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专题3.1 函数的概念及其表示
教学目标 1.函数的概念； 2.了解函数的三要素； 3.掌握简单函数的定义域； 4.掌握求函数的值； 5.掌握区间的写法. 6.了解函数的三种表示方法及特点； 7.了解与认识分段函数及其定义域
教学重难点 1.重点：掌握求函数解析式的常用方法 2.难点：会用分析法与图象法表示分段函数，并能掌握分段函数的相关性质.
知识点01 函数的概念
1．函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有____________和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．记作：，．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是____、________和____．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的________和________完全—致，即称这两个函数____（或为同一函数）；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关．
3．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
区间表示：
；
； ；
； ．
【即学即练】
1．已知函数的定义域为R，满足，且，则下列结论一定正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．函数定义域为，对任意，都有，又，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点02 函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
________：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值．
________：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势．
________：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值．
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
【即学即练】
1．已知非空集合、满足：，，函数已知如下两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.则下列选项中正确的是（ ）
A．①、②都正确 B．①、②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
2．定义设函数，记函数，且函数在区间上的值域为，则区间的长度的最大值为（ ）
A．1 B．3 C． D．2
知识点03 函数定义域的求法
1.确定函数定义域的原则
①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件．
②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义．
③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合．
2.抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意________．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内．
3.求函数的定义域，一般是转化为________________的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．
【即学即练】
1．函数的定义域是（ ）
A．R B． C． D．
2．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
知识点04 函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
________：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
________：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
________：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
________：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．
【即学即练】
1．下列说法正确的是（ ）
A．与表示同一个函数
B．函数的图象与直线的交点可以有多个
C．的值域是
D．的最小值是
2．定义运算“”：，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
题型01：函数的概念
【典例1】取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
函数的定义（特别是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解决某些问题的关键．
【变式1】已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知函数，则（ ）
A．0 B． C． D．2
【变式3】已知函数，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
题型02：给出解析式求函数的定义域
【典例1】函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
1.如果是整式，那么函数的定义域是实数集R；
2.如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
3.如果是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；
4.如果是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（即求各集合的交集）
5.满足实际问题有意义．
当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解．
【变式1】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
题型03：抽象函数求定义域
【典例1】若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系下括号内的范围是一样的．
【变式1】若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
题型04：给出函数定义域求参数范围
【典例1】设函数，若，则（ ）
A．或 B．或 C． D．
利用转化与化归思想．
【变式1】已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知函数若，则（ ）
A． B． C．1 D．4
【变式3】设函数若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
题型05：同一函数的判断
【典例1】下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征．只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：
1.定义域不同，两个函数也就不同；
2.对应法则不同，两个函数也是不同的．
3.即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则．
【变式1】下列表示同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【变式2】下列函数中与是同一函数的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式3】下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
题型06：给出自变量求函数值
【典例1】已知定义在上函数满足，若，则（ ）
A．1 B．16 C．128 D．256
求函数值时，遇到复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f（g（x）），里层函数就是g（x），外层函数就是f（x），其对应关系可以理解为，类似的g（f（x））为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果．
【变式1】若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【变式3】已知定义在上的函数满足：，且，则（ ）
A．9 B．25 C．15 D．24
题型07：求函数的值域
【典例1】在实数集中定义一种运算“”，具有下列性质：
①对任意a，，；
②对任意，；
③对任意a，，．
则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．
【变式1】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
题型08：求函数的解析式
【典例1】已知，为常数，且，满足．若关于的方程只有一解，则的值的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．以上都不对
1.解析式类型已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式，顶点式和两点式的选择．
2.已知求的问题，方法一是用配凑法；方法二是用换元法．
3.函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（3），若函数方程中同时出现、，则一般用代之，构造另一个方程．
【变式1】已知，，为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】已知，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】已知函数，且函数的定义域为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
题型09：分段函数求值、不等式问题
【典例1】已知函数，则（ ）
A．2 B．0 C．1 D．3
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．
1.由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可．
2.注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．
【变式1】已知函数，则（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
【变式2】已知函数若存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知函数若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型10：区间的表示与定义
【典例1】对于实数和正实数，称满足不等式的实数的集合叫做的邻域，已知，若的邻域中恰有2个整数，则的取值范围是 .
【变式1】下列叙述正确的是（ ）
A．用区间可表示为
B．用区间可表示为
C．用集合可表示为
D．用集合可表示为
【变式2】已知全集，集合，，则=（ ）．
A． B． C． D．
【变式3】设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（ ）
A．B．C． D．
题型11：函数的图象
【典例1】函数的图象如图，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象．
【变式1】若函数的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】如图，已知直角梯形ABCD的顶点、位于x轴上，顶点落在函数的图象上，分别为线段的中点，O为坐标原点，Q为线段与线段的交点.
(1)求中点的坐标，以及线段的长度；
(2)用不等式表示长度的大小关系.
1．已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则的值是（ ）
A． B． C．2025 D．2027
2．函数的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数的定义域为，则“，，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的定义域为
C．函数的值域为 D．函数的值域为
7．若函数，满足，且，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．如图，某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，长方形的周长为，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时最节能．设，则下列结论正确的是（ ）
A．y与x之间的关系是
B．x的取值范围是
C．的面积S与x的关系是
D．最节能时，长方形的面积为
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为，则函数的定义域为
B．和表示同一个函数
C．函数的值域为
D．定义在上的函数满足，则
10．对于任意的，函数满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．对于任意的实数表示中较小的那个数．若函数，记，则当时，x的值为 ．
12．已知函数的定义域为，集合．当时， ；若，则实数的取值范围是 ．
13．已知函数，若存在，且，使得成立，则实数k的取值范围是 .
14．已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)若时，恒成立，求实数的取值集合．
15．（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；
（2）求函数的值域．
16．（1）已知函数．
①若的定义域为，求实数m的值；
②若的定义域为，求实数m的取值范围．
（2）已知函数的定义域是，求函数的定义域．
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
17．已知函数．
(1)求的值；
(2)求证：是定值；
(3)求的值．
18．（1）已知的定义域为，求的定义域．
（2）求下列函数的值域：
①；
②．
19．根据下列条件，求函数的解析式.
(1)已知函数是一次函数，若，求的解析式.
(2)已知，求的解析式.
20．求下列函数的定义域：
(1)已知函数的定义域为，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域，求函数的定义域.
1中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.1 函数的概念及其表示
教学目标 1.函数的概念； 2.了解函数的三要素； 3.掌握简单函数的定义域； 4.掌握求函数的值； 5.掌握区间的写法. 6.了解函数的三种表示方法及特点； 7.了解与认识分段函数及其定义域
教学重难点 1.重点：掌握求函数解析式的常用方法 2.难点：会用分析法与图象法表示分段函数，并能掌握分段函数的相关性质.
知识点01 函数的概念
1．函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．记作：，．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关．
3．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
区间表示：
；
； ；
； ．
【即学即练】
1．已知函数的定义域为R，满足，且，则下列结论一定正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令，则，
所以，故A，C错误；
令，则，
故选：B
2．函数定义域为，对任意，都有，又，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】由已知得，故．
知识点02 函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值．
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势．
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值．
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
【即学即练】
1．已知非空集合、满足：，，函数已知如下两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.则下列选项中正确的是（ ）
A．①、②都正确 B．①、②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】D
【详解】命题①：因为，，
所以要么，要么.
假设存在某个非空集合对满足且使为偶函数，
那么将元素0从集合中取出，放入集合，其它元素不变，得到一个新的非空集合对，
则新的非空集合对使仍然为偶函数；
假设存在某个非空集合对满足且使为偶函数，
那么将元素0从集合中取出，放入集合，其它元素不变，得到一个新的非空集合对，
则新的非空集合对使仍然为偶函数.
所以当存在非空集合对使为偶函数时，非空集合对不唯一.
所以命题①错误.
命题②：
解方程，解得；解方程，解得.
当非空集合对满足时，方程无解.
而满足这个条件的非空集合对有无穷多个，故命题②正确.
故选：D.
2．定义设函数，记函数，且函数在区间上的值域为，则区间的长度的最大值为（ ）
A．1 B．3 C． D．2
【答案】D
【详解】令，则，解得，所以则的图象如图：
又，且函数在区间上的值域为，当时，；当时，，所以当时，区间的长度取得最大值，最大值为2．
知识点03 函数定义域的求法
1.确定函数定义域的原则
①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件．
②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义．
③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合．
2.抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内．
3.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．
【即学即练】
1．函数的定义域是（ ）
A．R B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，得到，解得且.故定义域是.
故选：D.
2．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在中，，∴，
∴的定义域是，
故在中，解得，
∴的定义域是.
故选：A.
知识点04 函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．
【即学即练】
1．下列说法正确的是（ ）
A．与表示同一个函数
B．函数的图象与直线的交点可以有多个
C．的值域是
D．的最小值是
【答案】C
【详解】对于A：的定义域为，
而的定义域为，则两者不是同一函数，A错误；
对于B：根据函数定义知函数的图象与直线的交点可只能有个或个
不可能有多个，B错误；
对于C：因为，所以，则的其值域为，C正确；
对于D：当时，，当且仅当，即时取等号，
当时，，则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值不是，D错误.
故选：C
2．定义运算“”：，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，可得，
所以，
当时，，
当时，在上单调递增，所以，
当时，在上单调递减，所以，
所以的值域为.
故选：A.
题型01：函数的概念
【典例1】取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，
当时，；
当时，，
又，当且仅当，即时取等号，
所以或2；
当时，，
又，当且仅当，即时取等号，
所以或1，
综上，得的值域为
故选：C.
函数的定义（特别是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解决某些问题的关键．
【变式1】已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意对于恒成立；
当时，显然成立，可得符合题意；
当时，若满足题意可得，解得；
当时，若满足题意可得，此时无解；
综上可得，的取值范围是.
故选：C
【变式2】已知函数，则（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】C
【详解】已知，此时函数.
把代入可得：.
由上一步得到，那么.
因为，此时函数.
把代入可得：.
故选：C.
【变式3】已知函数，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】D
【详解】，，
所以，
设，由，可得：，
则，所以，，则
，当且仅当，即，即时等号成立．
故选：D．
题型02：给出解析式求函数的定义域
【典例1】函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】要使函数有意义，则，
解得且，
故函数的定义域为，
故选：C
1.如果是整式，那么函数的定义域是实数集R；
2.如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
3.如果是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；
4.如果是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（即求各集合的交集）
5.满足实际问题有意义．
当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解．
【变式1】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，
所以，
所以函数的定义域为，
故选：C．
【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数的定义域为，
所以的定义域需满足：
，解得.
故选：D.
【变式3】若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】中，，则，
所以函数中，解得，
故选：A．
题型03：抽象函数求定义域
【典例1】若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由于函数的定义域为，所以的定义域需要满足：
，解得或，
故定义域为：
故选：D
求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系下括号内的范围是一样的．
【变式1】若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题：的定义域为，即，
所以的定义域为，
又中，
综上：的定义域为，
故选：D．
【变式2】函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】函数的定义域为，
所以，
所以需满足，
解得且.
故选：C.
【变式3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为函数的定义域为，
则，解得，
故函数的定义域为.
故选：C.
题型04：给出函数定义域求参数范围
【典例1】设函数，若，则（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【详解】当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递增，
又，若，此时，不合题设，
所以，即，
由，可得，
整理得，解得或（舍去），
所以．
故选：C.
利用转化与化归思想．
【变式1】已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，当时，可得，
故，即，解得；
当时，可得，故，，
即，此时无解，因此.
故选：A.
【变式2】已知函数若，则（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】B
【详解】当时，，当时，，
因为，所以，即，所以，
所以，即，解得．
故选：
【变式3】设函数若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 令，由，得.
①时，，方程无解.
②时，，
或（舍去），
.
时，，则或（舍去）；
时，无解.
综上，.
故选：B.
题型05：同一函数的判断
【典例1】下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】A选项，的定义域为R，的定义域为，
定义域不同，故不是同一函数，A错误；
B选项，的定义域为，的定义域为R，
定义域不同，B错误；
C选项，由，解得，故的定义域为，
由，解得，的定义域为，
且，故为同一函数，C正确；
D选项，，的对应法则不同，D错误.
故选：C
函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征．只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：
1.定义域不同，两个函数也就不同；
2.对应法则不同，两个函数也是不同的．
3.即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则．
【变式1】下列表示同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】A
【详解】对于A，与定义域、解析式相同，是同一函数，故A正确；
对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不是同一函数，故B错误；
对于C，定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故C错误；
对于D，定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错误.
故选：A
【变式2】下列函数中与是同一函数的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【详解】A，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误；
B，与定义域都是，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是同一函数，正确；
C，与对应法则不同，不是同一函数，错误；
D，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误.
故选：B
【变式3】下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】对于A中，函数的定义域为，
的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；
对于B中，函数的定义域为，
的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误；
对于C中，函数的定义域为，
的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故C错误；
对于D中，函数的定义域为，
的定义域为，且，
所以它们是同一函数，故D正确；
故选：D.
题型06：给出自变量求函数值
【典例1】已知定义在上函数满足，若，则（ ）
A．1 B．16 C．128 D．256
【答案】D
【详解】由题设，则或，
若，令，则对于任意有，而，不符；
所以，则，故，
由.
故选：D
求函数值时，遇到复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f（g（x）），里层函数就是g（x），外层函数就是f（x），其对应关系可以理解为，类似的g（f（x））为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果．
【变式1】若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令，则有，由于，则，故；
令，则有，将已知条件代入，得到，因此；
令，则有；
令，则有；
令，则有.
因此，.
故选：B.
【变式2】定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】D
【详解】因为，取可得，
又，可得，
因为，取可得，
所以，又，
故，
由，取，，
可得，
故选：D.
【变式3】已知定义在上的函数满足：，且，则（ ）
A．9 B．25 C．15 D．24
【答案】D
【详解】由可得：
，
，
，
，
，
累加可得：，
又，
得：，
相加可得：，
所以，
故选：D
题型07：求函数的值域
【典例1】在实数集中定义一种运算“”，具有下列性质：
①对任意a，，；
②对任意，；
③对任意a，，．
则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在③中，令，则，所以．
函数在时取最小值，最小值为；在时取最大值，最大值为5，所以函数的值域是．
故选：B．
求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．
【变式1】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：令，
当时，，又，
所以，，即
所以，
故选：D．
【变式2】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数中，，，
则
，
而，因此，
所以函数的值域为.
故选：A
【变式3】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，则可得，即，
可得，
当时，取得最大值2，即；
所以其值域为.
故选：A
题型08：求函数的解析式
【典例1】已知，为常数，且，满足．若关于的方程只有一解，则的值的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．以上都不对
【答案】C
【详解】由；
又或,
因为关于的方程只有一解，
当为方程的唯一解时，，或方程无解，得；
当不为方程的解时，，
此时，满足题意；
所以或或.
故选：C
1.解析式类型已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式，顶点式和两点式的选择．
2.已知求的问题，方法一是用配凑法；方法二是用换元法．
3.函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（3），若函数方程中同时出现、，则一般用代之，构造另一个方程．
【变式1】已知，，为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由可知函数的分段点为和，
而函数，，为一次函数，所以可得函数和的根为和，
假设的根为，的根为，
分4种情况讨论：
（1）时，，时，，
当时，，
当时，，
两式相加可得，
（2）时，，时，，
当时，，
当时，，
两式相加可得，
（3）时，，时，，
当时，，
当时，，
两式相加可得，
（4）时，，时，，
当时，，
当时，，
两式相加可得，
综上可得
故选：B
【变式2】已知，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令，则，所以，
所以.
故选：D.
【变式3】已知函数，且函数的定义域为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】由，则，
又函数的定义域为，即，
，
所以函数的定义域为.
故选：D.
题型09：分段函数求值、不等式问题
【典例1】已知函数，则（ ）
A．2 B．0 C．1 D．3
【答案】A
【详解】.
故选：A.
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．
1.由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可．
2.注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．
【变式1】已知函数，则（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
【答案】B
【详解】由题意，
.
故选：B.
【变式2】已知函数若存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在上单调递减，且，
而在上单调递增，
要使存在最小值，
结合分段函数的图象可得：
，即，
故选：D.
【变式3】已知函数若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为和同属于和时，都不可能有，
所以且，或者且.
①当且时，则，所以且.
若存在非零实数，使得成立，
则，
由得，所以；
②当且时，则，所以且.
若存在非零实数，使得成立，
则，
由得，所以，
综上所述：实数的取值范围为.
故选：D.
题型10：区间的表示与定义
【典例1】对于实数和正实数，称满足不等式的实数的集合叫做的邻域，已知，若的邻域中恰有2个整数，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】由，解得，所以的邻域为，
要使该邻域中恰有两个整数，需要区间长度满足，由此解得，
所以这两个整数只能为1和2，或者2和3，
当这两个整数为1和2时，解得；
当这两个整数为2和3时，，解得，
综上，的取值范围是.
故答案为：
【变式1】下列叙述正确的是（ ）
A．用区间可表示为
B．用区间可表示为
C．用集合可表示为
D．用集合可表示为
【答案】D
【详解】对于选项A，用区间可表示为，故A错误；
对于选项B，用区间可表示为，故B错误；
对于选项C，用集合可表示为，故C错误；
对于选项D，用集合可表示为，故D正确．
故选：D．
【变式2】已知全集，集合，，则=（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，，则，
又，所以.
故选：B.
【变式3】设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】AD
【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应，
则满足从集合A到集合B的函数关系，
其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误；
C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误.
故选：AD
题型11：函数的图象
【典例1】函数的图象如图，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由图可知，的定义域的定义域为，且经过点，
而，解得，所以.
所以，解得.
所以，
所以不等式，得，
即，等价于，
解得，
综上，所求不等式的解集为.
故选：D.
先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象．
【变式1】若函数的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由图象可知，，分母必定可以分解为，
在时有，，
，
故选：D．
【变式2】一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时，
此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项；
相遇时，快车已经行驶的路程为千米，
还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项；
特快车相遇时已经行驶的路程为千米，
只需要再行驶小时才能到达甲地，
所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项.
故选：C.
【变式3】如图，已知直角梯形ABCD的顶点、位于x轴上，顶点落在函数的图象上，分别为线段的中点，O为坐标原点，Q为线段与线段的交点.
(1)求中点的坐标，以及线段的长度；
(2)用不等式表示长度的大小关系.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为、，是的中点，则，
又轴，轴，顶点落在函数的图象上，所以，
又是的中点，则，，
因为，所以，又，，
故，
所以，；
（2）结合图象可知，可得.
1．已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则的值是（ ）
A． B． C．2025 D．2027
【答案】C
【详解】由函数在定义域上是单调函数，且，
知是一个常数，令，则，
∴，
∵在定义域上单调，且,
∴，即
∴.
故选：C.
2．函数的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】依题意，函数的定义域为．由图象可得，所以；
由，所以；
由图可知，否则当时，无解，和轴无交点，不符题意，
令，得，所以.
故选：B.
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
且，或，
当且仅当即时取等.
所以.
故选：D.
4．已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】当动点在正方形边上沿运动时，
则的面积为；
当动点在正方形边上沿运动时，
则的面积为；
当动点在正方形边上沿运动时，
则的面积为；
所以，所以A正确，BCD错误；
故选：A.
5．已知函数的定义域为，则“，，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】先说明充分性：因为，，，
令，得到：，所以，
再令，得到，
所以，充分性成立；
再说明必要性，因为，所以，且，
所以有，必要性成立；
故“，，”是“”的充要条件.
故选：C
6．已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的定义域为
C．函数的值域为 D．函数的值域为
【答案】D
【详解】函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故A正确；函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故B正确；函数和的值域都为，故C正确，D错误.
7．若函数，满足，且，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【详解】令可得，所以；
令可得；
令可得，
所以，
所以，
令可得，所以，
所以.
故选：D.
8．如图，某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，长方形的周长为，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时最节能．设，则下列结论正确的是（ ）
A．y与x之间的关系是
B．x的取值范围是
C．的面积S与x的关系是
D．最节能时，长方形的面积为
【答案】ACD
【详解】由题意得．因为，所以．因为，所以，所以．由，得，所以．记的面积为S，则，当且仅当时等号成立，S取得最大值，此时长方形的面积为．综上所述，A，C，D均正确．
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为，则函数的定义域为
B．和表示同一个函数
C．函数的值域为
D．定义在上的函数满足，则
【答案】ACD
【详解】对于A：由的定义域为，则，所以函数的定义域为，故A正确；
对于B：函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误；
对于C：由，所以，函数的值域为，故C正确；
对于D：由，所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
10．对于任意的，函数满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】令，得，解得，故A正确；
令，得，即，
因为，，所以，故B错误；
因，则，
令，则，故C正确；
又，，
则，故D正确．
故选：ACD
11．对于任意的实数表示中较小的那个数．若函数，记，则当时，x的值为 ．
【答案】1
【详解】当，即时，；当，即或时，，故画出的图象如图实线部分所示示，由图象易知当时，．
12．已知函数的定义域为，集合．当时， ；若，则实数的取值范围是 ．
【答案】 或
【详解】要使函数有意义，则解得，所以集合．因为，所以，所以或，所以或．因为，所以①当时，，即，满足题意；②当时，解得．综上所述，实数的取值范围是．
13．已知函数，若存在，且，使得成立，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【详解】当时，为增函数，且当时，，
因为存在，且，使得成立，
所以在时不单调或，
即或，解得或，
所以实数k的取值范围是.
故答案为：.
14．已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)若时，恒成立，求实数的取值集合．
【答案】(1)
(2)实数的取值集合为
【详解】（1）设，又，所以，所以，
又，所以，
即，所以，解得，
所以；
（2）若时，恒成立，则的解集为，
即的解集为，所以，
所以，即，解得，
所以实数的取值集合为．
15．（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）由题意得，
所以函数的定义域为．
（2），显然．
故函数的值域为．
16．（1）已知函数．
①若的定义域为，求实数m的值；
②若的定义域为，求实数m的取值范围．
（2）已知函数的定义域是，求函数的定义域．
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【答案】（1）①②；（2）；（3）．
【详解】解：（1）①由题意得不等式的解集为，所以化简得解得．故实数m的值为．
②由题意得不等式在上恒成立．当时，或，若，则，符合题意；若，则，其定义域不是，不符合题意．当，即且时，则解得或．综上所述，m的取值范围是．
（2）因为函数的定义域是，所以，解得，故函数的定义域是．
（3）因为函数的定义域为），即，所以，即的定义域为．
17．已知函数．
(1)求的值；
(2)求证：是定值；
(3)求的值．
【答案】(1)1；1
(2)证明见解析
(3)1098
【详解】（1）解：因为，
所以，
．
（2）证明：．
（3）解：由（2）知，所以，所以．
18．（1）已知的定义域为，求的定义域．
（2）求下列函数的值域：
①；
②．
【答案】（1） ；（2）① ；② ．
【详解】解：（1）在函数中，，则．因此在函数中，，解得，所以函数的定义域为．
（2）①函数的定义域为，，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为．
②函数的定义域为，，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为．
19．根据下列条件，求函数的解析式.
(1)已知函数是一次函数，若，求的解析式.
(2)已知，求的解析式.
【答案】(1)或 (2)
【详解】（1）是一次函数，∴设（k）
，∴
∴或或
（2）令则，，
20．求下列函数的定义域：
(1)已知函数的定义域为，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域，求函数的定义域.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）设，由于函数定义域为，
故，即，解得，
所以函数的定义域为；
（2）因为函数的定义域为，即，
所以，所以函数的定义域为，
由，得，
所以函数的定义域为.
1
