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第三章 函数的概念与性质(高效培优单元测试·提升卷)
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
第一部分(选择题 共58分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.将中的最大数记为,则函数的最小值为( )
A.1 B.5 C.4 D.6
【答案】B
【详解】作函数的图象如图.令得点,则由图可知函数的最小值为5.
2.对于任意的,函数满足,,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.的个位数字为7
【答案】D
【详解】对于任意的,函数满足,,
对于A,令,得,A错误;
对于B,令,得,即,
则,B错误;
对于C,,则,
令,得,令,得,则,
则,,C错误;
对于D,,由,得,
,
当x是正奇数时,的个位数字依次为:,周期为5,
,,因此的个位数字为7 ,D正确.
故选:D
3.已知函数的图象关于直线对称,且函数在上单调递增.设,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为函数的图象关于直线对称,所以.
所以,.
又因为函数在上单调递增,
且,
所以,即.
故选:D
4.函数的部分图象(虚直线方程为)大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】对于函数,由可得,故函数的定义域为,
,故函数为奇函数,可排除CD选项,
当时,,可排除B,从而可得A正确.
故选:A.
5.已知偶函数满足:,且,若,则( )
A.1 B. C. D.
【答案】C
【详解】由,用代换,可得,
联立方程组,可得,即,
又由函数为偶函数,且,可得与同号,
所以,可得函数是周期为的函数,
因为,与同号,则,
令,可得,所以,
则.
故选:C.
6.已知函数,,若存在,使得,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】因为,故函数的值域为.
设,若存在,使得成立,即,只需,
即对于,满足成立,
即,
解得.
故选:D
7.对于任意的,表示不超过x的最大整数,例如:,.十八世纪,被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是( )
A.函数是奇函数 B.函数的值域为
C.函数最小正周期为1 D.不等式的解集为
【答案】C
【详解】对于A,因为当时,,当时,,
即,即函数不是奇函数,故A错误;
对于B,由取整函数的定义可知,,则,
即函数的值域为,故B错误;
对于C,不妨设函数最小正周期为,则,且,
取,即得,即,则为整数,
又因,,
故函数的最小正周期为1,故C正确;
对于D,由可得:,解得,
而是整数,则得,故,即不等式的解集为,故D错误.
故选:C.
8.已知是定义在上的偶函数,若任意且时,恒成立,且,则满足的实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由可得,即,
设,则有,因,则在上单调递增,
又是定义在上的偶函数,,故为上的偶函数.
由可得,
而,即,
由函数的单调性和奇偶性,可得,解得.
故选:A.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若定义在上的函数满足为奇函数,且对任意,,都有,则下列说法正确的是( )
A.的图象关于点对称
B.在上是增函数
C.
D.关于x的不等式的解集为
【答案】BCD
【详解】若定义在上的函数满足为奇函数,
则的图象关于对称,即,A错误,C正确;
因为对任意,,都有,
所以在上单调递增,
根据函数的对称性可知,在上单调递增,B正确;
由可得,D正确.
故选:BCD.
10.设函数,其中表示,,中数值大小排第二的数,则下列结论正确的是( )
A. B.的值域为
C.的图象关于轴对称 D.在上单调递增
【答案】ACD
【详解】在同一坐标系中作出函数,,的图象,
所以
对于A,,故A正确;
对于B,由图可知图象的最低点的纵坐标为4,所以的值域为,故B错误;
对于C,由的解析式可知:
当时,,由的解析式可知:,
当时,,由的解析式可知:,
当时,,由的解析式可知:,
当时,,由的解析式可知:,
当时,,由的解析式可知:,
当时,,由的解析式可知:,
即为偶函数,故C正确;
对于D,由图可知在上的解析式为,则在上单调递增,故D正确.
故选:ACD
11.定义在上的函数,且,则( )
A.是偶函数
B.的图象关于点对称
C.
D.
【答案】ACD
【详解】令,得,
令,得,
又,所以,所以是偶函数,故A对;
令,
令,得,
,
所以的图象不关于点对称,故B错,C对;
令,得,
令,
令,
同理可得,
所以,故D对;
故选:ACD
第二部分(非选择题 共92分)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.设函数存在最小值,则的取值范围是 .
【答案】
【详解】①当时,,
当时,单调递增,且,
当时,,
因此不存在最小值;
②当时,,
当时,,故函数存在最小值;
③当时,,
当时,单调递减,,
当时,,
而,故函数存在最小值;
④当时,,
当时,单调递减,,
当时,,
因为,
所以,因此不存在最小值.
综上,的取值范围是.
故答案为:.
13.已知函数,则不等式的解集为 .
【答案】
【详解】因为,所以在上单调递增,在上单调递增,
且当时,当时,,,,,则的图象如下所示:
若,则,,显然满足,
此时相应的的取值范围为;
若,则,则,,
显然满足,此时相应的的值为;
若,即,则,
显然满足,
此时相应的的取值范围为;
当时,,,
则,,
不等式,即,解得或,
又,所以;
综上可得不等式的解集为.
故答案为:
14.设函数若不等式对恒成立,则实数的值为 .
【答案】
【详解】当,,所以,
若不等式,恒成立,则,所以,
当,,对称轴为,
当时,单调递减,单调递增,
所以,
则,所以,所以.
故答案为:.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知是定义在上的偶函数,且当时,,
(1)求函数的解析式;
(2)若,求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)当时,则,
,又,
,
.
(2)当时,则,
由,令,则,
则,对称轴,
,,
所以在上的值域为.
16.已知函数.
(1)若,求不等式7的解集;
(2)若0,在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)若恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);
(2);
(3).
【详解】(1)当时,由可得,即,
解得或,
所以,不等式的解集为.
(2)由题意,恒成立,
因为二次函数图象开口向上,则,解得,
所以,实数的取值范围是.
(3)由题意,恒成立,又,
所以在恒成立;
由于,当时等号成立.
所以,
即实数的取值范围为.
17.若对定义域内任意,都有,则称函数为“步长”增函数.
(1)已知函数,判断是否为“2步长”增函数,并说明理由;
(2)若函数是“步长”增函数,求的最小值;
(3)若函数为上的“2024步长”增函数,求实数的取值范围.
【答案】(1)是,理由见解析
(2)3
(3)
【详解】(1)函数是“2步长”增函数.理由如下:
因为的定义域为在上都是单调递增,
所以在上单调递增,所以.
所以是“2步长”增函数.
(2)因为是“步长”增函数,
所以恒成立,
所以
恒成立,
即恒成立,
由,解得或.
因为,所以.
(3)若在上单调递增,则恒成立,符合题意;
若,分以下情况:
①当时,单调递增,则恒成立;
②当时,,单调递增,则恒成立;
③当时,若,则,解得;
④当或时,若,则.
综上,的取值范围是.
18.通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大,表明学生注意力越集中)经过实验分析得知:.
(1)讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较,何时学生的注意力更集中?
(2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟?
(3)一道比较难的数学题,需要讲解25分钟,并且要求学生的注意力至少达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?
【答案】(1)讲课开始25分钟时,学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中
(2)讲课开始10分钟,学生的注意力最集中,能持续10分钟
(3)不能
【详解】(1)因为,
所以讲课开始25分钟时,学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.
(2)当时,是增函数,且.
当时,是减函数,且.
所以讲课开始10分钟,学生的注意力最集中,能持续10分钟
(3)当时,令,则.
当时,令,则.
则学生注意力在180以上所持续的时间为.
所以老师不能在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.
19.参加劳动是学生成长的必要途径,每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会,自觉参与、自己动手,坚持不懈进行劳动,掌握必要的劳动技能.在劳动中接受锻炼、磨炼意志,培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质.大家知道,用清水洗衣服,其上残留的污渍用水越多,洗掉的污渍量也越多,但是还有污渍残留在衣服上,在实验基础上现作如下假定:用单位的水清洗1次后,衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数.
(1)①试解释与的实际意义;
②写出函数应该满足的条件或具有的性质(写出至少2条,不需要证明);
(2)现有单位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成2份后清洗两次.哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少?请说明理由.
【答案】(1)表示没有用水清洗时,衣服上的污渍不变;表示用1个单位的水清洗时,可清除衣服上残留的污渍的;定义域为,值域为,在区间内单调递减.
(2)当时,,此时两种清洗方法效果相同;
当时,,此时把单位的水平均分成份后,清洗两次,残留的污渍较少;
当时,,此时用单位的水清洗一次后残留的污渍较少.
【详解】(1)①表示没有用水清洗时,衣服上的污渍不变;
表示用1个单位的水清洗时,可清除衣服上污渍的.
②函数的定义域为,值域为,在区间内单调递减.
(2)设清洗前衣服上的污渍为1,用单位的水,清洗一次后残留的污渍为,
则;
用单位的水清洗1次,则残留的污渍为,
然后再用单位的水清洗1次,则残留的污渍为,
因为,
所以当时,,此时两种清洗方法效果相同;
当时,,此时把单位的水平均分成份后,清洗两次,残留的污渍较少;
当时,,此时用单位的水清洗一次后残留的污渍较少.
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第三章 函数的概念与性质(高效培优单元测试·提升卷)
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
第一部分(选择题 共58分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.将中的最大数记为,则函数的最小值为( )
A.1 B.5 C.4 D.6
2.对于任意的,函数满足,,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.的个位数字为7
3.已知函数的图象关于直线对称,且函数在上单调递增.设,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.函数的部分图象(虚直线方程为)大致是( )
A. B.
C. D.
5.已知偶函数满足:,且,若,则( )
A.1 B. C. D.
6.已知函数,,若存在,使得,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.对于任意的,表示不超过x的最大整数,例如:,.十八世纪,被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是( )
A.函数是奇函数 B.函数的值域为
C.函数最小正周期为1 D.不等式的解集为
8.已知是定义在上的偶函数,若任意且时,恒成立,且,则满足的实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若定义在上的函数满足为奇函数,且对任意,,都有,则下列说法正确的是( )
A.的图象关于点对称
B.在上是增函数
C.
D.关于x的不等式的解集为
10.设函数,其中表示,,中数值大小排第二的数,则下列结论正确的是( )
A. B.的值域为
C.的图象关于轴对称 D.在上单调递增
11.定义在上的函数,且,则( )
A.是偶函数
B.的图象关于点对称
C.
D.
第二部分(非选择题 共92分)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.设函数存在最小值,则的取值范围是 .
13.已知函数,则不等式的解集为 .
14.设函数若不等式对恒成立,则实数的值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知是定义在上的偶函数,且当时,,
(1)求函数的解析式;
(2)若,求在上的值域.
16.已知函数.
(1)若,求不等式7的解集;
(2)若0,在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)若恒成立,求实数的取值范围.
17.若对定义域内任意,都有,则称函数为“步长”增函数.
(1)已知函数,判断是否为“2步长”增函数,并说明理由;
(2)若函数是“步长”增函数,求的最小值;
(3)若函数为上的“2024步长”增函数,求实数的取值范围.
18.通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大,表明学生注意力越集中)经过实验分析得知:.
(1)讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较,何时学生的注意力更集中?
(2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟?
(3)一道比较难的数学题,需要讲解25分钟,并且要求学生的注意力至少达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?
19.参加劳动是学生成长的必要途径,每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会,自觉参与、自己动手,坚持不懈进行劳动,掌握必要的劳动技能.在劳动中接受锻炼、磨炼意志,培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质.大家知道,用清水洗衣服,其上残留的污渍用水越多,洗掉的污渍量也越多,但是还有污渍残留在衣服上,在实验基础上现作如下假定:用单位的水清洗1次后,衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数.
(1)①试解释与的实际意义;
②写出函数应该满足的条件或具有的性质(写出至少2条,不需要证明);
(2)现有单位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成2份后清洗两次.哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少?请说明理由.
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