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专题4.4 对数函数
教学目标 1.理解对数函数的概念及条件，掌握对数函数的图象与性质。 2.会利用对数函数的性质解决与对数函数有关的函数的定义域、值域、单调性、大小比较、对数方程与不等式等相关问题。
教学重难点 1.重点：掌握对数函数的概念，图象及性质，利用对数函数的性质解决求函数的定义域、值域、利用单调性比较函数值的大小 2.难点：会解对数方程及对数不等式，能处理与对数函数有关的函数综合问题.
知识点01 对数函数的概念
1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为．
2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量．
【即学即练】
1．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A，定义域为，，则为奇函数，
因，，则不是增函数，故A错误；
B，定义域为，，则为奇函数，
因，，则不是增函数，故B错误；
C，定义域为，，则为奇函数，
因，，则不是增函数，故C错误；
D，因，则，故定义域为，
，则为奇函数，
且，
则
因，则，
又，，
则
，
则，即，
则，即，
则是上的增函数，故D正确.
故选：D
2．下列函数中，定义域为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】选项A，函数的定义为，故A错误；
选项B，由得，故的定义域为，故B错误；
选项C，由得，故的定义域为，故C错误；
选项D，由得，故的定义域为，故D正确，
故选：D
知识点02 对数函数的图象与性质
图象
性质 定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数 在上是减函数
当时，， 当时， 当时，， 当时，
【即学即练】
1．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为当时，，则，且函数在上单调递增，
则由可得，利用函数的单调性可得；
又是定义在R上的奇函数，故；
当时，，则，因，则，
函数在上单调递增且，
则由可得，利用单调性可得.
综上可得，不等式的解集是.
故选：A.
2．已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为当时，为减函数，且时，.
又因为在上为单调函数，所以只能为单调递减函数，
所以解得，
故选:D.
知识点03 底数对对数函数图象的影响
1、底数制约着图象的升降．
如图
2、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）
【即学即练】
1．函数的图象如图所示，则a的值可以是（ ）
A． B．2 C．e D．
【答案】A
【详解】因为函数的图象是单调递减的，所以，
由选项可知A正确.
故选：A.
2．已知对任意，（且）均有意义，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为当时，均有意义，所以，所以，
当时， 令，可得在上单调递减，单调递增，
所以在上单调递减，
设函数，则，
所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故A符合题意.
故选：A.
知识点04 反函数
1、反函数的定义
设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．
2、反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
【即学即练】
1．已知函数，若函数是的反函数，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】是的反函数，，．
故选：D
2．已知，则下列不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，，
所以a，b分别是，与图象交点的横坐标，
因为，的图象关于直线对称，也关于直线对称，
所以两交点，关于直线对称，
所以，，所以，故A正确；
因为，，所以，故B正确；
因为，所以，故C正确；
若成立，再结合，可得，与矛盾，故D错误.
故选：D.
题型01：对数函数定义的判断
【典例1】已知函数的定义域为D，，，，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A：，，，错；
B：，，，错；
C：，，，对；
D：，，，错.
故选：C
判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量．
【变式1】已知函数的定义域为，，对于任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，
∴，即，
令，则任意的，有，
∴函数在上为增函数.
∵不等式可变形为，即，
∴，
∴，解得，即实数的取值范围是.
故选：B.
【变式2】已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【详解】因为在上的奇函数，所以，解得，
所以，
因为，所以的周期为6，
所以.
故选：D.
【变式3】已知函数，若（其中），则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
由，，即，
，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：.
题型02：利用对数函数的定义求参数
【典例1】已知函数为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数为偶函数，
所以，即，
，即，
即，即，
化简得，解得.
故选：C.
的系数为1
【变式1】若是偶函数，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【详解】因为是偶函数，
所以
，即，
所以，
故选：C
【变式2】已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数m的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数定义域为R，且是偶函数，
所以即，
故，
所以，所以，
所以
，
令，由于，当且仅当即时等号成立，
则，令，
当即时，在上单调递增，
所以，符合题意；
当即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意；
综上.
故选：B.
【变式3】已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图像上，则（ ）
A．3 B．5 C．8 D．11
【答案】D
【详解】函数的图象恒过定点，
又点在的图象上，
，即，
故选：D.
题型03：求对数函数的表达式
【典例1】已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
【答案】D
【详解】因为在上的奇函数，所以，解得，
所以，
因为，所以的周期为6，
所以，
又，
其中，则，
，所以.
故选：D
待定系数法
【变式1】已知定义在R上的奇函数满足：，且当时，（a为常数），则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【详解】因为在上的奇函数，所以，解得，
所以，
因为，所以的周期为6，
所以，
，
故选：C
【变式2】函数的图象如图所示，该图象由幂函数与对数函数“拼接”而成．
(1)求的解析式；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意得，解得，
所以．
（2）由得，
解得，∴取值范围为．
【变式3】已知函数的图像过点，.
(1)求函数的解析式.
(2)设，若对于任意的，都有，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2)m取值范围.
【详解】（1）由已知可得，，所以，
所以，定义域为.
所以有，，；
（2）若对于任意，都有，
只需满足成立.
由（1）知，，对称轴为.
由，可得，，所以，即有.
根据二次函数的性质，可得在上单调递减，在上单调递增，
所以的最大值在或处取得.
又，，
，
又，所以，所以，
所以.
由成立，可得，，
即，.
令，，则原不等式等价于.
，且设，
则，
因为，，所以，，，
所以，所以，所以.
所以，所以，
所以在上单调递增.
又，则由，可解得.
题型04：对数型函数过定点问题
【典例1】函数且的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
【答案】C
【详解】对于对数函数，当时，（且）.
对于指数函数，当时，（且）.
所以当时，.
即函数的图象恒过定点，所以，.
已知，把，代入可得.
将进行变形，.
展开式子得.
因为，，根据均值不等式，有.
则.当且仅当时等号成立.
故选：C
令真数为1求解.
【变式1】函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B．10 C． D．8
【答案】B
【详解】函数的图象恒过定点，则，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为10.
故选：B
【变式2】函数（且）的图象恒过点，函数（且）的图象恒过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得，
所以，
故选：B.
【变式3】已知函数，，其中且.
(1)若和的图象过相同定点，求实数的值；
(2)若当时，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由对数函数的性质可知的图象过定点，
所以的图象也过点，故，即，所以.
（2）由题意得当时，恒成立，即对于恒成立，
因为，所以恒成立，整理可得.
因为，当时，取得最大值，所以.
当时，，所以，故，
综上所述，实数的取值范围是.
题型05：对数函数的图象问题
【典例1】函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除BD.
又当时，，故排除A.
故选：C.
“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题．
在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的的解等价于函数的图象在的图象下方的点的横坐标的取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题．
【变式1】如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，的一个是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【答案】B
【详解】因为，
即当时, ，
（3）是，（4）是，
又与关于轴对称，
（1）是.
故选：B.
【变式2】已知偶函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【详解】是偶函数，是奇函数，则是奇函数，图象关于原点对称，排除AB，
时，，，则，排除D，
故选：C．
【变式3】函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题可得函数的图象关于原点对称，定义域为，
对于A，，函数关于y轴对称，故A错误；
对于C，因为的定义域为，故C错误；
对于D，当，时，，不符合图象，故D错误；
对于B，，函数的图象关于原点对称，且时，，符合题意，所以B正确.
故选：B.
题型06：对数函数的定义域
【典例1】下列与函数定义域相同的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】函数的定义域为的定义域为，A错误；
的定义域为，B正确；
的定义域为，C错误；
的定义域为，D错误．
故选：B.
与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证．
【变式1】已知函数对任意都有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知对任意，都有恒成立，显然，否则，当时，一定存在，使．令．由图可知，在处的函数的值小于的值时，满足题意，所以，所以．又且，所以．
【变式2】已知是奇函数．
(1)求的值及的定义域；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为是奇函数，所以恒成立，
所以，即，
所以，即，因为，所以，
，，解得，
所以函数的定义域为．
（2）函数，
因在上单调递增，为增函数，
由复合函数定义可得在上单调递增，
因为，
所以，因为在上单调递增，
所以，所以，
所以不等式的解集为．
【变式3】已知.
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性.
【答案】(1)；
(2)奇函数.
【详解】（1）由题意，，则，即，，解得，
故的定义域为.
（2）由（1）可知，的定义域关于原点对称，
又，
函数是奇函数.
题型07：对数函数的值域与最值
【典例1】若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数的值域为，
可知在内单调递减，则，解得，
可得当时，，即在内值域为，符合题意；
且在内不单调递减，
若在内单调递增，则，解得，
此时，符合题意；
若在内为常函数，则，解得，
此时，符合题意；
综上所述：实数的取值范围是．
故选：A．
数形结合
【变式1】函数的最大值、最小值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，则，故．
【变式2】已知函数，，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因，，对于函数，
由，解得，即函数的定义域为，
，
设，则由可得，
而在区间上单调递减，
故当时，取得最小值为.
故选：A.
【变式3】已知函数．
(1)证明：的图象关于直线对称；
(2)求的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）由的定义域为，关于对称，
任取，则，
所以，
所以的图象关于直线对称.
（2），
在上单调递增，在上单调递减，
当时，有最大值，则.
题型08：对数函数的单调性及其应用
【典例1】已知正实数满足：，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，故，即，故，
且，即，设，则，
是增函数，故，所以，
故选：B．
研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”．
研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．
【变式1】已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以函数的定义域为，
则定义域关于原点对称，且，
所以为偶函数，
又时，是单调递增函数，而是单调递减函数，
所以是单调递减函数，
根据对称性知时，所以是单调递增函数，
函数中，，
由得，解得或.
故选：D.
【变式2】已知正实数满足：，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，故，即，
故，，
，故
设，则，
因为是增函数，故，
所以.
故选：B.
【变式3】已知函数（且）.
(1)讨论的奇偶性与单调性；
(2)若不等式的解集为，求的值.
【答案】(1)是奇函数；单调性见解析
(2)或
【详解】（1）对于，
有，解得，故的定义域为，
又
，故是奇函数；
因为，
易得在上单调递增，
所以当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减；
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，且为奇函数，
则等价于，即，
则，得；
当时，在上单调递减，且为奇函数，
则等价于，即，
则，得；
综上，或.
题型09：比较指数幂的大小
【典例1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以.
又，所以.
故选：B.
比较两个对数值的大小的基本方法是：
（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．
（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．
（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．
【变式1】若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，且由，可得，
可知，则，所以.
故选：B.
【变式2】若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，，，
所以.
故选：B
【变式3】若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为在上递增，且，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
因为，所以，
所以，
故选：C.
题型10：解对数型不等式
【典例1】已知，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，得解得，函数的定义域为．又，所以函数是定义在上的偶函数．，所以在上单调递减．又，所以解得．
利用对数函数的单调性求解
【变式1】已知函数 若 则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由可知函数定义域为，
令，
则，
故为奇函数，
由则，
即,
由初等函数可以得到在定义域上单调递增，
故,即,解得或.
故的范围为.
故选：B.
【变式2】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意，知，所以.又函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，所以，即或，所以或.
故选：D.
【变式3】已知函数.
(1)若为偶函数，求的值；
(2)若在上单调递增，求的取值范围
(3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）函数为偶函数，
，即.
又函数是增函数，
，即得对于函数定义域内任意的都成立，
.
（2）令，则.
函数是上的增函数，在上单调递增，
根据复合函数单调性的判断方法可得：函数在上单调递增,
且在上恒成立，
，解得：.
故的取值范围为.
（3）对于任意，存在，使得不等式成立，
.
令，，
，
，.
又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当时，函数有最小值，
故当时，.
对于任意恒成立，即对于任意恒成立，
故对于任意恒成立.
又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，
，
故的取值范围为.
题型11：判断对数函数的奇偶性
【典例1】已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，，
所以，解得，
又因为，，
所以，
所以，
故选：B
判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。
【变式1】已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为奇函数，则，
又，则，
于是，即4是函数的一个周期，
而，则，，
则，
又当时，，则，
所以．
故选：A
【变式2】已知函数（，且）．
(1)讨论的奇偶性；
(2)若，不等式恒成立，求t的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）函数（，且）的定义域为R，且
当时，，即恒成立，
所以，即，此时，定义域为R，，
所以是R上的奇函数；
当时，，即恒成立，所以，即，此时，定义域为R，，
所以是R上的偶函数；
当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数；
综上，当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数；
当且时，既不是奇函数也不是偶函数；
（2）函数中，由，得，而，
所以，则，由（1）知是R上的奇函数；
因为函数都是R上的增函数，则是R上的增函数，
不等式，
因此，即，则，
解，得或；
解，即，得.于是，
所以t的取值范围是.
【变式3】已知函数，其中.
(1)当时，求函数的定义域，并判断其奇偶性；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，奇函数；
(2).
【详解】（1）当时，函数，则，解得，
所以函数的定义域为，
，
所以是奇函数.
（2）依题意，，不等式，
由不等式恒成立，得恒成立，
即恒成立，而，当且仅当时取等号，
因此，因为，解得，
所以的取值范围是.
题型12：反函数
【典例1】已知函数的图象与的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．10 C．12 D．
【答案】C
【详解】因为函数的图象与的图象关于直线对称，
所以函数与互为反函数，
所以，
所以.
故选：.
反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域．
【变式1】如图，曲线是函数的图象，曲线与曲线关于y轴对称，曲线与曲线关于直线对称，曲线与曲线关于x轴对称，则曲线，，对应的函数解析式分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由图可知，曲线与曲线关于y轴对称，且曲线是函数的图象，
所以曲线对应的函数解析式为，
由曲线与曲线关于直线对称，
所以曲线对应的函数解析式为，
由曲线与曲线关于x轴对称，
所以曲线对应的函数解析式为，即.
故选：A.
【变式2】下列命题中，不正确命题的个数为（ ）．
①函数与它的反函数的图像没有公共点；
②若函数有反函数，则它一定是单调函数；
③若函数存在反函数，则必有成立；
④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【详解】当时，，，
此时函数与它的反函数的图像有两个公共点，故①错误；
②若函数有反函数，
则函数一定是一一映射，但它不一定是单调函数；故②错误
③若函数存在反函数，若x不属于函数的定义域时，
无意义；
当x不属于函数的定义域时，无意义；故③错误；
④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性，故④正确；
故不正确的命题的个数为3个，
故选：D．
【变式3】已知函数的反函数为，那么在上的最大值与最小值之和为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【详解】因为，
且函数的定义域为，则为奇函数，
因为均为上的单调增函数，则也为上的增函数，
根据函数与反函数关于直线对称，
则函数的反函数也为定义域上的奇函数、增函数，
故在上单调递增，且的关于点对称，
因为，则，
即其最大值与最小值之和为.
故选：A.
题型13：对数函数性质的综合应用
【典例1】已知函数与的零点分别为a，b，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，，所以且，
，所以且，
对比和可知，结合和只有一个交点，
所以，故，故选项A错误；
因为在定义域内单调递增，
易知在单调递增，
若，则，
与a是的零点矛盾，故选项B错误；
若成立，
则有，即有，
即有，故矛盾，所以选项C错误；
，故选项D正确．
故选：D．
如果函数的定义域为某个区间，则函数在这个区间的任何子集内部都有意义；如果函数在区间上有意义，而的定义域为，则必有．
考查对数函数性质和指数函数性质的关系，提问方式灵活．灵活掌握转化的思想，基础知识扎实是解决此类问题的关键．
【变式1】若(，且)，且(，且)，则，满足的关系式是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】C
【详解】∵，∴，
∴.
∵，且，
∴，∴.
故选：C
【变式2】已知函数为偶函数．
(1)求实数k的值；
(2)设，若函数与图象有2个公共点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）函数的定义域为R，因为函数为偶函数．
所以，即，
所以，所以；
（2）因为函数与图象有2个公共点，
所以，
即，，
设，则，即.
又在R上单调递增，所以方程有两个不等的正根；
所以，解得，
所以a的取值范围为．
【变式3】已知函数：，.
(1)若过定点，求的单调递增区间；
(2)若值域为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由过定点，则，
即，解得，所以，
由得函数的定义域是：，
因为在上单调递增，在上单调递减，
可得在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调递增区间是；
（2）若值域为，则可以取到的任何数，
令，
当时，，显然可以取到的任何数，故成立；
当时，开口向上，只需要其，
即，即，解得，又，故；
当时，开口向下，不可以取到的所有值，故不符合；
综上可知，的取值范围是.
1．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数的定义域为，，
函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除CD；
当时，，排除B，选项A符合要求.
故选：A
2．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由函数在上单调递减，得，解得，
所以的取值范围是.
故选：C
3．若函数为奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【详解】令，解得，可知函数的定义域为，
若函数为奇函数，则，
可得，即，则，
可得，
即，可知函数为奇函数，
所以.
故选：B.
4．下列说法中正确的是（ ）
A．函数与是同一个函数
B．函数的单调递增区间是
C．若函数的最大值为3，最小值为1，则的值域是
D．若是偶函数，则函数的图象关于直线对称
【答案】D
【详解】对于选项A：令，解得，
可知函数的定义域为，
令，解得或，
可知函数的定义域为，
两者定义域不同，所以函数与不是同一个函数，故A错误；
对于B：令，解得或，
可知函数的定义域为，
又因为在定义域内单调递增，且在内单调递减，在内单调递增，
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以函数的单调递增区间是，故B错误；
对于选项C：例如，可知函数的最大值为3，最小值为1，
但的值域是，故C错误；
对于选项D：若是偶函数，则，
所以函数的图象关于直线对称，故D正确；
故选：D.
5．函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
又当时，在上单调递增，所以
所以.
故选：D
6．若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，则．
函数的大致图象如图所示．
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即．
故选：C.
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意，，令，
因为，均在上单调递减，故在上单调递减，
则，
，故，
，若，则，
若，则不存在，B错误，
因为，
，的正负无法判断，故与的大小无法比较.
反例如下：取，可得，
此时，CD都不成立，
故选：A.
8．已知且，函数是减函数，则a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是减函数，所以，解得．
故选：B.
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为
B．的值域是
C．是偶函数
D．的单调递减区间是
【答案】D
【详解】对于A，要使函数有意义，则，解得或，
所以函数定义域为，故A错误；
对于B，由对数函数性质可知，函数的值域是，故B错误；
对于C，因为函数定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故C错误；
对于D，令，则，
由二次函数性质可知，在区间上单调递减，
由对数函数性质可知，在定义域内单调递增，
所以在区间上单调递减，故D正确.
故选：D
10．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增，且在区间上恒成立.
所以，解得.
故选：A.
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数是奇函数
C．函数是增函数
D．若，则
【答案】ABD
【详解】对于A：由，所以的定义域为，故A正确；
对于B：由A得的定义域为，又，所以是奇函数，故B正确；
对于C：令，所以，由在上单调递减，在单调递增，
根据复合函数单调性得在是减函数，故C错误；
对于D：由是奇函数且在是减函数，由得，
所以，故D正确.
故选：ABD.
12．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】对于A，设函数，则其定义域为，
且，可知为偶函数，
根据二次函数的性质可知，在上单调递增，故A正确；
对于B，设函数，则，，
可得，可知不是增函数，故B错误；
对于C，设函数，其定义域为，
且，可知为偶函数，
当时，在上单调递增，故C正确；
对于D，令函数，则，
因为，可知不为偶函数，故D错误.
故选：AC.
13．已知函数，若包含于的值域，则满足条件的实数m可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】当时，单调递增，所以；
当时，单调递增，
所以，
因为包含于的值域，
所以或，解得或.
所以满足条件的实数m可以是或.
故选：AC
14．已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】，
的定义域为，，所以函数是偶函数．
令，取，
则，
因为，在R上单调递增，
所以，故，
所以，故在上单调递增，
由复合函数单调性满足同增异减，可知在上单调递增，
所以不等式，
等价于，两边平方得，，
解得．
故答案为：
15．已知函数，若，则实数的取值范围是 .
【答案】{或}
【详解】因为函数的定义域且单调递增，
若，
则，
解得或.
故答案为：{或}.
16．已知函数，若，则的最小值为 .
【答案】2
【详解】由题设，则，
所以，
又函数在上单调递增，且，
所以，且，则，
当且仅当时取等号，即的最小值为2.
故答案为：2.
17．已知函数．
(1)当时，求函数的值域；
(2)若的定义域为，求实数的取值范围；
(3)若在上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1);
(2);
(3).
【详解】（1）当时，，
令，则,
对数函数在上单调递增，所以，
所以函数的值域为.
（2）若的定义域为，则在上恒成立，
所以.
所以实数的取值范围是.
（3）二次函数开口向上，对称轴为，
对数函数在上单调递增，
若在上单调递增，
则.
所以实数的取值范围是.
18．已知函数，其中且．
(1)求的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)，奇函数，理由见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，解得，所以的定义域为．
又，
所以为奇函数．
（2），
当时，，解得，因为，所以；
当时，，解得，因为，所以．
综上所述：当时，；当时，．
19．已知函数，记不等式的解集为.
(1)求（用区间的形式表示）；
(2)若对任意的，有，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，可得，解得，
所以解集为.
（2）因为，即，
令，则，
可得在上恒成立，只需，
因为，当且仅当时，等号成立，
可得，即，
所以故的最大值为.
20．已知函数．
(1)求函数的定义域M；
(2)判断函数的奇偶性，若，求的值．
【答案】(1)函数的定义域为；
(2).
【详解】（1）由题意，，
由，解得，
则函数的定义域为．
（2）由（1）知函数的定义域关于原点对称．
又，
所以函数为奇函数，
又，所以．
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专题4.4 对数函数
教学目标 1.理解对数函数的概念及条件，掌握对数函数的图象与性质。 2.会利用对数函数的性质解决与对数函数有关的函数的定义域、值域、单调性、大小比较、对数方程与不等式等相关问题。
教学重难点 1.重点：掌握对数函数的概念，图象及性质，利用对数函数的性质解决求函数的定义域、值域、利用单调性比较函数值的大小 2.难点：会解对数方程及对数不等式，能处理与对数函数有关的函数综合问题.
知识点01 对数函数的概念
1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为．
2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为_______；
（2）底数为______________的常数；
（3）对数的真数仅有______________．
【即学即练】
1．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数中，定义域为的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点02 对数函数的图象与性质
图象
性质 定义域：
值域：
过定点，即时，
在上_______ 在上是_______
当时，， 当时， 当时，， 当时，
【即学即练】
1．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
知识点03 底数对对数函数图象的影响
1、底数制约着图象的升降．
如图
2、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当_______时，随a的增大，对数函数的图像愈_______；当______________时，对数函数的图象随a的增大而______________．（见下图）
【即学即练】
1．函数的图象如图所示，则a的值可以是（ ）
A． B．2 C．e D．
2．已知对任意，（且）均有意义，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
知识点04 反函数
1、反函数的定义
设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有_______的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．
2、反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于______________对称．
（2）若函数图象上有一点_______，则_______必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
【即学即练】
1．已知函数，若函数是的反函数，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知，则下列不正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型01：对数函数定义的判断
【典例1】已知函数的定义域为D，，，，则可以是（ ）
A． B． C． D．
判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量．
【变式1】已知函数的定义域为，，对于任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式3】已知函数，若（其中），则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型02：利用对数函数的定义求参数
【典例1】已知函数为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
的系数为1
【变式1】若是偶函数，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式2】已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数m的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【变式3】已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图像上，则（ ）
A．3 B．5 C．8 D．11
题型03：求对数函数的表达式
【典例1】已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
待定系数法
【变式1】已知定义在R上的奇函数满足：，且当时，（a为常数），则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式2】函数的图象如图所示，该图象由幂函数与对数函数“拼接”而成．
(1)求的解析式；
(2)若，求的取值范围．
【变式3】已知函数的图像过点，.
(1)求函数的解析式.
(2)设，若对于任意的，都有，求实数m的取值范围.
题型04：对数型函数过定点问题
【典例1】函数且的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
令真数为1求解.
【变式1】函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B．10 C． D．8
【变式2】函数（且）的图象恒过点，函数（且）的图象恒过点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知函数，，其中且.
(1)若和的图象过相同定点，求实数的值；
(2)若当时，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.
题型05：对数函数的图象问题
【典例1】函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题．
在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的的解等价于函数的图象在的图象下方的点的横坐标的取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题．
【变式1】如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，的一个是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【变式2】已知偶函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【变式3】函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
题型06：对数函数的定义域
【典例1】下列与函数定义域相同的函数是（ ）
A． B．
C． D．
与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证．
【变式1】已知函数对任意都有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知是奇函数．
(1)求的值及的定义域；
(2)求不等式的解集．
【变式3】已知.
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性.
题型07：对数函数的值域与最值
【典例1】若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
数形结合
【变式1】函数的最大值、最小值分别是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知函数，，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知函数．
(1)证明：的图象关于直线对称；
(2)求的最大值．
题型08：对数函数的单调性及其应用
【典例1】已知正实数满足：，则的值是（ ）
A． B． C． D．
研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”．
研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．
【变式1】已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】已知正实数满足：，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知函数（且）.
(1)讨论的奇偶性与单调性；
(2)若不等式的解集为，求的值.
题型09：比较指数幂的大小
【典例1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
比较两个对数值的大小的基本方法是：
（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．
（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．
（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．
【变式1】若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
题型10：解对数型不等式
【典例1】已知，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
利用对数函数的单调性求解
【变式1】已知函数 若 则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】已知函数.
(1)若为偶函数，求的值；
(2)若在上单调递增，求的取值范围
(3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围.
题型11：判断对数函数的奇偶性
【典例1】已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。
【变式1】已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知函数（，且）．
(1)讨论的奇偶性；
(2)若，不等式恒成立，求t的取值范围．
【变式3】已知函数，其中.
(1)当时，求函数的定义域，并判断其奇偶性；
(2)若恒成立，求的取值范围.
题型12：反函数
【典例1】已知函数的图象与的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．10 C．12 D．
反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域．
【变式1】如图，曲线是函数的图象，曲线与曲线关于y轴对称，曲线与曲线关于直线对称，曲线与曲线关于x轴对称，则曲线，，对应的函数解析式分别是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】下列命题中，不正确命题的个数为（ ）．
①函数与它的反函数的图像没有公共点；
②若函数有反函数，则它一定是单调函数；
③若函数存在反函数，则必有成立；
④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式3】已知函数的反函数为，那么在上的最大值与最小值之和为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
题型13：对数函数性质的综合应用
【典例1】已知函数与的零点分别为a，b，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
如果函数的定义域为某个区间，则函数在这个区间的任何子集内部都有意义；如果函数在区间上有意义，而的定义域为，则必有．
考查对数函数性质和指数函数性质的关系，提问方式灵活．灵活掌握转化的思想，基础知识扎实是解决此类问题的关键．
【变式1】若(，且)，且(，且)，则，满足的关系式是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【变式2】已知函数为偶函数．
(1)求实数k的值；
(2)设，若函数与图象有2个公共点，求实数a的取值范围．
【变式3】已知函数：，.
(1)若过定点，求的单调递增区间；
(2)若值域为，求的取值范围.
1．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若函数为奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．下列说法中正确的是（ ）
A．函数与是同一个函数
B．函数的单调递增区间是
C．若函数的最大值为3，最小值为1，则的值域是
D．若是偶函数，则函数的图象关于直线对称
5．函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知且，函数是减函数，则a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为
B．的值域是
C．是偶函数
D．的单调递减区间是
10．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数是奇函数
C．函数是增函数
D．若，则
12．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函数，若包含于的值域，则满足条件的实数m可以是（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数，则不等式的解集为 ．
15．已知函数，若，则实数的取值范围是 .
16．已知函数，若，则的最小值为 .
17．已知函数．
(1)当时，求函数的值域；
(2)若的定义域为，求实数的取值范围；
(3)若在上单调递增，求实数的取值范围.
18．已知函数，其中且．
(1)求的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；
(2)求不等式的解集．
19．已知函数，记不等式的解集为.
(1)求（用区间的形式表示）；
(2)若对任意的，有，求的最大值.
20．已知函数．
(1)求函数的定义域M；
(2)判断函数的奇偶性，若，求的值．
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