中小学教育资源及组卷应用平台
专题4.3 对数
教学目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质。 2.掌握指数式与对数式的互化，能进行简单的对数运算。 3.理解对数的运算性质和换底公式，能熟练运用对数的运算性质进行化简求值。 4.能利用对数的运算性质进行解方程及与指、幂函数的综合应用问题的解决。
教学重难点 1.重点：掌握对数的概念及对数条件 2.难点：熟练掌握指对数形式的互化，准确利用对数的运算法则进行对数式子的化简与运算，会解决与对数相关的综合问题.
知识点01 对数概念
1、对数的概念
如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：____________．其中叫做对数的底数，叫做真数．
2、对数（且）具有下列性质：
（1）____________没有对数，即；
（2）1的对数为0，即____________；
（3）底的对数等于1，即____________．
3、两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．
4、对数式与指数式的关系
由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．
由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．
【即学即练】
1．已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长．若第年的投入的研发经费首次超过20万元，则（ ）
（参考数据：）
A．4 B．5 C．7 D．8
知识点02 对数的运算法则
已知，（且，、）
（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；________________________
推广：
（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；________________________
（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；__________________
【即学即练】
1．已知正实数，满足，，，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
知识点03 对数公式
1、对数恒等式：
2、换底公式
____________才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：
（1）
令，则有，，即，即，即：．
（2），令，则有，则有
即，即，即
当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．
【即学即练】
1．用计算器计算可知：，则的值所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
2．使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型01：对数的定义
【典例1】已知为单调函数且对任意实数x都有，则（ ）
A． B． C． D．0
对数式中各字母的取值范围是：且，，．
【变式1】若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ．
【变式2】定义在上的函数满足，则 .
【变式3】已知函数，给出下列四个结论：
①在定义域上单调递增；②存在最大值；③不等式的解集是；④的图象关于点对称．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．①④ D．①③④
题型02：指数式与对数式互化及其应用
【典例1】已知，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上均不正确
对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.
【变式1】已知函数则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型03：利用对数恒等式化简求值
【典例1】若实数、、满足，则下列式子正确的是
A． B．
C． D．
对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.
【变式1】求值：
(1)；
(2)．
【变式2】设，且，利用对数的换底公式证明：
(1)；
(2)；
(3)计算：若，求的值．
【变式3】若，，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．4
题型04：积、商、幂的对数
【典例1】计算下列各式的值或化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3).
利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．
【变式1】计算：
(1)
(2)
【变式2】化简求值．
(1)；
(2)已知，若，求的值．
【变式3】（1）求值：．
（2）求方程的解．
题型05：一类与对数有关方程的求解问题
【典例1】已知函数．
(1)解关于x的方程；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．
直接利用定义法或者换元法
【变式1】解关于的方程：
(1)
(2)
【变式2】解关于x的方程：．
【变式3】已知是方程的两个实数根，则的值等于 ．
题型06：对数运算法则的应用
【典例1】已知，，且，其中所有正确结论的序号是 ．
1． 2． 3． 4．
（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．
（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来.
【变式1】已知实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最大值为
【变式2】设，则= .
【变式3】已知函数且是定义在上的奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若在上是增函数且满足，求实数的取值范围.
题型07：换底公式的运用
【典例1】已知则 .
（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．
（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．
【变式1】求下列各式的值.
(1)；
(2)；
(3).
【变式2】已知正实数满足．
(1)①试用以k为底的一个对数表示；
②若，求实数m的值；
(2)若不等式恒成立，求实数t的最大值．
【变式3】（1）求的值；
（2）已知正数，满足，证明：．
题型08：由已知对数求解未知对数式
【典例1】已知，，用，表示 ．
利用对数运算法则的应用进行转换
【变式1】已知，，则
【变式2】已知（），则 .
【变式3】已知，用表示为（ ）
A． B． C． D．
题型09：证明常见的对数恒等式
【典例1】已知为正实数，
(1)若，求证:；
(2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围.
利用换底公式和作差法进行证明.
【变式1】已知，求证：.
【变式2】已知，求证：．
【变式3】求满足下列条件的各式的值
(1)若，求的值；
(2)设，求证：.
1．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．春天正值蝌蚪成长期，研究蝌蚪的科学家发现当蝌蚪成年变成青蛙后的游速（单位：）可以表示为，其中表示青蛙的耗氧量的单位数．当一只青蛙以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（ ）
A．2600 B．2700 C．2800 D．2900
4．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”我们把看作每天的“进步”率是0.01，一年后的值约为；把看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值约为，此时一年后的“进步”值是“退步”值的倍.那么，大约经过（ ）天，“进步”值是“退步”值的20倍.（参考数据：）
A．130天 B．149天 C．120天 D．155天
5．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知正实数，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，正实数满足，则的最小值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知是奇函数，是偶函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
13．已知正实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
14．若函数在上的最大值是最小值的2倍，则 .
15．若，则的值为 ．
16．计算： ．
17．计算：
(1)；
(2)
18．（1）设，求的值；
（2）已知，且，求；
（3）求的值．
19．（1）已知（，且），求的值；
（2）已知，若，求的值．
20．求值：
(1)；
(2)．
1中小学教育资源及组卷应用平台
专题4.3 对数
教学目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质。 2.掌握指数式与对数式的互化，能进行简单的对数运算。 3.理解对数的运算性质和换底公式，能熟练运用对数的运算性质进行化简求值。 4.能利用对数的运算性质进行解方程及与指、幂函数的综合应用问题的解决。
教学重难点 1.重点：掌握对数的概念及对数条件 2.难点：熟练掌握指对数形式的互化，准确利用对数的运算法则进行对数式子的化简与运算，会解决与对数相关的综合问题.
知识点01 对数概念
1、对数的概念
如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．
2、对数（且）具有下列性质：
（1）0和负数没有对数，即；
（2）1的对数为0，即；
（3）底的对数等于1，即．
3、两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．
4、对数式与指数式的关系
由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．
由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．
【即学即练】
1．已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为函数为上的偶函数，则，
且，则，即，可得，
又因为对任意，，均有成立，
可知在内单调递减，则，即.
故选：A.
2．某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长．若第年的投入的研发经费首次超过20万元，则（ ）
（参考数据：）
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】B
【详解】由题意可得，即，
两边同时取以10为底的对数，则有，
所以，
解得，因为，所以.
故选：B
知识点02 对数的运算法则
已知，（且，、）
（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
推广：
（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；
（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
【即学即练】
1．已知正实数，满足，，，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【详解】由题设，可得，
所以，
当，时，的最大值是2.
故选：B
2．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】比较和，采用作差法，将和转化为同底数形式来比较.
利用换底公式，则，.
计算.
根据基本不等式，对于和，有.
而，即.
所以，也就是，即.
比较与的大小，同样利用换底公式，，.
计算.
由基本不等式，对于和，.
且，即.
所以，也就是，即.
综上可得.
故选：B.
知识点03 对数公式
1、对数恒等式：
2、换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：
（1）
令，则有，，即，即，即：．
（2），令，则有，则有
即，即，即
当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．
【即学即练】
1．用计算器计算可知：，则的值所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，即，所以，
设，又因为，所以，
由对数加法公式得：，
由对数换底公式得：，
所以可化为：，
即，解得或，
又因为，所以，
即的值所在的区间为，
故选：C
2．使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】要使式子有意义，
则，即，
解得或，
所以x的取值范围是.
故选：D
题型01：对数的定义
【典例1】已知为单调函数且对任意实数x都有，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【详解】为单调函数且对任意实数x都有，
所以存在唯一实数，使得，所以任意实数x都有
，
，
.
故选:C.
对数式中各字母的取值范围是：且，，．
【变式1】若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】对任意的，代数式有意义，
则对任意的，且，
当时，则且，解得且，不合乎题意；
当时，由题意可知，必有，由二次函数的基本性质可知，
对任意的，，则，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式2】定义在上的函数满足，则 .
【答案】2
【详解】因为，，所以当时，函数的周期为5，
所以.
故答案为：2
【变式3】已知函数，给出下列四个结论：
①在定义域上单调递增；②存在最大值；③不等式的解集是；④的图象关于点对称．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．①④ D．①③④
【答案】C
【详解】对于①，因为内层函数在上为减函数，且，
外层函数在上为减函数，故在定义域上单调递增，①对；
对于②，因为，则，可得，
所以，函数无最大值，也无最小值，②错；
对于③，由可得，可得，解得，
故不等式的解集是，③错；
对于④，函数的定义域为，，
所以，的图象关于点对称，④对.
故选：C.
题型02：指数式与对数式互化及其应用
【典例1】已知，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上均不正确
【答案】A
【详解】有题意知，，
因为幂函数中，函数在上单调递增，
因为，所以，即，同理，
对于分别取对数得，
不妨设，则，
其中，易得，则，
综上所述，.
故选：A
对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.
【变式1】已知函数则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，，则，
因此当时，，显然，
所以
故选：C
【变式2】已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为是偶函数，所以，即①，
又因为是奇函数，所以，即②，
联立①②可得，
由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，
故选：C．
【变式3】设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，得，，，
，，，则，
根据可知，.
故选：C
题型03：利用对数恒等式化简求值
【典例1】若实数、、满足，则下列式子正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，，
而，则，
所以，即 .
故选A.
对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.
【变式1】求值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)3
【详解】（1）原式；
（2）原式.
【变式2】设，且，利用对数的换底公式证明：
(1)；
(2)；
(3)计算：若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为，所以命题得证.
（2）因为，所以命题得证.
（3）因为，所以，
故，即的值为.
【变式3】若，，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】D
【详解】由，可得，因为，
则.
故选：D.
题型04：积、商、幂的对数
【典例1】计算下列各式的值或化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)4
(2)
(3)
【详解】（1）.
（2）
.
（3）.
利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．
【变式1】计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)18
【详解】（1）原式；
（2）原式.
【变式2】化简求值．
(1)；
(2)已知，若，求的值．
【答案】(1)
(2)7
【详解】（1）
（2）由，得，即，则，因此，.
【变式3】（1）求值：．
（2）求方程的解．
【答案】（1）（2）
【详解】（1）
（2）由，可得，即，解得：
题型05：一类与对数有关方程的求解问题
【典例1】已知函数．
(1)解关于x的方程；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）根据题意得，，即，
解得或舍去，所以；
（2）不等式对任意恒成立，即恒成立，
当时，有，所以，则，
所以实数的取值范围为．
直接利用定义法或者换元法
【变式1】解关于的方程：
(1)
(2)
【答案】(1)或或或或或，
(2)
【详解】（1）因为，所以
①，解得或；
②，解得或；
③，解得或，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
综上，方程的解为或或或或或；
（2）由得，
所以，
由于，所以，故，
故方程的解为
【变式2】解关于x的方程：．
【答案】
【详解】设，则即，即，所以，因为，故，即，即.
故解得
【变式3】已知是方程的两个实数根，则的值等于 ．
【答案】
【详解】设，则原方程化为，，即，所以．
题型06：对数运算法则的应用
【典例1】已知，，且，其中所有正确结论的序号是 ．
1． 2． 3． 4．
【答案】
【详解】因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，所以1正确；
因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，
所以，所以2正确；
因为，，且，所以，且，所以，即，所以3正确；
因为，，且，所以，且，
所以，因为，所以，所以4错误.
故答案为：
（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．
（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来.
【变式1】已知实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】AB
【详解】对于A：因为，，，所以，即，
解得（当时取等号），故A正确；
对于B：由，得，
所以
（当，时取等号），故B正确；
对于C：（当时取等号），故C错误；
因为，又，
所以，所以（当时取等号），故D错误．
故选：AB
【变式2】设，则= .
【答案】3
【详解】∵，
同理，，
∴.
故答案为：3
【变式3】已知函数且是定义在上的奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若在上是增函数且满足，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为函数是奇函数，则，
即，所以，，
所以，对定义域内的都成立，所以，，解得或（舍），
经检验，合乎题意，故.
（2）由，得.
因为函数是奇函数，则，
又因为是定义在上的增函数，则，解得，
所以，的取值范围是.
题型07：换底公式的运用
【典例1】已知则 .
【答案】1
【详解】由题意得，，
∴.
故答案为：1.
（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．
（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．
【变式1】求下列各式的值.
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)1
(3)52
【详解】（1）原式
.
（2）原式.
（3）法一：原式
.
法二：原式
.
【变式2】已知正实数满足．
(1)①试用以k为底的一个对数表示；
②若，求实数m的值；
(2)若不等式恒成立，求实数t的最大值．
【答案】(1)①；②
(2)
【详解】解：（1）①因为，所以，所以．
②因为，且，所以，解得．
（2）由不等式，得，所以t的最大值．
【变式3】（1）求的值；
（2）已知正数，满足，证明：．
【答案】（1）7；（2）证明见解析
【详解】（1）解：
．
（2）证明：因为，所以，
所以．
因为，，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当，时，等号成立．
题型08：由已知对数求解未知对数式
【典例1】已知，，用，表示 ．
【答案】
【详解】因为，，， ，
所以，，
.
故答案为：.
利用对数运算法则的应用进行转换
【变式1】已知，，则
【答案】
【详解】由题设，，
根据换底公式，则.
故答案为：
【变式2】已知（），则 .
【答案】16
【详解】因为，且，
令，则，
可得，整理可得，解得或（舍去），
即，所以.
故答案为：16.
【变式3】已知，用表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，
所以
故选：B.
题型09：证明常见的对数恒等式
【典例1】已知为正实数，
(1)若，求证:；
(2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）令且，
则，，，
所以，
，
故成立.
（2）由（1）知，，即，
所以，
当且仅当时，即时等号成立，
由恒成立知，成立，
即，解得.
利用换底公式和作差法进行证明.
【变式1】已知，求证：.
【答案】证明见解析.
【详解】设()，
则，，，
故.
【变式2】已知，求证：．
【答案】证明见详解
【详解】设，可知且，
则，
可得，
所以，
即.
【变式3】求满足下列条件的各式的值
(1)若，求的值；
(2)设，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1），
，
，
（2）证明：设，
则，，.
所以，，.
所以，
所以.
1．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数，
则.
故选：C.
2．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，所以．
3．春天正值蝌蚪成长期，研究蝌蚪的科学家发现当蝌蚪成年变成青蛙后的游速（单位：）可以表示为，其中表示青蛙的耗氧量的单位数．当一只青蛙以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（ ）
A．2600 B．2700 C．2800 D．2900
【答案】A
【详解】静止时，即时，，
时，，
所以，
故选：A.
4．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”我们把看作每天的“进步”率是0.01，一年后的值约为；把看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值约为，此时一年后的“进步”值是“退步”值的倍.那么，大约经过（ ）天，“进步”值是“退步”值的20倍.（参考数据：）
A．130天 B．149天 C．120天 D．155天
【答案】B
【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的20倍，
则，
.
故选：B
5．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】，所以，
又，
所以.
故选：A
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据指数幂运算法则，可得.
再根据指数幂运算法则，对进行变形可得，所以.
已知，根据对数与指数的关系，可得.
同理，因为，所以.
将和代入中计算结果
把，代入可得：.
故选：D.
7．已知正实数，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，
令，则，
又，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
即的最小值为，当且仅当时取等号，
所以的取值范围是.
故选：C
8．已知函数，正实数满足，则的最小值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】，
这说明的图象关于点对称，类似奇函数，在原点两侧单调性相同，
由于时在上单调递增且函数值恒正，
可推出在上单调递减，因此是减函数．
，即，
因此，当即时取得，
故选：B．
9．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，，
又∵在上是单调递增函数，
∴，
所以.
故选：B.
10．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】因为，所以，
所以，所以A错误；
，B正确；
，所以，C错误；
因为，，所以，D正确.
故选：BD.
11．已知是奇函数，是偶函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】由，得，而是奇函数，是偶函数，
则，解得，
则，ACD正确，B错误.
故选：ACD
12．已知正实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A，因为正实数满足，所以，
所以，解得，当且仅当，
即时，取到最小值4，故A正确；
对于B，由得，
所以，
当且仅当即时，取到最小值，故B错误；
对于C，因为，所以，
所以，所以，
当且仅当即时，取到最小值，故C正确；
对于D，，由A选项可知，
由函数在上单调递减可知，，
所以，故D正确.
故选：ACD
13．若函数在上的最大值是最小值的2倍，则 .
【答案】5
【详解】因为，所以函数在单调递增，
所以其最小值为，最大值为，
因为最大值是最小值的2倍，所以，解得或（舍），
因此，
则.
故答案为：5.
14．若，则的值为 ．
【答案】12
【详解】由题意得．
15．计算： ．
【答案】3
【详解】．
故答案为：.
16．计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)0
(2)1
【详解】（1）原式.
（2）原式
.
17．（1）设，求的值；
（2）已知，且，求；
（3）求的值．
【答案】（1）1；（2）；（3）3
【详解】解：（1）解法1 由，得，由换底公式得，所以．
解法2 由，两边同时取以6为底数的对数，得，所以，所以．
（2）令，所以，所以，由，得，所以，所以．
（3）原式．
18．（1）已知（，且），求的值；
（2）已知，若，求的值．
【答案】（1）12；（2）
【详解】解：（1）由得，因此．
（2）设，则，所以，整理得．又，所以．
19．求值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)3
(2)2
【详解】（1）
.
（2）
.
20．已知，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令，函数都是增函数，则函数是增函数，
由，得，即，因此，，
当时，.
故选：B
1
