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专题03 函数的应用（二）
题型一：根据零点的个数、零点所在区间、一次函数、二次函数以及指对幂函数零点分布求参数范围
题型二：函数与方程的综合应用
题型三：二次函数模型的应用
题型四：分段函数模型的应用
题型一：根据零点的个数、零点所在区间、一次函数、二次函数以及指对幂函数零点分布求参数范围
1．已知为幂函数，（，且）的图象过点．，若的零点所在区间为，那么（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【详解】解：为幂函数，，，
的图象过点，
，，，
故在上单调递增，
由于（1），（2），故在区间上存在唯一零点，
的零点所在区间为，，那么，
故选：C．
2．若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】函数在区间内存在零点，且函数在定义域内单调递增，
由零点存在性定理知，即，解得
所以实数的取值范围是
故选：B
3．若定义域均为的函数，满足：，且，使得，则称与互为“亲近函数”已知与互为“亲近函数”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在上为增函数，且，
故是的唯一零点，要使和互为“亲近函数”，
则存在，使得，即在内存在零点，
所以方程有解，
令，则，
故，易知不是此方程的解
当时，有，
由对勾函数的性质可知，，
故的取值范围是.
4．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，；当时，．
作函数的图象可得，
令，则．
当时，方程没有解，
当时，方程有一个解，
当时，方程有两个解，
当时，方程有三个解，
因为恰有个零点，
所以有两个根（不妨设）．
所以，
由韦达定理可得．
要使有个零点，则需满足．
设，则．
解得，
所以实数的取值范围是．
故选：C.
5．已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为函数为一次函数，
要使其在区间上存在零点，
要保证其两端点分别在轴的两侧，
所以
即，
解得或，
故选项.
6．已知方程有两个不等正实根，则实数m的取值范围为（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】D
【详解】因为方程有两个不等正实根，设两根为，
则等价于函数有两个不相等且大于0的零点，
所以或，
故选：D
7．已知关于x的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】记，由题意可知函数有两个零点，所以，
若，则为开口向上的二次函数，
要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故；
若，则为开口向下的二次函数，
要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故；
综上可知：或，即实数k的取值范围是.
故答案为：
8．已知函数（且）有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由可得，
在等式两边平方得，
令，可知方程有两个不等的正根、，
所以，，解得.
故选：A.
9．已知函数若方程有四个不相等的实数根，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】函数即为，其图象如图所示：
因为方程有四个不相等的实数根，且，
由图象知：，且，
则，
所以，
因为在上递增，
所以
故选：C
10．已知实数为函数的两个零点，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为实数为函数的两个零点，
所以实数为与图象交点的横坐标，
作出函数与的图象如图所示，
不妨设，
由图像可知，，所以，故选项A错误；
由图像可知，，
所以，故，
又因为，所以，所以，故B正确，C、D错误.
故选：B．
题型二：函数与方程的综合应用
11．已知，，若，或，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数，当时，，满足或；
而当时，，由，或，得，恒成立，
由，即或，解得或，
当时，恒成立，由二次函数性质知函数的图象开口向下，则，
而的2个根为，有，解得，则，
所以的取值范围是.
故选：A
12．已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】关于的方程至少有两个不相等的实数根，
则直线与的图象至少两个不同的交点，
作出函数的图象如下，直线恒过，
当直线与相切时，，
由可得，此时与平行，
所以此时方程只有一个根，不合题意；
当时，与有两个交点，符合题意；
当时，与有三个交点，符合题意；
当时，经过点时，与有两个交点，
此时，若，与有三个交点，
综上可知，方程至少有两个不相等的实数根，实数的取值范围为.
故选：B.
13．已知函数则方程的实数个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【详解】函数的部分图象如图所示.
由方程，解得或.
当时，有5个实根，当时，有6个实根，
故方程的实根个数为11.
故选：C.
14．设，若关于的方程恰有5个不同实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】方程化为，解得或，
函数在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为，
在上单调递增，函数值的集合为，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，
显然直线与函数的图象有两个交点，
由关于的方程恰有5个不同实数解，则直线与函数的图象有3个交点，
此时，所以实数的取值范围是.
故选：B
15．定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】关于的方程可化简为，
即有7个不同的根，画出的图象，
观察可以看出当有4个不同的根，
故只需有3个不同的根即可，所以.
故选：A.
16．已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ）
A． B．
C． D．的取值范围为
【答案】BCD
【详解】作出的图象如下：令，则，
故，，A错误，BC正确，
令，则或
，结合图象可知，D正确.
故选：BCD
17．下列说法中正确的是（ ）
A．使“”成立的一个充分不必要条件是
B．设a，b，c是实数，满足，，则最小值为0
C．设集合，现对M的任意一非空子集X，令表示X中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均数为
D．若和都是上的函数，且有实数解，则可能是
【答案】ACD
【详解】对于A：由，可得，故充分性成立，
由推不出，如时，故必要性不成立，
所以是的一个充分不必要条件，故A正确；
对于B：当，，时，满足，，
但是，故B错误；
对于C：可设的非空子集为，
又把这样的子集分为两类：
（1）一类满足，这样的子集；
（2）另一类满足，此时可把两个非空集合与
配对，
易知这是两个不同的集合，且都是的非空子集，
它们的最大数与最小数之和是，
所以此时非空子集的的平均数为.
综上，的所有非空子集的特征数的平均数为，故C正确；
对于D：设有实数解，则，
因为和都是上的函数，
所以有，再令，
则有，从而可知至少有一个解是，
若，则，即，解得，符合题意，故D正确；
故选：ACD
18．已知函数，方程有四个不同解，，，，则实数的取值范围是 ；的取值范围是 ．
【答案】
【详解】画出的图象：
因为方程即有四个不同解，，，，
故的图象与有四个不同的交点，
由图可知，所以实数的取值范围是.
又，不妨假设，
由图可知.
又由图可知，故，
故且，所以.
所以，由对勾函数性质可知在单调递减，
所以，所以.
故答案为：；
19．已知函数是偶函数．
(1)求的值；
(2)若函数无零点，求的取值范围；
(3)设，若函数有且只有一个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）∵是偶函数，
∴，，即，
所以，即，即，
所以，解得．
（2）由（1）知，
所以，即，
∵，∴，令，即，
因为无零点，即关于的方程无解，
即与无交点，所以，
即当时，无零点，故满足条件的的取值范围是．
（3）函数的零点即方程的根，
而
．
设，∴．（*）
问题等价于关于的（*）方程有唯一正根，包括两个相等的正根，
显然，当时，，不合题设，
当时，设（*）方程的两个实根为，，
则或，
或．
故满足条件的的取值范围是或．
20．已知函数.
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)讨论关于x的方程的实数解的个数.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）任取，
则，
令，且，
则，，
所以，即，
故函数在上单调递增.
（2）关于x的方程的实数解的个数，等价于函数与常函数的交点个数，
由（1）可得：，
令，且，
则，，
所以，即，
故函数在上单调递减，
结合（1）可得：函数在上单调递减，在上单调递增，故，
令，且，整理得，解得或，
故函数的图象如图所示：
可得函数的图象如图所示：
对于函数与常函数的交点个数，
则有：当时，交点个数为0个；
当或时，交点个数为2个；
当时，交点个数为3个；
当时，交点个数为4个.
题型三：二次函数模型的应用
21．一件工艺品的进价为元，标价元出售，每天可售出件，根据销售统计，一件工艺品每降价元，则每天可多售出件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【详解】设每天的销售量为件，每件工艺品的标价为元，则关于的函数为一次函数，设，
由题意可得，解得，则，
故每天获得的利润为，
故当元时，每天获得的利润最大，
因此，要使每天获得的利润最大，则每件需降价元.
故选：B.
22．某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（ ）
A．2千克/小时 B．3千克/小时
C．4千克/小时 D．6千克/小时
【答案】C
【详解】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为，，
令，，则，故当时，最大，此时.
故选：C
23．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸
A．215 份 B．350 份
C．400 份 D．250 份
【答案】C
【详解】设每天从报社买进（，）份报纸时，每月所获利润为元，具体情况如下表．
数量/份 单价/元 金额/元
买进 2
卖出 3
退回
则推销员每月所获得的利润
又由在上单调递增，
所以当时，取得最大值8700．
故选C．
即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8700元．故选C．
24．国家购买某种农产品的价格为120元/担，某征税标准为100元征8元，计划可购万担.为了减轻农民负担，决定税率降低个百分点，预计收购量可增加个百分点则税收（万元)与的函数关系式为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意，可得调节税率后税率为%，预计调节税率后可收购万担，
总费用万元，
所以税收与的函数关系式为.
故选A.
25．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是（ ）
A．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
B．该单位每月最低可获利20000元
C．该单位每月不获利，也不亏损
D．每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损
【答案】AD
【详解】由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，
当且仅当，即时等号成立，
故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元，故A正确；
设该单位每月获利为S元，
则，
因为，
所以.
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损，故D正确，BC错误，
故选：AD
26．荆州鱼糕是湖北特色美食的代表之一，被誉为“荆州一绝”，深受广大消费者喜爱.某厂家欲生产荆州鱼糕，经过市场调研发现，生产荆州鱼糕需投入年固定成本3万元，每生产x吨另需投入流动成本万元，且，若荆州鱼糕的售价为40元/千克，且该厂家2025年生产的吨荆州鱼糕均能售完.
(1)求该厂家2025年的利润（单位：万元）的函数解析式；
(2)求该厂家2025年的产量为多少吨时，该厂家所获年利润最大 最大年利润是多少
【答案】(1)
(2)当2025年的产量为15吨时，该厂家所获年利润最大，最大年利润是55万元
【详解】（1）由题意知，鱼糕的售价为40元/千克，则1吨荆州鱼糕售价为万元，
当时，
，
当时，
，
故2025年的利润的函数解析式为
.
（2）当时，，
当时，取得最大值；
当时，
，
当且仅当，即时取等号，
即当时，取得最大值，
因为 ，
所以当2025年的产量为15吨时，该厂家所获年利润最大，最大年利润是55万元.
27．某企业为了解每月广告投入费用单位：万元与月利润单位：万元的关系，统计了前三个月每月广告投入费用x与月利润y的数据，如下表所示：
月份 第一个月 第二个月 第三个月
每月广告投入费用单位：万元 2 4 8
月利润单位：万元 4 8 31
(1)当每月广告投入费用不超过12万元时，x与y之间的关系有两个函数模型与可供选择，利用表中前两个月的数据分别求出两个函数模型的解析式，并根据第三个月的数据，选出更符合实际的函数模型
(2)已知每月广告投入费用超过12万元时，x与y满足关系结合第（1）问的结果，求该企业每月广告投入费用x在什么范围时月利润不少于64万元
【答案】(1)更符合实际的函数模型为
(2)
【详解】（1）若选用函数
将点，代入可得
解得，，所以
当时，得
若选用函数，将点，代入可得，解得，，所以
当时，得，
因为，即模型与实际数据差距更小，所以更符合实际的函数模型为
（2）当时，令，即，
所以
当时，由，解得，所以
所以该企业每月广告投入费用 x在时月利润不少于64万元.
28．某企业计划将某项新技术应用到某种电子仪器生产中去，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销.通过市场分析发现，生产此款电子仪器全年需投入固定成本280万元，每生产（千个）电子仪器，需另投入成本万元，且 ，假设每千个电子仪器售价定为800万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完.
(1)求出全年的利润（万元）关于年产量x（千个）函数关系式（利润=销售额-成本）；
(2)当全年产量为多少千个时，该企业所获利润最大 最大利润是多少万元
【答案】(1)
(2)全年产量为100千个时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元
【详解】（1）当时，
，
当时，
，
所以
（2）若，则，
当时，；
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，此时．
因为，
所以当全年产量为100千个时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元．
29．六盘水市乌蒙大草原旅游景点某年国庆期间，团队收费方案如下：不超过人时，人均收费元；超过人且不超过人时，每增加人，人均收费降低元；超过人时，人均收费都按照人时的标准.设该景点接待有名游客的某团队，收取总费用为元.
(1)求关于的函数解析式；
(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象.为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求的取值范围.
【答案】(1)，且，；
(2).
【详解】（1）由题意，时，；
且时，；
且时，；
综上，，且，.
（2）由（1）知：总费用在和上都是递增，
所以，只需在上总费用不出现递减即可，
对于，开口向下且对称轴为，
所以，只需，总费用随着团队中人数增加而增加.
30．近年来，国家发展改革委、国务院、工信部、生态环境部等有关部门纷纷出台污水处理领域指导、支持及规范类政策，该相关政策的落实不仅促进了环境保护，同时也带动了一批企业的发展.已知某企业每年生产某种智能污水处理设备的最大产能为100台，其年度总利润（单位：万元）与产能（单位：台）的函数关系为
(1)当产能不超过40台时，求每年生产多少台时，平均每台设备的年利润最大？
(2)当产能为多少台时，该企业所获年度总利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)14台
(2)35台，最大利润为2050万元
【详解】（1）因为当时，.
则平均每台设备的年利润为，
，当且仅当时取等号，
由于，，且，
故当生产14台时，平均每台设备的年利润最大.
（2）当时，，
对称轴为，
所以当时，取最大值，（万元）；
当时，
（万元），
当且仅当时等号成立.
因为，
故当产能为35台时，所获年度总利润最大，最大利润为2050万元
题型四：分段函数模型的应用
31．核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．16小时 B．11小时 C．9小时 D．7小时
【答案】C
【详解】因为第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，
所以，
因为第16天检测过程平均耗时为16小时，所以，得，
因为第64天检测过程平均耗时为8小时，所以，解得，
所以，
所以当时，，
故选：C
32．某家医院成为病毒检测定点医院，在开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（，为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时约为（ ）
A．6小时 B．7小时 C．9小时 D．5小时
【答案】B
【详解】因为第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，所以，
所以，即，
所以，解得，
所以
所以第36天检测过程平均耗时小时，
故选：B.
33．如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】∵，，，
∴，
根据题意得：点到达点的时间是，到达点的时间为，点到达点的时间为，
当点在边上时（不含端点），，，
如图，过点作于点，则，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴，
当点在边上时，，，，如图，
∴，，
∴，
即,
综上所述，与的函数关系式为 ，
∴函数图象第一段为过原点的开口向上的抛物线的一部分，第二段为自左向右逐渐下降的抛物线的一部分．
故选：C
34．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费；乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲、乙两厂的总费用（千元）与印制证书数量（千个）的函数图像分别如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．选择甲厂比较划算
B．选择乙厂比较划算
C．若该单位需印制证书数量为8千个，则选择乙厂比较划算
D．当该单位需印制证书数量小于2千个时，不管选择哪个厂，总费用都一样
【答案】C
【详解】由图知：甲厂费用函数为，乙厂费用函数为，
当时，，可得；当时，，可得；
结合图象知：当或时乙厂划算；当时甲厂划算；当或时甲乙费用相同；
所以A、B、D错，C对.
故选：C
35．如图，是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为是边长为2的等边三角形，
所以当时，设直线与交点为，
当点在中点左侧时，，，
此时函数为开口向上的二次函数；此时可排除BC，
当点在中点右侧时，，
此时左侧部分面积为：，
此时函数为开口向下d额二次函数，此时可排除A，
故选：D
故选：D．
36．如图，在等边三角形中，.动点从点出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到此三角形中心距离的平方为，给出下列结论正确的有（ ）
A．函数的最大值为12；
B．函数的最小值为6；
C．关于的方程最多有6个实数根；
D．当时能取得最大值.
【答案】AC
【详解】分别在上运动时的函数解析式，，
分别在上运动时的函数解析式，，
分别在上运动时的函数解析式，，
，
由图象可得，方程最多有6个实数根，函数的最大值为12，最小值为3，当时能取得最小值
故选：AC.
37．湖北省孝感市孝昌县丰山镇将自身定位为“生态水果特色小镇”，这一举措充分展现了其对国家“强国必先强农，农强方能国强”号召的深刻理解与实践.通过这一发展战略，不仅促进了乡村产业的转型升级，还兼顾了生态环境保护，为乡村的全面振兴探索出了一条富有前瞻性和可持续性的道路.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，肥料成本投入为5x元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费为10x元，且，
(1)求实数a，b的值；
(2)已知这种水果的市场售价大约为30元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元），当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大 最大利润是多少
【答案】(1)， (2)当时，该水果树的单株利润最大，最大利润为645元.
【详解】（1）因为，，
所以，且，所以，.
（2），
当时，
，
令，在上单调递减，在上单调递增，
，所以，
于是根据对数型函数单调性的性质，
可知当或2时，所以.
当时，
，
当且仅当即时等号成立.
综上所述，当时，该水果树的单株利润最大，最大利润为645元.
38．随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵的有效措施.某市城市规划部门为了提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位:千米/小时）和车流密度（单位:辆/千米）所满足的关系式:，研究表明:当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时的车流速度是0千米/小时.
(1)若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度的取值范围；
(2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位:辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.
【答案】(1) (2)隧道内车流量的最大值约为2700辆/小时,此时车流密度约为75辆/千米.
【详解】（1）由可得
当时，，符合题意，
当时，令，可得，
综上可得
（2）由题意得，
当时,为增函数,所以,当时等号成立;
当时，，
，
故,
当且仅当，即时等号成立.
由于
所以,隧道内车流量的最大值约为2700辆/小时，此时车流密度约为75辆/千米.
39．为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，长春市一乡镇响应号召，努力打造“生态水果特色小镇”，调研发现：某生态水果的单株产量（单位：）与单株肥料费用（单位：元）满足如下关系：，单株总成本投入为（单位：元）．已知这种水果的市场售价为元，且供不应求，记该生态水果的单株利润为（单位：元）．
(1)求的函数解析式；
(2)当投入的单株肥料费用为多少元时，该生态水果的单株利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当投入的单株肥料费用为3元时，该生态水果的单株利润最大，最大利润是270元
【详解】（1）由题意可得，
所以单株利润的函数解析式为：
（2）当时，为开口向上的抛物线，
其对称轴为：，
所以当时，
当时，，
，
当且仅当即时等号成立，此时，
综上所述：当投入的单株肥料费用为元时，该生态水果的单株利润最大，最大利润是元．
40．湖水中溶解性有机物可分为内源类有机物和外源类有机物．某人工调控水量的天然湖泊中，经总时长为150天的持续观测，发现外源类有机物含量随时间t（单位：天）可用函数表示，内源类有机物含量可用函数表示．在一日内，若内源类有机物和外源类有机物含量之差的绝对值不大于10，则认为当日该湖中溶解性有机物相对平衡．
(1)求这150天内该湖中溶解性有机物相对平衡的天数；
(2)求这150天内该湖中溶解性有机物含量的最大值．
【答案】(1)71天 (2)
【详解】（1）当，，若湖中溶解性有机物相对平衡，则，
即，则，整理得，
对于，由于，故不等式无解，
所以上述不等式组无解，即时不能使该湖中溶解性有机物相对平衡；
当，，若湖中溶解性有机物相对平衡，
则，当时，最大，此时，
故只需要求的解集，
即，整理得，解得，
又，所以，
综上，当时该湖中溶解性有机物相对平衡，共71天；
（2）记该湖中溶解性有机物含量为，
当，，
令，则，
由对勾函数的单调性知，在单调递减，在单调递增，
所以在单调递减，在单调递增；
当时，，
当时，，
因为，所以的最大值为，
即当时，该湖中溶解性有机物含量的最大值为；
当，，
当时，取最大值，最大值为106，
即当时，该湖中溶解性有机物含量的最大值为106，
由，所以这150天内该湖中溶解性有机物含量的最大值为.
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专题03 函数的应用（二）
题型一：根据零点的个数、零点所在区间、一次函数、二次函数以及指对幂函数零点分布求参数范围
题型二：函数与方程的综合应用
题型三：二次函数模型的应用
题型四：分段函数模型的应用
题型一：根据零点的个数、零点所在区间、一次函数、二次函数以及指对幂函数零点分布求参数范围
1．已知为幂函数，（，且）的图象过点．，若的零点所在区间为，那么（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．若定义域均为的函数，满足：，且，使得，则称与互为“亲近函数”已知与互为“亲近函数”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
6．已知方程有两个不等正实根，则实数m的取值范围为（ ）
A．或 B．
C． D．或
7．已知关于x的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数（且）有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数若方程有四个不相等的实数根，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知实数为函数的两个零点，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
题型二：函数与方程的综合应用
11．已知，，若，或，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函数则方程的实数个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
14．设，若关于的方程恰有5个不同实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ）
A． B．
C． D．的取值范围为
17．下列说法中正确的是（ ）
A．使“”成立的一个充分不必要条件是
B．设a，b，c是实数，满足，，则最小值为0
C．设集合，现对M的任意一非空子集X，令表示X中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均数为
D．若和都是上的函数，且有实数解，则可能是
18．已知函数，方程有四个不同解，，，，则实数的取值范围是 ；的取值范围是 ．
19．已知函数是偶函数．
(1)求的值；
(2)若函数无零点，求的取值范围；
(3)设，若函数有且只有一个零点，求的取值范围．
20．已知函数.
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)讨论关于x的方程的实数解的个数.
题型三：二次函数模型的应用
21．一件工艺品的进价为元，标价元出售，每天可售出件，根据销售统计，一件工艺品每降价元，则每天可多售出件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
22．某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（ ）
A．2千克/小时 B．3千克/小时
C．4千克/小时 D．6千克/小时
23．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸
A．215 份 B．350 份
C．400 份 D．250 份
数量/份 单价/元 金额/元
买进 2
卖出 3
退回
24．国家购买某种农产品的价格为120元/担，某征税标准为100元征8元，计划可购万担.为了减轻农民负担，决定税率降低个百分点，预计收购量可增加个百分点则税收（万元)与的函数关系式为
A．
B．
C．
D．
25．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是（ ）
A．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
B．该单位每月最低可获利20000元
C．该单位每月不获利，也不亏损
D．每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损
26．荆州鱼糕是湖北特色美食的代表之一，被誉为“荆州一绝”，深受广大消费者喜爱.某厂家欲生产荆州鱼糕，经过市场调研发现，生产荆州鱼糕需投入年固定成本3万元，每生产x吨另需投入流动成本万元，且，若荆州鱼糕的售价为40元/千克，且该厂家2025年生产的吨荆州鱼糕均能售完.
(1)求该厂家2025年的利润（单位：万元）的函数解析式；
(2)求该厂家2025年的产量为多少吨时，该厂家所获年利润最大 最大年利润是多少
27．某企业为了解每月广告投入费用单位：万元与月利润单位：万元的关系，统计了前三个月每月广告投入费用x与月利润y的数据，如下表所示：
月份 第一个月 第二个月 第三个月
每月广告投入费用单位：万元 2 4 8
月利润单位：万元 4 8 31
(1)当每月广告投入费用不超过12万元时，x与y之间的关系有两个函数模型与可供选择，利用表中前两个月的数据分别求出两个函数模型的解析式，并根据第三个月的数据，选出更符合实际的函数模型
(2)已知每月广告投入费用超过12万元时，x与y满足关系结合第（1）问的结果，求该企业每月广告投入费用x在什么范围时月利润不少于64万元
28．某企业计划将某项新技术应用到某种电子仪器生产中去，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销.通过市场分析发现，生产此款电子仪器全年需投入固定成本280万元，每生产（千个）电子仪器，需另投入成本万元，且 ，假设每千个电子仪器售价定为800万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完.
(1)求出全年的利润（万元）关于年产量x（千个）函数关系式（利润=销售额-成本）；
(2)当全年产量为多少千个时，该企业所获利润最大 最大利润是多少万元
29．六盘水市乌蒙大草原旅游景点某年国庆期间，团队收费方案如下：不超过人时，人均收费元；超过人且不超过人时，每增加人，人均收费降低元；超过人时，人均收费都按照人时的标准.设该景点接待有名游客的某团队，收取总费用为元.
(1)求关于的函数解析式；
(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象.为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求的取值范围.
30．近年来，国家发展改革委、国务院、工信部、生态环境部等有关部门纷纷出台污水处理领域指导、支持及规范类政策，该相关政策的落实不仅促进了环境保护，同时也带动了一批企业的发展.已知某企业每年生产某种智能污水处理设备的最大产能为100台，其年度总利润（单位：万元）与产能（单位：台）的函数关系为
(1)当产能不超过40台时，求每年生产多少台时，平均每台设备的年利润最大？
(2)当产能为多少台时，该企业所获年度总利润最大？最大利润是多少？
题型四：分段函数模型的应用
31．核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．16小时 B．11小时 C．9小时 D．7小时
32．某家医院成为病毒检测定点医院，在开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（，为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时约为（ ）
A．6小时 B．7小时 C．9小时 D．5小时
33．如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
34．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费；乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲、乙两厂的总费用（千元）与印制证书数量（千个）的函数图像分别如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．选择甲厂比较划算
B．选择乙厂比较划算
C．若该单位需印制证书数量为8千个，则选择乙厂比较划算
D．当该单位需印制证书数量小于2千个时，不管选择哪个厂，总费用都一样
35．如图，是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
36．如图，在等边三角形中，.动点从点出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到此三角形中心距离的平方为，给出下列结论正确的有（ ）
A．函数的最大值为12；
B．函数的最小值为6；
C．关于的方程最多有6个实数根；
D．当时能取得最大值.
37．湖北省孝感市孝昌县丰山镇将自身定位为“生态水果特色小镇”，这一举措充分展现了其对国家“强国必先强农，农强方能国强”号召的深刻理解与实践.通过这一发展战略，不仅促进了乡村产业的转型升级，还兼顾了生态环境保护，为乡村的全面振兴探索出了一条富有前瞻性和可持续性的道路.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，肥料成本投入为5x元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费为10x元，且，
(1)求实数a，b的值；
(2)已知这种水果的市场售价大约为30元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元），当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大 最大利润是多少
38．随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵的有效措施.某市城市规划部门为了提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位:千米/小时）和车流密度（单位:辆/千米）所满足的关系式:，研究表明:当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时的车流速度是0千米/小时.
(1)若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度的取值范围；
(2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位:辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.
39．为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，长春市一乡镇响应号召，努力打造“生态水果特色小镇”，调研发现：某生态水果的单株产量（单位：）与单株肥料费用（单位：元）满足如下关系：，单株总成本投入为（单位：元）．已知这种水果的市场售价为元，且供不应求，记该生态水果的单株利润为（单位：元）．
(1)求的函数解析式；
(2)当投入的单株肥料费用为多少元时，该生态水果的单株利润最大？最大利润是多少元？
40．湖水中溶解性有机物可分为内源类有机物和外源类有机物．某人工调控水量的天然湖泊中，经总时长为150天的持续观测，发现外源类有机物含量随时间t（单位：天）可用函数表示，内源类有机物含量可用函数表示．在一日内，若内源类有机物和外源类有机物含量之差的绝对值不大于10，则认为当日该湖中溶解性有机物相对平衡．
(1)求这150天内该湖中溶解性有机物相对平衡的天数；
(2)求这150天内该湖中溶解性有机物含量的最大值．
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