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专题4.1 指数
教学目标 1.理解根式和分数指数幂的含义，并且能进行两者之间的互化。 2.掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算。 3.掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子。
教学重难点 1.重点：掌握无理数、实数指数幂的计算。 2.难点：掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算.
知识点01 整数指数幂的概念及运算性质
1、整数指数幂的概念
2、运算法则
（1）；（2）；（3）；（4）．
【即学即练】
1．计算： ．
2．设，下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点02 根式的概念和运算法则
1、次方根的定义：若，则称为的次方根．
为奇数时，正数的奇次方根有_____，是_____，记为；负数的奇次方根有_____，是_____，记为；零的奇次方根为零，记为．
为偶数时，正数的偶次方根有_____，记为；负数_____偶次方根；零的偶次方根为零，记为．
2、两个等式
（1）当且时，；（2）
【即学即练】
1．计算：（ ）
A． B． C． D．
2．计算下列各题：
(1)；
(2)．
知识点03 分数指数幂的概念和运算法则
为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：
【即学即练】
1．的分数指数幂表示为（ ）
A． B． C． D．都不对
2．若，则（ ）
A． B． C．64 D．
知识点04 有理数指数幂的运算
1、有理数指数幂的运算性质
（1）（2）（3）
当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．
2、指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做__________．负指数幂化为_______________．底数是负数，先确定_____，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用__________表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．
【即学即练】
1．（1）化简：．
（2）已知，求．
2．（1）求值：.
（2）设，且，求的值.
知识点05 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：
①它是一个确定的_____；②它是有理数指数幂__________的结果．
定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
【即学即练】
1．计算：
(1)
(2)
2．已知函数
(1)若，求的值；
(2)若，求函数的最小值.
知识点06 实数指数幂的运算性质
①．②．③．
【即学即练】
1．，
2．（1）化简：（其中）；
（2）化简：（其中）．
题型01：由根式的意义求范围
【典例1】求使等式成立的实数a的取值范围为 ．
使根式有意义
【变式1】若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】求使等式成立的实数a的取值范围.
【变式3】满足方程的实数解的个数为 .
题型02：利用根式的性质化简或求值
【典例1】已知实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
【变式1】若，则的立方根为 .
【变式2】使得等式成立的实数a的值为 ．
【变式3】计算下列各式的值：
(1)；
(2)．
题型03：有限制条件的根式的化简
【典例1】，求 ．
对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可
【变式1】已知，，则的值为 ．
【变式2】若，则等式成立的条件是
A．， B．，
C．， D．，
【变式3】设，且，求= .
题型04：根式与指数幂的互化
【典例1】已知函数，则 ．
（1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂．
【变式1】（多选），下列运算（化简）中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】化简：
(1)
(2)（）
【变式3】计算下列各式（式中字母都是正数）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
题型05：利用分数指数幂的运算性质化简求值
【典例1】已知，则 ．
根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数．
【变式1】下列各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】若，则满足的的取值范围 .
【变式3】下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（ ）
A．（） B．
C．（） D．（）
题型06：整体代换法求分数指数幂
【典例1】若，则
对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式．
【变式1】已知，，则的值为 .
【变式2】已知正数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】若实数、、满足，，则的最小值是 .
1．计算： .
2．设均为不等于1的正数，且，则的值为（ ）
A．3 B．2
C．1 D．
3．已知，且，化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．8
5．已知幂函数的图象分别经过两点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若定义在上的奇函数和偶函数满足，则（ ）
A．
B．
C．
D．对恒成立，则的取值范围为
11．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，则 ．
13．若函数是奇函数，则 .
14．设，表示不超过的最大整数，例如：．．若存在实数，使得，，，同时成立，则的取值范围是 ．
15．用分数指数幂表示下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
16．已知 ，求：
(1)；
(2)．
17．已知是方程的两根，求的值．
18．（1）化简：；
（2）设，求的值．
19．设，且的图象过点，
(1)求表达式；
(2)计算；
(3)试求的值．
20．（1）计算的值；
（2）已知点在函数的图象上，求的解集.
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专题4.1 指数
教学目标 1.理解根式和分数指数幂的含义，并且能进行两者之间的互化。 2.掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算。 3.掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子。
教学重难点 1.重点：掌握无理数、实数指数幂的计算。 2.难点：掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算.
知识点01 整数指数幂的概念及运算性质
1、整数指数幂的概念
2、运算法则
（1）；（2）；（3）；（4）．
【即学即练】
1．计算： ．
【答案】1
【详解】．
2．设，下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A中，；B中，；C正确；D中，．
知识点02 根式的概念和运算法则
1、次方根的定义：若，则称为的次方根．
为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为．
为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．
2、两个等式
（1）当且时，；（2）
【即学即练】
1．计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由已知，.
故选：C.
2．计算下列各题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）．
（2）．
知识点03 分数指数幂的概念和运算法则
为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：
【即学即练】
1．的分数指数幂表示为（ ）
A． B． C． D．都不对
【答案】A
【详解】原式．
2．若，则（ ）
A． B． C．64 D．
【答案】D
【详解】．
知识点04 有理数指数幂的运算
1、有理数指数幂的运算性质
（1）（2）（3）
当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．
2、指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．
【即学即练】
1．（1）化简：．
（2）已知，求．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）.
（2）∵，∴，即，
∴，∴，故，
∴.
2．（1）求值：.
（2）设，且，求的值.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）
.
（2）因为，且，
所以
.
.
知识点05 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：
①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．
定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
【即学即练】
1．计算：
(1)
(2)
【答案】(1) ；
(2)1 ．
【详解】（1）
．
（2）原式．
2．已知函数
(1)若，求的值；
(2)若，求函数的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，对其两边平方得，即
（2），，
设，则，当且仅当时取等号；所以，所以，因为函数在时单调递增，
所以当即时，取最小值为
知识点06 实数指数幂的运算性质
①．②．③．
【即学即练】
1．，
【答案】
【详解】因为，所以
，
则
.
故答案为：.
2．（1）化简：（其中）；
（2）化简：（其中）．
【答案】（1）；（2）．
【详解】解：（1）原式．
（2）原式．
题型01：由根式的意义求范围
【典例1】求使等式成立的实数a的取值范围为 ．
【答案】
【详解】，
要使成立，
需解得，
即实数a的取值范围是，
故答案为：.
使根式有意义
【变式1】若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由，
可得，即．实数的取值范围是．
故选：．
【变式2】求使等式成立的实数a的取值范围.
【答案】[-3，3]
【详解】，
要使|成立，
需解得a∈[-3，3]．
【变式3】满足方程的实数解的个数为 .
【答案】无数个
【详解】设，则
方程化为
即，即
当时，则，解得
当时，则恒成立，即满足方程.
当时，则，解得
所以满足方程，即，解得
故满足方程的实数解的个数为无数个
故答案为：无数个
题型02：利用根式的性质化简或求值
【典例1】已知实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，，
，，
，
.
.
又，，
，.
故选：D
此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
【变式1】若，则的立方根为 .
【答案】2
【详解】由，得，
所以，
所以，所以的立方根为.
故答案为：.
【变式2】使得等式成立的实数a的值为 ．
【答案】8
【详解】解：由题意可得，，所以，故.
设，则.
解得，或（舍），或（舍）
所以
所以
故答案为：8
【变式3】计算下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）解：原式
.
（2）解：原式
题型03：有限制条件的根式的化简
【典例1】，求 ．
【答案】
【详解】法一：因为，，所以.
法二：.
故答案为：
对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可
【变式1】已知，，则的值为 ．
【答案】
【详解】由，，可得，
设，则，则，
解得，（舍去），
故，
故答案为：
【变式2】若，则等式成立的条件是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】，，．由 ，得 .
故选C.
【变式3】设，且，求= .
【答案】
【详解】对左右同时平方得
同时由可判断，则，
故答案为
题型04：根式与指数幂的互化
【典例1】已知函数，则 ．
【答案】/-0.5
【详解】因为，所以将代入中，可得
因为，所以将代入中，可得.
故答案为:.
（1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂．
【变式1】（多选），下列运算（化简）中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：ABD．
【变式2】化简：
(1)
(2)（）
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式
（2）原式
【变式3】计算下列各式（式中字母都是正数）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
.
题型05：利用分数指数幂的运算性质化简求值
【典例1】已知，则 ．
【答案】
【详解】
，
因为，所以原式
故答案为：
根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数．
【变式1】下列各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确.
故选：D.
【变式2】若，则满足的的取值范围 .
【答案】
【详解】由题意，则且，而，
所以，即，故，可得.
故答案为：
【变式3】下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（ ）
A．（） B．
C．（） D．（）
【答案】C
【详解】A中，（），故A错误；
B中，，故B错误；
C中，（），故C正确；
D中，（），故D错误．
故选：C．
题型06：整体代换法求分数指数幂
【典例1】若，则
【答案】
【详解】由于，故.
这就意味着，从而.
故答案为：
对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式．
【变式1】已知，，则的值为 .
【答案】/
【详解】因为，两边平方得，所以，
因为，所以，，所以，
所以，
又，
所以.
故答案为：.
【变式2】已知正数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为正数、满足，即，可得，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：B.
【变式3】若实数、、满足，，则的最小值是 .
【答案】
【详解】由可得：，
即，当且仅当，即时取等号，
由，
可得：，又由得：，
所以，因为，
所以，当且仅当取等号，
故答案为：
1．计算： .
【答案】
【详解】.
故答案为：
2．设均为不等于1的正数，且，则的值为（ ）
A．3 B．2
C．1 D．
【答案】C
【详解】，，，
即，又均为不等于1的正数，
所以.
故选：C.
3．已知，且，化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：有意义，，，
又，，，.
故选：A.
4．已知，且，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】D
【详解】因为
所以，当且仅当即时等号成立，
故选：D．
5．已知幂函数的图象分别经过两点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为幂函数的图象分别经过两点，
所以把两点分别代入可得，
故，故.
故选：B.
6．已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】正实数a，b满足，
对于A，，当且仅当时取等号，A错误；
对于B，，当且仅当时取等号，B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，C错误；
对于D，，当且仅当时取等号，D正确.
故选：D
7．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】原式．
故选：D
8．已知，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为，，且，
所以，所以，
所以.
故选：C
9．已知，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】A.，故A正确；
B.，故B错误；
C.由可知，故，
因为，所以，故C正确；
D.因为，
又，所以原式，故D正确．
故选：ACD.
10．若定义在上的奇函数和偶函数满足，则（ ）
A．
B．
C．
D．对恒成立，则的取值范围为
【答案】BCD
【详解】因为，——①
所以，
又因为是奇函数，是偶函数，所以，——②
由①②，解得，.
对于A，，故A错误；
对于B，，，故B正确；
对于C，，，故C正确；
对于D，，
令，
则原式变为，
令，
由二次函数的性质可得要使在时恒成立，则，故D 正确.
故选：BCD
11．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】因为.所以
即，得（当且仅当时，等号成立），故A正确；
当时，满足，此时，故B错误；
（当且仅当时，等号成立），故C错误；
由得，所以
（当且仅当时，等号成立），故D正确.
故选：AD
12．已知，则 ．
【答案】
【详解】因为，所以．因为，则，所以，因此．
13．若函数是奇函数，则 .
【答案】
【详解】已知是奇函数，则.
先求：将替换为，可得.
对进行化简：
因为，所以.
移项可得：.
可得.
故答案为：.
14．设，表示不超过的最大整数，例如：．．若存在实数，使得，，，同时成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由，得；由，得，则；
由，得，则；由，得，则，
而，，
所以的取值范围是.
故答案为：
15．用分数指数幂表示下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
（2）因为，，
所以
．
（3）因为，，
所以
．
16．已知 ，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，所以
即 ，.
.
因为 ，所以 ，则 .
（2）.
已知，所以.
17．已知是方程的两根，求的值．
【答案】
【详解】解：由题意，得．又，而，所以．所以
18．（1）化简：；
（2）设，求的值．
【答案】（1）；（2）8
【详解】解：（1）原式．
（2）令，则，．
所以．
19．设，且的图象过点，
(1)求表达式；
(2)计算；
(3)试求的值．
【答案】(1)
(2)1
(3)1012
【详解】（1）由题意得，解得，
所以.
（2）.
（3）由（2）得，，，，
所以.
20．（1）计算的值；
（2）已知点在函数的图象上，求的解集.
【答案】（1）；（2）答案见解析
【详解】（1）
；
（2）因为点在函数的图象上，
所以，即，
则可化为，
当时，解得，
当时，，
当时，解得或，
当时，可化为，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
故时，解集为，
当时，解集为或，
当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为
1
