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第四章 指数函数与对数函数（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数，满足．若存在零点，则下列选项一定错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数的值域是，则a，b的值分别为（ ）
A． B． C． D．或
3．已知，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下：
0.125 0.4375 0.75 2
0.49 3.58
依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，在下列选项中，包含零点的是（ ）
A． B． C． D．
6．“”是“函数存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数且，若存在，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是函数的零点，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
10．若，，则“”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．，使得偶函数 B．都不是上的单调函数
C．，使得有三个零点 D．若的最小值是，则
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，若函数有两个实数解，则实数的取值范围 ．
13．如果一个函数的定义域与值域均为，则称该函数为上的同域函数，称为同域区间．已知函数为区间上的同域函数．
（1）函数的解析式是 ；
（2）若函数在时存在同域区间，则实数的取值范围是 ．
14．设，函数，给出下列四个结论：
①当时，函数的最大值点为0；
②若在区间上单调递增，则的取值范围是；
③当时，方程有两个不等的实根；
④当时，函数存在最大值．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数（为常数）是定义在上的奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求函数的值域；
(3)若，且函数满足对任意，都有成立，求实数的取值范围.
16．设函数同时满足条件和对任意都有成立．
(1)求的解析式；
(2)求的定义域和值域；
(3)若，求使得成立的整数的取值的集合．
17．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且满足
(1)求与的解析式；
(2)设函数，且恒成立，求实数的取值范围.
18．年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击.为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用.
(1)一次喷洒个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒个单位的消毒剂，小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的小时中能够持续有效消毒，试求的最小值．（精确到，参考数据：取）
19．为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）；
(3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）；
②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备．
试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由．
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第四章 指数函数与对数函数（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数，满足．若存在零点，则下列选项一定错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数的定义域为，且均为增函数，故函数是增函数．由于，故，满足，则或．若，则由存在零点知，，A，B正确；若，则由存在零点知，，D正确．
2．若函数的值域是，则a，b的值分别为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【详解】由得，得，得或.由得或，故或.当时，由函数单调递增得，故；当时，由函数单调递减得，故.
故选：D.
3．已知，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，得解得，函数的定义域为．又，所以函数是定义在上的偶函数．，所以在上单调递减．又，所以解得．
4．设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下：
0.125 0.4375 0.75 2
0.49 3.58
依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由表格数据可知，，又因为函数在上连续，且函数在上单调递增，所以函数在区间上存在一个零点.又因为，所以方程的近似解（精确度为0.5）可以是区间上的任意一个数，观察四个选项可知C正确.
5．已知函数，在下列选项中，包含零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由函数为减函数，也为减函数，
函数为连续递减函数，
，
，由零点判断定理可得函数的零点所在区间为，
故选：C.
6．“”是“函数存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】函数存在零点等价于方程有解，等价于有解，
而，从而，因此，
反之，当时，有解，
所以“”是“函数存在零点”的充要条件.
故选：C.
7．已知函数且，若存在，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，即
，故且所以在上有解，又，故，解得或，又，故．
8．已知是函数的零点，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】由题意可得，，则，
则，所以.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A，，所以，故A不正确；
对于B，由，得，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
10．若，，则“”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】对于，，所以是的充要条件，故错误；
对于，由可得，即，充分性成立，
反之，不一定推出，必要性不成立，
所以是的充分不必要条件，故正确；
对于，由可得，所以，反之不成立，
所以是的充分不必要条件，故正确；
对于，因为，所以是的充要条件，故错误.
故选：.
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．，使得偶函数 B．都不是上的单调函数
C．，使得有三个零点 D．若的最小值是，则
【答案】ABC
【详解】当时，，定义域为，且，此时为偶函数，故A正确．当时，，开口向上，对称轴为；当时，开口向上，对称轴为．所以且，，即在分段处函数值相等，由于的对称轴在的对称轴的左侧，故都不是上的单调函数，故B正确．当时，若，则，当时，令，解得，当时，令，解得，均符合要求，所以，使得函数有3个零点，故C正确．由B可知的最小值在或处取到，当时，函数最小值在处取到，由，解得，满足题意；当时，函数最小值在处取到，由，解得，满足题意，当时，函数最小值在或处取到，此时恒成立，恒成立，都不满足题意，舍去．综上，若的最小值是，则，故D错误．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，若函数有两个实数解，则实数的取值范围 ．
【答案】
【详解】因，则0不是的解.
时，.
令，
依题意函数的图象与直线有两个公共点.
时，时，，
于是得，
由对勾函数知，在上递减，在上递增，且.
又在上递减，在上递增，且.
如图：
直线与的图象有两个公共点，；
直线与的图象有两个公共点，.
从而得函数的图象与直线有两个公共点时或.
所以实数的取值范围是.
故答案为：
13．如果一个函数的定义域与值域均为，则称该函数为上的同域函数，称为同域区间．已知函数为区间上的同域函数．
（1）函数的解析式是 ；
（2）若函数在时存在同域区间，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】1）由，所以函数在上单调递增，又函数是同域函数，得即解得所以．
（2）由（1）得，所以在上单调递增，设是函数的同域区间，得即得在上的根为和，则满足即
解得．
14．设，函数，给出下列四个结论：
①当时，函数的最大值点为0；
②若在区间上单调递增，则的取值范围是；
③当时，方程有两个不等的实根；
④当时，函数存在最大值．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【详解】对①，当时，函数，
可知函数在上单调递增，；在上单调递增，在上单调递减，所以当时，；函数在上单调递增，恒有.
综上可知：当时，函数的最大值点为0.故①正确；
对②，因为函数在上单调递增，在上单调递增，所以要使在上单调递增，须有.故②正确；
对③，当时，在上，，方程无解；
在上，恒成立，方程无解；
在上，函数，单调递增，方程至多有1解.
故当时，方程至多有1解. ③错误；
对④，当时，函数在上单调递增，；在上，函数有最大值；在上，恒成立.
因为，所以成立，所以此时函数有最大值，为.故④正确.
故答案为：①②④
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数（为常数）是定义在上的奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求函数的值域；
(3)若，且函数满足对任意，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以对有，
即，整理得，
则由的任意性得，所以.
此时，的定义域为R，且，
所以，.
（2），
在上单调递减，在上单调递减且，
函数在上的值域为.
（3）由向左移1个单位，向上移1个单位得到，
所以关于对称，所以令，
则，即：，
由得，
在上单调递减，在上单调递减，
对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令得：对任意恒成立，
令，其对称轴为，，
所以
所以实数的取值范围是.
16．设函数同时满足条件和对任意都有成立．
(1)求的解析式；
(2)求的定义域和值域；
(3)若，求使得成立的整数的取值的集合．
【答案】(1)；
(2)定义域为，值域为．
(3)．
【详解】（1）由得，解得，故，
又得，即，
上式对任意都成立，故且，所以，
故．
（2）由解得，
故定义域为；
当时，，则，则，
所以值域为．
（3）若，则，
所以时或，
所以若，则或，
所以或即，或即，
综上，整数的取值集合为．
17．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且满足
(1)求与的解析式；
(2)设函数，且恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），又是偶函数，是奇函数
，
，
.
（2），，
设
，
，
在上单调递增，
，
.
18．年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击.为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用.
(1)一次喷洒个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒个单位的消毒剂，小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的小时中能够持续有效消毒，试求的最小值．（精确到，参考数据：取）
【答案】(1)小时
(2)
【详解】（1）因为一次喷洒个单位的消毒剂，
所以浓度.
则当时，令，解得，故；
当时，令，解得，故，
综上，.
故若一次喷洒个单位消毒的消毒剂，则有效消毒时间可达小时.
（2）设从第一次喷洒起，经小时后，
浓度，
因为，，所以由基本不等式可得
，
当且仅当，即时，等号成立，有最小值为.
令，解得.
又，所以，
所以的最小值为.
19．为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）；
(3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）；
②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备．
试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由．
【答案】(1)
(2)从第3年该设备开始盈利
(3)方案①比较合理，理由见解析
【详解】（1）
（2）令，得，
，故，
故从第3年该设备开始盈利；
（3）按照方案①计算，
当且仅当时，即时等号成立．
到2030年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元
按照方案②计算，当时，．
故到2033年，盈利额达到最大值，该设备可获利万元．
因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理．
1
