中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.4 函数的应用（一）
教学目标 1.了解一次函数模型； 2.掌握二次函数模型； 3.学会分段函数模型。 4.掌握幂函数模型
教学重难点 1.重点：掌握几种函数模型 2.难点：根据函数模型解决实际问题。
知识点01 一次函数模型的应用
一次函数的一般形式：____________，其定义域是R，值域是R．
【即学即练】
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于点A，B，点C为上一动点，过点C作于点D，过点D作轴，交y轴于点E，在直线上找一点F，使得，连接，当的值最小时，求点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？并求出最大值.
知识点02 二次函数模型的应用
1．二次函数的一般形式是__________________其定义域为R．
2．若，则二次函数在时有______；
若，则二次函数在时有______．
3．建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模，解答．
【即学即练】
1．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )
A．7 B．8
C．9 D．10
2．某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资）
(1)试写出y与x之间的函数关系式；
(2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？
知识点03 解决实际应用问题
1．解决实际应用问题的过程
2．解决实际应用问题的步骤：
第一步：阅读理解，认真审题
读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．
第二步：引进数学符号，建立____________
设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立____________，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．
第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果．
第四步：再转译为具体问题作出解答．
【即学即练】
1.两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为．
(1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数；
(2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？
2．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．
(1)求a，b；
(2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
(3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
题型01：一次函数模型
【典例1】某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为 ．
关键是准确读取题中所给图象，从中提炼出一次函数模型以及一些关键点，并用待定系数法确定一次函数的解析式．
【变式1】某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ）
A．310元 B．300元 C．290元 D．280元
【变式2】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：km/h）是车流密度（单位：辆/km）的函数，当桥上的车流密度达到180辆/km时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过30辆/km时，车流速度为50km/h，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/h）可以达到最大，并求出最大值．
【变式3】某种商品在天每件的销售价格（元）与时间（天）的函数关系用如图表示，该商品在天内日销售量（件）与时间（天）之间的关系如下表：
天
件
（1）根据提供的图象（如图），写出该商品每件的销售价格与时间的函数关系式.
（2）根据表1提供的数据，写出日销售量与时间的一次函数关系式.
（3）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是天中的第几天.（日销售金额每件的销售价格日销售量）
题型02：二次函数模型
【典例1】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的售价（元）满足一次函数：．若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为
A．30元 B．42元 C．54元 D．越高越好
建立目标函数及求最值的方法，配方法是求二次函数最值的常用方法．
【变式1】你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）
A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒
【变式2】某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大．此时每吨的价格为40元，则有( )
A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30
【变式3】中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用年后该设备的盈利额为y万元.
(1)写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）；
(2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；
②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备.
请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为，）
题型03：分段函数模型
【典例1】某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为（ ）
A．4小时 B．小时
C．小时 D．5小时
分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者．分段函数应用题是高考命题的热点．
【变式1】在一次为期15天的大型运动会期间，每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴车可乘坐40人，已知第t日参加比赛的运动员人数M与t的关系是M(t)=，为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴车的数量是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式2】某地的水电资源丰富,并且得到了较好的开发,电力充足. 某供电公司为了鼓励居民用电,采用分段计费的方法来计算电费. 月用电量(度)与相应电费 (元) 之间的函数关系如图所示.当月用电量为300度时,应交电费
A．130元 B．140元 C．150元 D．160元
【变式3】某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料千克时，这种果树的单株产量（单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为（单位：元）．
(1)求的解析式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？
题型04：幂函数模型
【典例1】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A． B． C． D．
幂函数模型为(，为常数，)，
在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数图像、单调性、奇偶性解题.
【变式1】幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是
A． B． C． D．
【变式2】若幂函数在上为减函数,则m的值为（ ）
A．1或3 B．1 C．3 D．2
1．定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变.
记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式：
①；②；③；④.
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（ ）
A．②④ B．①④ C．②③ D．③④
3．如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：）的次方成反比.若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是70次，则的体重为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，，设函数，则下列说法错误的是（ ）
A．是偶函数 B．函数有两个零点
C．在区间上单调递减 D．有最大值，没有最小值
6．学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
7．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（ ）
A．60 B．100 C．200 D．600
9．某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如下表所示：
可享受折扣优惠的金额 折扣率
不超过400元部分
超过400元部分
若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为（ ）
A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元
10．我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）
A．120 B．200 C．240 D．400
11．在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（ ）
A．甲车出发2h时，两车相遇
B．乙车出发1.5h时，两车相距170km
C．乙车出发2h时，两车相遇
D．甲车到达C地时，两车相距40km
12．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（ ）
A．取得最大值时每月产量为台
B．边际利润函数的表达式为
C．利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值
D．边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
13．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额，税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额应纳税所得额税率-速算扣除数.①应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其它扣除.②其中，“基本减除费用”（免征颁）为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数
1 3 0
2 10 2520
3 20 16920
已知小华缴纳的专项扣除：基本养老保险，基本医疗保险费，失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是，专项附加扣除是52800元，依法确定的其它扣除是4560元.设小华全年应纳税所得额为（不超过300000元）元，应缴纳个税税额为元，则 ；如果小华全年综合所得收入额为220000元，那么他全年应缴纳个税 元.
14．已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围 ．
15．某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，图象过点；当时，图象是线段，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为 .（写成区间形式）
16．设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点．
(1)设，求关于的函数的解析式及其定义域；
(2)求面积的最大值及相应的值．
17．某公司租地建仓库，每月土地占用费与车库到车站的距离成反比，而每月的库存货物的运费与车库到车站的距离成正比如果在距离车站公里处建立仓库，这两项费用和分别为万元和万元．
(1)分别求出和关于距离的关系式；
(2)求若要使得这两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站多远处？此时最少费用为多少万元？
18．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
19．某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）．
(1)求利润的函数解析式；
(2)当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？
20．已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完．
(1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）；
(2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？
1中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.4 函数的应用（一）
教学目标 1.了解一次函数模型； 2.掌握二次函数模型； 3.学会分段函数模型。 4.掌握幂函数模型
教学重难点 1.重点：掌握几种函数模型 2.难点：根据函数模型解决实际问题。
知识点01 一次函数模型的应用
一次函数的一般形式：，其定义域是R，值域是R．
【即学即练】
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于点A，B，点C为上一动点，过点C作于点D，过点D作轴，交y轴于点E，在直线上找一点F，使得，连接，当的值最小时，求点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：过点D作于点M，延长交y轴于N，如图所示：
∵一次函数与坐标轴交于点，
于，设，则，
延长交y轴于N，
，
当时，则，此时，取到最小值，
，∴此时，解得，
是的中点，轴，，
故选：B．
2．2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？并求出最大值.
【答案】（1）；（2）当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.
【详解】（1）由题意，当时，v(x)=100，
当时，设，则
解得：，
∴
（2）由题意，
当时，的最大值为
当时，，
的最大值为
∴当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.
知识点02 二次函数模型的应用
1．二次函数的一般形式是其定义域为R．
2．若，则二次函数在时有最小值；
若，则二次函数在时有最大值．
3．建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模，解答．
【即学即练】
1．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )
A．7 B．8
C．9 D．10
【答案】C
【详解】由题意，当生产第档次的产品时，每天可获利润是生产件数与每件的利润的乘积为，配方可得当时，获得利润最大，故选C.
2．某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资）
(1)试写出y与x之间的函数关系式；
(2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）依题意，年销量为（万件），
所以.
（2）由（1）知，，当时，，
即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差万元就可收回全部投资，
因此第二年的销售单价应定元，年获利万元，
，而，
即，整理得，解得，
所以第二年的销售单价的范围是.
知识点03 解决实际应用问题
1．解决实际应用问题的过程
2．解决实际应用问题的步骤：
第一步：阅读理解，认真审题
读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．
第二步：引进数学符号，建立数学模型
设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．
第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果．
第四步：再转译为具体问题作出解答．
【即学即练】
1.两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为．
(1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数；
(2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？
【答案】(1)，；
(2)答案见解析.
【详解】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时，
所以，.
（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
而，则当，即时，，取得最小值；
当，即时，，取得最小值，
所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小；
当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小.
2．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．
(1)求a，b；
(2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
(3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)
(3)当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元.
【详解】（1）由题意可知，解得；
（2）当时，，
当时，，
综上所述，；
（3）当时，，
此时由二次函数单调性可知；
当时，，
当且仅当，即时取等号，
且，
综上所述，当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元.
题型01：一次函数模型
【典例1】某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为 ．
【答案】.
【解析】设每件售价元时，售出件，用待定系数法即可求解，注意函数的定义域.
【详解】解：设每件售价元时，售出件，设，
因为，所以①，
因为，所以②，
解由①②组成的方程组得，，所以.
由.
故答案为：.
关键是准确读取题中所给图象，从中提炼出一次函数模型以及一些关键点，并用待定系数法确定一次函数的解析式．
【变式1】某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ）
A．310元 B．300元 C．290元 D．280元
【答案】B
【解析】根据图象关系求出函数解析式，计算当x＝0时，y＝300即可得解.
【详解】设函数解析式为，
函数图象过点(1，800)，(2，1 300)，则 解得
所以，当x＝0时，y＝300.所以营销人员没有销售量时的收入是300元．
答案：B
【变式2】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：km/h）是车流密度（单位：辆/km）的函数，当桥上的车流密度达到180辆/km时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过30辆/km时，车流速度为50km/h，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/h）可以达到最大，并求出最大值．
【答案】（1）；
（2）当车流密度为90辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值2700辆/小时.
【详解】（1）由题意：当时，；当时，设
再由已知得，解得，
故函数的表达式为；
（2）依题意并由（1）可得
当时，为增函数，故当时，其最大值为50×30=1500；
当时，
所以，当时，在区间[20,200]上取得最大值2700；
综上，当时，在区间[0,200]上取得最大值,
即当车流密度为90辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值2700辆/小时.
【变式3】某种商品在天每件的销售价格（元）与时间（天）的函数关系用如图表示，该商品在天内日销售量（件）与时间（天）之间的关系如下表：
天
件
（1）根据提供的图象（如图），写出该商品每件的销售价格与时间的函数关系式.
（2）根据表1提供的数据，写出日销售量与时间的一次函数关系式.
（3）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是天中的第几天.（日销售金额每件的销售价格日销售量）
【答案】(1)；(2)；(3)详见解析.
【详解】（1）根据图象知，当时，，当时，，
所以每件商品的销售价格与时间的函数关系式为：
（）
（2）可设日销售量与时间的一次函数关系式为：，
将表格中的数据，代入，，解得
，，所以日销售量与时间的一次函数关系式为：
（，）．
（3）设该商品的日销售金额为y，当，时，由(1)，(2)有：．
所以（天）时，（元），
同理可得，当，时，，
所以在时，函数单调递减，所以当（天）时，（元）．
因为， （元）．
故所求日销售金额的最大值为元，且在天中的第天日销售金额最大．
题型02：二次函数模型
【典例1】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的售价（元）满足一次函数：．若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为
A．30元 B．42元 C．54元 D．越高越好
【答案】B
【详解】设每天的销售利润为元，则，，将上式配方后得，当时，取得最大值.故每件商品的售价定为42元时，每天才能获得最大的销售利润.
建立目标函数及求最值的方法，配方法是求二次函数最值的常用方法．
【变式1】你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）
A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒
【答案】A
【详解】由题意，，
则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒.
故选：A.
【变式2】某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大．此时每吨的价格为40元，则有( )
A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30
【答案】A
【详解】设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，
则y＝xQ－P＝x－＝·x2＋(a－5)x－1 000(x＞0)．
由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.
所以解得
答案：A
【变式3】中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用年后该设备的盈利额为y万元.
(1)写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）；
(2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；
②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备.
请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为，）
【答案】(1)，，从第3年开始盈利；
(2)答案见详解
【详解】（1）由题意可得，，（）
令，解得，
因为，所以，故从第3年开始盈利.
（2）,
当且仅当，即时等号成立，
故第7年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利万元；
由，当时，，
故第10年，盈利额达到最大值，工厂获利万元，
盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短，故方案①比较合理.
题型03：分段函数模型
【典例1】某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为（ ）
A．4小时 B．小时
C．小时 D．5小时
【答案】C
【详解】由题意，当时，函数图象是一个线段，由于过原点与点，故其解析式为，；
当时，函数的解析式为，此时在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得，解得，故函数的解析式为，.
所以，令，即，
解得，∴.∴服药一次治疗疾病有效的时间为个小时.
故选：C.
分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者．分段函数应用题是高考命题的热点．
【变式1】在一次为期15天的大型运动会期间，每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴车可乘坐40人，已知第t日参加比赛的运动员人数M与t的关系是M(t)=，为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴车的数量是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【详解】当时函数为一次函数，单调递增，当时取到最大值即，
当时，函数为开口向下的二次函数，对称轴，由于为整数，故当时
取到最大值为，综上应至少准备大巴车的数量是10辆，
故选：D
【变式2】某地的水电资源丰富,并且得到了较好的开发,电力充足. 某供电公司为了鼓励居民用电,采用分段计费的方法来计算电费. 月用电量(度)与相应电费 (元) 之间的函数关系如图所示.当月用电量为300度时,应交电费
A．130元 B．140元 C．150元 D．160元
【答案】D
【详解】当时，，
所以当时，，选D.
【变式3】某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料千克时，这种果树的单株产量（单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为（单位：元）．
(1)求的解析式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元
【详解】（1）由已知得，，
∵，
∴，
整理得，.
（2）当时，，对称轴为直线，
∴.
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，故，
∵，∴的最大值为390，
∴当施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元．
题型04：幂函数模型
【典例1】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设初始状态为，则，，
又，，即，
，，，，．
故选：D．
幂函数模型为(，为常数，)，
在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数图像、单调性、奇偶性解题.
【变式1】幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为幂函数过点（2,4），进而得到关系式为y=x2,那么可知函数的增区间为,选C
【变式2】若幂函数在上为减函数,则m的值为（ ）
A．1或3 B．1 C．3 D．2
【答案】C
【解析】由幂函数在区间上为减函数，可得，．解出即可．
【详解】函数是幂函数，
则，解得：或
又函数在区间上为减函数，
则，所以，
故选：C.
1．定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】在平面直角坐标系中作出的图象如图所示，
令，解得或，所以，
令，解得，所以，
由题可知，当在区间上的取值范围为时，
当且仅当时取得最大值，且最大值为，
故选：B.
2．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变.
记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式：
①；②；③；④.
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（ ）
A．②④ B．①④ C．②③ D．③④
【答案】A
【详解】函数的对称轴为，
所以，超出了范围，不符合题意；
，时，，
且在上单调递增，
，即，符合题意；
函数在上单调递减，在上单调递增，故不符合题意；
函数为增函数，且时，，
，则，即，符合题意.
故满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是②④.
故选：.
3．如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】于D，，
,,
且
故当时，重合部分为三角形，
三角形的高，
面积，函数图像为开口向上的二次函数，故排除A选项；
当时，重合部分为直角梯形，
上底长为，
下底长为，高为4，
故，
函数图像为一条直线，故排除D选项；
当时，重合部分可以看作两个直角梯形，
左边直角梯形的上底长为，
高为
两个梯形下底长均为，
右边直角梯形上底长为，
高为，
故，
图像为开口下的二次函数，且对称轴为，故排除B选项；
故选：C
4．生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：）的次方成反比.若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是70次，则的体重为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意设，
当，,则，
当，则，所以
故选：D
5．已知函数，，设函数，则下列说法错误的是（ ）
A．是偶函数 B．函数有两个零点
C．在区间上单调递减 D．有最大值，没有最小值
【答案】B
【详解】在同一直角坐标系中，画出函数，的图象，
从而得函数图象，如图实线部分：
对于A，因为函数图象关于y轴对称，所以是偶函数，正确；
对于B，根据零点的定义结合函数的图象知，函数有三个零点，分别为，错误；
对于C，从函数图象观察得在区间上单调递减，正确；
对于D，从函数图象观察得有最大值，没有最小值，正确；
故选：B
6．学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
【答案】A
【详解】设行进的速度为 m/min，行走的路程为S m，
则，且，
由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②.
故选：A
7．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，，
即，解得，又因为，所以，
这批台灯的销售单价的取值范围是.
故选：C
8．数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（ ）
A．60 B．100 C．200 D．600
【答案】B
【详解】解：当时，设，则，解得
于是
设车流量为q，则
当时，,此时，函数在区间上是增函数，恒有；
当时，，此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数，
因此恒有，等号成立当且仅当；
综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆．
故选：B．
9．某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如下表所示：
可享受折扣优惠的金额 折扣率
不超过400元部分
超过400元部分
若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为（ ）
A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元
【答案】C
【详解】当顾客的购物总金额超过400元不超过800元时，
享受折扣优惠的金额做多为元，
故该顾客购物总金额一定超过了800元，设为x元 ，
则 ，解得（元），
则此顾客实际所付金额为元，
故选：C.
10．我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）
A．120 B．200 C．240 D．400
【答案】D
【详解】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为，
当时，，
当时，取得最小值240，
当 时，，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200，
综上，当每月的理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，
故选：D
11．在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（ ）
A．甲车出发2h时，两车相遇
B．乙车出发1.5h时，两车相距170km
C．乙车出发2h时，两车相遇
D．甲车到达C地时，两车相距40km
【答案】BCD
【详解】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交，
∵C地位于A、B两地之间，
∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论A错误；
甲车的速度为240÷4＝60（km/h），
乙车的速度为200÷（3.5﹣1）＝80（km/h），
∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h），
∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确；
∵，
∴乙车出发时，两车相遇，结论C正确；
∵80×（4﹣3.5）＝40（km），
∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论D正确；
故选：BCD
12．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（ ）
A．取得最大值时每月产量为台
B．边际利润函数的表达式为
C．利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值
D．边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
【答案】BCD
【详解】对于A选项，，
二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
因为，所以，取得最大值时每月产量为台或台，A错；
对于B选项，
，B对；
对于C选项，，
因为函数为减函数，则，C对；
对于D选项，因为函数为减函数，
说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对.
故选：BCD.
13．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额，税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额应纳税所得额税率-速算扣除数.①应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其它扣除.②其中，“基本减除费用”（免征颁）为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数
1 3 0
2 10 2520
3 20 16920
已知小华缴纳的专项扣除：基本养老保险，基本医疗保险费，失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是，专项附加扣除是52800元，依法确定的其它扣除是4560元.设小华全年应纳税所得额为（不超过300000元）元，应缴纳个税税额为元，则 ；如果小华全年综合所得收入额为220000元，那么他全年应缴纳个税 元.
【答案】 3344
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
故；
小华全年综合所得收入额为220000元时，应纳税所得额
，
，故，
故他全年应缴纳个税3344元.
故答案为：；3344
14．已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围 ．
【答案】
【详解】
当时，，函数单调递减，此时；
当时，，函数单调递增，此时，
当时，，函数单调递减，此时，
作出函数的图象如图所示，
设，且，
则，
当时，令，则；令，则；
则
又函数为偶函数，所以，
由，即，
故答案为：.
15．某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，图象过点；当时，图象是线段，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为 .（写成区间形式）
【答案】
【详解】当时，设，
将代入得，，解得，
则，
由，解得，即；
当时，设，
将，代入得，则，
由，解得，即.
综上所述，教师在时间段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳.
故答案为：.
16．设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点．
(1)设，求关于的函数的解析式及其定义域；
(2)求面积的最大值及相应的值．
【答案】(1)定义域为；
(2)的面积有最大值，此时cm.
【详解】（1）因为矩形的周长为，，则，
又，即，又，，
易知≌，所以，
在中，根据勾股定理得，即，
整理得，
故，定义域为.
（2）由题意，
，当且仅当时，等号成立.
所以，当时，的面积有最大值．
17．某公司租地建仓库，每月土地占用费与车库到车站的距离成反比，而每月的库存货物的运费与车库到车站的距离成正比如果在距离车站公里处建立仓库，这两项费用和分别为万元和万元．
(1)分别求出和关于距离的关系式；
(2)求若要使得这两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站多远处？此时最少费用为多少万元？
【答案】(1)，．
(2)仓库应建在距离车站公里处，此时最少费用为万元．
【详解】（1）设，，
由题意可得：，，解得，．
所以，.
（2）设这两项费用之和为，
则
，
，
当且仅当，即时取得等号．
答：若要使得这两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站公里处，此时最少费用为万元．
18．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】(1)
(2)50；2200
【详解】（1）由题意可知，
当时，，
当时，，
所以年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式为.
（2）当时，，开口向下，
所以当时，；
当时，
，
当且仅当即时，等号成立，此时，
因为，
所以，该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2200.
19．某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）．
(1)求利润的函数解析式；
(2)当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元
【详解】（1）由题意，，
即；
（2）当时，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最大值52；
当时，，
所以当时，取得最大值，最大值为，
所以当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元．
20．已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完．
(1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）；
(2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？
【答案】(1)，400万元．
(2)生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元．
【详解】（1）当时，；
当时，；
综上，
当台时，万元，
所以该企业生产20台该设备时，所获利润为400万元．
（2）当时，，
故当台时，取得最大值，最大值为500万元；
当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当台时，取得最大值，最大值为820万元；
因为，所以当生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元．
1
