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专题2.2 基本不等式
教学目标 1.掌握重要的不等式、基本不等式（均值不等式）的内容，成立条件及公式的证明。 2.利用基本不等式的性质及变形求相关函数的最值及证明。
教学重难点 1.重点：利用基本不等式解决问题． 2.难点：基本不等式的应用.
知识点01 基本不等式
1.对公式及的理解.
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是_____，而后者要求都是_____；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“_________________________”.
2.由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
【即学即练】
1．若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．设，，则“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列说法正确的是（ ）
A．最小值为2 B．最大值为2
C．最小值为2 D．最大值为2
知识点02 基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：
如果，，则_______________，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）
方法二：代数法
∵，当时，；当时，.
所以_______________，（当且仅当时取等号“=”）.
【即学即练】
1．已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则使成立的一个充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点03 基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即_____时，等号成立.
【即学即练】
1．数学里有一种证明方法叫做，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，三角形为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
2．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，下列推理正确的是（ ）
A．由题图（1）和题图（2）面积相等得
B．由可得
C．由可得
D．由可得
知识点04 用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为_____；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为_____；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均_____，取得最值.
【即学即练】
1．已知，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
2．已知，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知正数，满足，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
题型01：对基本不等式的理解及简单应用
【典例1】已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
应用基本不等式时的三个关注点
(1)一正数：指式子中的a，b均为正数.
(2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值.
(3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值.
【变式1】已知 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【变式2】若、都有恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】已知，且恒成立，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型02：利用基本不等式比较大小
【典例1】下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
利用基本不等式比较大小
在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．
【变式1】（若正实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（不等式：①；②；③；④，其中恒成立的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【变式3】（设a、b是正实数，以下不等式①；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2恒成立的序号为 （ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
题型03：利用基本不等式证明不等式
【典例1】存在三个实数，满足下列两个等式：①；②，其中表示这三个实数中的最大值，则（ ）
A．的最大值是2 B．的最小值是2
C．的最大值是 D．的最小值是
利用基本不等式证明不等式时应注意的问题
(1)注意基本不等式成立的条件；
(2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；
(3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
【变式1】已知，则与之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
【变式2】已知为不相等的正实数，满足．则下列不等式中不正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】设，，给出下列不等式：
①；
②
③；
④．
其中所有恒成立的不等式序号是 ．
题型04：利用基本不等式求最值
【典例1】已知，，且，则的最大值（ ）
A．12 B． C．36 D．
利用基本不等式求代数式的最值
(1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．
(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
【变式1】已知，则的最大值为 ．已知，，且，则的最小值为
【变式2】已知正数a，b满足，则的最小值为 ．
【变式3】已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 .
题型05：利用基本不等式求解恒成立问题
【典例1】设，不等式恒成立，则a的最小值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值
【变式1】对一切x，，都有，则实数a的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对
【变式2】已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．，或
C． D．，或
【变式3】已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型06：基本不等式在实际问题中的应用
【典例1】某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）.
(1)求的值；
(2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
(3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
【变式1】如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（ ）
A．如果,那么 B．如果,那么
C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立
【变式2】我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量x（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求2023年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；
(2)当2023年年产量为多少时，企业所获利润最大 最大利润是多少
【变式3】如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，.
(1)当时，求的值；
(2)设的面积为，求的最大值.
1．下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，，则
D．若，，，则
2．若关于的一元一次不等式组有2个负整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知（a，b，），且，则（ ）
A． B．存在a，c使得
C．不存在a，c使得 D．
4．已知，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若，则
5．已知，，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
6．已知且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．6
7．已知，，，则的最小值为 .
8．已知实数，满足，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．5
C． D．
9．已知，由此式可得不等式，当且仅当时等号成立．利用此不等式求解以下问题：设，则的值不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．下列命题是真命题的有（ ）
A．时，的最大值为
B．已知，则的最小值为
C．已知，，，则不等式成立的充分不必要条件是
D．
11．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客得到的黄金实际克数（ ）
A．大于10克 B．等于10克 C．小于10克 D．与砝码放置顺序有关
12．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
13．求下列各题的最值．
(1)已知，求的最小值；
(2)设，求函数的最大值．
14．（1）已知，证明：
（2）已知，证明：
15．已知．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
16．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：
方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；
方案二：其给出的整体报价为元，
(1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值；
(2)求的函数解析式，并求报价的最小值；
(3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围.
17．设函数.
(1)若，求的解集；
(2)若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围；
(3)解关于的不等式：.
18．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
19．求最值：
(1)已知，且满足，求的最小值；
(2)已知，求的最大值；
(3)已知，且满足，求的最小值.
20．如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值．
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专题2.2 基本不等式
教学目标 1.掌握重要的不等式、基本不等式（均值不等式）的内容，成立条件及公式的证明。 2.利用基本不等式的性质及变形求相关函数的最值及证明。
教学重难点 1.重点：利用基本不等式解决问题． 2.难点：基本不等式的应用.
知识点01 基本不等式
1.对公式及的理解.
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
2.由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
【即学即练】
1．若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为,
所以且,
故且,
所以,
故,
,
所以,
所以,
故选：A．
2．设，，则“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】∵，，∴，当且仅当时等号成立，
若时，，则，
即“”是“”的必要不充分条件，
而无法推出，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：.
3．下列说法正确的是（ ）
A．最小值为2 B．最大值为2
C．最小值为2 D．最大值为2
【答案】C
【详解】当时，，当且仅当即时，等号成立；
当时，，
当且仅当即时，等号成立；故选项AB错误；
任意，，当且仅当时，
即也即时，等号成立，所以最小值为2，故选项C正确；
当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大，所以无最大值，
故D错误.
故选：C.
知识点02 基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：
如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）
方法二：代数法
∵，当时，；当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
【即学即练】
1．已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，令，显然有，但，A不是；
对于B，当，时，，B不是；
对于C，，显然有，但，C不是；
对于D，当，则，即，
反过来，令，不等式成立，而， D是.
故选：D
2．若，则使成立的一个充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A，易知当时满足，但此时不成立，可知A错误；
对于B，当，可知成立，但不成立，可知B错误；
对于C，由可得，即可得，即充分性成立；
当时，满足，但此时不成立，即必要性不成立，可得C正确；
对于D，当时，易知成立，此时不成立，可得D错误.
故选：C
3．已知，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A. ∵（当且仅当时取等号），
∴，当且仅当且时取等号.
选项A正确.
B. ，当且仅当即时取等号.
选项B正确.
C. ∵（当且仅当时取等号），
∴.
选项C正确.
D. ∵（当且仅当时取等号），
∴.
选项D错误.
故选：D.
知识点03 基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
【即学即练】
1．数学里有一种证明方法叫做，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，三角形为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由四边形为矩形，三角形为等腰直角三角形，可推出三角形也为等腰直角三角形，
所以图1的阴影部分面积，
图2阴影部分的面积，
由两图阴影部分面积关系直观得出，即，当且仅当时，等号成立.
故选：A.
2．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，下列推理正确的是（ ）
A．由题图（1）和题图（2）面积相等得
B．由可得
C．由可得
D．由可得
【答案】D
【详解】A选项：由图（1）和图（2）面积相等可得，所以，A错误；
B选项：因为，所以，得，
设图（3）中正方形边长为t，因为小三角形（青）与相识，
所以，解得，所以，
因为，所以，整理得，B错误；
C选项：因为D为斜边BC的中点，所以，
因为，所以，整理得，C错误；
D选项：因为，所以，整理得，D正确.
故选：D
知识点04 用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
【即学即练】
1．已知，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【详解】由，且，
所以，
，
当且仅当，即，时取等号，
所以，所以的最小值为.
故选：D
2．已知，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
三个等号可同时成立，所以 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 ，
故选：A.
3．已知正数，满足，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：B.
题型01：对基本不等式的理解及简单应用
【典例1】已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】不等式恒成，即，
，
当且仅当，即时等号成立，故.
故选：.
应用基本不等式时的三个关注点
(1)一正数：指式子中的a，b均为正数.
(2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值.
(3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值.
【变式1】已知 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【详解】不等式恒成立，等价于，
又，故恒成立，
所以，
又，故，
即，解得 或
故选：B
【变式2】若、都有恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】显然不满足等式，所以，，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故，A对B错；
，
当且仅当时，即当时，等号成立，即，CD都错.
故选：A.
【变式3】已知，且恒成立，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】因为，则，又恒成立，
即恒成立，
又，
当且仅当，即时取等号，所以，
故选：B.
题型02：利用基本不等式比较大小
【典例1】下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由于，可得，当且仅当a=b时，等号成立，可知选项A错误；
若可得则，可知选项B错误；
由于，可得，可知选项C正确；
若可得则，可知选项D错误；
故选：C.
利用基本不等式比较大小
在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．
【变式1】（若正实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据基本不等式判断正确不等式，错误的不等式可举例说明．
【详解】，C正确；
时，，A错；
时，，B错；
，D错．
故选：C.
【变式2】（不等式：①；②；③；④，其中恒成立的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】B
【详解】①,
不能恒成立,；
②
恒成立；
③当时，，当时，不成立；
④时，，当且仅当，即时，等号成立，故④恒成立.
故选：B.
【变式3】（设a、b是正实数，以下不等式①；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2恒成立的序号为 （ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【详解】∵a、b是正实数，∴①a＋b≥2 1≥,得≥.
当且仅当a＝b时取等号，∴①不恒成立；
②由，且，则a＋b>|a－b| a>|a－b|－b恒成立；
③a2＋b2－4ab＋3b2＝(a－2b)2≥0，当a＝2b时，取等号，∴③不恒成立；
④ab＋≥2恒成立.
故选：D.
题型03：利用基本不等式证明不等式
【典例1】存在三个实数，满足下列两个等式：①；②，其中表示这三个实数中的最大值，则（ ）
A．的最大值是2 B．的最小值是2
C．的最大值是 D．的最小值是
【答案】B
【详解】由题意可知，中有2个负数，1个正数，其中是负数，，
则，
所以，则，且，
所以，即，所以的最小值为2.
故选：B
利用基本不等式证明不等式时应注意的问题
(1)注意基本不等式成立的条件；
(2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；
(3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
【变式1】已知，则与之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
【答案】B
【详解】
.
因为，
所以.
因为，
所以，即.
故选：B.
【变式2】已知为不相等的正实数，满足．则下列不等式中不正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由，
因为为不相等的正实数，所以，
对于A，，故A正确；
对于B，，当且仅当，即 或时等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时等号成立，故C错误；
对于D，等价于，即，当且仅当，即 时等号成立，故D正确．
故选：C．
【变式3】设，，给出下列不等式：
①；
②
③；
④．
其中所有恒成立的不等式序号是 ．
【答案】①②③
【详解】对于①，，故①正确；
对于②，，当且仅当时等号成立，且，当且仅当时等号成立，则，故②正确；
对于③，，当且仅当，即时等号成立，故③正确；
对于④，，当且仅当成立，则，故④不正确.
故答案为：①②③.
题型04：利用基本不等式求最值
【典例1】已知，，且，则的最大值（ ）
A．12 B． C．36 D．
【答案】D
【详解】由，得，则，
因为，，所以
当且仅当，时等号成立，
所以的最大值为，
故选：D.
利用基本不等式求代数式的最值
(1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．
(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
【变式1】已知，则的最大值为 ．已知，，且，则的最小值为
【答案】 /
【详解】当时，，故，
当且仅当时取到等号，故的最大值为
由于，，故，
则，
当且仅当时，即时取到等号，故的最小值为.
故答案为：；.
【变式2】已知正数a，b满足，则的最小值为 ．
【答案】4
【详解】因，
则
当且仅当时取等号，
故的最小值为4．
故答案为：
【变式3】已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 .
【答案】8
【详解】由，
因为，，所以有，
当且仅当时取等号，
所以有，
故答案为：.
题型05：利用基本不等式求解恒成立问题
【典例1】设，不等式恒成立，则a的最小值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【详解】因为恒成立，所以恒成立，即恒成立．又，当且仅当时，等号成立，所以，即．
利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值
【变式1】对一切x，，都有，则实数a的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对
【答案】B
【详解】因为x，，所以，所以，
又，
当且仅当时，取等号，所以，
所以实数a的最小值是.
故选：B.
【变式2】已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．，或
C． D．，或
【答案】A
【详解】，
，当且仅当时等号成立，
恒成立，，
解得.
故选：A.
【变式3】已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立，
又，当且仅当时取等号，故.
故选：A
题型06：基本不等式在实际问题中的应用
【典例1】某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）.
(1)求的值；
(2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
(3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【答案】(1)
(2)
(3)3万元
【详解】（1）由题意知，当时，（万件），
则，解得；
（2）由（1）可得.
所以每件产品的销售价格为（元），
2024年的利润.
（3）当时，，
，当且仅当时等号成立.
，
当且仅当，即万元时，（万元）.
故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
【变式1】如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（ ）
A．如果,那么 B．如果,那么
C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立
【答案】C
【详解】通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即,即.当时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明,
故选C
【变式2】我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量x（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求2023年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；
(2)当2023年年产量为多少时，企业所获利润最大 最大利润是多少
【答案】(1)
(2)当2023年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元
【详解】（1）当时，；
当时，，
所以
（2）当时，，当时，万元；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，万元.
因为，故最大利润是8250万元.
答：当2023年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元.
【变式3】如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，.
(1)当时，求的值；
(2)设的面积为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）如图，由矩形的周长为，，可知，.
，，，
，
.
在中，由勾股定理得，即，解得.
（2）如图，由矩形的周长为，可知，，
，，，
，
.
在中，由勾股定理得，即，
解得，
所以.
所以的面积为
.
由基本不等式与不等式的性质，得，
当且仅当时，即当时，的面积最大，
面积的最大值为.
1．下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】BCD
【详解】对于选项A：若，取，但，故A错误；
对于选项B：若，则，
可得，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于选项C：若，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于选项D：若，，，
则，，，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确；
故选：BCD.
2．若关于的一元一次不等式组有2个负整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】已知，解不等式得：；
又因为，关于的一元一次不等式组有2个负整数解，则这两个解为：，，
所以，.
故选：B.
3．已知（a，b，），且，则（ ）
A． B．存在a，c使得
C．不存在a，c使得 D．
【答案】ACD
【详解】对于A，由，，得，则，A正确；
对于B，由，，得，则，，
若存在，使得，则，与已知相矛盾，B错误；
对于C，由，得，，C正确；
对于D，，，D正确.
故选：ACD.
4．已知，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若，则
【答案】ACD
【详解】，
对A，因为，当且仅当时等号成立，
所以，
即，A正确；
对B，，当且仅当时取等号，因此最小值是36，B错；
对C，由三元均值不等式知C正确；
对D， ，当且仅当时取等号，
所以，D正确，
故选：ACD.
5．已知，，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】由于，故，
，当且仅当时，取等号，
，当且仅当时，原式取得最小值，
故选：D.
6．已知且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】B
【详解】已知，且，
法一：由得，
则
，
当且仅当时取等号，则的最小值为；
法二：由得，
则，
当且仅当，即，时取等号，
则的最小值为．
故选：B.
7．已知，，，则的最小值为 .
【答案】
【详解】因为，，，所以，
因为，
所以，当且仅当即（负值舍去），等号成立，
此时，整理得，
解得，（不符合题意舍去），
即当，时，有最小值为.
故答案为：
8．已知实数，满足，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．5
C． D．
【答案】B
【详解】由可得：.
因为，
所以，，
则，当且仅当，即时等号成立.
故选：B.
9．已知，由此式可得不等式，当且仅当时等号成立．利用此不等式求解以下问题：设，则的值不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】由已知可得，而，所以，所以，故的值不可能为2．
10．下列命题是真命题的有（ ）
A．时，的最大值为
B．已知，则的最小值为
C．已知，，，则不等式成立的充分不必要条件是
D．
【答案】BCD
【详解】A：由，则，
当且仅当时取等号，故的最大值为，A错；
B：，当且仅当时取等号，即的最小值为，B对；
C：若，显然，则；若，时，不成立，
所以是的充分不必要条件，C对；
D：取，可得，D对.
故选：BCD
11．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客得到的黄金实际克数（ ）
A．大于10克 B．等于10克 C．小于10克 D．与砝码放置顺序有关
【答案】A
【详解】设天平左臂长为，右臂长为
第一次称重：左盘放砝码，右盘黄金质量为，根据杠杆原理，，解得：
第二次称重：右盘放砝码，左盘黄金质量为，根据杠杆原理，，解得
两次黄金总质量为：
因为，由基本不等式（当且仅当时取等号），所以：
因此，顾客得到的黄金实际克数大于克
故选：A.
12．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】对于AB选项，根据基本不等式得，
可得，当且仅当或时，等号成立，
则，A对B错；
对于C选项，不妨取，，则等式成立，
但，C错；
对于D选项，由得，
则，可得，
当且仅当或时，等号成立，D对.
故选：AD.
13．求下列各题的最值．
(1)已知，求的最小值；
(2)设，求函数的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.
（2）解：由，可得，
则 ，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为.
14．（1）已知，证明：
（2）已知，证明：
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【详解】（1）由，得，即，
所以，又，
故，所以．
（2），，，
，，，当且仅当时，等号成立，
，
；
15．已知．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，
所以；
（2）因为，
所以 ，
当且仅当，即，时等号成立．
16．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：
方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；
方案二：其给出的整体报价为元，
(1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值；
(2)求的函数解析式，并求报价的最小值；
(3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围.
【答案】(1)18
(2)
(3)
【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元，
，
所以的值为18.
（2）设底面长为，，
所以墙面面积为，
，，当时取等，
所以，最小值为.
（3）对任意的时，方案二都比方案一省钱，
即时，恒成立，
整理得，
因为，，
设，则，
又由对勾函数性质可得在在上单调递增，
，
又，所以，
所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为.
17．设函数.
(1)若，求的解集；
(2)若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围；
(3)解关于的不等式：.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【详解】（1）由函数，
若，可得，
又由，即不等式，即，
因为，且函数对应的抛物线开口向上，
所以不等式的解集为，即的解集为.
（2）由对一切实数恒成立，
即对恒成立，
，
，
，
，
当且仅当时，即时等号成立，
所以的取值范围是.
（3）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为.
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或；
综上，当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
18．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
【答案】(1)当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低
(2)
【详解】解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为，底面积为，所以屋子的前面墙的长度为．
设甲工程队报价为y元，所以．
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低，为14400元．
（2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立．
因为，当且仅当，即时，等号成立，所以．
故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
19．求最值：
(1)已知，且满足，求的最小值；
(2)已知，求的最大值；
(3)已知，且满足，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，且，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，有最小值，最小值为；
（2）因为，则，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以当时，有最大值，最大值为；
（3）因为，所以，
因为，所以，
当且仅当，即，即时取等号，
故当时，有最小值，最小值为.
20．如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值．
【答案】最大面积为，
【详解】由题意可知，矩形的周长为，且，则，
设，则，又为直角三角形，
所以，整理得到，则，
，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，当且仅当，时，取等号，满足，
故，时，取最大面积为.
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