21.1 一元二次方程教案人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
教学内容 21.1 一元二次方程 课时 1
核心素养目标 会用数学的眼光观察世界：通过提炼实际问题中的数量关系，了解一元二次方程及其解的定义，锻炼抽象能力. 会用数学的思维思考问题：把握问题本质，培养模型意识和观念，理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数，形成良好的数学思维习惯. 会用数学的语言表达思想：能根据简单的实际问题列出一元二次方程，加强用数学语言描述现实世界的能力，提高综合应用能力.
知识目标 1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数； 2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型； 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
教学重点 理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题.
教学难点 根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导入 二、探究新知 当堂练习 一、新课导入 问题1：要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全身的高度比，则雕像的下部应设计多少米高？ 师生活动：教师提问并给学生时间独立思考. 二、探究新知 知识点1：一元二次方程的概念 探究1：对于上述问题请抽象出数学模型并列出合适的方程. 师生活动：教师引导学生从实际问题和几何问题角度分析本题思路. 教师鼓励学生独立列方程并整理如下： 解：设雕像下部 BC = x m， 列方程得 x 2 = 2(2 - x )，整理得 x 2 + 2x - 4 = 0．① 问题2：有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 师生活动：教师以填空的形式引导学生分析问题：问题2中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为 cm，则盒底的宽为 cm，盒底的长为 cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2，可列方程为 . 学生独立完成填空，教师请学生代表回答，教师予以适当引导与评价. 问题3：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛 师生活动：教师以填空的形式引导学生分析问题：问题3中，本次排球比赛的总比赛场数为 场. 设邀请 支队参赛，则每支队与其余 支队都要赛一场. 根据题意，你列出的方程是 .整理为 . 学生独立完成填空，教师请学生代表回答，教师予以适当引导与评价. 合作探究 方程 ① ② ③ 有什么共同点？ x2 + 2x - 4 = 0 ① x2 - 75x + 350 = 0 ② x2 - x = 56 ③ 师生活动：学生观察并小组讨论. 教师追问：类比一元一次方程的特征填空. (1) 方程的两边都是_____； (2) 都只含_____个未知数； (3) 未知数的最高次数都是 . 预测学生能正确回答，然后教师引导学生总结. 定义总结 等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式：ax2 + bx + c = 0 (a≠0). 重点讲解： 例题精析 例1 下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（ ） 师生活动：学生先独立解答，然后请学生代表发言，教师给予恰当评析，引导学生归纳一元二次方程的三个判断条件： ①方程两边都是整式； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是 2. 练一练 判断下列方程是否为一元二次方程： 师生活动：学生先独立思考，教师请8名学生回答并分析判断依据. 例2 a何值时，下列方程为关于x的一元二次方程？ (1) ax2－x = 2x2； (2) (a－1) x |a| + 1－2x－7 = 0. 师生活动：教师引导学生分析并板书： 练一练 2. 已知方程 (2a－4)x2 2bx + a = 0. (1) 在什么条件下此方程为关于x的一元二次方程？ (2) 在什么条件下此方程为关于x的一元一次方程？ 师生活动：学生先独立解答，然后请学生板书，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知. 解：(1) 当2a 4≠0，即a≠2时，是关于x的一元二次方程. (2) 当a = 2且b≠0时，是关于x的一元一次方程. 例3 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 师生活动：学生先独立解答，然后请学生代表板书，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知. 解： 去括号，得 3x2 - 3x = 5x + 10 整理，得 3x2 - 8x - 10 = 0 其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10. 教师引导学生总结：系数和项均包含前面的符号. 知识点2：一元二次方程的根 试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的根 – 4， –3， –2， –1，0，1，2，3，4 师生活动：学生先独立计算，教师请学生代表完成表格（如下），并引导学生观察表格并总结. 总结：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 例4 已知关于 的一元二次方程x2 + ax + a = 0 的一个根是3，求a的值. 师生活动：学生先独立思考，学生代表发言，教师整理板书如下： 教师引导学生总结：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的方程，然后解这个方程，就能得到字母的值. 链接中考 (遂宁) 已知 m 为方程 x2 + 3x - 2022 = 0 的根，那么m3+2m2-2025m+2022的值为 ( ) A. -2022 B. 0 C. 2022 D. 4044 师生活动：学生先独立思考，学生代表发言，教师引导学生叙述分析思路并整理板书： 三、当堂练习 基础训练 1. 下列哪些是一元二次方程？ 3x + 2 = 5x - 2；x2 = 0；(x + 3)(2x - 4) = x2； 3y2 = (3y + 1)(y - 2)；x2 = x3 + x2 - 1；3x2 = 5x - 1. 2. 填表： 3. (1) 已知方程5x + mx 6 = 0的一个根为4，则 m 的 值为 ； (2) 若关于x的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2－4 = 0 有一个根为 0，求 m 的值. 4. 如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三. 求挖去的圆的半径 x cm 应满足的方程 (其中π取 3). 能力提升 5. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根为 1，求 a + b + c 的值. (1) 若 a - b + c = 0，你能通过观察，求出方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根吗 (2) 若 a - b + c = 0，且 4a + 2b + c = 0，你能通过观察，写出方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根吗 设计意图：引入实际问题，吸引学生的注意力，为后面的学习做铺垫. 设计意图：通过实际与几何两种角度分析问题，提高学生数形结合意识，加强学生多方位思考问题的能力. 通过列方程与整理，引出本节课的学习内容，为后面的讲解形成铺垫. 设计意图：通过填空的方式帮助学生分析问题，理清逻辑关系，提高学生分析问题的能力. 通过观察图片，帮助学生列式，强化数形结合思想. 设计意图：通过填空的方式帮助学生分析问题，理清逻辑关系，进一步提高学生分析问题的能力，提高学生的自主学习能力. 设计意图：通过观察与讨论，让学生抽象出一般特征，提高抽象能力与语言表达能力；借助类比的方式，提高学生迁移能力. 设计意图：通过判断旋转的方式让学生通过练习巩固刚才所学的知识，以此总结判断条件，助于学生理解应用. 设计意图：通过判断问题强化学生刚才所学的知识. 设计意图：让学生通过练习巩固一元二次方程的概念，并由学生在做题的同时自己总结解题步骤，加深印象的同时，提升学生的归纳能力. 设计意图：用练习强化学生对知识的应用，培养学生独立思考与举一反三的能力. 设计意图：加强学生对方程形式转化的掌握，帮助学生理解 一元二次方程二次项、一次项和常数项及它们的系数的概念，也为后面学习解一元二次方程打基础. 设计意图：通过计算与观察表格，帮助学生直观感受一元二次方程的根. 设计意图：通过练习巩固一元二次方程根的概念，提升学生逆向思维的能力. 设计意图：链接中考让学生了解知识点的考察形式，提高学生解题技巧. 设计意图：通过判断问题强化学生对一元二次方程的判断条件的掌握. 设计意图：通过练习帮学生巩固方程的变形及相关的项与系数的概念. 设计意图：通过判断问题强化学生刚才所学的知识. 设计意图：锻炼学生依题意列式的能力，提高应用水平. 设计意图：通过练习巩固一元二次方程的根的应用能力，提高解题技巧.
板书设计 一元二次方程 一元二次方程的概念 一元二次方程的根（解）
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
教学反思 九年级的学生，在讲本节课之前，已经系统的学习了一元一次方程及相关概念，学习了整式、分式和二次根式，从知识结构上看他们已经具备了继续探究一元二次方程的基础. 这个阶段的学生自主探究和合作交流的能力很强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有很大提高. 由于他们有强烈的求知欲，当遇到新的问题时，会自然的产生进一步探究的欲望. 作为一元二次方程章节的第一节课，这节课需要将概念讲解清晰，在回顾一元一次方程的概念的基础上，让学生通过分析实际问题中的数量关系列出方程，从而引导他们发现问题，然后通过自主探究和合作交流，抽象出一元二次方程的概念；借助于多媒体从实际问题抽象出概念，在通过巩固训练、回顾梳理、拓展提高到作业布置，完成本节课的教学.