中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.3 幂函数
教学目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式； 2.掌握常见幂函数的图像； 3.利用幂函数的单调性比较指数式大小。 4.利用幂函数的性质解不等式及待定参数的求解
教学重难点 1.重点：掌握幂函数的图象与性质 2.难点：利用幂函数的性质解不等式及待定参数的求解
知识点01 幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．
【即学即练】
1．下列函数是幂函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，中指数上有变量，所以此函数不是幂函数，所以A错误，
对于B，是指数函数，不是幂函数，所以B错误，
对于C，是幂函数，所以C正确，
对于D，是一次函数，不是幂函数，所以D错误，
故选：C
2．在函数，，，中，幂函数的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【详解】函数是幂函数，
函数，都是二次函数，函数是一次函数，它们都不是幂函数，
所以所给函数中幂函数的个数是1.
故选：B
知识点02 幂函数的图象及性质
1．作出下列函数的图象：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
2．作幂函数图象的步骤如下：
（1）先作出第一象限内的图象；
（2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；
若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．
3．幂函数解析式的确定
（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．
（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．
4．幂函数值大小的比较
（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．
（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
【即学即练】
1．已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【详解】由题得：点，，，
所以，，分别代入，，
因为，，
所以.
故选：C.
2．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为（ ）
A．2 B． C．0或 D．0或2
【答案】C
【详解】由题意可知，，解得或，
故选：C
题型01：幂函数的概念
【典例1】下列函数是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由幂函数的定义可知，是幂函数．
故选：C.
幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．
【变式1】下列函数是幂函数且在上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于AB，与都是幂函数，在上都单调递增，AB不是；
对于C，函数不是幂函数，C不是；
对于D，函数是幂函数，且在上是减函数，D是.
故选：D
【变式2】下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为形如的函数为幂函数，显然A、C不符合定义，B、D符合幂函数定义；
又在上单调递减，在上单调递增，故D正确，
在上单调递增，在上单调递减，即C错误.
故选：D
【变式3】下列函数中幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A：函数为一次函数，故A不符合题意；
B：函数为二次函数，故B不符合题意；
C：函数为二次函数，故C不符合题意；
D：函数为幂函数，故D符合题意.
故选：D
题型02：求函数解析式
【典例1】幂函数过点，，是其图象上任意两点．则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为是幂函数，可设，
因为幂函数的图象经过点，
所以，即，解得：，
所以，定义域为，
对于A，设，定义域为，因为，
所以在上单调递增，
若，则有，即，故A正确；
对于B，设，定义域为，因为，
所以在上单调递减，
若，则有，即，故B正确；
对于CD，，
而，等号不成立，
所以，
又，
所以，C对，D错，
故选：D
幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．
【变式1】若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．方程的实数根为
C．在上为增函数 D．的值域为
【答案】B
【详解】设，代入点可得，所以，
所以，因为，所以，即函数的定义域为，
对于A：因为的定义域为，不关于原点对称，
所以既不是为偶函数也不是奇函数，故A错误；
对于B：令，所以，解得，故B正确；
对于C，因为，因为，所以在上为减函数，故C错误；
对于D：因为，所以，所以，
的值域为，故D错误.
故选：B.
【变式2】已知幂函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若函数，求在上的值域．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或．
当时，，此时，则符合题意；
当时，，此时，则不符合题意．
故．
（2）由（1）可知，则．
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，即在上的值域为．
【变式3】已知幂函数在上单调递减．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）由幂函数在上单调递减，
可得，解得，所以．
（2）由函数图象关于轴对称，且在上单调递增，
则可化为，平方得，
化简得，解得，所以的取值范围是．
题型03：定义域问题
【典例1】已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．定义域为 B．是偶函数
C．是减函数 D．是奇函数
【答案】B
【详解】设，
代入点，可得，解得，
所以.
对于A：可知的定义域为，故A错误；
对于BD：因为，可知是偶函数，故B正确，D错误；
对于C：由偶函数对称性可知在定义域内不单调，故C错误；
故选：B.
使表达式有意义．
【变式1】已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．在单调递减 D．定义域为
【答案】C
【详解】设幂函数，
由题意得： ，
故，定义域为 ，故D错误；
定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A，B错误；
由于 ，故在单调递减，C正确，
故选：C
【变式2】已知幂函数经过点．
(1)求此幂函数的表达式和定义域；
(2)若当，时，有，求实数的取值范围．
【答案】(1)；定义域为
(2)
【分析】（1）由题意，代入点计算即得函数解析式，化成根式易求得函数定义域；
（2）根据幂函数在上的单调性列出不等式组，求解即得.
【详解】（1）由幂函数经过点可得，，可得，解得，故．
由可得，所以函数的定义域为．
（2）由（1）可知，幂函数的定义域为，且在定义域上为减函数，
由，得可得．
即实数的取值范围为.
【变式3】已知幂函数的图像经过点．
(1)求此幂函数的表达式和定义域；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）设，则有，解得，
故，即，则其定义域为；
（2）由，则在上单调递减，
故有，即，即.
题型04：值域问题
【典例1】已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数 B．若，则
C． D．
【答案】C
【详解】令，由，得，解得，则，
所以的定义域为，则为非奇非偶函数，故A错误；
因为，所以在上单调递增，
则当时，，故B错误；
当且时，
，，
则，，
又，所以，则，
所以，故C正确；
当时，即，故D错误.
故选：C
利用单调性求解．
【变式1】已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为，
当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，
当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，
因函数的值域为，则有，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D
【变式2】已知幂函数在上单调递增，函数．
(1)求实数m的值；
(2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵为幂函数，∴，
解得或，
当时，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
∴；
（2）由（1）得，∴时，，
∵为上的减函数，
∴当时，，
∵，∴，
∴解得，
实数k的取值范围是．
【变式3】已知幂函数在区间上单调递减，
（1）求幂函数的解析式及定义域
（2）若函数，满足对任意的时，总存在使得，求k的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【详解】为幂函数，且在区间上单调递减，
，即，解得或（舍去）
所以幂函数的解析式为
，且，所以函数的定义域为
（2）由（1）知在区间上单调递减，所以当，，即，令；
，由指数函数性质知，单调递增，所以当，，即，令；
因为对任意的时，总存在使得，则
结合数轴可知，解得，即k的取值范围
题型05：幂函数的图象
【典例1】已知幂函数的图象经过点，该幂函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，
所以，即，解得，
即该幂函数的解析式为，其定义域为，值域为，
又为偶函数，且在上为减函数，在上为增函数.
故选：B．
先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可．
【变式1】函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】易知函数的定义域为，
且该函数为偶函数，排除D，
由易知在上该函数为单调递减，又排除AB，
故选：C
【变式2】幂函数的图象大致为（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【详解】幂函数的定义域为，故D选项错误；
因为,所以为偶函数，故A,C选项错误；
故选：B.
【变式3】已知函数则函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当时，因为为单调递增函数，
与关于轴对称，所以单调递减，
当时，因为为单调递减函数，
与关于轴对称，所以单调递增，
综上所述只有选项C满足条件.
故选：C.
题型06：定点问题
【典例1】函数的图象恒过点 .
【答案】
【详解】令，
此时，无论取何值，都有.
所以函数图象恒过点.
故答案为：
所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点
【变式1】幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点 ．
【答案】
【详解】因为幂函数过点，可解得，
所以，
故，
当时，，
故恒过定点.
故答案为
【变式2】下列关于幂函数的命题中正确的有（ ）
A．幂函数图象都通过点
B．当幂指数时，幂函数的图象都经过第一、三象限
C．当幂指数时，幂函数是增函数
D．若，则函数图象不通过点
【答案】B
【详解】对于A，当时，幂函数图象不通过点，A错误；
对于B，幂指数时，幂函数分别为 ，三者皆为奇函数，
图象都经过第一、三象限，故B正确；
对于C，当时，幂函数在上皆单调递减，C错误；
对于D，若，则函数图象不通过点，通过点，D错误，
故选：B
【变式3】给出下列四个结论：
①所有的幂函数都经过定点与；
②已知函数（且）在上是减函数，则的取值范围是；
③在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称；
④在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称.
其中正确结论的序号是 .
【答案】③④
【详解】①所有的幂函数都经过定点，但不一定过，错误；
②函数（且）在上是减函数，则，解得的取值范围是，错误；
③在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称，正确；
④在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称，正确.
故答案为：③④
题型07：利用幂函数的单调性求解不等式问题
【典例1】已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为为幂函数，所以，解得或，
当时，，此时为偶函数，不符合题意；
当时，，此时为奇函数，符合题意；
所以，则的定义域为，且函数在上单调递减，
则在上单调递减，
所以不等式，
即或或，
解得或无解或，
所以实数的取值范围为.
故选：C
运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径．
【变式1】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为函数在上单调递减，
所以，又，
所以，
因为函数的图象关于轴对称，
所以为偶数，
所以，
函数的定义域为，
且函数在和上单调递减，
当时，，当时，，
所以不等式可化为
或或，
所以或，
所以的取值范围为.
故选：C.
【变式2】已知幂函数在定义域上不单调．
(1)求函数的解析式；
(2)函数是否具有奇偶性？请说明理由；
(3)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)奇函数，理由见解析；
(3).
【详解】（1）由幂函数，得，解得或，
若，则在定义域内单调递增，不合题意；
若，则在定义域内单调递减，
但在定义域内不单调，符合题意；
所以函数的解析式为.
（2）函数为奇函数，理由如下：
函数的定义域关于原点对称，
且，所以函数为奇函数.
（3）由及为奇函数，
得，
即，
而在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，解得或，
所以实数的取值范围.
【变式3】已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称.
(1)求的值及函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由幂函数在上单调递增知，，解得，
又，则或或，
当或时，，此时，不符合的图象关于轴对称，故舍去.
当时，，定义域为，且，所以图像关于轴对称，符合题意.
综上所述，.
（2）由（1）得，易知为偶函数，且在上单调递增，
因为，所以，
两边平方，得，
化简得，解得或，
故实数的取值范围为.
题型08：比较大小
【典例1】已知幂函数，对任意且，都有，若，则的值（ ）
A．恒大于0 B．等于0 C．恒小于0 D．无法判断
【答案】C
【详解】因为函数为幂函数，
所以，
解得或；
因为对任意且，都有，
可知函数在上单调递增，
当时，，此时函数在上单调递减，矛盾，
当时，，函数在上单调递增，满足条件，
所以，，
函数为奇函数，函数在上单调递增，
由，可得，所以，即，
所以.
故选：C.
1.两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断．
2.利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的．
3.引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论．
【变式1】已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【答案】B
【详解】∵函数是幂函数，∴，解得或，
∵对任意的且，满足，
∴在上为增函数，故，即，
∵，∴为上单调递增的奇函数，
∵，∴，
∴，故.
故选：B.
【变式2】已知幂函数的图象过点，幂函数的图象过点．
(1)求，的表达式；
(2)求当为何值时：①；②；③．
【答案】(1)；
(2)① 或；②或；③且
【详解】（1），∵图象过点，故，解得，∴；
，∵图象过点，∴，解得．∴．
（2）在同一平面直角坐标系中作出与的图象，如图所示．
由图象可知，、的图象均过点和．
所以①当或时，；
②当或时，；
③当且时，．
【变式3】已知幂函数为偶函数，且在上单调递减．
(1)求m和k的值；
(2)求满足的实数a的取值范围．
【答案】(1)，或；
(2)
（2）结合（1）可得，即为，利用幂函数的性质，分类求解不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由函数为幂函数，
则，解得或；
由在上单调递减，
得，解得，而，故或2，
当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意；
当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意；
故，或；
（2）结合（1）可知，即为，
故或或，
解得或或，
故实数a的取值范围为.
题型09：幂函数性质的综合运用
【典例1】已知函数为幂函数，且在上单调递减.
(1)求实数的值；
(2)若函数，判断函数在上的单调性，并证明.
【答案】(1)；
(2)函数在上单调递增，证明见详解.
【详解】（1）函数为幂函数，
，即，或，
当时，，此时在上单调递增，不符合题意，
当时，，此时在上单调递减，符合题意，
实数的值为；
（2）由(1)可知，，
函数在上单调递增，证明如下：
任取，且，
则，
，，，
，即，
函数在上单调递增.
以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题．
【变式1】已知幂函数在上单调递增.
(1)求实数的值；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，解得或；
当时，在区间上单调递减，不合题意，舍去；
当时，在区间上单调递增，符合题意，
所以；
（2）由（1）知，
则问题为对任意恒成立，
即，，
由于的最小值为，
所以，即实数的取值范围为.
【变式2】已知幂函数在上满足，函数.
(1)求的值；
(2)当时，记，的值域分别为A、B，设p：，q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由幂函数，得，解得或，
由幂函数在上满足，得在上单调递增，
则，而时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
所以.
（2）由（1）知，，当时，，则，
函数在上单调递增，，则，
由p是q成立的必要不充分条件，得 ，则或，
解得或，因此，
所以实数k的取值范围是.
【变式3】已知幂函数的图象经过点.
(1)求的解析式.
(2)设函数
①判断的奇偶性；
②若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)①奇函数，证明见解析；②
【详解】（1）解：幂函数的图象经过点，
，解得，
；
（2）①由，可得，其定义域为.
对于任意，,所以是奇函数.
②由（1）得．
任取，，且，
则
．
因为，所以，，所以，即．
所以函数在单调递增，
所以在上，．
因为在上恒成立，
所以，解得．
所以的取值范围为．
1．已知幂函数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递减 B．的图象关于轴对称
C．的图象过点 D．
【答案】D
【详解】设幂函数，因为，
所以，所以（）.
根据幂函数的性质可知，在上单调递减，所以A错误；
因为该函数的定义域为，所以不关于轴对称，B错误；
因为时函数无意义，所以不经过点，C错误；
因为在上单调递减，，
所以，D正确.
故选：D.
2．已知定义域为的函数满足，，且时，，则下列说法正确的（ ）
A． B．为减函数
C．为奇函数 D．不等式的解集为
【答案】D
【详解】令，则，得，
对于A，令，则，故A错误；
对于B，若，则，此时，
所以，
即时，，所以为上的增函数，故B错误；
对于C，令，则，所以，
不满足，所以不是奇函数，故C错误；
对于D，因为为上的增函数，且，
所以当时，；当时，，
不等式的解集为，故D正确.
故选：D
3．已知函数对称中心在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，
可得，
，
所以，
即，所以函数的对称中心为，
又因为在直线上，所以，所以，
所以，
因为，所以，，
根据基本不等式有：，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C
4．已知幂函数在上是增函数，则（ ）
A．或3 B． C．3 D．1
【答案】C
【详解】因为是幂函数，所以，解得或，
当时，在上是增函数，符合题意，
当时，在上是减函数，不符合题意，舍去，
所以，
故选：C.
5．若，，则错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于选项，当，，，时，，，此时，所以选项错误.
对于选项，由可得，则.
又因为，所以，根据不等式的性质：可得，所以选项正确.
对于选项，由，则，则，，根据不等式的性质：，可得，所以选项正确.
对于选项，由前面分析可知，因为函数在上单调递增，所以，所以选项正确.
故选：A.
6．幂函数都有成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．或
C．是偶函数 D．是奇函数
【答案】D
【详解】解：因为是幂函数，所以，解得或，
因为，都有成立，所以该函数在是减函数，
所以，故A，B错误；
，定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以是奇函数，故D正确，C错误.
故选：D.
7．已知点在幂函数的图象上，则是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．在上单调递减
【答案】A
【详解】∵点在幂函数的图象上，设，
∴，解得，
∴函数，定义域为，关于原点对称，
∴，
∴函数是奇函数，根据反比例图象在上单调递减．
故选：A．
8．函数的增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为，
因为内层函数在上递增，在上递减，
外层函数在上为减函数，
因此，函数的增区间为.
故选：B.
9．幂函数过点，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设，
由题意可得，解得，
所以在上单调递增，且，为偶函数，
所以，
解得，所以不等式的解集为.
故选：C
10．已知幂函数的图象过点，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设幂函数，
因为幂函数的图象过点，
则，解得，即，
因为，即，
整理可得，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D.
11．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数
【答案】BC
【详解】设，其图象经过点，
则，解得，故，
那么的定义域为，故A错误；
的值域为，故B正确；
因为，则为偶函数，故C正确；
因为在上单调递增，在上单调递减，不能说是在其定义域上的减函数，故D错误.
故选：BC.
12．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．的最小值为0
B．为偶函数
C．若，则
D．是在上的减函数
【答案】ACD
【详解】∵函数是幂函数，∴设.
∵幂函数的图象经过点，∴，∴，∴.
∵，当且仅当时等号成立，∴的最小值为0，故选项A正确；
∵的定义域为，关于原点不对称，∴函数是非奇非偶函数，故选项B错误；
∵，∴.
∵，∴，
∴，∴，故选项C正确；
∵，
∴由函数单调性的性质可知：函数是在上的减函数，故选项D正确.
故选：ACD.
13．已知幂函数（，为常数），则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则与表示同一个函数
C．若，则为奇函数
D．若，则为偶函数
【答案】BD
【详解】由为幂函数，
可得：，即，故A错误；
对于B：若，则，，故B正确；
对于C：若，则，
所以，定义域为，
显然是偶函数，故C错误；
对于D：若，则，
所以，定义域为，
又 ，故是偶函数，故D正确.
故选：BD
14．已知函数，若，则的最大值为 .
【答案】2
【详解】因为为增函数，不妨设，
则，即，
变形得.
若异号，则，
即，
解得，当且仅当时，等号成立.
若同号或中有一个为0，则，解得.
综上，的最大值为2.
故答案为：2.
15．已知幂函数的图象关于轴对称，且，则 ；若，则实数的取值范围是 ．
【答案】 2 或
【详解】由题意知函数在区间上单调递增，所以，解得，由得．又的图象关于轴对称，所以为偶数，所以，所以．不等式等价于，解得或．
16．已知幂函数的定义域不为.
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由幂函数的定义可得，解得或，
若，则的定义域为，不符合题意，
若，则的定义域为，符合题意，
所以的解析式为.
（2）由（1）得，的定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数，
由可得，
因为在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，
解得或，
所以a的取值范围为．
17．已知幂函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若函数，且，a，b均为正数，求的最小值．
【答案】(1)
(2)8．
【详解】（1）因为幂函数，所以，解得或．
当时，，满足，
当时，，不满足，所以．
（2）由（1）得．由，得．
因为，
所以．
又a，b均为正数，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，即的最小值为8．
18．已知幂函数的图象关于轴对称，函数．
(1)判断在上的单调性并证明；
(2)设函数，．若，，求的取值范围．
【答案】(1)函数在上单调递增；证明见解析
(2)
【详解】（1）由，所以或，
由幂函数的图象关于轴对称，所以.
故.
所以.
函数在上单调递增，下面用单调性定义证明：
设，
则.
因为，所以，，，所以，
所以，即.
所以函数在上单调递增.
（2）因为函数在上单调递增，且，
所以，.
对，.
当即时，在上单调递增，所以，
由.
当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以.
由，无解.
当即时，在上单调递减，所以，
由，这与矛盾，无解.
综上可知：.
故的取值范围是：.
19．已知幂函数在上单调递减.
(1)求的值并写出的解析式；
(2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)或.
【详解】（1）因为幂函数在上单调递减，
所以
解得：，
所以.
（2），
当时，，
易得的值域为.
，总存在，使，
的值域为值域的子集.
，
①当时，，
则；
②当时，，
则；
③当时，，不符合题意.
综上，或.
20．已知幂函数为奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求a的取值范围.
【答案】(1).
(2).
【详解】（1）由题意，幂函数，
可得，
即，解得或，
当时，函数为奇函数，
当时，为非奇非偶函数，
因为为奇函数，所以.
（2）由（1）知，可得在上为增函数，
因为，所以，
解得，
所以a的取值范围为.
1中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.3 幂函数
教学目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式； 2.掌握常见幂函数的图像； 3.利用幂函数的单调性比较指数式大小。 4.利用幂函数的性质解不等式及待定参数的求解
教学重难点 1.重点：掌握幂函数的图象与性质 2.难点：利用幂函数的性质解不等式及待定参数的求解
知识点01 幂函数概念
形如_______的函数，叫做幂函数，其中为常数．
【即学即练】
1．下列函数是幂函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在函数，，，中，幂函数的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
知识点02 幂函数的图象及性质
1．作出下列函数的图象：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
2．作幂函数图象的步骤如下：
（1）先作出第一象限内的图象；
（2）若幂函数的定义域为_______或_______，作图已完成；
若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数，则根据_______作出_______的图象；如果为奇函数，则根据_______作出_______的图象．
3．幂函数解析式的确定
（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．
（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．
4．幂函数值大小的比较
（1）比较函数值的大小问题一般是利用______________，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
（2）比较幂函数值的大小，一般先______________并明确其_______，然后由单调性判断值的大小．
（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
【即学即练】
1．已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（ ）
A． B． C．1 D．3
2．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为（ ）
A．2 B． C．0或 D．0或2
题型01：幂函数的概念
【典例1】下列函数是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．
【变式1】下列函数是幂函数且在上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】下列函数中幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
题型02：求函数解析式
【典例1】幂函数过点，，是其图象上任意两点．则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．
【变式1】若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．方程的实数根为
C．在上为增函数 D．的值域为
【变式2】已知幂函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若函数，求在上的值域．
【变式3】已知幂函数在上单调递减．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的取值范围．
题型03：定义域问题
【典例1】已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．定义域为 B．是偶函数
C．是减函数 D．是奇函数
使表达式有意义．
【变式1】已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．在单调递减 D．定义域为
【变式2】已知幂函数经过点．
(1)求此幂函数的表达式和定义域；
(2)若当，时，有，求实数的取值范围．
【变式3】已知幂函数的图像经过点．
(1)求此幂函数的表达式和定义域；
(2)若，求实数的取值范围．
题型04：值域问题
【典例1】已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数 B．若，则
C． D．
利用单调性求解．
【变式1】已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知幂函数在上单调递增，函数．
(1)求实数m的值；
(2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围．
【变式3】已知幂函数在区间上单调递减，
（1）求幂函数的解析式及定义域
（2）若函数，满足对任意的时，总存在使得，求k的取值范围.
题型05：幂函数的图象
【典例1】已知幂函数的图象经过点，该幂函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可．
【变式1】函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】幂函数的图象大致为（ ）
A．B． C． D．
【变式3】已知函数则函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
题型06：定点问题
【典例1】函数的图象恒过点 .
所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点
【变式1】幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点 ．
【变式2】下列关于幂函数的命题中正确的有（ ）
A．幂函数图象都通过点
B．当幂指数时，幂函数的图象都经过第一、三象限
C．当幂指数时，幂函数是增函数
D．若，则函数图象不通过点
【变式3】给出下列四个结论：
①所有的幂函数都经过定点与；
②已知函数（且）在上是减函数，则的取值范围是；
③在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称；
④在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称.
其中正确结论的序号是 .
题型07：利用幂函数的单调性求解不等式问题
【典例1】已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径．
【变式1】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】已知幂函数在定义域上不单调．
(1)求函数的解析式；
(2)函数是否具有奇偶性？请说明理由；
(3)若，求实数的取值范围．
【变式3】已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称.
(1)求的值及函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
题型08：比较大小
【典例1】已知幂函数，对任意且，都有，若，则的值（ ）
A．恒大于0 B．等于0 C．恒小于0 D．无法判断
1.两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断．
2.利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的．
3.引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论．
【变式1】已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【变式2】已知幂函数的图象过点，幂函数的图象过点．
(1)求，的表达式；
(2)求当为何值时：①；②；③．
【变式3】已知幂函数为偶函数，且在上单调递减．
(1)求m和k的值；
(2)求满足的实数a的取值范围．
题型09：幂函数性质的综合运用
【典例1】已知函数为幂函数，且在上单调递减.
(1)求实数的值；
(2)若函数，判断函数在上的单调性，并证明.
以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题．
【变式1】已知幂函数在上单调递增.
(1)求实数的值；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【变式2】已知幂函数在上满足，函数.
(1)求的值；
(2)当时，记，的值域分别为A、B，设p：，q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数k的取值范围.
【变式3】已知幂函数的图象经过点.
(1)求的解析式.
(2)设函数
①判断的奇偶性；
②若在上恒成立，求的取值范围.
1．已知幂函数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递减 B．的图象关于轴对称
C．的图象过点 D．
2．已知定义域为的函数满足，，且时，，则下列说法正确的（ ）
A． B．为减函数
C．为奇函数 D．不等式的解集为
3．已知函数对称中心在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知幂函数在上是增函数，则（ ）
A．或3 B． C．3 D．1
5．若，，则错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．幂函数都有成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．或
C．是偶函数 D．是奇函数
7．已知点在幂函数的图象上，则是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．在上单调递减
8．函数的增区间为（ ）
A． B． C． D．
9．幂函数过点，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知幂函数的图象过点，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数
12．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．的最小值为0
B．为偶函数
C．若，则
D．是在上的减函数
13．已知幂函数（，为常数），则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则与表示同一个函数
C．若，则为奇函数
D．若，则为偶函数
14．已知函数，若，则的最大值为 .
15．已知幂函数的图象关于轴对称，且，则 ；若，则实数的取值范围是 ．
16．已知幂函数的定义域不为.
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求a的取值范围.
17．已知幂函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若函数，且，a，b均为正数，求的最小值．
18．已知幂函数的图象关于轴对称，函数．
(1)判断在上的单调性并证明；
(2)设函数，．若，，求的取值范围．
19．已知幂函数在上单调递减.
(1)求的值并写出的解析式；
(2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
20．已知幂函数为奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求a的取值范围.
1
