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专题1.4 充分条件与必要条件
教学目标 1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义． 2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法． 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．
教学重难点 1.重点：充分条件与必要条件概念的概念的理解；必要条件的理解;充分条件、必要条件的判断方法． 2.难点：会证明充要条件的关系，能够利用命题之间的关系判定充要关系.
知识点01 充分条件与必要条件充要条件的概念
符号与的含义
“若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：.
充分条件、必要条件与充要条件
①若，称是的______条件，是的______条件.
②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的______条件.
【即学即练】
1．已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．下列用符号“”“”表示正确的是（ ）
A．两直线平行同位角相等 B．n是4的倍数是偶数
C．是偶数是偶数 D．四边形对角线互相平分四边形是矩形
知识点02 充分条件、必要条件与充要条件的判断
从逻辑推理关系看
命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系
①若，但，则是的充分不必要条件，是的______条件；
②若，但，则是的必要不充分条件，是的______条件；
③若，且，即，则、互为______条件；
④若，且，则是的既不充分也不必要条件.
从集合与集合间的关系看
若p：x∈A，q：x∈B，
①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；
②若A是B的真子集，则是的______条件；③若A=B，则、互为______条件；
④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的____________条件.
【即学即练】
1．下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”成立的充要条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
2．将元素个数为非负整数的集合称为有限集，表示有限集中的元素个数.设A，B都为有限集，则（ ）
A．的充要条件是 B．的必要条件是
C．的充分条件是 D．的充要条件是
知识点03 充要条件的证明
要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）
对于命题“若，则”
①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为______命题；
②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为______命题；
③如果是的充要条件，则四种命题均为______命题.
【即学即练】
1．下列命题为真命题的是（ ）
A．“且”是“”的充要条件
B．“”是“ ”的充分条件
C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件
D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形”
2．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
题型01： 单一值充分、必要、充要条件的判断
【典例1】 是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
Ⅰ：基础内容概要
充要条件：如果既有，又有，就记作。我们就说，和互为的充要条件。
说明：⑴符号“”叫做等价符号.“”表示“且”；也表示“等价于”.
“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.
①,则为的充分条件，为的必要条件；②BA, 则为的充要条件，为的充要条件；
由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定：命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类：
⑴充分不必要条件，即，而；⑵必要不充分条件，即，而；
⑶既充分又必要条件，既，又有；⑷既不充分也不必要条件，即，又有．
Ⅱ：单一条件判断充分必要
结论：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围.
题干给定单一值时，一般情况为小范围，而另一个为大范围，此时充分必要显而易见.
【变式1】设， 则“”是 的（ ）条件.
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【变式2】已知且，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3】已知函数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型02： 单变量不等式充分、必要、充要条件的判断
【典例1】使成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【详解】对于选项A，是成立的一个既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B，是成立的一个充分条件，故B正确；对于选项C，是成立的一个必要条件，故C错误；对于选项D，是成立的一个既不充分也不必要条件，故D错误．
结论：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围
范围求解的类型（单变量）
类型1：绝对值不等式的求解
形如：根据大于去两边原则
形如：根据小于取中间原则
形如：根据大于去两边原则
变形
形如：根据小于取中间原则
变形
类型2：一元二次不等式求解（十字相乘）
形如：
形如：
类型3：分式方程不等式求解（分式整数化）
形如：
故解集为
形如：
故解集为
【变式1】设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2】已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型03： 双变量不等式充分、必要、充要条件的判断
【典例1】已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
此题作为选择题，可以考虑用特殊值代入求解
一般情况可以取以下几组数据：，，
也可以取其中一个字母为.
【变式1】，且，则p是q的（ ）条件
A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要
【变式2】“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3】已知实数a，b，则是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型04： 应用充分、必要、充要条件确定参数的取值范围
【典例1】已知集合．
(1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．
(2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
由充分、必要条件求参数范围的策略
（1）巧用转化求参数：把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形
（2）端点值慎取舍：在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍。具体操作方式：
记p，q对应的集合分别为A，B，则
①若p是q的充分条件，则，②p是q的必要条件,则，
③p是q的充要条件,则且，④p是q的充分不必要条件,则且，
⑤p是q的必要不充分条件，则且，
⑥p是q的既不充分也不必要条件，则且，AB且A B
形如：已知集合，集合，若是的充分条件，求实数m的取值范围．
【步骤】看问题：求实数m的取值范围．（属于范围问题）
想方法：（1）不等式思想；（2）函数思想；（3）数形结合思想；
看条件：集合，集合，且A∪B＝A，由此知，
定措施：由是的充分条件可得，故由集合A、B中端点值的大小关系建立关于m的不等式，利用不等式思想求出实数m的取值范围。
【变式1】已知．
（1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ；
（2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是 ．
【变式2】已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知．
（1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ；
（2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ．
题型05： 充要条件的证明
【典例1】已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是．
技巧总结：
(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p q.
(3)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断，证明前必须分清充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向．
【变式1】设函数，且，证明：对于，的充要条件是.
【变式2】设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明.
【变式3】已知，求证：的充要条件是.
1．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（ ）
A．0 B．2或 C．或 D．0或或
2．已知A，B是全集I的真子集，有下列四个命题：
①；②；③；④“”是“”的必要且不充分条件.
其中与等价的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ．
4．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（ ）
A． B．
C．且 D．，，
7．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若mn为无理数，则m，n为无理数
D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形
8．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
9．已知集合，．
(1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
10．若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．“是“”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．《齐民要术》是中国杰出农学家贾思勰（xié）所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的一部完整的农书，被誉为“中国古代农业百科全书”．书中有一句为“顺天时，量地利，则用力少而成功多”．大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功．则“顺天时，量地利”是“用力少而成功多”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
13．已知非空集合，.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围.
14．设全集，集合，非空集合，.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
15．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
16．“月相变化”即地球上所看到的月球被日光照亮的不同形象．当地球位于月球和太阳之间时，我们可以看到整个被太阳直射的月球部分，这就是“满月”；当月球位于地球和太阳之间时，我们只能看到月球不被太阳照射的部分，这就是“朔月”；当地月连线和日地连线正好成直角时，若我们正好可以看到月球西半边亮且呈半圆形，这就是“上弦月”，若我们正好可以看到月球东半边亮且呈半圆形，这就是“下弦月”．根据以上信息可知“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
17．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.
18．已知集合，集合．
(1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若是成立的充要条件，求实数的值．
19．已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，命题，命题，且是的必要不充分条件，求实数取值集合的所有子集．
20．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ．
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专题1.4 充分条件与必要条件
教学目标 1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义． 2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法． 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．
教学重难点 1.重点：充分条件与必要条件概念的概念的理解；必要条件的理解;充分条件、必要条件的判断方法． 2.难点：会证明充要条件的关系，能够利用命题之间的关系判定充要关系.
知识点01 充分条件与必要条件充要条件的概念
符号与的含义
“若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：.
充分条件、必要条件与充要条件
①若，称是的充分条件，是的必要条件.
②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件.
【即学即练】
1．已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解不等式得，根据与的关系判断p、q的关系.
【详解】因为，所以，能推出，但不能推出，所以是的必要不充分条件.
故选：B
2．下列用符号“”“”表示正确的是（ ）
A．两直线平行同位角相等 B．n是4的倍数是偶数
C．是偶数是偶数 D．四边形对角线互相平分四边形是矩形
【答案】A
【详解】由两直线平行得同位角相等，故A正确：由n是4的倍数得n是偶数，故B错误；由是偶数得不到a，b是偶数，如，，故C错误；由四边形对角线互相平分得四边形是平行四边形，故D错误．
知识点02 充分条件、必要条件与充要条件的判断
从逻辑推理关系看
命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系
①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；
②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；
③若，且，即，则、互为充要条件；
④若，且，则是的既不充分也不必要条件.
从集合与集合间的关系看
若p：x∈A，q：x∈B，
①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；
②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；③若A=B，则、互为充要条件；
④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.
【即学即练】
1．下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”成立的充要条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【分析】A选项利用充分不必要条件的定义进行判断；B选项利用必要不充分条件的定义进行判断；C选项利用充要条件的定义进行判断；D选项利用必要不充分条件的定义进行判断.
【详解】对于A选项，当时，成立；反之，当时，若，则不能推出，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于B选项，当时，若，则不能推出；反之，当时，成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对于C选项，当时，，所以由不能推出；
反之当时，若，，则不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D选项，当，时，，所以由不能推出；
反之，当时，且，所以由能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.
故选：ABD.
2．将元素个数为非负整数的集合称为有限集，表示有限集中的元素个数.设A，B都为有限集，则（ ）
A．的充要条件是 B．的必要条件是
C．的充分条件是 D．的充要条件是
【答案】AB
【分析】利用必要条件、充要条件的定义推理判断AB；举例说明判断CD.
【详解】对于A，由及，得，A正确；
对于B，由，得，的必要条件是，B正确；
对于C，取，满足，而，C错误；
对于D，取，满足，而，D错误.
故选：AB.
知识点03 充要条件的证明
要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）
对于命题“若，则”
①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；
②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；
③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题.
【即学即练】
1．下列命题为真命题的是（ ）
A．“且”是“”的充要条件
B．“”是“ ”的充分条件
C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件
D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形”
【答案】D
【详解】对于A，由“且”得“”，但“”未必能推出“且”，如且满足，但不满足，故A是假命题；对于B，“”未必能推出“ ”，如，故B是假命题；对于C，如一元二次方程有实数根，但不满足“”，故C是假命题，D是真命题．
2．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】记边a，b，c所对的角分别为A，B，C．根据题意，则，故证明如下：必要性，在中，假设是锐角，作，为垂足，如图1．显然，即．充分性，在中，因为，所以不是直角．假设为钝角，如图2，作，交BC的延长线于点．则，即，与矛盾．故为锐角，则，都为锐角，即为锐角三角形．
题型01： 单一值充分、必要、充要条件的判断
【典例1】 是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】由等价于或，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
Ⅰ：基础内容概要
充要条件：如果既有，又有，就记作。我们就说，和互为的充要条件。
说明：⑴符号“”叫做等价符号.“”表示“且”；也表示“等价于”.
“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.
①,则为的充分条件，为的必要条件；②BA, 则为的充要条件，为的充要条件；
由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定：命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类：
⑴充分不必要条件，即，而；⑵必要不充分条件，即，而；
⑶既充分又必要条件，既，又有；⑷既不充分也不必要条件，即，又有．
Ⅱ：单一条件判断充分必要
结论：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围.
题干给定单一值时，一般情况为小范围，而另一个为大范围，此时充分必要显而易见.
【变式1】设， 则“”是 的（ ）条件.
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】首先求得的充要条件，然后即可判断.
【详解】由题意或，
而若，则有，所以肯定有或，
取，即满足或，但是不满足，
所以“”是的充分而不必要条件.
故选：A.
【变式2】已知且，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.
【详解】当且，可得，所以是的充分条件；
如，故是的不必要条件；
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
【变式3】已知函数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据函数解析式，求解时的值，与解方程得的值，结合充分条件与必要条件进行判断即可.
【详解】若，则，反之，若，则或.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
题型02： 单变量不等式充分、必要、充要条件的判断
【典例1】使成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于选项A，是成立的一个既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B，是成立的一个充分条件，故B正确；对于选项C，是成立的一个必要条件，故C错误；对于选项D，是成立的一个既不充分也不必要条件，故D错误．
结论：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围
范围求解的类型（单变量）
类型1：绝对值不等式的求解
形如：根据大于去两边原则
形如：根据小于取中间原则
形如：根据大于去两边原则
变形
形如：根据小于取中间原则
变形
类型2：一元二次不等式求解（十字相乘）
形如：
形如：
类型3：分式方程不等式求解（分式整数化）
形如：
故解集为
形如：
故解集为
【变式1】设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由，得，因为不能推出，但可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件.
【变式2】已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，即．
【变式3】已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求解分式不等式，求得的范围，进而从充分性和必要性进行判断即可.
【详解】，即，，解得或；
故当时，可以推出；当，推不出；
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
题型03： 双变量不等式充分、必要、充要条件的判断
【典例1】已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】通过举反例的方法结合充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】若，显然所以“”不是“”的充分条件；
若，显然，所以“”不是“”的必要条件；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
此题作为选择题，可以考虑用特殊值代入求解
一般情况可以取以下几组数据：，，
也可以取其中一个字母为.
【变式1】，且，则p是q的（ ）条件
A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据必要不充分条件的定义，可得答案.
【详解】当时，，则不能推，故p是q的不充分条件；
当且时，恒成立，则可以推，故p是q的必要条件.
故选：A.
【变式2】“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】若，如，则，
无法得到.
若，则，
则.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【变式3】已知实数a，b，则是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件和定义判断.
【详解】实数a，b，当时，若，就不能得到；
当时，若，就不能得到.
所以是的既不充分也不必要条件.
故选：D
题型04： 应用充分、必要、充要条件确定参数的取值范围
【典例1】已知集合．
(1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．
(2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是．
（2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在．
由充分、必要条件求参数范围的策略
（1）巧用转化求参数：把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形
（2）端点值慎取舍：在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍。具体操作方式：
记p，q对应的集合分别为A，B，则
①若p是q的充分条件，则，②p是q的必要条件,则，
③p是q的充要条件,则且，④p是q的充分不必要条件,则且，
⑤p是q的必要不充分条件，则且，
⑥p是q的既不充分也不必要条件，则且，AB且A B
形如：已知集合，集合，若是的充分条件，求实数m的取值范围．
【步骤】看问题：求实数m的取值范围．（属于范围问题）
想方法：（1）不等式思想；（2）函数思想；（3）数形结合思想；
看条件：集合，集合，且A∪B＝A，由此知，
定措施：由是的充分条件可得，故由集合A、B中端点值的大小关系建立关于m的不等式，利用不等式思想求出实数m的取值范围。
【变式1】已知．
（1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ；
（2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设条件p对应集合A，条件q对应集合B，则．（1）由题得集合B是集合A的真子集，当时，有，此时；当时，有此时，所以实数m的取值范围是．（2）或．由题意知，所以．若中只有一个整数，则，得．
【变式2】已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，若p是q的充分条件，则，故．
【变式3】已知．
（1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ；
（2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设集合，集合．（1）若p是q的必要且不充分条件，则．①当时，，此时；②当时，且和不能同时成立，解得．故．（2）因为p是q的充要条件，所以，所以解得．
题型05： 充要条件的证明
【典例1】已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是．
【答案】证明见解析
【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可.
【详解】必要性：设方程与的公共根为，
则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去），
将代入，得，
整理得，所以，因此，必要性成立．
充分性：当时，．
可化为，即，
所以方程的两根为，．
同理，由可得，
所以方程的两根为，．
显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立．
故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是．
技巧总结：
(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p q.
(3)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断，证明前必须分清充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向．
【变式1】设函数，且，证明：对于，的充要条件是.
【答案】证明见解析
【分析】先求出函数的最小值，再分别证明充分性和必要性即可.
【详解】证明：因为，所以函数图象的对称轴为直线，
所以.
先证充分性：因为，且，所以；
再证必要性：因为对于，，所以，即，从而.
综上可知，对于，的充要条件是.
【变式2】设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明.
【答案】，证明见解析
【分析】为锐角三角形的充要条件为.作出图形，根据勾股定理计算化简分别证明充分性和必要性即可.
【详解】为锐角三角形的充要条件为.
证明：充分性：若，则不是直角三角形.
若为钝角三角形，因为，则.
过点B作的延长线的垂线，垂足为D（如图（1）），
由勾股定理知
，矛盾，
故为锐角三角形，充分性成立.
必要性：过点A作边的垂线，垂足为D(如图(2))，
由勾股定理知，
，
故必要性成立.
故为锐角三角形的充要条件为.
【变式3】已知，求证：的充要条件是.
【答案】证明见解析
【分析】先分清命题条件是，结论是，再根据充要条件的定义证明即可.
【详解】①必要性：因为.所以.
所以.
②充分性：因为，
所以，又，
所以且.
因为.
所以，即.
综上可得，当时，的充要条件是.
1．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（ ）
A．0 B．2或 C．或 D．0或或
【答案】D
【详解】解法1 ．因为p是q的必要条件，所以 ．当，即时，符合题意；当时，由 ，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或．
解法2（代入法） ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意．
2．已知A，B是全集I的真子集，有下列四个命题：
①；②；③；④“”是“”的必要且不充分条件.
其中与等价的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】由得图：
或
对于①，等价于，故①正确；对于②，等价于，故②错误；对于③，等价于，故③正确；对于④，“”是“”的必要且不充分条件等价于，故④错误.所以与等价的有①③，共2个.
3．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由p是q的充分条件，知p可推出q，所以；由p是q的必要条件，知q可推出p，所以．
4．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】由题意得解得．本题要求的是充分不必要条件，对照选项只有B，D符合题意．
5．已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是 “”的既不充分也不必要条件.
6．在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（ ）
A． B．
C．且 D．，，
【答案】ABC
【详解】若二次方程的两根为正数，则，，，故满足其中一个或两个不能推出二次方程的两根为正数，所以选项A，B，C能成为使二次方程的两根为正数的必要不充分条件.
7．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若mn为无理数，则m，n为无理数
D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形
【答案】AB
【详解】若，则，即是的必要条件，故A正确；由“”可以推出“”，故B正确；取，，满足mn为无理数，但m为有理数，故C错误；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故D错误.
8．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】由题意得，解得，所以．
9．已知集合，．
(1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为．
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为．
10．若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解法1 设，，由题意可知和都不成立，所以．
解法2 若，则，故不成立，排除A，C；若，则，故不成立，排除D．
11．“是“”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】解：由，得，即解得或，
所以是“”的充分且不必要条件，
故选：A
12．《齐民要术》是中国杰出农学家贾思勰（xié）所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的一部完整的农书，被誉为“中国古代农业百科全书”．书中有一句为“顺天时，量地利，则用力少而成功多”．大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功．则“顺天时，量地利”是“用力少而成功多”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由充分不必要条件的概念即可判断.
【详解】充分性：根据这句话的大意可知，如果顺应天时地利的万物规律，就能花费较少的力取得更多成功，所以充分性成立；
必要性：“用力少而成功多”的前提不一定是“顺天时，量地利”，比如某种果实产量高，有可能是播种方式或灌溉频率等人为因素引起的，
故“顺天时，量地利”是“用力少而成功多”的充分不必要条件．
故选：B
13．已知非空集合，.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入集合求解，利用集合的运算可求解；
（2）利用充分不必要条件的定义，转化为P是Q的真子集，分类讨论集合可求实数的取值范围．
【详解】（1）已知集合，.
当时，，或，
又，
.
（2）因为“”是“”充分不必要条件，所以P是Q的真子集，
又，，
所以，解得，
当时，是Q的真子集；
当时，也满足是Q的真子集，
综上所述：实数的取值范围为.
14．设全集，集合，非空集合，.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据补集、交集的定义计算可得；
（2）依题意可得非空集合是集合的真子集，列不等式组，解得即可.
【详解】（1），
或
当时，，
或.
（2）“”是“”的必要不充分条件等价于非空集合是集合的真子集，
易知，即，
则有，且等号不能同时取到，解得.
故的取值范围为.
15．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】关于的一元二次方程有实数解，
则，解得，
结合选项可知的一个必要不充分条件的是.
故选：A.
16．“月相变化”即地球上所看到的月球被日光照亮的不同形象．当地球位于月球和太阳之间时，我们可以看到整个被太阳直射的月球部分，这就是“满月”；当月球位于地球和太阳之间时，我们只能看到月球不被太阳照射的部分，这就是“朔月”；当地月连线和日地连线正好成直角时，若我们正好可以看到月球西半边亮且呈半圆形，这就是“上弦月”，若我们正好可以看到月球东半边亮且呈半圆形，这就是“下弦月”．根据以上信息可知“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据已知及充分条件与必要条件的定义分别判断即可得结论.
【详解】充分性：地月连线和日地连线正好成直角时，我们可能看到“上弦月”或“下弦月”，充分性不成立；
必要性：若为“下弦月”，则地月连线和日地连线正好成直角，必要性成立，
故“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的必要不充分条件．
故选：B.
17．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）利用集合的基本运算即可得到结果.
（2）由是的充分条件可得，讨论和，根据子集的概念即可得结果.
【详解】（1）当时，，，
∴.
（2）∵是的充分条件，∴.
当时，，即，满足；
当时，，
由可得，解得.
综上，实数的取值范围为或.
18．已知集合，集合．
(1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若是成立的充要条件，求实数的值．
【答案】(1)．
(2)2
【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解；
（2）由题意得到，进而可求解.
【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即，
所以实数的取值范围为.
（2）因为是成立的充要条件，所以,
所以，即．即实数的值为2．
19．已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，命题，命题，且是的必要不充分条件，求实数取值集合的所有子集．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）分和进行讨论；
（2）根据条件得到是A的真子集，求出，分和进行讨论，看是否满足是A的真子集，然后再根据子集的概念列出所有情况即可．
【详解】（1）因为，所以方程无实数根，
当，即时，原方程可化为，有实数根2，不满足题意；
当时，一元二次方程无实数根，
则，解得，即实数的取值范围为．
（2），由题意可得，是A的真子集．
当时，得，此时，满足题意；
当时，得，此时不满足题意．
综上，的取值集合为，其所有子集为．
20．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由必要不充分条件的定义可知或，或，所以或，即或．
1
