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专题2.1 等式性质与不等式性质
教学目标 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.初步掌握用作差法比较两实数的大小． 3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题
教学重难点 1.重点：掌握不等式性质及其应用． 2.难点：不等式性质的应用.
知识点01 符号法则与比较大小
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、①；②；③.
【即学即练】
1．下列不等式中可以用来表示“的2倍比的平方的相反数小”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】依题意，先用表示代数式，再建立不等关系即得.
【详解】因的2倍为的平方的相反数为，
则不等式为：.
故选：D.
2．下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据非正数含义即可得到答案.
【详解】因为非正数小于等于0，则能表示“a与b的和是非正数”的不等式为.
故选：C.
知识点02 不等式的性质
基本性质有：
(1)对称性：(2)传递性：(3)可加性：(c∈R)
(4)可乘性：a>b，
运算性质有：
(1)可加法则：(2)可乘法则：
(3)可乘方性：
【即学即练】
1．设a，b为实数，则“”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，知可得，可推出，反向推不出，故A满足题意；由，得，推不出，反向可推出，故B不满足题意；由，得或或，推不出，反向可推出，故C不满足题意；由，得，推不出，反向可推出，故D不满足题意.
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以．由于，故在不等式上同时乘以a得，即，因此，．
知识点03 比较两代数式大小的方法
作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.
①；②；③.
作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.
①；②；③.
中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.
【即学即练】
1．设，比较与的大小
【答案】
【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.
【详解】，
，
，
.
2．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
【答案】C
【分析】应用作商法比较的大小关系即可.
【详解】由题设，易知x，y＞0，又，
∴x＜y.
故选：C.
题型01：作差法比较两数(式)的大小
【典例1】设，则P，Q，R的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】因为，所以．
因为，
又，所以，所以．
作差法比较大小的步骤
【变式1】已知，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）解法1 因为且，所以，且，两边取倒数得，又，则，从而得证．
解法2 因为且，所以，且，所以，即．
（2）因为且，所以，，则，，由，可得，即，所以，即．综上，．
【变式2】已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】．当时，结合，可得．反之，如，亦成立，却推不出．故“”是“”的充分不必要条件．
【变式3】下列不等式，其中恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】由，知A正确；由，知B错误；由，知C错误；由，知D正确．
题型02：利用不等式的性质证明不等式
【典例1】（1）已知，，，求证：；
（2）证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以．
（2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以．
对利用不等式的性质证明不等式
(1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b>0 a>b；a-b=0 a=b；a-b<0 a(2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系.
(3)比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用.
【变式1】（1）已知，，，试求证：．
（2）已知，，试求与的取值范围．
（3）已知，，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【详解】（1）证明：因为，所以．又，所以，所以，所以．又，所以．
（2）解：因为，，所以，且，所以．因为，所以．又因为，所以．故的取值范围是，的取值范围是．
（3）解：由，得．又，所以，即．故的取值范围是．
【变式2】设，，，证明：．
【答案】证明见解析
【分析】由，，和，，证明即可.
【详解】由题意知，，，
则有，，，①
，，，
所以．
又根据①的结论可知，，，
所以．
综上所述，.
【变式3】已知，求证：.
【答案】证明见解析
【分析】结合立方和公式及，利用作差法即可证明.
【详解】，
因为，所以，又，所以，
所以.
题型03：利用不等式的性质比较大小
【典例1】设，则M与N的大小关系是 ．
【答案】
【详解】因为，所以．
①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；
②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则
【变式1】若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，所以，，所以，，故A正确，B错误；当时，，，故C错误，D错误．
【变式2】下列说法正确的是（ ）
A．若，，且，则 B．若，，则
C．若，，且，则 D．若，，且，则
【答案】AD
【详解】对于选项A，因为，所以，即，故A正确；对于选项B，取，，，，满足，，但，故B错误；对于选项C，取，，满足，，且，但，故C错误；对于选项D，因为，所以，，则，故D正确．
【变式3】有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】对于①，由，得，，要证，则需证，即，这显然成立，故①正确；对于②，由，得，由①知，②正确；对于③，当，时，显然不成立，所以③错误；对于④，当，时，有，④错误．
题型04：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
【典例1】已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】若，则，而，所以有．设，则解得若，，则有，所以，即．
易错警示 题中的第二空易错误的利用如下解法：先由条件得出a，b的范围，再由此得出的范围，即得出的错误结果（其取值范围扩大了）.
利用不等式的性质求取值范围的策略
建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如 已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.
【变式1】若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】若x，y满足，则，从而．若，设，所以解得，则有，所以．
【变式2】若实数，满足，，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由条件可得，利用不等式的性质求解.
【详解】设，
则且，解得，，
所以.
又，，
所以，，
所以.
则的取值范围为.
故答案为：.
【变式3】已知，，求下列各式的取值范围.
(1)；(2)；(3)；(4).
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）∵，∴.又∵，∴.
（2）∵，∴.又∵，∴.
（3）∵，，∴.
（4）∵，∴.由，可得.
题型05：用不等式(组)表示不等关系
【典例1】某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】经过年后，方案B的投入为，则“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示为．
将不等关系表示成不等式(组)的思路
(1)读懂题意，找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.
【变式1】用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系．
【答案】
【分析】根据题意可得，以及菜园面积，即可得不等关系.
【详解】由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18m，
则，菜园的另一条边长为．
可得菜园面积，
依题意有，即，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为.
【变式2】某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式.
【答案】
【分析】设该车工3天后平均每天需加工个零件，由前3天加工的零件个数与后12天加工的零件个数和不小于总个数即得．
【详解】设该车工3天后平均每天需加工个零件，加工天共加工个零件，
15天里共加工个零件，则．
故不等关系表示为．
【变式3】在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（ ）
A．4×≥100 B．4×≤100
C．4×＞100 D．4×＜100
【答案】C
【分析】人跑开的路程应大于100米，可得结论.
【详解】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m．
由题意可得4×＞100.
故选：C.
1．设，为正实数，有下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则．
其中为真命题的有 （写出所有正确命题的序号）．
【答案】①
【详解】对于①，由题意，为正实数，，则，，，故．若，则，则，这与矛盾，故成立．对于②，取特殊值，，，则，②错误．对于③，取，，则，③错误．
2．若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对ACD，根据不等式的性质以及作差法比较大小即可判断；对B，根据不等式的性质以及作差法，再对赋值法即可判断.
【详解】对于A，，因为，故，即，故A错；
对于B，不确定符号，取则，故B错误；
对于C， ，因为，
故，即，故C正确；
对于D，，因为，
故，即，故D错误．
故选：C
3．已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使成立.这样的n的最大值是 .
【答案】112
【分析】先将不等式变形为，然后根据求出的范围，进而验证即可.
【详解】由得，，即.
又由整数k的唯一性知，，解得，
而时，，，满足的整数k只有97，故符合.
故答案为：.
4．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用和范围求出，然后利用不等式的性质求解即可
【详解】由，，
得，即，
，
所以，即，
故选：D
5．某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（ ）
A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生
C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生
【答案】C
【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解.
【详解】根据已知条件设理科女生有人，理科男生有人，
文科女生有人，文科男生有人；
根据题意可知，，
根据异向不等式可减的性质有，
即有，所以理科女生多于文科男生，C正确.其他选项没有足够证据论证.
故选：C.
6．已知，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由不等式的性质可判断；由特值法可判断.
【详解】由，得.
对于A，由，，得成立，该选项正确；
对于B，取，，，得，，
此时，该选项错误；
对于C，由，，得，所以成立，该选项正确；
对于D，取，，，得，，此时，该选项错误.
故选：AC.
7．已知，，则ab的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】用已知式子表示，并利用不等式的性质求的范围，验证最大值取到即可.
【详解】，
由不等式的性质，，所以
所以，所以，
当且仅当时，且已知，解得，
即的最大值为.
故选：A.
8．已知甲 乙 丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠公里数为（ ）
A．1080 B．900 C．810 D．540
【答案】C
【分析】每人最多带36天的水和食物，按乙丙两人同时把水和食物交给甲，乙丙先后不同时把水和食物交给甲两种情况分别计算甲行驶的总天数即可判断.
【详解】甲、乙、丙三人一起出发，设天后，乙丙两人同时把水和食物交给甲，乙丙分别给甲天的水和食物，
于是，解得，甲全程共有水和食物的天数，
因此从出发点甲最多往前走天，最远能深入沙漠公里；
甲、乙、丙三人一起出发，设天后乙丙之一独自返回，不妨令丙返回，丙扣除天的水和食物后，
把剩余的水和食物的一半分别分给甲乙，则由，得，
从出发甲乙带的水和食物的天数都为，当且仅当时取等号，
要使前行天数最多，则取，甲乙均有36天的水和食物，甲乙继续前行，再行天后，乙独自返回，
乙扣除天的水和食物后，把剩余的水和食物给甲，则由，解得，
此时甲全程共有水和食物的天数是，
因此从出发点甲最多往前走27天，最远能深入沙漠公里，显然，
所以甲最远能深入沙漠公里数为810.
故选：C
9．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.则（ ）
A．当一所公寓窗户面积与地板面积的总和为时，这所公寓的窗户面积至少应该为
B．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好
C．若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的3倍，公寓采光效果一定会变差
D．若窗户面积和地板面积都增加原来的，其中公寓采光效果不变
【答案】ABD
【分析】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，同时根据B，C，D设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B，C，D.
【详解】对于A，该公寓窗户面积为x，则地板面积为，
所以，解得，
所以这所公寓的窗户面积至少应该为，A正确；
对于B，若窗户面积a和地板面积b, 同时增加相同面积c，
由题知，增加前后窗户面积与地板面积之比分别为，
则，
所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好，B正确；
对于C，设窗户面积a和地板面积b, 增加的地板面积，增加窗户面积，
由题知，增加前后窗户面积与地板面积之比分别为，
则，其中的值是否大于0无法判断，
所以的大小无法判断，即无法判断公寓采光效果是否会变差，C错误；
对于D，设窗户面积a和地板面积b,
若窗户面积和地板面积都增加原来的，其中
则窗户增加，地板增加，
所以增加前后窗户面积与地板面积之比分别为，
所以公寓采光效果不变，故D正确；
故选：ABD
10．已知实数，，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，结合特例法进行判断即可.
【详解】因为，则,A选项错误;
若，,,B选项正确;
若，取，
,C选项错误;
若，，取,则,D选项错误.
故选:B.
11．若，，，则的取值范围为
【答案】
【分析】利用不等式的性质运算即可得解.
【详解】解：设，则，
解得：，，则，
而由，可得，
再由，可得，
所以，
即，可得.
故答案为：.
12．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AB
【分析】利用不等式的基本性质可判断A；利用作差法比较出大小可判断B；举出反例可判断CD.
【详解】对于A，由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故A正确；
对于B，，因为，所以，故B正确；
对于C，当时，故C错误；
对于D，当时，，故D错误；
故选：AB.
13．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对于选项A：结合已知条件，利用不等式性质即可求解；对于选项BC：首先根据已知条件可得到，然后利用不等式性质即可求解；对于选项D：首先对和平方，然后利用作差法即可求解.
【详解】对于A：因为，故，
又因为，，所以，从而，故A错误；
对于B：由题意可知，，
因为，所以，
故，即，从而，故B正确，
对于C：因为，所以，
所以，故C错误；
对于选项D：因为，
所以，即，故D错误.
故选：B.
14．已知a，b，c，d为实数，以下6个命题中，真命题的序号是 ．
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则；
⑤若，则； ⑥若，则；
【答案】②④
【分析】利用特殊值法和不等式的基本性质一一判断即可.
【详解】对①，当时，，故①不成立；
对②，若，则，即，则，故②成立；
对③，若，则，则，故③不成立.
对④，若，则且，故，故④成立；
对⑤，若，则，故，即，故⑤不成立，
对⑥，，故⑥不成立，
故②④为真命题.
故答案为：②④.
15．已知，，分别求，，，的取值范围．
【答案】详见解析.
【分析】根据不等式的基本性质和反比例函数特点即可求解.
【详解】因为，，
所以，
即的取值范围是．
由，，
得，
所以的取值范围是．
由，，
得，
所以的取值范围是．
易知，
而
则，
所以的取值范围是．
16．下列说法中，错误的是（ ）
A．若，则一定有 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】对A举反例即可判断；对B和D，利用不等式基本性质即可判断；对C，利用作差法即可判断.
【详解】对于A，若，则，故A错误.
对于B，由，可知，所以，所以.故B正确.
对于C，，因为，
所以，所以.故C正确.
对于D，因为，所以.又，所以.故D正确.
故选：A.
17．刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，即可求解.
【详解】设公园的环形道的周长为，刘老师总共跑的圈数为，（），
则由题意，所以，
所以，因为，所以，又，所以，
即刘老师总共跑的圈数为8.
故选：B
18．设，则的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较大小关系即可.
【详解】，，
，，
.
又，故.
则.
故选：C.
19．如果，，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过观察三个数的特征可知最大，再利用作差法判断即可得出结果.
【详解】由选项可知，仅需要比较三个数的大小，
显然， ，所以最大，
由可得，，
所以，即
可得.
故选：D
20．已知实数x，y满足，，则y的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令、得，利用不等式的性质进行运算即可得答案．
【详解】令，，则，
∵，，即，，
∴，则，即.
故选：C
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专题2.1 等式性质与不等式性质
教学目标 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.初步掌握用作差法比较两实数的大小． 3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题
教学重难点 1.重点：掌握不等式性质及其应用． 2.难点：不等式性质的应用.
知识点01 符号法则与比较大小
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号______符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是______符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是______符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、①；②；③.
【即学即练】
1．下列不等式中可以用来表示“的2倍比的平方的相反数小”的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
知识点02 不等式的性质
基本性质有：
(1)______性：(2)______性：(3)______性：(c∈R)
(4)______性：a>b，
运算性质有：
(1)可加法则：(2)可乘法则：
(3)可乘方性：
【即学即练】
1．设a，b为实数，则“”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
知识点03 比较两代数式大小的方法
______法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.
①；②；③.
______法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.
①；②；③.
______量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.
【即学即练】
1．设，比较与的大小
2．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
题型01：作差法比较两数(式)的大小
【典例1】设，则P，Q，R的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
作差法比较大小的步骤
【变式1】已知，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
【变式2】已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3】下列不等式，其中恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
题型02：利用不等式的性质证明不等式
【典例1】（1）已知，，，求证：；
（2）证明：．
对利用不等式的性质证明不等式
(1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b>0 a>b；a-b=0 a=b；a-b<0 a(2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系.
(3)比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用.
【变式1】（1）已知，，，试求证：．
（2）已知，，试求与的取值范围．
（3）已知，，求的取值范围．
【变式2】设，，，证明：．
【变式3】已知，求证：.
题型03：利用不等式的性质比较大小
【典例1】设，则M与N的大小关系是 ．
①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；
②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则
【变式1】若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】下列说法正确的是（ ）
A．若，，且，则 B．若，，则
C．若，，且，则 D．若，，且，则
【变式3】有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型04：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
【典例1】已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ．
利用不等式的性质求取值范围的策略
建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如 已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.
【变式1】若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ．
【变式2】若实数，满足，，则的取值范围为 .
【变式3】已知，，求下列各式的取值范围.
(1)；(2)；(3)；(4).
题型05：用不等式(组)表示不等关系
【典例1】某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（ ）
A． B．
C． D．
将不等关系表示成不等式(组)的思路
(1)读懂题意，找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.
【变式1】用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系．
【变式2】某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式.
【变式3】在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（ ）
A．4×≥100 B．4×≤100
C．4×＞100 D．4×＜100
1．设，为正实数，有下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则．
其中为真命题的有 （写出所有正确命题的序号）．
2．若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使成立.这样的n的最大值是 .
4．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（ ）
A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生
C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生
6．已知，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则ab的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
8．已知甲 乙 丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠公里数为（ ）
A．1080 B．900 C．810 D．540
9．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.则（ ）
A．当一所公寓窗户面积与地板面积的总和为时，这所公寓的窗户面积至少应该为
B．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好
C．若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的3倍，公寓采光效果一定会变差
D．若窗户面积和地板面积都增加原来的，其中公寓采光效果不变
10．已知实数，，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
11．若，，，则的取值范围为
12．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
13．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
14．已知a，b，c，d为实数，以下6个命题中，真命题的序号是 ．
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则；
⑤若，则； ⑥若，则；
15．已知，，分别求，，，的取值范围．
16．下列说法中，错误的是（ ）
A．若，则一定有 B．若，则
C．若，则 D．若，则
17．刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
18．设，则的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
19．如果，，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
20．已知实数x，y满足，，则y的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
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