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专题1.5 全称量词与存在量词
教学目标 1.理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词. 2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系.
教学重难点 1.重点：全称命题，特称命题真假的判定及其否定． 2.难点：由特称命题的真假确定参数的取值范围.
知识点01 全称量词与全称量词命题
1.全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为_____量词，用符号“”表示.
2. 全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题.
3. 全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对.
【即学即练】
1．下列命题与“，”的表述意义一致的是（ ）
A．有且只有一个实数，使得成立
B．有些实数，使得成立
C．不存在实数，使得成立
D．有无数个实数，使得成立
2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．， B．，2x为偶数
C．所有菱形的四条边都相等 D．每个二次函数的图像都是轴对称图形
知识点02 存在量词与存在量词命题
1.全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示.
2. 存在量词命题：含有存在量词的命题，称为_____量词命题.
3. 存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对.
【即学即练】
1．下列判断正确的是（ ）
A．方程组的解集为
B．“四边形是梯形”是“四边形有一组对边平行”的充分不必要条件
C．若，则的取值集合为
D．“”是存在量词命题
2．下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数 B．，
C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数
知识点03 命题的否定
1.一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定.
2.如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然.
一般地，全称量词命题“ ”的_____是存在量词命题： .
一般地，存在量词命题“ ”的_____是全称量词命题：
【即学即练】
1．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
知识点04 命题与命题的否定的真假判断
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能__________.
常见正面词语的否定举例如下：
正面词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是
否定 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是
正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个
否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个
1．下列说法中，以下是真命题的是（ ）．
A．存在实数，使
B．所有的素数都是奇数
C．至少存在一个正整数，能被5和7整除.
D．三条边都相等的三角形是等边三角形
2．下列命题是假命题的为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
题型01：判断语句是否为命题
【典例1】下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（ ）
A．梯形是四边形 B．，
C．， D．存在一个实数x，使
判断一个语句是否是命题的三个关键点
(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.
(2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题.
(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题;否则就不是命题.
【变式1】下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．
B．，2x＋1为奇数
C．所有菱形的四条边都相等
D．是无理数
【变式2】下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A． B．有些梯形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直 D．任何实数都有算术平方根
【变式3】下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A． B．
C．菱形的对角线互相垂直 D．任意四边形均有外接圆
题型02：判断全称量词命题与存在量词命题的真假
【典例1】已知命题是无理数是无理数；命题，使得是奇数，则（ ）
A．和都是真命题
B．和都是真命题
C．和都是真命题
D．和都是真命题
（1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；
（2）要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题.
【变式1】设集合，命题是奇数，则（ ）
A．是奇数．是假命题
B．是奇数．是真命题
C．是奇数．是真命题
D．是奇数．是假命题
【变式2】设A，B为两个非空数集，且A与B之间不存在包含关系，给出下列三个命题：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得.上述三个命题的否定是真命题的序号是 ．
【变式3】下列命题的否定为真命题的是（ ）
A．，使得方程有整数解
B．，
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．，方程是一元二次方程
题型03：全称量词命题与存在量词命题的否定
【典例1】命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论.
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.
【变式1】已知集合，集合，命题“，使得”，则命题p的否定为 ；若p为假命题，则实数a的取值范围是 .
【变式2】下列是全称量词命题的否定的有（ ）
A．存在一个能被2整除的整数不是偶数
B．存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上
C．存在实数不是方程的根
D．没有一个平行四边形是菱形
【变式3】［多选题］下列说法正确的是（ ）
A．“对任意一个无理数x，也是无理数”是真命题
B．命题“，”的否定是“，”
C．设x，，则“”是“且”的充分不必要条件
D．设a，，则“”是“”的必要不充分条件
题型04：由全称量词命题的真假确定参数取值范围
【典例1】已知“”为真命题，“”为真命题，那么p，q的取值范围分别是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知集合，．
(1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围．
【变式2】已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知命题，命题，.若命题和命题至多有一个为真命题，求实数的取值范围．
题型05：由存在量词命题的真假确定参数取值范围
【典例1】若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解题技巧：（等价转化+数形结合，分离参数+数形结合）
类型1：对于命题p，，通过否定转化为恒成立问题，确定出a的取值范围A，最后取A的补集
类型2：对于命题p，，通过否定转化为恒成立问题，确定出a的取值范围:
形如1：已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围
针对此类可以取全体实数情况下，一元二次不等式求解参数取值范围应该用二次函数图象
第一步：等价转化 恒成立
第二步：画出符合要求的图象写约束条件
第三步：求任意时集合的补集
形如2：命题“”是假命题，则的取值范围为
针对此类只能取一部分实数情况下，一元二次不等式求解参数取值范围应该用参变分离及新的二次函数图象处理
第一步：等价转化 恒成立
第二步：参变分离画出新的二次函数图象写约束条件
恒成立故求的最小值，定义域为当时取最小故
形如3：命题“”是假命题，则的取值范围为
针对此类只能取一部分实数情况下，一元二次不等式求解参数取值范围应该用参变分离及对勾函数图象处理
第一步：等价转化 恒成立
第二步：参变分离画出对勾函数图象写约束条件
恒成立故求的最小值，定义域为当时取最小故
【变式1】存在实数x，使不等式成立，求实数m的取值范围．
【变式2】已知集合，且.
(1)若命题是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题是真命题，求m的取值范围．
【变式3】已知命题，；命题，.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围.
1．写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)正方形都是菱形；
(2)；
(3)；
(4)所有能被2整除的数都是偶数.
2．若命题：，使得为假命题，则实数的取值集合是 .
3．下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．为奇数
4．命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知命题，，则命题为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
7．已知，命题，；命题，．
(1)若p是真命题，求a的最大值；
(2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围．
8．已知命题、，使得；命题，，则下列关于，真假叙述正确的是（ ）
A．，均为真 B．，均为假
C．真，假 D．假，真
9．命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
10．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
12．下列命题中是真命题的有（ ）
A．
B．
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件
13．(多选)下列说法中正确的有（ ）
A．命题p：，，则命题p的否定是
B．“”是“”的必要条件
C．命题“”是真命题
D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
14．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
15．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁 怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，若用反证法证明，第一步是假设猜想不成立，即（ ）
A．对任意正整数，关于的方程都有正整数解
B．对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
16．已知集合，集合或，全集.
(1)若，求，；
(2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围.
17．已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围;
(2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围.
18．已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为．
(1)求集合；
(2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围.
19．已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立．
(1)若为真命题，求的取值范围；
(2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围．
20．已知，.
(1)若是真命题，求实数的取值集合；
(2)在（1）的条件下，集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
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专题1.5 全称量词与存在量词
教学目标 1.理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词. 2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系.
教学重难点 1.重点：全称命题，特称命题真假的判定及其否定． 2.难点：由特称命题的真假确定参数的取值范围.
知识点01 全称量词与全称量词命题
1.全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示.
2. 全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题.
3. 全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对.
【即学即练】
1．下列命题与“，”的表述意义一致的是（ ）
A．有且只有一个实数，使得成立
B．有些实数，使得成立
C．不存在实数，使得成立
D．有无数个实数，使得成立
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的描述方法即可得解.
【详解】与“，”表述一致的是“不存在实数，使得成立”.
故选：C.
2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．， B．，2x为偶数
C．所有菱形的四条边都相等 D．每个二次函数的图像都是轴对称图形
【答案】ACD
【分析】由全称命题的概念判断．
【详解】选项ACD是全称命题，选项B是特称命题，
A中，由，正确；
CD均正确．
故选：ACD．
知识点02 存在量词与存在量词命题
1.全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示.
2. 存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题.
3. 存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对.
【即学即练】
1．下列判断正确的是（ ）
A．方程组的解集为
B．“四边形是梯形”是“四边形有一组对边平行”的充分不必要条件
C．若，则的取值集合为
D．“”是存在量词命题
【答案】BCD
【分析】求出方程组的解集判断A；利用充分不必要条件的定义判断B；由元素与集合的关系求出判断C；利用存在量词命题的定义判断D.
【详解】对于A，方程组的解集为，A错误；
对于B，梯形有一组对边平行，但有一组对边平行的四边形不一定是梯形，B正确；
对于C，当时，，由，得，C正确；
对于D，是存在量词命题，D正确的.
故选：BCD
2．下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数 B．，
C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的概念即可判断.
【详解】对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题；
对于B中含有“”，该命题是全称量词命题；
对于C中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题；
对于D中含有“有一个”，该命题是存在量词命题；
故选：D.
知识点03 命题的否定
1.一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定.
2.如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然.
一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： .
一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题：
【即学即练】
1．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】由全称的否定是特称，变符号，否定结论可得.
【详解】命题“，”的否定是，.
故选：D
2．命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】“，”的否定是，，
故选：C
知识点04 命题与命题的否定的真假判断
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.
常见正面词语的否定举例如下：
正面词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是
否定 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是
正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个
否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个
1．下列说法中，以下是真命题的是（ ）．
A．存在实数，使
B．所有的素数都是奇数
C．至少存在一个正整数，能被5和7整除.
D．三条边都相等的三角形是等边三角形
【答案】ACD
【详解】选项A：当时，成立.判断正确；
选项B：2是素数，但是2不是奇数.判断错误；
选项C：正整数35和70能被5和7整除. 判断正确；
选项D：三条边都相等的三角形是等边三角形. 判断正确.故选：ACD
2．下列命题是假命题的为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BCD
【详解】A选项，若，则，A正确.
B选项，若，则，B错误.
C选项，时，不能得到，C错误.
D选项，，但，D错误.故选：BCD
题型01：判断语句是否为命题
【典例1】下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（ ）
A．梯形是四边形 B．，
C．， D．存在一个实数x，使
【答案】A
【分析】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题.
【详解】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确；
对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误；
CD选项都为存在量词命题，不合题意.
故选：A.
判断一个语句是否是命题的三个关键点
(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.
(2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题.
(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题;否则就不是命题.
【变式1】下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．
B．，2x＋1为奇数
C．所有菱形的四条边都相等
D．是无理数
【答案】AC
【分析】利用全称量词命题的定义，结合真假判断逐项分析即可.
【详解】对于A，，恒成立，该命题是全称量词命题，且是真命题，A是；
对于B，该命题是存在量词命题，不是全称量词命题，B不是；
对于C，该命题是全称量词命题，且是真命题，C是；
对于D，该命题不是全称量词命题，D不是.
故选：AC
【变式2】下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A． B．有些梯形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直 D．任何实数都有算术平方根
【答案】AC
【分析】根据题意，利用全称命题的概念及真假的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于中，命题“”是全称量词，且，
所以命题为全称命题，且为真命题，所以A正确；
对于B中，“有些梯形的对角线相等”是存在量词，所以B错误；
对于C中，命题“所有的”是全称量词，所有的菱形的对角线都互相垂直，
所以命题“菱形的对角线互相垂直”是全称命题，且为真命题，所以C正确，
对于D中，命题“负数是没有算数平方根”是全称命题，但命题为假命题，所以D错误.
故选：AC.
【变式3】下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A． B．
C．菱形的对角线互相垂直 D．任意四边形均有外接圆
【答案】AC
【分析】根据全称量词的定义，逐项判断命题真假即可.
【详解】对于A，“”是全称量词，且由于，故对，为真命题，故A正确；
对于B，“”是存在量词，故B错误；
对于C，“所有的”是全称量词，所有的菱形的对角线都互相垂直，故C正确，
对于D，任意四边形不一定有外接圆，对角和为的四边形，有外接圆；
对角和不是的四边形，没有外接圆，故D错误.
故选：AC.
题型02：判断全称量词命题与存在量词命题的真假
【典例1】已知命题是无理数是无理数；命题，使得是奇数，则（ ）
A．和都是真命题
B．和都是真命题
C．和都是真命题
D．和都是真命题
【答案】D
【分析】通过举特例可判断命题正误，推理判断命题的正误，结合命题否定含义可得答案.
【详解】对于命题，若是无理数，但是是有理数，所以命题是假命题，则是真命题；
对于命题由，因为和是两个连续的整数，则必是偶数，故命题是假命题，则为真命题.
故选：D.
（1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；
（2）要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题.
【变式1】设集合，命题是奇数，则（ ）
A．是奇数．是假命题
B．是奇数．是真命题
C．是奇数．是真命题
D．是奇数．是假命题
【答案】A
【详解】因为，且1是奇数，所以A正确．
【变式2】设A，B为两个非空数集，且A与B之间不存在包含关系，给出下列三个命题：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得.上述三个命题的否定是真命题的序号是 ．
【答案】①②
【分析】举特例，根据元素与集合关系判断各项命题是否为真即可.
【详解】根据题意，设，则A与B之间不存在包含关系．
因为且，所以①②是假命题；
由，
若，即对于，都有，
若且不存在包含关系，则必，使，
所以③是真命题．
综上，①②中的命题的否定是真命题，③中的命题的否定是假命题．
故答案为：①②
【变式3】下列命题的否定为真命题的是（ ）
A．，使得方程有整数解
B．，
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．，方程是一元二次方程
【答案】D
【分析】根据命题的否定的定义以及真命题的定义逐一判断各个选项即可.
【详解】原命题的否定为“，方程9没有整数解”，令，则，此时方程有整数解，即原命题的否定为假命题，A错误；
原命题的否定为“”，，当且仅当时等号成立，即原命题的否定为假命题，B错误；
原命题的否定为“存在一组邻边相等的平行四边形不是菱形”，为假命题，C错误；
原命题的否定为“，方程不是一元二次方程”，当时，原方程为是一元一次方程，即原命题的否定为真命题，D正确．
故选：D.
题型03：全称量词命题与存在量词命题的否定
【典例1】命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由特称命题的否定定义可判断.
【详解】由特称命题的否定可知，命题“”的否定是.
故选：D
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论.
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.
【变式1】已知集合，集合，命题“，使得”，则命题p的否定为 ；若p为假命题，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【详解】若p为假命题，则其否定命题“”为真命题.当时，集合，符合；当时，因为，所以由，得对于任意恒成立，所以，则.综上，当p为假命题时，.
【变式2】下列是全称量词命题的否定的有（ ）
A．存在一个能被2整除的整数不是偶数
B．存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上
C．存在实数不是方程的根
D．没有一个平行四边形是菱形
【答案】ABC
【详解】对于A，“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的整数不是偶数”，故A是；对于B，“每一个三角形的三个顶点在同一个圆上”的否定是“存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上”，故B是；对于C，“任何实数都是方程的根”的否定是“存在实数不是方程的根”，故C是；对于D，“有些平行四边形是菱形”的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形，是存在量词命题的否定，故D不是．
【变式3】［多选题］下列说法正确的是（ ）
A．“对任意一个无理数x，也是无理数”是真命题
B．命题“，”的否定是“，”
C．设x，，则“”是“且”的充分不必要条件
D．设a，，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】BD
【详解】对于A，是无理数，是有理数，故A错误；对于B，由全称量词命题与存在量词命题的定义知其正确；对于C，，可取，，不符合且，而且可以推出，所以“”是“且”的必要不充分条件，故C错误；对于D，若，但时，有，而可推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确．
题型04：由全称量词命题的真假确定参数取值范围
【典例1】已知“”为真命题，“”为真命题，那么p，q的取值范围分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】“”为真命题，则，“”为真命题，则．
【变式1】已知集合，．
(1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】解：（1）由于，是真命题，所以，所以，解得，故m的取值范围是．
（2）由题意，所以，即，解得．当时，或，解得．所以当时，．故m的取值范围是．
【变式2】已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故.
【变式3】已知命题，命题，.若命题和命题至多有一个为真命题，求实数的取值范围．
【答案】．
【分析】通过均为真命题，求得的取值范围，再取补集即可.
【详解】若命题为真命题，
则，∴.
若命题，为真命题，则，∴.
∴均为真命题时，满足，即，
其补集为，
∴命题和命题至多有一个为真命题，实数a的取值范围为．
题型05：由存在量词命题的真假确定参数取值范围
【典例1】若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知方程有实数解，即，解得．
解题技巧：（等价转化+数形结合，分离参数+数形结合）
类型1：对于命题p，，通过否定转化为恒成立问题，确定出a的取值范围A，最后取A的补集
类型2：对于命题p，，通过否定转化为恒成立问题，确定出a的取值范围:
形如1：已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围
针对此类可以取全体实数情况下，一元二次不等式求解参数取值范围应该用二次函数图象
第一步：等价转化 恒成立
第二步：画出符合要求的图象写约束条件
第三步：求任意时集合的补集
形如2：命题“”是假命题，则的取值范围为
针对此类只能取一部分实数情况下，一元二次不等式求解参数取值范围应该用参变分离及新的二次函数图象处理
第一步：等价转化 恒成立
第二步：参变分离画出新的二次函数图象写约束条件
恒成立故求的最小值，定义域为当时取最小故
形如3：命题“”是假命题，则的取值范围为
针对此类只能取一部分实数情况下，一元二次不等式求解参数取值范围应该用参变分离及对勾函数图象处理
第一步：等价转化 恒成立
第二步：参变分离画出对勾函数图象写约束条件
恒成立故求的最小值，定义域为当时取最小故
【变式1】存在实数x，使不等式成立，求实数m的取值范围．
【答案】．
【分析】根据题设不等式能成立，知小于左侧最大值即得参数范围.
【详解】令，则，易知y的最大值为3．
因为，成立，所以即可，即．
所以m的取值范围是．
【变式2】已知集合，且.
(1)若命题是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题是真命题，求m的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由条件可得，再由集合间的包含关系求解即可；
（2）由条件得到，再由集合间的包含关系求解即可；
【详解】（1）由于命题是真命题，
所以，所以，
解得，
（2）q为真，则，因为，所以.
所以，
解得.
【变式3】已知命题，；命题，.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由为真命题，构造不等式即可求解；
（2）分别由为真命题，为真命题和同时为假命题求的范围即可求解.
【详解】（1）由题意得，，为真命题，
则，即，故为真命题时，的取值范围为.
（2）当为真命题时，，即，所以为假命题时，；
当为真命题时，，即，所以为假命题时，；
若同时为假命题，则，
所以若至少有一个真命题时，.
1．写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)正方形都是菱形；
(2)；
(3)；
(4)所有能被2整除的数都是偶数.
【详解】（1）否定为：正方形不都是菱形.
正方形都是菱形，故为假命题；
（2）否定为：.
当时，，故为假命题；
（3）否定为：.
当时，，故为真命题.
（4）否定为：存在能被2整除的数不是偶数.
能被2整除的数都是偶数，故为假命题.
2．若命题：，使得为假命题，则实数的取值集合是 .
【答案】
【分析】根据题意，可得为真命题，从而求得的范围.
【详解】因为命题为假命题，所以命题为真命题，
，，
所以实数的取值集合为.
故答案为：.
3．下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．为奇数
【答案】AC
【分析】对A，由绝对值的意义可判断；对B，计算判别式，判断对应方程根的情况得解；对C，由题可得，得解；对D，由，是3个连续的整数，所以是偶数，得解.
【详解】对于A，因为，故A正确；
对于B，因为方程的判别式，方程无实数解，故B错误；
对于C，任意，则，所以，故C正确；
对于D，因为，当时，是3个连续的整数，
至少有一个是偶数，所以是偶数，故D错误.
故选：AC.
4．命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定，将原命题的任意改为存在，并否定原结论，即可得.
【详解】由全称命题的否定是特称命题，原命题的否定是.
故选：C
5．已知命题，，则命题为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】由特称命题的否定定义可得答案.
【详解】由题可得，，的否定是，.
故选：A
6．已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【分析】利用特值法即可判断两个命题的真假，从而得到答案.
【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题，
对于命题，不妨取，由，则命题为真命题，因此，和都是真命题.
故选：B.
7．已知，命题，；命题，．
(1)若p是真命题，求a的最大值；
(2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）命题p为真得出不等式恒成立利用二次函数求给定区间上的最值即可求出a的最大值.
（2）先求出命题q为真时a的取值范围，q为假时a的取值范围，然后利用集合的运算求a的取值范围.
【详解】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以，
即a的最大值为.
（2）若q是真命题，，解得或，
若q是假命题，，解得，
由已知p、q一真一假，
若p真q假，则，
若q真p假，则，
综上： 或
8．已知命题、，使得；命题，，则下列关于，真假叙述正确的是（ ）
A．，均为真 B．，均为假
C．真，假 D．假，真
【答案】B
【分析】由，则为偶数可判断；时可判断.
【详解】若，则为偶数，则，
所以不存在，使，故为假命题，
若，则，所以，使，故为假命题，
所以，均为假命题.
故选：B.
9．命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可.
【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以所求否定是.
故选：A
10．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题, 即可求解.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：C．
11．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】由其否定为真命题，通过求解即可；
【详解】因为命题是假命题，
可得：为真命题；
可得：，
解得：，
故选：A
12．下列命题中是真命题的有（ ）
A．
B．
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件
【答案】ABC
【分析】对A配方即可判断；对B，求解方程即可判断；对C，解出一元二次不等式即可判断；对D，根据菱形和正方形关系即可判断.
【详解】对于A项，因为，所以，此命题为真命题，A正确；
对于B项，由，解得或1，所以命题“”为真命题，B正确；
对于C项，由，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，C正确；
对于D项，由“四边形为菱形”不能推出“四边形为正方形”，充分性不成立，
但由“四边形为正方形”可以推出“四边形为菱形”，必要性成立，D错误，
故选：ABC.
13．(多选)下列说法中正确的有（ ）
A．命题p：，，则命题p的否定是
B．“”是“”的必要条件
C．命题“”是真命题
D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
【答案】AD
【分析】利用全称命题的否定判断A；利用必要条件的定义判断B；举例说明判断C；利用充要条件的定义判断D.
【详解】对于A，命题p的否定是，A正确；
对于B，不能推出，如，但；也不能推出，如，而，
因此“”是“”的既不充分也不必要条件，B错误；
对于C，当时，，C错误；
对于D，关于x的方程有一正一负根，则，解得m<0，
所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，D正确．
故选：AD
14．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可判断.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：C
15．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁 怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，若用反证法证明，第一步是假设猜想不成立，即（ ）
A．对任意正整数，关于的方程都有正整数解
B．对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得正确的选项.
【详解】命题为全称命题，
则命题的否定为：存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解，
故选：D.
16．已知集合，集合或，全集.
(1)若，求，；
(2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)
【分析】（1）由集合的交集和并集的定义运算即可；
（2）由已知可得，进而得到或，求解即可.
【详解】（1）当时，，
因为或，
所以，或；
（2）因为“，都有”是真命题，所以，
因为集合，集合或，
所以或，
即或，所以实数的取值范围.
17．已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围;
(2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）为真命题，则方程有实数根，分与两种情况讨论即可.
（2）由一元二次不等式恒成立求得当命题为真命题时的范围，利用交集运算求解即可.
【详解】（1）若命题为真命题，则关于的方程有实数根，
当时，有实数根，
当时，则，解得且，
综上，实数的取值范围为
（2）命题为真命题，则，不等式恒成立，
当时，，
则，解得
当真假时，有，则或；
当假真时，有，则解集为：
综上，或，
故实数m的取值范围为
18．已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为．
(1)求集合；
(2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由题意可得方程有解，根据即可求解.
（2）由题意得，列出不等式组求解即可.
【详解】（1）由题意可得方程有解，
所以，即，
解得，
所以．
（2）因为是的必要条件，所以，
又因为为非空集合，且，
所以解得，
所以实数的取值范围为．
19．已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立．
(1)若为真命题，求的取值范围；
(2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据命题为真命题，可得出关于实数的不等式，解之即可得出实数的取值范围；
（2）求出当命题为真命题时，实数的取值范围，再将命题为真、命题为真时对应的实数的取值范围取并集即可得答案.
【详解】（1）若命题为真命题，即，不等式恒成立
则，可得，解得，
因此，若为真命题，则的取值范围是.
（2）若命题为真命题，即，使得成立，则，
真假时，；假真时，；
，都真时，；
因为和至少有一个为真，则，
因此，若和至少有一个为真，实数的取值范围是.
20．已知，.
(1)若是真命题，求实数的取值集合；
(2)在（1）的条件下，集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由已知可得，求解即可；
（2）由已知可得，可得，求解即可.
【详解】（1）若是真命题，则，解得，
所以；
（2）因为“”是“”的充分条件，所以，
因为，所以，
解得，所以实数的取值范围为.
1
