C．恒小于0 D．恒大于0
【答案】D
【详解】由，解得或.
当时，；当时，.
因为函数的图象与坐标轴有交点，故.
又，所以，
因为为在R上单调递增的奇函数，
所以，即.
故选：D
32．若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于A，取，满足，但，故A错误；
对于B，因为幂函数在定义域内单调递增，又，所以，故B正确；
对于C，取，满足，但，故C错误；
对于D，取，满足，则，故D错误.
故选：B.
33．幂函数在区间上单调递增，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【答案】A
【详解】由函数是幂函数，可得，解得或.
当时，；当时，.
因为函数在上是单调递增函数，故.
又，所以，所以，则.
故选：A.
34．设，，则下列不等式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解析：因为在上是增函数，所以，故A正确；
因为在上是减函数，所以，故B正确；
当时，，所以C错误；
因为；所以.故D正确.
故选：C.
35．已知函数那么不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】若，
当时，；当时，；
当，令，整理可得，
且，可得，即，
分别作出和的图象，
结合图象可知不等式的解集为.
故选：C.
36．若对任意，都有成立，则的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】显然当或时，，则，不满足题意，
若，则也不满足题意，
只有适合，实际上，此时， ，，
故选：A．
37．山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆.在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试.若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，不等式恒成立，且，设为“立冬函数”，则满足“立冬函数”的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数在上单调递增，，则，即，
由，得，即，
又函数在上单调递增，因此，于是函数在上单调递减，
而函数是上的奇函数，则函数在上单调递减，且，
由及，得，因此或，
解，当时，，，此时不等式组无解，
当时，，，不等式组的解为，
当时，，，则有，解得，即，
因此不等式组的解为，
解，由，得，则，不等式组无解，
所以“立冬函数”的x的取值范围是.
故选：D
38．若函数，下列说法错误的是（ ）
A．的图象经过点
B．当的图象经过点时，为奇函数
C．当的图象经过点时，为偶函数
D．存在，使得
【答案】AD
【详解】因为，当为奇数时，，不过点，故A错误；
因为，当时，定义域为，关于原点对称，
当时，的定义域为，关于原点对称，
又，故函数为奇函数，故B正确；
同理，由幂函数的性质，的图象经过点时，定义域关于原点对称，
又，所以，故函数为偶函数，故C正确；
由幂函数性质，当时，在上单调递增，所以，故D错误.
故选：AD
39．已知，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】对于A，因为，所以，所以，故A错误；
对于B，，因为，所以，
即，故B正确；
对于C，因为，，所以，故C错误；
对于D，因为，，根据幂函数在上单调递增，
所以，故D正确，
故选：BD.
40．已知幂函数的图象不经过原点．
(1)求的值；
(2)若，试比较与的大小．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或．
当时，的图象不经过原点，符合题意，
当时，的图象经过原点，不符合题意，
所以．
（2）由（1）得，易得在上单调递减．
当时，由，可得．
因为在上为减函数，所以．
当时，，由，可得．
因为，且在上为减函数，
所以．
综上，．
题型五：二次函数模型
41．某汽车销售公司在，两地销售同一品牌的汽车，在地的销售利润（单位：万元），在地的销售利润（单位：万元），其中，分别为地，地的销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售16辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是
A．万元 B．11万元
C．43万元 D．万元
【答案】C
【详解】设该公司在地销售该品牌的汽车辆，则在地销售该品牌的汽车辆，
所以可得利润
．
因为且，所以当或11时，利润最大，最大利润为43万元．
故选C．
42．某商品的进货价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若该商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为
A．45元 B．55元 C．65元 D．70元
【答案】D
【详解】设在50元的基础上提高元，每月的月利润为，
则与的函数关系式为，
其图象的对称轴为直线，故每件商品的定价为70元时，月利润最高．
故选D
43．已知图像开口向上的二次函数对任意都满足，若在区间上单调递减，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得函数的对称轴是直线，得图像开口向上.由在区间上单调递减可知，又，解得.
故选B.
44．二次函数满足，且．
（1）求的解析式；
（2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设，则.
，
，解得，因此，；
（2）当时，由，得，得，
构造函数，，下面证明函数在区间上的单调性.
任取、，且，即，
则，
，，，，，
所以，函数在区间上单调递增，则，，
解得，因此，实数的取值范围是.
45．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和与之间的关系）.根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润（万元）与时间（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到第几个月末公司累积利润可达到万元；
（3）求第八个月公司所获得的利润.
【答案】（1）；（2）第十个月；（3）利润为万元.
【详解】（1）设与的函数关系式为.
由题中函数图象过点、、，得，解得，
因此，所求函数关系式为；
（2）把代入，得，整理得，
，解得，
因此，截止到第十个月末公司累积利润可达到万元；
（3）第八个月公司所获得的利润为（万元）.
因此，第八个月公司所获得的利润为万元.
46．二次函数在区间上有最大值4，最小值0.
（1）求函数的解析式；
（2）设，若在上有解，求k的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1），为开口向上，对称轴为x=1的抛物线，
因为，所以在上单调递减，在单调递增，又，
所以，解得，
所以.
由（1）知，，所以在上有解，
所以，令，则，
设，，为开口向下，对称轴为的抛物线，
所以，
所以k的取值范围为.
47．已知是一元二次函数，满足且
(1)求函数的解析式．
(2)函数在数学史上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于x的最大整数，如，，，设若使成立的实数a，b，c有且仅有三个且互不相等．求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可设
所以得，
∴，，；
（2）当时，
当时，，所以，
当时，，所以，
不妨设，由题可得函数的大致图象，
由（1）可知函数的对称轴，，可得根据对称性知，
又由，可得，由，可得，
由图可知，
所以，
故.
48．某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表：
时间（天） 1 3 6 10 36
日销售量（件） 94 90 84 76 24
未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）．
(1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式；
(2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少
(3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)第18天的日销售利润最大，最大日销售利润为450元；
(3)
【详解】（1）通过表格可知m与x之间的关系为一次函数，
设一次函数为，把和代入，
解得，
∴；
把代入检验，，符合题意，
∴日销售量m与时间x（天）之间的关系式为；
（2）设销售利润为W元，
①当时，，
∴当时，W有最大值450，
②当时，，
∴当时，W随x增大而减小，
∴时，，
∵，
∴未来40天中第18天日销售利润最大，最大日销售利润为450元；
（3）由题意知
二次函数开口向下，对称轴是，
要使日销售利润随时间x的增大而增大，则，
∴，
又，
∴．
49．我县提出了“科技强县”的发展目标，通江县工业园区为响应这一号召，计划在年投资新技术，生产某种机器零件，通过市场分析，生产此种机器零件全年需投入固定成本万元，每生产万件机器零件，需另投入变动成本万元，且由市场调研知每件机器零件的批发价为元，且全年内生产的机器零件当年能全部销售完．
(1)试写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万件时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
（注：年利润=年销售收入固定成本变动成本）
【答案】(1)
(2)当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元.
【详解】（1）因为每件机器零件的批发价为元，所以万件机器零件的销售收入为万元，
依题意得，当时，，
当时，，
所以.；
（2）当时，，
所以在上单调递增，所以；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
因为，
所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元.
50．近几年打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析：生产手办全年需投入固定成本12万元，生产（千件）手办，需另投入成本（万元），且由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完.
(1)求出2024年的利润（万元）关于年产量（千件）的表达式；
(2)2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)年产量为10（千件）时工厂所获利润最大，最大利润是8万元.
【详解】（1）当时，；
当时，，
所以
（2）若，即，
当时，万元；
若，
当且仅当时，即时，万元，
因为，
所以2024年年产量为10（千件）时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元.
题型六：分段函数模型
51．根据统计，一名工人组装第件产品所用的时间（单位：分钟）为（为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第件产品用时5分钟，那么和的值分别是
A．75，25 B．75，16 C．60，144 D．60，16
【答案】C
【详解】试题分析：由题意可得：，故应选C．
52．某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于24的正整数）．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）．
(1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1），
因为，
故当时，，
当时，，
所以；
（2）m为小于24的正整数，
当时，，每天利润为0元，
当时，，
令，则，
则，
当，即时，，
当且仅当，即，时，等号成立，
当，即时，在上单调递减，
故当，即时，取得最大值，
综上，当时，日产量为万件，可获得最大利润，
当时，日产量为万件，可获得最大利润.
53．某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的利润.
(1)求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式；
(2)建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润.
【答案】(1)
(2)70个，640万元
【详解】（1）根据题意得
当时，，
当时，，
所以
（2）当时，，
在内单调递增，所以当时，的最大值为450，
当时，，
因为，当且仅当，
即时，等号成立，
所以，
因为，所以当时，的最大值为640，
所以建造70个生态农场获得的利润最大，最大利润为640万元.
54．2024年9月29日，渝昆高铁正式开通运行，重庆到泸州最快30分钟，完成了川渝两地旅客高铁出行的最后一块拼图.现在已知列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数，（k为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人.记列车载客量为.
(1)求的表达式；
(2)为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，问列车发车间隔时间至少多少分钟？
(3)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
【答案】(1)；
(2)至少5分钟；
(3)时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元.
【详解】（1）由题知，当时，；
当时,,
因为发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为人，
此时发车时间间隔为3分钟时的载客量为人，
，解得，
此时，
所以.
（2）依题意，
当时，，满足题意；
当时，，即，
解得，所以列车发车间隔时间至少5分钟，列车载客量至少达到524人.
（3）由（1）知
时，当且仅当等号成立，
时
当上,单调递减,则
综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元.
55．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)设该地上班族总人数为，求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求的最小值，指明相应的的值．
【答案】(1)
(2)当时，有最小值分钟
【详解】（1）由已知可得，
当时，不符合题意；
当时，由不等式组，解得；
所以当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.
（2）当时，；
当时，，
所以，
当时，函数单调递减，此时；
当，函数在上单调递减、在上单调递增，
此时；
且，可知当时，有最小值分钟.
56．某地因地制宜发展生态农业，打造特色水果示范区，该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的函数关系为，且单株投入的年平均成本为元，若这种水果的销售价格为元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）.
(1)求函数的解析式；
(2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)单株施肥量为千克时，单株年利润最大，最大利润为元
（2）分别讨论和时的最大值，由此确定出结果.
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以.
（2）当时，，对称轴且开口向上，
又因为，所以由此二次函数性质可知时有最大值，
所以；
当时，，
当且仅当，即时取等号，
所以；
显然，
所以单株施肥量为千克时，单株年利润最大，最大利润为元.
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专题03 幂函数及函数的应用(一）
题型一：求幂函数的定义域、值域及解析式
题型二：幂函数图像过定点问题
题型三：利用幂函数的单调性求解不等式问题
题型四：由幂函数的单调性比较大小
题型五：二次函数模型
题型六：分段函数模型
题型一：求幂函数的定义域、值域及解析式
1．已知幂函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若,则不等式的解集是
A． B． C． D．
3．已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（ ）
A．定义域为 B．值域为
C．奇函数 D．减函数
5．若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．设函数，则（ ）
A．存在实数，使的定义域为R
B．若函数在区间上递增，则
C．函数一定有最小值
D．对任意的负实数，的值域为
7．已知幂函数，则（ ）
A． B．定义域为
C． D．
8．已知幂函数．
(1)若的定义域为R，求的解析式；
(2)若为奇函数，，使成立，求实数k的取值范围．
9．已知幂函数，且在区间上单调递减.
(1)求的解析式及定义域；
(2)设函数，求证：在上单调递减.
10．已知幂函数(m∈N＋)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数f(x)经过点，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
题型二：幂函数图像过定点问题
11．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图像是一条直线；
B．幂函数的图像都经过和点；
C．幂函数的定义域为；
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．
12．下列命题正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过、两点
B．当时，函数的图象是一条直线
C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同
D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点
13．已知幂函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象都经过点
B．函数的图象不经过第四象限
C．若，则函数在上单调递增
D．若，则对任意实数，有
14．约定：如果一个函数的图象上存在一个点，该点的横坐标和纵坐标相等，那么就称该点为该函数的一个回归点，称该函数是一个具有回归点的函数.如果一个函数有且仅有个回归点，那么就称该函数为一个具有个回归点的函数.例如，点和都是函数的回归点，函数是一个具有两个回归点的函数.根据约定，下列选项中正确的是（ ）
A．函数是一个具有回归点的函数
B．具有回归点的函数有无数个
C．存在无数个具有无数个回归点的函数
D．已知点是函数的一个回归点，则点也是函数的一个回归点
15．关于幂函数，下列命题正确的是 （填序号）．
①当时，图象是一条直线； ②图象都过点和；
③若是奇函数，则一定是增函数； ④图象不可能出现在第四象限．
16．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过，两点
C．幂函数图象不可能在第四象限内
D．若幂函数为奇函数，则是定义域内的严格增函数
17．下列命题中正确的是（ ）
①幂函数的图象都经过点和点；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③当时，函数的图象是一条直线；
④幂函数当是增函数；
⑤当时，且当时，幂函数值随值的增大而减少.
A．①④ B．④⑤ C．②③ D．②⑤
18．下列关于幂函数的命题中正确的有（ ）
A．幂函数图象都通过点
B．当幂指数时，幂函数的图象都经过第一、三象限
C．当幂指数时，幂函数是增函数
D．若，则函数图象不通过点
19．下列命题正确的是（ ）
A．的图像是一条直线
B．幂函数的图像都经过点
C．若幂函数是奇函数，则是增函数
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限
20．下列关于幂函数说法不正确的是（ ）
A．一定是单调函数 B．可能是非奇非偶函数
C．图像必过点 D．图像不会位于第三象限
题型三：利用幂函数的单调性求解不等式问题
21．若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
22．已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．“幂函数在上单调递减”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．充要条件
24．已知幂函数为奇函数，且在区间上单调递增，则等于（ ）
A．1 B．2 C．1或3 D．3
25．幂函数在上单调递减，则等于（ ）
A． B．3 C．或3 D．
26．下列说法正确的是（ ）
A．已知幂函数在上单调递减，则
B．函数在定义域内为增函数，则实数的取值范围是
C．已知，，，则恒成立
D．已知函数为奇函数，则的图象关于点中心对称
27．已知函数是在上的减函数，则实数的取值可以是（ ）
A．4 B．5 C． D．7
28．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．当时， D．当时，
29．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
30．已知幂函数在上单调递减.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围；
(3)设，求的最大值.
题型四：由幂函数的单调性比较大小
31．幂函数的图象与坐标轴有交点，且，则的值（ ）
A．无法判断 B．等于0 C．恒小于0 D．恒大于0
32．若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
33．幂函数在区间上单调递增，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
34．设，，则下列不等式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
35．已知函数那么不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
36．若对任意，都有成立，则的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
37．山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆.在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试.若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，不等式恒成立，且，设为“立冬函数”，则满足“立冬函数”的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
38．若函数，下列说法错误的是（ ）
A．的图象经过点
B．当的图象经过点时，为奇函数
C．当的图象经过点时，为偶函数
D．存在，使得
39．已知，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
40．已知幂函数的图象不经过原点．
(1)求的值；
(2)若，试比较与的大小．
题型五：二次函数模型
41．某汽车销售公司在，两地销售同一品牌的汽车，在地的销售利润（单位：万元），在地的销售利润（单位：万元），其中，分别为地，地的销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售16辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是
A．万元 B．11万元
C．43万元 D．万元
42．某商品的进货价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若该商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为
A．45元 B．55元 C．65元 D．70元
43．已知图像开口向上的二次函数对任意都满足，若在区间上单调递减，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
44．二次函数满足，且．
（1）求的解析式；
（2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围．
45．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和与之间的关系）.根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润（万元）与时间（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到第几个月末公司累积利润可达到万元；
（3）求第八个月公司所获得的利润.
46．二次函数在区间上有最大值4，最小值0.
（1）求函数的解析式；
（2）设，若在上有解，求k的取值范围.
47．已知是一元二次函数，满足且
(1)求函数的解析式．
(2)函数在数学史上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于x的最大整数，如，，，设若使成立的实数a，b，c有且仅有三个且互不相等．求的取值范围．
48．某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表：
时间（天） 1 3 6 10 36
日销售量（件） 94 90 84 76 24
未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）．
(1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式；
(2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少
(3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围．
49．我县提出了“科技强县”的发展目标，通江县工业园区为响应这一号召，计划在年投资新技术，生产某种机器零件，通过市场分析，生产此种机器零件全年需投入固定成本万元，每生产万件机器零件，需另投入变动成本万元，且由市场调研知每件机器零件的批发价为元，且全年内生产的机器零件当年能全部销售完．
(1)试写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万件时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
（注：年利润=年销售收入固定成本变动成本）
50．近几年打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析：生产手办全年需投入固定成本12万元，生产（千件）手办，需另投入成本（万元），且由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完.
(1)求出2024年的利润（万元）关于年产量（千件）的表达式；
(2)2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？
题型六：分段函数模型
51．根据统计，一名工人组装第件产品所用的时间（单位：分钟）为（为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第件产品用时5分钟，那么和的值分别是
A．75，25 B．75，16 C．60，144 D．60，16
52．某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于24的正整数）．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）．
(1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？
53．某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的利润.
(1)求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式；
(2)建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润.
54．2024年9月29日，渝昆高铁正式开通运行，重庆到泸州最快30分钟，完成了川渝两地旅客高铁出行的最后一块拼图.现在已知列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数，（k为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人.记列车载客量为.
(1)求的表达式；
(2)为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，问列车发车间隔时间至少多少分钟？
(3)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
55．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)设该地上班族总人数为，求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求的最小值，指明相应的的值．
56．某地因地制宜发展生态农业，打造特色水果示范区，该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的函数关系为，且单株投入的年平均成本为元，若这种水果的销售价格为元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）.
(1)求函数的解析式；
(2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？
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