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专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
教学目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。 2.掌握一元二次方程的求解方法, 掌握一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的分布情况。 3.掌握图象法解一元二次不等式，会解简单的能转化为一元二次不等式的分式不等式。
教学重难点 1.重点：一元二次不等式（不含参）的求解与一元二次不等式（含参）的求解 2.难点：一元二次不等式与对应函数、方程的关系.
知识点01 一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．
【即学即练】
1．已知的解集是，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．的最小值是
D．当时，，的值域是，则的取值范围是
【答案】BCD
【详解】对于A，由题意可知： 是关于x的方程 的两个根，且 ，故A错误；
对于B，由题意可知： ，可得 ，.
不等式 化为： ，
由 可得 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ，故B正确；
对于C，因为， ，
可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值是，故C正确；
对于D，当 时， ，
则 ，
当 时， 取到最大值 ，
由 得， 或 ，
的值域是 ，
因 在 上的最小值为 ，最大值为1，
从而得 或 ，
因此 ，故D正确.
故选：BCD.
2．已知函数，
(1)若，且是方程的一个根，求的最大值；
(2)若，对，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)若，不等式恰有4个整数解，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）若是方程的一个根，
则，整理得，
因为，
所以，即，故，
当且仅当，即时，的最大值为；
（2）若，则，
当时，不等式为恒成立，符合题意；
当时，对，不等式，则有：
；
综上，的取值范围为；
（3）若，则，
要使得不等式有恰有4个整数解，则，
则方程的两根为，
因为不等式有恰有4个整数解，且，
所以，解得，
故的取值范围为.
知识点02 二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.
【即学即练】
1．已知二次函数的图象开口向上且零点为和，则（ ）
A．且
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
【答案】BC
【详解】对于A，由题意得且为一元二次方程的两个根，
故，，即，，故A错误；
对于B，为一元二次方程的根，故，
即，故B正确；
对于C，由A选项可知，即，解得，故C正确；
对于D，即，又，
故，解得，故D错误.
故选：BC.
2．已知二次函数，其中为实数．
(1)求证：对任意实数，该二次函数有两个零点（即函数对应方程的根）；
(2)设该二次函数在上有两个零点为，且，求此二次函数的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）,
故该二次函数在有两个不同的零点.
（2）因该二次函数在上有两个不同的零点，故，
其中，故，
因为，故，故，
故.
知识点03 一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．
【即学即练】
1．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值5 B．最大值
C．最小值5 D．最小值
【答案】D
【详解】由题意可得:，解得
因为二次函数图象的对称轴在轴左侧，
，即，
二次函数有最小值为.
故选：D.
2．已知存在，使得成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，令，
则，其图象开口向上，对称轴为，
所以函数在区间上单调递减，则，
因为存在，使得成立，
所以，即，
即，解得，
所以的取值范围是，
故选：C.
知识点04 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
二次函数 （）的图象
有两相异实根 有两相等实根 无实根
【即学即练】
1．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．
【答案】C
【详解】由题意得，，方程的两根为，
∴，∴，
∵，，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为.
故选：C.
2．已知函数.
(1)若关于的不等式有解，求的取值范围；
(2)求的取值范围，使得总有实数解.
【答案】(1)或；
(2)或.
【详解】（1）若，则，不满足题意；
若，则必有解；
若，解得，
故的取值范围为或；
（2）①若，则，不满足题意；
②由，由知总有实数解，
即，则或，
由于，则或，
综上，或.
知识点05 利用不等式解决实际问题的一般步骤
1.选取合适的字母表示题中的未知数；
2.由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
3.求解所列出的不等式(组)；
4.结合题目的实际意义确定答案．
【即学即练】
1．某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为，
由题意知，，，
所以，
根据题意得，
整理得，解得（舍去）或，
所以．
当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一．
故答案为：.
2．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（ ）
A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速
【答案】BC
【详解】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），这表明甲车的车速超过，但根据题意刹车距离略超过，由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），这表明乙车的车速超过，超过规定限速，即乙车超速.
知识点06 一元二次不等式恒成立问题
1.转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立
2.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
【即学即练】
1．“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】不等式在R上恒成立，
∴，解得，这是其充要条件，
是的真子集，其充分不必要条件可以是.
故选：D.
2．已知为实数，集合.
(1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为集合，
由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题，
即在上恒成立，
因为函数，当时，取得最大值，最大值为，所以，
所以实数的取值范围为.
（2）解：因为恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，不等式等价于恒成立，符合题意；
当时，等价于恒成立，
因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，
综上可得，实数的取值范围为.
知识点07 简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”
【即学即练】
1．不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】由题设，而，
所以，则，即解集为.
故答案为：
2．不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】即
原不等式可化为，
解得.
故答案为：
题型01：解不含参数的一元二次不等式
【典例1】已知，，若，则的最小值为 .
【答案】9
【详解】因，，则，
，
两边同乘得，
整理得，
又，，从而，
则，
当且仅当且，即时等号成立，
则有，
即，即，
又，解得，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为9.
故答案为：9.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
1.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
2.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
3.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
4.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
5.根据图象写出不等式的解集．
【变式1】已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 .
【答案】或
【详解】因为二次不等式的解集为，
则的两根为，则，
所以，解得或，
故答案为：或.
【变式2】已知集合集合，集合.
(1)若，求和；
(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）已知，解不等式：
移项可得，通分得到，即.
此不等式等价于.
解，可得，所以.
已知，当时，.
解不等式，可得，即，所以.
所以. .
（2）已知，解不等式，可得，即，所以.
因为是成立的必要不充分条件，所以.
则有（不能同时取等号），解得.
所以实数的取值范围是
【变式3】已知集合且，集合，命题，命题.
(1)若，求；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）因为，所以，故，
又因为，
所以.
（2）因为是的充分不必要条件，故是的真子集，
又且，
所以（等号不同时成立），解得，
综上，实数的取值范围是.
题型02：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
【典例1】已知是一元二次方程的两个不相等的实数根．
(1)若两根同号，求实数的取值范围；
(2)求使得的值为整数的整数的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得即，
所以实数的取值范围为；
（2）由（1）知，当时，方程有两个实数根，
可知，
于是，
由，则，则，
即要使的值为正整数，且为整数，则，
则有，化简得，则，
令，此时为整数，则满足题意．
故使得的值为整数的整数的值为.
三个“二次”之间的关系
1.三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．
2.讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
【变式1】已知方程有两个实根
(1)若两根均大于，求实数的取值范围；
(2)表，求实数的值．
【答案】(1)
(2)实数的值为或.
【详解】（1）设
由题意得：，解得：.
即实数的取值范围为.
（2）因为方程有两个实根，
由根与系数的关系可得：，
，
则，即，
化简可得：，解得：或.
所以实数的值为或.
【变式2】已知集合，集合，.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，方程有两个不等根、，
所以，，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，，
即，解得（舍去）或.
（2）方程在区间上有个不等根，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
【变式3】已知关于的一元二次方程.
(1)若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围；
(2)若上述方程无正数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）关于关于的一元二次方程有两根，
可得，解得，且
又两根为正根，所以，，即，解得或
故实数的取值范围为；
（2）由题意可知：，
若，解得，此时无实数根，满足题意；
若，解得，且，
设此时两实数根分别为，，
则由题意得，，则，解得，
综上：实数的取值范围为.
题型03：含有参数的一元二次不等式的解法
【典例1】若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得，且，
又
，
，
则解得，
故选：D．
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
1.讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
2.判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．
3.写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
【变式1】关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当时，不等式，即，，
故不等式的解集为，故A可能；
当时，，即，
当时，的解集为，故D可能；
当时，不等式无解；
当时，的解集为，故B可能.
故选：C
【变式2】当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 .
【答案】或
【详解】由已知可得，
易知该不等式对应的三个根为，且恒成立；
由已知时，不等式恒成立，
则需满足（1），解得成立；
（2）时，，，解得成立；
综上可得或.
故答案为：或
【变式3】已知二次函数（）．
(1)若二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且的面积为3，求实数a的值；
(2)求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)或
(2)答案见解析
【详解】（1）令，则有，得两点的横坐标分别为，
令，得点的坐标为，
故的面积为，解得或.
（2）不等式可化为，
①当时，不等式的解集为或，
②当时，不等式的解集为，
③当时，不等式的解集为，
④当时，不等式的解集为.
题型04：一次分式不等式的解法
【典例1】当时，关于的分式不等式的解区间为 ．
【答案】
【详解】由，
当时，有，
∴解区间为．
故答案为：.
分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？
2.
3. 且
4. 且
【变式1】关于x的分式不等式的解为 .
【答案】且
【详解】由得，
，
则，解得且，
所以原不等式的解集为且.
故答案为：且
【变式2】与不等式组同解的一个分式不等式可以是
【答案】
【详解】解：由，得，解得或，
由，得或，解得或，
所以不等式组的解集为或，
与不等式组同解的一个分式不等式可以是，
故答案为：
【变式3】解下列分式不等式
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）或；（2）；（3）.
【详解】（1），有，解得或
（2）知：，故
∴且，解得
（3）
∴可化为
即，解得
题型05：实际问题中的一元二次不等式问题
【典例1】某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（ ）
A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/
【答案】B
【详解】设下调后的电价为x元/.依题意知用电量增至，电力部门的收益为.依题意有，整理得.又，解得.
利用不等式解决实际问题需注意以下四点
1.阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．
2.建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．
3.讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．
4.作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论．
【变式1】如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m.
【答案】
【详解】由题设，则，
所以，当且仅当时取等号，
令，则，即，
所以或（舍），
此时，即用纸量最少时m.
故答案为：
【变式2】某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估. 该商品原来每件售价为元，年销售万件.
(1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元. 公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用. 试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时商品的每件定价.
【答案】(1)元
(2)答案见解析
【详解】（1）设每件定价为元，由题意可，
整理可得，解得，
要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元.
（2）依题意，当时，有解，
等价于当时，有解，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，则，
所以，当该商品明年的销售量至少应达到万件时，
才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元.
【变式3】某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）.
(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价））
(2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？
【答案】(1)，
(2)当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长
【详解】（1）设下调电价后新增用电量为，
因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为），
则，所以本年度的用电量为，
所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，.
（2）依题意有：，
整理得：，解得：，
所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长．
题型06：不等式的恒成立问题
【典例1】若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题设，在上恒成立，而，
所以.
故答案为：
不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
【变式1】，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，不等式恒成立，
当时，不恒成立，不合题意；
当时，满足且，
即，所以，所以，
所以，，
当且仅当即，取的最小值为.
故选：B.
【变式2】已知二次函数．
(1)若函数的定义域为，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式（其中）．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由函数的定义域为，得在上恒成立，
则，解得，
所以实数的取值范围为；
（2）不等式化为，
即，
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得或；
当时，不等式化为，
若，不等式无解，
若，则，解得，
若，则，解得，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【变式3】若不等式对正实数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】当时，开口向下，则在上存在的情况，不符；
当时，显然在上不恒成立，不符；
当时，开口向上且对称轴为，
所以，在上，只需，可得（舍），
综上，
1．抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若方程有两个根，且；则
D．若方程有四个根，则这四个根的和为4
【答案】BCD
【详解】由的顶点坐标为，则，则，
由抛物线图象开口向下，所以，所以，所以A错误；
，所以B正确；
令，则的两根为，且开口向下，
因为方程有两个根，且，
所以与的两交点为，所以，所以C错误；
，其对称轴为，
因为方程有四个根，分别为，
根据对称性知，所以这四个根的和为4，所以D正确.
故选：BCD
2．已知二次函数，当时，函数最大值为，最小值为.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】二次函数的对称轴为直线，且，
若，且当时，随着的增大而减小，
故，，
因为，故，整理得，，
故方程无解，不合乎题意；
若，当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大.
故，
若，则，此时，
若，则，由得，可得，
因为，解得，所以，.
综上所述，.
故选：C.
3．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
【答案】C
【详解】由题意可知：，m是方程的两根，且，
则，可得，，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2.
故选：C.
4．实数x，y，z满足，，则z的最大值是 .
【答案】
【详解】因为，所以，
即，
又，所以，
又，
因为.
所以，
整理得：.
所以的最大值为：.
故答案为：
5．已知二次函数满足：且，则 .
【答案】25
【详解】设二次函数，由可得：，
又由，
则有，
把代入得：，
则，，
即有，
又由可得：，即，
所以有，，满足，
则有，所以有，
故答案为：25
6．若不等式的解集为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知：的两根为，
所以解得：，
经检验符合条件，
故选：A
7．若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】设，由题可知，若都在区间内，则需满足所以解得，故B，C符合.
8．命题“，”为真命题的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得，解得，
故选：D.
9．若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】不等式对一切实数恒成立，
则
则实数.
故选：B.
10．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为对任意，不等式恒成立.
所以，其中，
设，，因为，
所以当时，函数，取最小值，最小值为，
所以，
故选：A.
11．抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】抛物线的开口向下，，
抛物线的对称轴为，，，
抛物线与轴相交于正半轴，，，故A错误；
抛物线的对称轴为，，，故B错误；
由图象可知，当时，函数值小于0，即，
故C正确；
抛物线与轴有两个交点，，，故D错误.
故选：C.
12．已知函数，若非空集合，，满足，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】由，可得，
即，
由，可得在上恒成立，
即，解得，
又集合A是非空集合，所以在上有解，
则，解得或，
综合可得：．
故答案为：
13．已知函数，.
(1)若，求方程的根；
(2)函数.求的表达式及在上的值域；
(3)函数， 求在区间上的最小值.
【答案】(1)或
(2)，
(3)
【详解】（1）当时，，
则或.
（2）如图：
由函数图象可知：，
当时，，即函数的值域为；
（3），
对称轴：，
①时，，所以在上单调递减，
∴ ；
②当时，，即，
③当时，所以在上单调递增，即，
∴
14．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米.篱笆长60米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．
(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为400平方米
(2)若围成的矩形的面积为平方米，当为何值时，有最大值，最大值是多少
【答案】(1)20
(2)时，有最大值，最大值为
【详解】（1）由已知可得，，所以，
又，所以，
面积，
整理可得，，解得（舍）或，
所以的长应为20米；
（2）由已知可得，，.
又，
根据二次函数的性质可知，在上单调递减，
所以，当时，有最大值.
15．函数，.
(1)记，求的取值范围.
(2)记函数的最小值为，求.
(3)求方程的解集.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1），其中，则，
因为，所以，
所以，.
（2）由得，
所以，
令，，则有：
①当时，，，
②当时，在上单调递增，则，
③当时，是一个开口向下的二次函数，且对称轴，此时，
④当时，是一个开口向下的二次函数，且对称轴，此时，
综上：.
（3）由（2）可知①当时，，此时解得；
②当时，
若，即，则，此时方程无解；
若，即时，
，
此时方程的解为；
综上，方程的解集为.
16．若函数在定义域内存在满足，则称为“局部反比例对称函数”.
(1)已知函数是“局部反比例对称函数”，求的值；
(2)求证：函数有两个零点，，且；
(3)若是“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为函数是“局部反比例对称函数”，
所以，
化简得.
要使得等式成立，则，，解得.
又，所以或.
（2）因为，，
所以，所以为“局部反比例对称函数”.
因为，定义域为.
所以，，
所以根据零点存在定理可知，在内存在一个零点，设为，
则，而，所以，
所以设，则也是的一个零点，且.
（3）因为是“局部反比例对称函数”，
所以在上有解，
化简得.
令，则，所以方程变为.
令，对称轴为，
当时，解得；
当时，，
解得，又，所以.
综上，的取值范围是.
17．定义：对于关于的函数，函数在范围内的最大值，记作.如函数，在范围内，该函数的最大值是，即.请根据以上信息，完成以下问题：已知函数（为常数）.
(1)若.
①直接写出该函数的表达式，并求的值；
②已知，求的值.
(2)若该函数的图象经过点，且，求的值.
【答案】(1)①；②.
(2)时，或；当时，.
【详解】（1）①若，则，
当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大.
当时，；当时，，故；
②若，且当时，随着的增大而减大，
此时，不合乎题意；
若，且时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大.
若，则，不合乎题意，
若，则，因为，解得，合乎题意；
综上所述，.
（2）因为函数（为常数），则，解得.
若，则，当时，，则，合乎题意；
若，则，
若，且当时，随着的增大而增大，
此时，即，因为，解得；
若，且当时，随着的增大而增大，
当时，随着的增大而减小，此时，合乎题意；
综上所述，当时，或；当时，.
18．美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元；
②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元．
【答案】(1)万套时，每万套的最低成本为12万元；
(2)该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元.
【详解】（1）由题设，平均每万套的成本，
当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套；
（2）由题设，该套装每月的利润为，
所以，可得，
所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元.
19．已知命题；命题．
(1)若是真命题，求实数的取值范围；
(2)若和都为真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)或
【详解】（1）若命题为真，则，
即，解得：，
而是真命题，所以命题为假命题，
所以或.
（2）由（1）知，命题为真时，；
若为真命题，
则，解得或.
故命题和命题都为真命题，则，
解得或，
即实数的取值范围为或
20．设函数．
(1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围．
(2)对于恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）要使恒成立，
若，显然．
若
需满足
综上：．
（2）解法一：要使在上恒成立，
就要使在上恒成立．
令．
当时，在上随的增大而增大，
当时，；
当时，恒成立；
当时，在上随的增大而减小，
当时，得，
．
综上所述：．
解法二：当时，恒成立，
即当时，恒成立．
，
又，．
函数在1上的最小值为，
．
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专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
教学目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。 2.掌握一元二次方程的求解方法, 掌握一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的分布情况。 3.掌握图象法解一元二次不等式，会解简单的能转化为一元二次不等式的分式不等式。
教学重难点 1.重点：一元二次不等式（不含参）的求解与一元二次不等式（含参）的求解 2.难点：一元二次不等式与对应函数、方程的关系.
知识点01 一元二次不等式的概念
一般地，我们把_______________，并且末知数的最高次数是_____的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．
【即学即练】
1．已知的解集是，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．的最小值是
D．当时，，的值域是，则的取值范围是
2．已知函数，
(1)若，且是方程的一个根，求的最大值；
(2)若，对，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)若，不等式恰有4个整数解，求的取值范围.
知识点02 二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的_____叫做二次函数的零点.
【即学即练】
1．已知二次函数的图象开口向上且零点为和，则（ ）
A．且
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
2．已知二次函数，其中为实数．
(1)求证：对任意实数，该二次函数有两个零点（即函数对应方程的根）；
(2)设该二次函数在上有两个零点为，且，求此二次函数的解析式．
知识点03 一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．
【即学即练】
1．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值5 B．最大值
C．最小值5 D．最小值
2．已知存在，使得成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
知识点04 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
二次函数 （）的图象
有两相异实根 有两相等实根 无实根
【即学即练】
1．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．
2．已知函数.
(1)若关于的不等式有解，求的取值范围；
(2)求的取值范围，使得总有实数解.
知识点05 利用不等式解决实际问题的一般步骤
1.选取合适的字母表示题中的未知数；
2.由题中给出的__________，列出关于未知数的不等式(组)；
3.求解所列出的不等式(组)；
4.结合题目的实际意义确定答案．
【即学即练】
1．某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .
2．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（ ）
A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速
知识点06 一元二次不等式恒成立问题
1.转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立
2.分离参数，将恒成立问题转化为__________.
【即学即练】
1．“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．已知为实数，集合.
(1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
知识点07 简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”
【即学即练】
1．不等式的解集为 ．
2．不等式的解集为 ．
题型01：解不含参数的一元二次不等式
【典例1】已知，，若，则的最小值为 .
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
1.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
2.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
3.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
4.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
5.根据图象写出不等式的解集．
【变式1】已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 .
【变式2】已知集合集合，集合.
(1)若，求和；
(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【变式3】已知集合且，集合，命题，命题.
(1)若，求；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
题型02：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
【典例1】已知是一元二次方程的两个不相等的实数根．
(1)若两根同号，求实数的取值范围；
(2)求使得的值为整数的整数的值．
三个“二次”之间的关系
1.三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．
2.讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
【变式1】已知方程有两个实根
(1)若两根均大于，求实数的取值范围；
(2)表，求实数的值．
【变式2】已知集合，集合，.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【变式3】已知关于的一元二次方程.
(1)若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围；
(2)若上述方程无正数根，求实数的取值范围.
综上：实数的取值范围为.
题型03：含有参数的一元二次不等式的解法
【典例1】若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
1.讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
2.判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．
3.写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
【变式1】关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 .
【变式3】已知二次函数（）．
(1)若二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且的面积为3，求实数a的值；
(2)求关于x的不等式的解集．
题型04：一次分式不等式的解法
【典例1】当时，关于的分式不等式的解区间为 ．
分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？
2.
3. 且
4. 且
【变式1】关于x的分式不等式的解为 .
【变式2】与不等式组同解的一个分式不等式可以是
【变式3】解下列分式不等式
（1）；
（2）；
（3）.
题型05：实际问题中的一元二次不等式问题
【典例1】某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（ ）
A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/
利用不等式解决实际问题需注意以下四点
1.阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．
2.建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．
3.讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．
4.作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论．
【变式1】如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m.
【变式2】某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估. 该商品原来每件售价为元，年销售万件.
(1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元. 公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用. 试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时商品的每件定价.
【变式3】某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）.
(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价））
(2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？
题型06：不等式的恒成立问题
【典例1】若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
【变式1】，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【变式2】已知二次函数．
(1)若函数的定义域为，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式（其中）．
【变式3】若不等式对正实数恒成立，求实数的取值范围.
1．抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若方程有两个根，且；则
D．若方程有四个根，则这四个根的和为4
2．已知二次函数，当时，函数最大值为，最小值为.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
4．实数x，y，z满足，，则z的最大值是 .
5．已知二次函数满足：且，则 .
6．若不等式的解集为，则（ ）
A． B．
C． D．
7．若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（ ）
A． B． C． D．
8．命题“，”为真命题的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
9．若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，若非空集合，，满足，则实数的取值范围是
13．已知函数，.
(1)若，求方程的根；
(2)函数.求的表达式及在上的值域；
(3)函数， 求在区间上的最小值.
14．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米.篱笆长60米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．
(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为400平方米
(2)若围成的矩形的面积为平方米，当为何值时，有最大值，最大值是多少
15．函数，.
(1)记，求的取值范围.
(2)记函数的最小值为，求.
(3)求方程的解集.
16．若函数在定义域内存在满足，则称为“局部反比例对称函数”.
(1)已知函数是“局部反比例对称函数”，求的值；
(2)求证：函数有两个零点，，且；
(3)若是“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围.
17．定义：对于关于的函数，函数在范围内的最大值，记作.如函数，在范围内，该函数的最大值是，即.请根据以上信息，完成以下问题：已知函数（为常数）.
(1)若.
①直接写出该函数的表达式，并求的值；
②已知，求的值.
(2)若该函数的图象经过点，且，求的值.
18．美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元；
②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元．
19．已知命题；命题．
(1)若是真命题，求实数的取值范围；
(2)若和都为真命题，求实数的取值范围．
20．设函数．
(1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围．
(2)对于恒成立，求的取值范围．
1
