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专题3.2 函数的基本性质
教学目标 1.理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义． 2.掌握定义法证明函数单调性的步骤． 3.掌握函数单调区间的写法. 4.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 5.会借助单调性求最值. 6.掌握求二次函数在给定区间上的最值． 7.了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.
教学重难点 1.重点：利用函数的奇偶性求函数解析式，利用函数的奇偶性解有关函数不等式，利用函数的奇偶性求参数范围. 2.难点：能解决与函数单调性、奇偶性、周期性有关的综合问题.
知识点01 函数的单调性
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数的定义域为，区间
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有____________，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有____________，那么就说在区间上是减函数．
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有______，称为函数的____________．函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
3．证明函数单调性的步骤
（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且______；
（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；
（4）得出结论．
4．函数单调性的判断方法
（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（4）记住几条常用的结论
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
【即学即练】
1．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数．若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
知识点02 基本初等函数的单调性
1．正比例函数
当______时，函数在定义域R是增函数；当______时，函数在定义域R是减函数．
2．一次函数
当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．
3．反比例函数
当时，函数的单调递减区间是____________，______单调增区间；
当时，函数的单调递增区间是____________，______单调减区间．
4．二次函数
若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；
若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．
【即学即练】
1．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
知识点03 函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有____________，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．
2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有____________，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．
3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．
【即学即练】
1．若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．0
知识点04 函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有____________，那么称为偶函数．
奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有____________，那么称为奇函数．
2．奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以____________为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于______轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．
【即学即练】
1．已知函数定义域为为偶函数，是奇函数且，则（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
2．已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
题型01：求函数的单调区间
【典例1】“函数在上单调递减”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
1.数形结合利用图象判断函数单调区间；
2.关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关．
3.复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决．关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数．
【变式1】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知函数，则函数（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
【变式3】若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
题型02：利用函数单调性求参数的取值范围
【典例1】已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1.解答分类问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及讨论对象的范围；其次要确定分类标准，即标准统一、不重不漏；再对所分类逐步进行讨论，分级进行；最后进行归纳小结，综合得出结论．
2.分离参数法，即把分离出来放到不等式的左边，不等式的右边是关于的函数，然后转化成求函数的最值问题．
【变式1】已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】若函数 在单增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型03：利用函数单调性的性质解不等式
【典例1】已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式，再依据函数的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解．
【变式1】已知定义在上的函数满足：①；②.若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知定义域为的函数满足，，且当时，．
(1)求的值；
(2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数；
(3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由
【变式3】定义其中表示，中较大的数.对，设，，函数.
(1)求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
题型04：求函数的最值
【典例1】设函数的最大值为M，最小值为m，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
1.如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．
2.如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．
3.若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．
4.若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．
【变式1】已知函数，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】设函数.
(1)求的单调区间；
(2)求在区间的最大值和最小值.
【变式3】已知是二次函数，且满足，，．
(1)求函数的解析式，并证明在上单调递增；
(2)设函数，，，求函数的最小值．
题型05：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系
【典例1】已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
利用函数的单调性进行比较，数形结合．
【变式1】中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度（单位：）与时间（单位：）的函数的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【变式2】下列说法中正确的有（ ）
A．已知在上是增函数，若，则
B．“”是“”的必要条件
C．若命题“”是真命题，则的取值范围为
D．函数的减区间是
【变式3】画出二次函数的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较的大小；
(2)若，比较与的大小关系；
(3)求不等式的解集．
因为不等式，所以当时，，由图可知此时；当时，，由图可知此时．所以不等式的解集为.
题型06：函数的奇偶性的判断与证明
【典例1】已知函数（），下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数的值域为
B．当时，函数有最小值没有最大值
C．当时，函数在区间上单调递增
D．当时，函数的值域为
判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功．
【变式1】已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)，．
【变式3】已知函数是定义在区间上的函数．
(1)判断的奇偶性；
(2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集．
题型07：已知函数的奇偶性求表达式
【典例1】已知是定义在R上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式．
【变式1】定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知函数是定义在上的偶函数．其中、且．
(1)求的表达式；
(2)若，实数满足，求的取值范围．
【变式3】已知是定义在R上的偶函数，当时，.
(1)求函数在R上的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围.
题型08：抽象函数的奇偶性问题
【典例1】已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．
C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称
判断抽象函数的奇偶性，可用特殊值赋值法来求解．在这里，由于需要判断与之间的关系，因此需要先求出的值才行．
【变式1】已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．的一个周期为8 D．是的一个对称中心
【变式2】定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，.
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)判断函数在上的单调性，并说明理由；
(3)若，试求的值.
【变式3】已知函数对于任意实数，都有，且.
(1)求的值；
(2)令，求证:函数为奇函数；
(3)求的值.
题型09：奇偶性与单调性的综合运用
【典例1】已知函数．
(1)判断的奇偶性并用定义证明；
(2)判断的单调性并用定义证明；
(3)解不等式．
函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．
【变式1】已知是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)作的图象；
(3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围．（不必写出演算过程）
【变式2】已知函数，其中．
(1)当函数的图像关于点为中心对称时，求a的值；
(2)若函数在区间上单调递增时，求a的取值范围．
【变式3】已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有
(1)求函数的解析式；
(2)判断的单调性，并利用定义证明；
(3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围．
题型10：利用函数奇偶性识别图像
【典例1】函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
利用奇偶性进行排除.
【变式1】函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是 ．
1．定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．在区间上单调递减
C．的周期为3 D．
4．已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A． B． C．为增函数 D．为奇函数
5．若，函数为上的奇函数，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
6．已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称 B．在上单调递减
C．当时， D．的值域是
12．下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（）
A．的图象关于直线对称 B．是周期函数
C．在上单调递减 D．在内有4个零点
14．已知函数，若在单调递增，则m的范围为 .
15．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
16．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则 ．
17．已知函数是定义域在上的奇函数，且.
(1)求a，b的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递增；
(3)解不等式.
18．已知函数满足，.
(1)求，的值；
(2)判断的奇偶性；
(3)求不等式的解集.
19．已知函数.
(1)若，求的取值范围.
(2)求的单调区间.
(3)当时，求的最值.
20．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．
(1)求的解析式；
(2)证明：函数在上单调递增．
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专题3.2 函数的基本性质
教学目标 1.理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义． 2.掌握定义法证明函数单调性的步骤． 3.掌握函数单调区间的写法. 4.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 5.会借助单调性求最值. 6.掌握求二次函数在给定区间上的最值． 7.了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.
教学重难点 1.重点：利用函数的奇偶性求函数解析式，利用函数的奇偶性解有关函数不等式，利用函数的奇偶性求参数范围. 2.难点：能解决与函数单调性、奇偶性、周期性有关的综合问题.
知识点01 函数的单调性
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数的定义域为，区间
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
3．证明函数单调性的步骤
（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；
（4）得出结论．
4．函数单调性的判断方法
（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（4）记住几条常用的结论
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
【即学即练】
1．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，是单调递减的，即有，解得；当时，函数是单调递减的，分界点处的值应满足，解得．综上，．
2．已知函数．若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数的值域为，即的值域包含这一子区间．故当时，，此时的值域为，符合题意；当时，是开口向下的二次函数，显然，值域不可能包含这一区间，故不符合题意；当时，需要与x轴有交点，才能完全包含这一区间，此时，即，解得．综上，．
知识点02 基本初等函数的单调性
1．正比例函数
当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．
2．一次函数
当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．
3．反比例函数
当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；
当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间．
4．二次函数
若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；
若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．
【即学即练】
1．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，，当时，函数单调递增，
当时，函数取得最小值，最小值为；当时，函数取得最大值，最大值为，
函数的值域为.
故选：A.
2．函数的图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，，对应图象是B选项.
当时，对应图象是D选项.
当时，在上单调递减，
对应图象是C选项.
所以不可能的是A选项.
故选：A
知识点03 函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．
2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．
3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．
【即学即练】
1．若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：令，，则．
当时，单调递减，
当时，单调递增，
又当时，，当时，，当时，，
所以函数的值域为，
故选：B．
2．已知，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】D
【详解】根据题意，
若方程有解，则，
即，
所以，
当时，，此时，即，
也就是说当且仅当时，.
故选：D
知识点04 函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．
奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．
2．奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．
【即学即练】
1．已知函数定义域为为偶函数，是奇函数且，则（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】B
【详解】因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即，
因为为偶函数，所以，则，
所以，，所以，故的周期为，
因为，
所以
.
故选：B.
2．已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】是定义域为的奇函数，故，
定义域为，
，
故是偶函数，
又在上单调递增，故在上单调递减，
是定义域为的奇函数，，故，
故，
当时，，
而在上单调递增，故；
其中，
当时，，
而在上单调递减，故；
当时，，满足不等式．
综上，．
故选：D．
题型01：求函数的单调区间
【典例1】“函数在上单调递减”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】先判定充分性，若在上单调递减，
由幂函数及复合函数的单调性可知，则，满足充分性；
再判定必要性，可举反例，若，则单调递减，
此时的定义域为，
此时在上单调递减，不满足必要性，
综上“函数在上单调递减”是“”的充分不必要条件.
故选：B
1.数形结合利用图象判断函数单调区间；
2.关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关．
3.复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决．关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数．
【变式1】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由，解得,
所以函数的定义域为，
令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为，
该函数在上单调递减，
则函数的单调递增区间是.
故选：C.
【变式2】已知函数，则函数（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
【答案】D
【详解】，
所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到.
因为在和上单调递减，
所以在和上单调递减.
故选：D
【变式3】若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【详解】当时，，则，
在上单调递增；
当时，，，
，
在上单调递增；
综上所述：的单调递增区间为和.
故选：B.
题型02：利用函数单调性求参数的取值范围
【典例1】已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，
若，则，
若，则，
函数的值域不可能为；
当时，，
在上单调递增，
在上单调递增，，
若函数的值域为，则，解得；
综上所述，实数a的取值范围是.
故选：B.
1.解答分类问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及讨论对象的范围；其次要确定分类标准，即标准统一、不重不漏；再对所分类逐步进行讨论，分级进行；最后进行归纳小结，综合得出结论．
2.分离参数法，即把分离出来放到不等式的左边，不等式的右边是关于的函数，然后转化成求函数的最值问题．
【变式1】已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由于函数是定义在上的减函数，
所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有，
即，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
【变式2】已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当，，显然符合，
当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合，
当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减，此时需满足 ，
即，
综上实数的取值范围是，
故选：C
【变式3】若函数 在单增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当时，此时，令，则是一次函数，所以在上单调递增.
且当时，，满足的定义域要求，所以在上单调递增，故符合题意.
当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为.
所以在上单调递增.
要使有意义，则在上恒成立.
当时，，因为，所以，满足，所以符合题意.
当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为.
那么在上单调递增，在上单调递减，所以不可能在上单调递增，故不符合题意.
综合以上三种情况，实数的取值范围是.
故选:C.
题型03：利用函数单调性的性质解不等式
【典例1】已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】不等式等价或，
又是函数图象上两点，即，，
且是定义在上的减函数，故或，
所以或，即不等式解集为.
故选：A
求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式，再依据函数的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解．
【变式1】已知定义在上的函数满足：①；②.若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
令，则在区间上单调递减.
，
则，
等价于，
即，
又，
由在上单调递减得，解得或，
即a的取值范围为，
故选：B.
【变式2】已知定义域为的函数满足，，且当时，．
(1)求的值；
(2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数；
(3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，解集为
【详解】（1）因为，，
令，可得，所以．
（2）对，且，
则，
因为，，则，
又因为，可得，
且当时，，则，即，
所以在定义域上是增函数．
（3）因为函数的定义域为，则，解得．
由，得等价于，
且，可得，
由（2）可知：在定义域上是增函数．
可得，解得，或（舍去），故，
故不等式的解集为．
【变式3】定义其中表示，中较大的数.对，设，，函数.
(1)求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)4
(2)
【详解】（1）当时，，，
，，
，
即.
（2），
当时，，当时，.
若，则，解得或；
若，则，解得.
当时，，
当时，，
当时，，
所以故在上单调递增.
所以，则，解得，
的取值范围为.
题型04：求函数的最值
【典例1】设函数的最大值为M，最小值为m，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【详解】由函数，显然，当，，
当时，，当且仅当，即时，等号成立，则，故；
当时，，当且仅当，即时，等号成立，则故；
综上可得，，，则.
故选：C.
1.如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．
2.如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．
3.若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．
4.若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．
【变式1】已知函数，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由已知得，
令，因为，所以，所以，
所以，当时，，当时，，即，
所以对任意，，
所以对任意，都有，等价于，
即，解得或，所以实数m的取值范围是，
故选：B.
【变式2】设函数.
(1)求的单调区间；
(2)求在区间的最大值和最小值.
【答案】(1)递增区间是，递减区间是；
(2)最大值和最小值分别为
【详解】（1）函数中，，即，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数在上单调递增，
所以的单调递增区间是，递减区间是.
（2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，
而，则，
所以在区间的最大值和最小值分别为.
【变式3】已知是二次函数，且满足，，．
(1)求函数的解析式，并证明在上单调递增；
(2)设函数，，，求函数的最小值．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【详解】（1）设，
，，
即
，解得，
，则.
证明：任取，，且
因为，则，
所以，
∴在上单调递增．
（2）令，则由（1）知，
则，记，
当时，；
当时，；
当时，．
故．
题型05：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系
【典例1】已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】令，在上都为增函数，在单调递增，
又a，，所以，
即“”是“”的充要条件，
故选：C
利用函数的单调性进行比较，数形结合．
【变式1】中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度（单位：）与时间（单位：）的函数的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A
【详解】因为，所以，
因为图象是上凹函数，所以，即故A正确；
由A知，使，则，即，
由，则，，故无法判断，的大小关系，故B错误；
由A知，使，可得，结合，可得，
由的单调递减可得，故，故C错误；
由A知，存在，使，可得，
故存在，使，
由函数的单调性可知时，，
当时，，
当时，，
当时，，故D错误.
故选：A.
【变式2】下列说法中正确的有（ ）
A．已知在上是增函数，若，则
B．“”是“”的必要条件
C．若命题“”是真命题，则的取值范围为
D．函数的减区间是
【答案】AC
【详解】对于A，由，得，由在R上是增函数，
得，因此，A正确；
对于B，不能推出，例如，但；
也不能推出，例如，而；
因此“”是“”的既不充分也不必要条件，B错误；
对于C，，因此，即的取值范围为，C正确；
对于D，解不等式，得，函数的定义域为，
开口向下，对称轴为，则函数的减区间是，D错误.
故选：AC
【变式3】画出二次函数的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较的大小；
(2)若，比较与的大小关系；
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】解：（1）二次函数，即的图象如图所示．由图象可知．
（2）函数图象的对称轴为直线，当时，根据函数的图象可知．
因为不等式，所以当时，，由图可知此时；当时，，由图可知此时．所以不等式的解集为.
题型06：函数的奇偶性的判断与证明
【典例1】已知函数（），下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数的值域为
B．当时，函数有最小值没有最大值
C．当时，函数在区间上单调递增
D．当时，函数的值域为
【答案】AD
【详解】对于A， 时，，当，当且仅当取到等号，
由于，故为奇函数，故当，
因此函数的值域为，故A正确，
对于B，当时，，由于函数均在单调递增函数，
故为单调递增函数，故在内无最大值也无最小值，
结合，故为奇函数，因此在也无最大值和最小值，故B错误，
对于C ， 当时，，函数，故在单调递减，在单调递增函数，故C错误，
对于D，由B可知，当时，为单调递增函数，且为奇函数，因此函数的值域为，D正确，
故选：AD
判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功．
【变式1】已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】因为，所以，故A正确；
函数的定义域为R，，且不恒为零，故B正确，C错误；
当时，，故D正确.
故选：ABD
【变式2】判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)，．
【答案】(1)既是奇函数又是偶函数；
(2)偶函数.
【详解】（1）由，得，即．
函数的定义域是，关于原点对称，且，
既是奇函数又是偶函数．
（2）函数的定义域为，关于原点对称．
，
是偶函数．
【变式3】已知函数是定义在区间上的函数．
(1)判断的奇偶性；
(2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集．
【答案】(1)函数为奇函数；
(2)
【详解】（1）由已知，函数的定义域为．
，都有，
．
所以函数为奇函数．
（2）任取，且，则，
那么
因为 ， 所以 ，，，
所以 ，
所以 ，
所以 在上是增函数．
因为，所以，且在上是增函数．
所以，所以，
所以不等式的解集
题型07：已知函数的奇偶性求表达式
【典例1】已知是定义在R上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知是定义在R上的奇函数，且时，，
此时函数在单调递增，
故时，，则，，此时函数在单调递增，
且，故，在R上单调递增；
，即，即，
即，即，
故对任意，都有，即恒成立，
由此可得，解得，
即实数m的取值范围为，
故选：B
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式．
【变式1】定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，，
可得，
又因为为奇函数，所以，可得，
即时，.
故选：A
【变式2】已知函数是定义在上的偶函数．其中、且．
(1)求的表达式；
(2)若，实数满足，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，即，解得，
当时，，此时定义域为关于原点对称，
且，即是偶函数，
故满足题意；
（2）由题意，显然是偶函数，
所以也是偶函数，
当时，，
显然当时，都是增函数，
即在上单调递增，所以函数在上单调递减，
而，
所以，解得.
【变式3】已知是定义在R上的偶函数，当时，.
(1)求函数在R上的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知是定义在R上的偶函数，当时，.
故当时，，
故函数在R上的解析式为；
（2）作出函数的图象如图：
结合图象可得，若函数在区间上单调递增，
需满足，即.
题型08：抽象函数的奇偶性问题
【典例1】已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．
C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称
【答案】B
【详解】由是偶函数，可知，则关于对称，故A正确；
因为是奇函数，所以也是奇函数，关于点对称，故D正确；
由AD可知，，即，即，
则，所以是周期函数，周期为4，故C正确；
由可知，，函数关于对称，
但不确定，故B错误.
故选：B
判断抽象函数的奇偶性，可用特殊值赋值法来求解．在这里，由于需要判断与之间的关系，因此需要先求出的值才行．
【变式1】已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．的一个周期为8 D．是的一个对称中心
【答案】D
【详解】对于A选项，由题，令，则
，故A不正确；
对于B选项，令，则，即，则为偶函数，故B不正确；
对于C选项，令，则，
故，两式相加整理得：即
故，故的一个周期为6，
则，故的一个周期为8不成立，C不正确，
对于D选项，由且为偶函数，故，
所以是的一个对称中心，故D正确；
故选：D.
【变式2】定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，.
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)判断函数在上的单调性，并说明理由；
(3)若，试求的值.
【答案】(1)奇函数，理由见解析
(2)在上单调递减，理由见解析
(3)1
【详解】（1）函数为奇函数.理由如下：
定义域，关于原点对称，
令，则，得，
令，则，
所以，则是上的奇函数
（2）在上单调递减，理由如下：
设，
因为，，，所以，，
所以，即，
因此在上单调递减.
（3），
因为，
所以.
【变式3】已知函数对于任意实数，都有，且.
(1)求的值；
(2)令，求证:函数为奇函数；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）当时，，则；
（2）当时，，则；
设，则，则，
则，即，
即函数为奇函数.
（3）由（2）知，为奇函数，则
.
题型09：奇偶性与单调性的综合运用
【典例1】已知函数．
(1)判断的奇偶性并用定义证明；
(2)判断的单调性并用定义证明；
(3)解不等式．
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)是上的增函数，证明见解析
(3)
【详解】（1）是奇函数，证明如下：
的定义域为，对于，都有，
且，
所以，即函数是奇函数；
（2）是上的增函数，证明如下：
设任意，且，
,
因为，所以，因此，即，
所以在上单调递增；
（3）因为是定义在上的奇函数，
所以，可化为，
又是上的增函数，
所以，解得，
即原不等式的解集为．
函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．
【变式1】已知是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)作的图象；
(3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围．（不必写出演算过程）
【答案】(1)2
(2)图象见解析
(3)
【详解】（1）设，则，所以，
因为函数是奇函数，所以，
所以；
（2）当时，，当时，，
当时，，
故函数图象如图所示：
（3）要使在区间上单调递增，
结合图象可知，，解得，
所以实数a的取值范围是．
【变式2】已知函数，其中．
(1)当函数的图像关于点为中心对称时，求a的值；
(2)若函数在区间上单调递增时，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）“函数的图象关于点成中心对称”的充要条件为：“是奇函数”，
当的图象关于点成中心对称时，是奇函数，
所以，解得；
（2）因为函数，
函数在区间上单调递增时，，
解得，所以的取值范围是.
【变式3】已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有
(1)求函数的解析式；
(2)判断的单调性，并利用定义证明；
(3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)在上为增函数，证明见解析
(3)
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，
则，即，解得，
又因为，即，解得，
经检验可得，符合题意．
所以当时，，
令则，
所以，
则当
综上所述，；
（2）函数在上是增函数．
证明如下：
任取，且，
则
，
因为，
所以，，
则，即，
故在上为增函数；
（3）由（2）可知，函数在区间上单调递增，
所以，
由于对恒成立，
则对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
构造函数，其中，
所以，即，
解得或或，
所以实数的取值范围是.
题型10：利用函数奇偶性识别图像
【典例1】函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，故C错；
令，则，故B错；
令，则，故D错.
选项A正确.
故选：A
利用奇偶性进行排除.
【变式1】函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设，则，
故为奇函数，A，D符合，排除B，C.
又，所以当时， 恒成立，故A满足，D排除.
故选：A
【变式2】函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由函数，可得，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，
又由时，，所以函数图象为B选项.
故选：B.
【变式3】已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是 ．
【答案】
【详解】由偶函数的性质可知，，
或，
由奇函数的性质可知，，，
当，得，
当，得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
1．定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，则得，
因为，所以，
又函数图象关于直线对称，在单调递减，所以在区间上单调递增，
所以，故B正确.
故选：B.
2．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对任意的，，且，都有成立，所以在单调递增，
又因为函数是定义域为的奇函数，所以在单调递增，
由，
当时，，即；
当时，，即；
由可得.
故选：D.
3．已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．在区间上单调递减
C．的周期为3 D．
【答案】D
【详解】对于A，令，得，则，
令，得，函数是偶函数，A错误；
对于B，令，得，而，则函数在上不是单调递减函数，B错误；
对于C，令，得，则，
令，，得，则，，C错误；
对于D，由为偶函数，得，D正确.
故选：D
4．已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A． B． C．为增函数 D．为奇函数
【答案】C
【详解】对于A，令，则，
又因为，所以，
令，则，解得，故A错误；
对于B，令，则，又，
解得，故B错误；
对于C，令，则有，
又因为，所以，
所以函数为单调递增函数，故C正确；
对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误.
故选：C.
5．若，函数为上的奇函数，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【答案】D
【详解】若函数为上的奇函数，则，解得或，
当时，，因为，，
所以，即函数不是奇函数；
当时，，该函数的定义域为，
，即函数为奇函数.
故当函数为上的奇函数时，，
因此，是的充要条件.
故选：D.
6．已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵对任意的实数，都有成立，不妨设，
∴，，∴函数在上单调递减.
当时，单调递减，∴，解得；
当时，单调递减，∴，即；
又函数在上单调递减，∴，解得，
综上所述，实数a的取值范围是.
故选：B.
7．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以定义域为.
那么.
所以函数为奇函数，关于原点对称，所以A,D错误.
特殊值代入，当时，，所以B错误.
故选：C.
8．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令且定义域为R，，即为奇函数，排除C、D；
当时，恒成立，排除B.
故选：A
9．是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题可知：是定义在上的奇函数，所以，
对A，成立，故正确；
对B，成立，故正确；
对C，令，则，不成立，故错误；
对D，，
由，所以成立，故正确；
故选：C
10．已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由于函数是定义在上的增函数，
所以，函数在区间上为增函数，
函数在区间上为增函数，
需满足：，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称 B．在上单调递减
C．当时， D．的值域是
【答案】ACD
【详解】对于选项A：因为，可知的定义域为，
又因为，所以是偶函数，图象关于轴对称，故A正确；
对于选项B：因为，
且在上单调递增，所以在上单调递增，故B错误；
对于选项C：当时，，故C正确；
对于选项D：因为，则，即，
可得，所以的值域是，故D正确；
故选：ACD.
12．下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】对任意，都有，
则在上单调递增,所以是在上单调递增的奇函数.
对于A，函数定义域为，
，不是奇函数，A错误；
对于B，与在上都为增函数，故在上为增函数，
，所以是在上单调递增的奇函数，B正确；
对于C，，易知在上单调递减，C错误；
对于D，函数定义域为，
函数在上是增函数，函数在定义域内是增函数，
所以在上单调递增，
，
所以是奇函数，D正确.
故选：BD
13．已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（）
A．的图象关于直线对称 B．是周期函数
C．在上单调递减 D．在内有4个零点
【答案】AB
【详解】对于A：是偶函数，，
关于直线对称，故A正确；
对于B：由A可知关于直线对称，①，
又是奇函数，，即，
关于点对称，②，
由①②可得，即，
，
，
的一个周期为8，故B正确；
对于C：由B知关于点对称，时，单调递增，
在也单调递增，又关于直线对称，
∴在上单调递减，上单调递增，故C错误；
对于D：定义域为，关于对称，，
又关于直线对称，，
又在也单调递增，关于直线对称，
在内有2个零点，故D错误，
故选：AB.
14．已知函数，若在单调递增，则m的范围为 .
【答案】.
【详解】由题意，
所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
若在单调递增，
则或，解得或.
故答案为：.
15．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】已知函数，
当时，单调递增，所以最大值为；
当且时，在上单调递增；
所以要使函数在上单调递增，
则，解得或(舍去).
故答案为：.
16．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则 ．
【答案】
【详解】是定义域为的奇函数，且，
，，即函数是以4为一个周期的周期函数，
中，令得，
中，令得，
，
∴，
又，
故，
所以当时，
，
其中，，
则．
故答案为：
17．已知函数是定义域在上的奇函数，且.
(1)求a，b的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递增；
(3)解不等式.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）由题设，，则，
所以，则，满足题设，
所以；
（2）由（1），令，
则
，
由，则，
所以函数在上单调递增；
（3）由题设，
则，
所以，即.
18．已知函数满足，.
(1)求，的值；
(2)判断的奇偶性；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)，
(2)为偶函数.
(3)
【详解】（1）由题意得，
将代入，得到，解得.
（2）由（1）可得，
其定义域为，关于原点对称，
且，
故为偶函数.
（3）当时，在上单调递增，
由复合函数单调性可知在上单调递减，且为偶函数，
故等价于，
两边平方可得，即，
解得.
19．已知函数.
(1)若，求的取值范围.
(2)求的单调区间.
(3)当时，求的最值.
【答案】(1).
(2)单调递增区间为：，单调递减区间为：.
(3)最小值4，最大值64.
【详解】（1）因为，所以，根据指数函数的单调性可得，即，解得或.
所以的取值范围为.
（2）已知函数的对称轴：，由二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增；
又指数函数在上单调递增，所以根据复合函数单调性可知
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）当，，所以，
所以当时，取得最小值；
当时，取得最大值.
20．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．
(1)求的解析式；
(2)证明：函数在上单调递增．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，
因当时，，得．
因为是偶函数，所以当时，．
故．
（2）证明：由（1）可知，当时，．
任取，，令，
则，
因为，所以，，，则，
则，即，
从而可证在上单调递增．
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