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第三章 函数的概念与性质
教学目标 1.了解函数的三种表示方法及特点； 2.掌握求函数解析式的常用方法 3.了解与认识分段函数及其定义域 4.会用分析法与图象法表示分段函数，并能掌握分段函数的相关性质. 5.理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义． 6.掌握定义法证明函数单调性的步骤． 7.掌握函数单调区间的写法. 8.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 9.会借助单调性求最值. 10.掌握求二次函数在给定区间上的最值． 11.掌握判断函数奇偶性的方法，会求与奇偶函数有关的函数解析式，能处理与函数单调性、周期性相关的综合问题.
教学重难点 1.重点 能解决与函数单调性、奇偶性、周期性有关的综合问题. 2.难点 掌握幂函数的概念，能根据幂函数的要求求出幂函数的解析式，并能根据幂函数的性质求待定参数.
知识点01 函数的概念
1．函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．
记作：，．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关．
3．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
区间表示：
；
； ；
； ．
【即学即练】
1．取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，
当时，；
当时，，
又，当且仅当，即时取等号，
所以或2；
当时，，
又，当且仅当，即时取等号，
所以或1，
综上，得的值域为
故选：C.
2．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在中，，∴，
∴的定义域是，
故在中，解得，
∴的定义域是.
故选：A.
知识点02 函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值．
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势．
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值．
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
【即学即练】
1．已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则的值是（ ）
A． B． C．2025 D．2027
【答案】C
【详解】由函数在定义域上是单调函数，且，
知是一个常数，令，则，
∴，
∵在定义域上单调，且,
∴，即
∴.
故选：C.
2．已知非空集合、满足：，，函数已知如下两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.则下列选项中正确的是（ ）
A．①、②都正确 B．①、②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】D
【详解】命题①：
因为，，
所以要么，要么.
假设存在某个非空集合对满足且使为偶函数，
那么将元素0从集合中取出，放入集合，其它元素不变，得到一个新的非空集合对，
则新的非空集合对使仍然为偶函数；
假设存在某个非空集合对满足且使为偶函数，
那么将元素0从集合中取出，放入集合，其它元素不变，得到一个新的非空集合对，
则新的非空集合对使仍然为偶函数.
所以当存在非空集合对使为偶函数时，非空集合对不唯一.
所以命题①错误.
命题②：
解方程，解得；解方程，解得.
当非空集合对满足时，方程无解.
而满足这个条件的非空集合对有无穷多个，故命题②正确.
故选：D.
知识点03 函数的单调性
1.增函数与减函数
（1）设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递增函数；
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减函数.
（2）单调性的图形趋势（从左往右）
上升趋势 下降趋势
（3），的三个特征
（1）区间上的自变量的两个值，必须是任意的，即区间内的全部，任意即所有，不可以随便取两个特殊值；
（2）有序性：一般要对和的大小进行规定，通常规定；
（3）同区间性：即，同属于一个单调区间．
2．函数的单调区间
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．
【易错警示】
（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（2）单调区间D 定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
3．单调函数的运算性质
若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
（1）与（C为常数）具有相同的单调性.
（2）与的单调性相反.
（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.
（4）若≥0，则与具有相同的单调性.
（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；
当时，与具有相同的单调性.
（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
【即学即练】
1．“函数在上单调递减”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】先判定充分性，若在上单调递减，
由幂函数及复合函数的单调性可知，则，满足充分性；
再判定必要性，可举反例，若，则单调递减，
此时的定义域为，
此时在上单调递减，不满足必要性，
综上“函数在上单调递减”是“”的充分不必要条件.
故选：B
2．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于函数，由可得或
所以，函数的定义域为，
因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数，
外层函数在上为增函数，
由复合函数的单调性可知，函数的减区间为.
故选：A.
知识点04 函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．
2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．
3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．
【即学即练】
1．设函数的最大值为M，最小值为m，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【详解】由函数，显然，当，，
当时，，当且仅当，即时，等号成立，则，故；
当时，，当且仅当，即时，等号成立，则故；
综上可得，，，则.
故选：C.
2．已知，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】D
【详解】根据题意，
若方程有解，则，
即，
所以，
当时，，此时，即，
也就是说当且仅当时，.
故选：D
知识点05 函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．
奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．
2．奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．
3．用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性．
若，则是奇函数；
若=，则是偶函数；
若，则既不是奇函数，也不是偶函数；
若且，则既是奇函数，又是偶函数
【即学即练】
1．设函数是定义在上的奇函数，当时,，则不等式的解集为（ ）
A．() B．[] C． D．
【答案】C
【详解】设，则,故，
故，
当且，即，则，解得，
当且时，即，
，解得，
当且时，即，
，解得，
当且，此时不存在，
综上可得，
故选：C
2．已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．的一个周期为8 D．是的一个对称中心
【答案】D
【详解】对于A选项，由题，令，则
，故A不正确；
对于B选项，令，则，即，则为偶函数，故B不正确；
对于C选项，令，则，
故，两式相加整理得：即
故，故的一个周期为6，
则，故的一个周期为8不成立，C不正确，
对于D选项，由且为偶函数，故，
所以是的一个对称中心，故D正确；
故选：D.
知识点06 幂函数的图象及性质
1．作出下列函数的图象：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
2．作幂函数图象的步骤如下：
（1）先作出第一象限内的图象；
（2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；
若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性，如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．
3．幂函数解析式的确定
（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．
（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．
4．幂函数值大小的比较
（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．
（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
【即学即练】
1．若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．方程的实数根为
C．在上为增函数 D．的值域为
【答案】B
【详解】设，代入点可得，所以，
所以，因为，所以，即函数的定义域为，
对于A：因为的定义域为，不关于原点对称，
所以既不是为偶函数也不是奇函数，故A错误；
对于B：令，所以，解得，故B正确；
对于C，因为，因为，所以在上为减函数，故C错误；
对于D：因为，所以，所以，
的值域为，故D错误.
故选：B.
2．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图像是一条直线；
B．幂函数的图像都经过和点；
C．幂函数的定义域为；
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．
【答案】D
【详解】解：对于A，时，函数的图像是一条直线除去点，故错误；
对于B，幂函数的图像都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误；
对于C，函数，故定义域为，故错误；
对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确.
故选：D.
题型01 求函数的定义域
【典例1】函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】要使函数有意义，则，
解得且，
故函数的定义域为，
故选：C
【典例2】下列说法正确的是（ ）
A．，对任意的，，这个对应是A到B的函数
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．和表示同一函数
D．函数的最小值是
【答案】C
【详解】对于A选项，当时，故不符合函数定义，A错误；
对于B选项，因为函数的定义域为，∴，∴，所以函数的定义域为，故B错误；
对于C选项，两个函数定义域和对应关系都相同，故是同一函数，C正确；
对于D选项，，函数在单调递增，则，故D错误.
故选:C.
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)零次幂：中底数；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
【变式1】已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，
所以，解得，即的定义域为，
若有意义，
则 解得，即的定义域为.
故选：A
【变式2】函数，集合．
(1)求函数的定义域B；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）由题意得，解得或，
故或.
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，
所以，所以或，解得或，
故m的范围为．
【变式3】设函数的定义域为．
(1)求函数的定义域；
(2)设，求函数的定义域．
【答案】(1)
(2)当时，定义域为空集；当时，定义域是；当，定义域是．
【详解】（1）解：因为函数的定义域为，
所以，解得，
所以函数的定义域为；
（2）解：因为函数的定义域为，
所以，即，
当或，即时，不等式组无解，即函数的定义域为空集，
当时，定义域是，
当，定义域是．
题型02 求函数的值域
【典例1】设全集，集合， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由题知，，
所以，故A错误；，故B错误；
，故C正确，D错误.
故选：C
【典例2】设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】显然，．
当时，．
令，当时，，当且仅当时等号成立，
则；
当时，，当且仅当时等号成立，
则．
综上所述，的值域为，
所以根据高斯函数的定义，函数的值域是，
故选：C．
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2)配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．
【变式1】函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据题意，当时，，令，可得，
所以，因此可得，
由二次函数性质可得，当时，取得最大值，
此时；
当时，，当且仅当，即时，等号成立；
所以的最小值为20，因此；
综上可得，函数的值域为.
故选：A.
【变式2】求下列函数的值域：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
当且仅当时取等号，
所以函数的值域为，
（2）设，则，
所以，
所以值域为.
【变式3】求下列函数的值域：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的值域为.
（2）令，则，
可得，
当时，等号成立，
所以函数的值域为.
（3）因为，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
即，所以函数的值域为.
题型03 求函数解析式
【典例1】（1）已知是一次函数，且，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知函数满足，求函数的解析式.
【答案】（1）或；（2）；（3），.
【详解】（1）因为为一次函数，可设.
所以.
所以，解得或.
所以或.
（2）设，则，，即，
所以，
所以．
（3）由①，
用代替，得②，
得：，
即，.
令，则，.
则：，.
所以，.
【典例2】（1）已知是二次函数，且满足，求解析式;
（2）已知，求的解析式;
（3）已知一次函数满足，求的解析式.
【答案】（1），（2），（3）
【详解】（1）设，
因为，所以，则.
由题意可知:，
对照系数可得，解得.
所以.
（2）令，则，
所以.
所以.
（3）设，
因为，所以，
对照系数可得，解得，
所以.
1、待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）
若已知的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。
2、配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。
3、换元法：已知的表达式，欲求，我们常设，从而求得，然后代入的表达式，从而得到的表达式，即为的表达式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
注：在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
4、利用函数的奇偶性求解析式：一般为已知x>0时， f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。首先求出f(-x)的解析式，根据f（x）=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x)
5、构造方程组法：若出现与的关系式、与的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。
(1)互为倒数：；
(2)互为相反数：或(为奇函数，为偶函数)。
6、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
【变式1】已知定义域为且的函数满足，求的解析式．
【答案】（且）
【详解】由题意知，①
用代换①式中的，得，
即，②
用代换①式中的，得，
即，③
由①②③，得
则（且）．
【变式2】已知函数满足.
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得：
，
通过消元可得.
（2）由题意可得，
因为的图象的对称轴为，在上单调递增，
所以，
，
所以在上的值域为.
【变式3】（1）已知，求；
（2）已知为二次函数，且，求．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）法一，设，则，得到，
所以，故.
解法二：因为，
所以.
（2）设，
则，
又因为，
所以，解得，
所以．
题型04 分段函数
【典例1】已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数，且，
当时，，即，
解得或，
当时，，无解，
综上：，
所以，
故选：A
【典例2】设，，，若，且，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当时，，且，
当时，，且，
作出的图象如下：
若，且，即可，故，
由于，由图象可知，
故选：D
1、一般分段函数求值有以下四种：
（1）已知自变量的值求函数值，此种题型只需确定自变量在相应的定义域选择合适的解析式代值进行计算即可，同时也要注意函数的奇偶性、周期性的应用.求形如的函数时，求解时遵循由内到外的顺序进行；
（2)已知函数值求自变量的值，此种题型只需令相应的解析式等于函数值，求出自变量的值之后再确定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则就舍去；
(3)分段函数与不等式的综合，解简单的分段函数不等式只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.解含参的分段函数不等式要注意以下两个问题：（1）问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．
(4)分段函数图象及其应用，根据每段函数的定义区间和解析式在同一坐标系中作出图象，然后应用，作图时要注意每段图象端点的虚实.
注意：
①因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．
②“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．
2、求分段函数的值域或最值
已知分段函数解析式求值域或最值，也属于常考基本题型，解决这类问题的关键是求出分段函数中每一段对应函数值的取值范围（然后再求并集，即得分段函数的值域），或者求出分段函数中每一段对应函数值的最值（然后进行比较，即得分段函数的最值）.此外，借助于数形结合思想（即画出分段函数的图像加以分析），也是解决此类问题的常用方法.
【变式1】设函数若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令，则，
当时，可得，解得，又，所以，
当时，可得，解得，
所以，所以，
当时，得，解得，满足，
当时，得，所以，又，所以，
所以实数的取值范围是或.
故选：C.
【变式2】设集合，，函数，已知，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】当时，，不符合题意.
当时，.
所以，
由解得.
故选：B
【变式3】已知函数的解析式，
(1)求；
(2)若，求a的值；
【答案】(1)5；
(2)0或.
【详解】（1），
,
故.
（2）当时,,解得,成立;
当时,,解得或(舍);
当时,,解得,不成立，
的值为0或.
题型05 函数图象
【典例1】函数的图像如图所示，可以判断a，b，c分别满足（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【详解】函数的定义域为
①当时，，
当时，与同号，当时，与同号，
与图中信息矛盾；
②当时，，
由图可得，当时，，所以，
然后可验证当，时，图中信息都满足，
故选：A
【典例2】已知函数的图像的图象如下，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由图可知f(0)<0，故有，即，
由图可知，函数的两根分别为和，
所以有：，即 ，又
故，，
所以
故选A.
【变式1】点从点出发，按逆时针方向沿周长为的正方形运动一周，记， 两点连线的距离与点走过的路程为函数，则的图像大致是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当时，为正比例函数，
当时，不是正比例函数，
且图象关于对称，
由题可知当时，只有项符合要求．
故选：C.
【变式2】函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据，根据分母不为0，则，
，
根据得，
则，则，排除A、B项；
而，其图像关于直线对称，
且在上单调递减，在上单调递增，
最后将其向上平移1个单位，则得到图中图像，且当时，，故D正确.
故选：D
【变式3】已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】当动点在正方形边上沿运动时，
则的面积为；
当动点在正方形边上沿运动时，
则的面积为；
当动点在正方形边上沿运动时，
则的面积为；
所以，所以A正确，BCD错误；
故选：A.
题型06 函数单调性的判断及证明
【典例1】已知函数的图像关于对称，且对任意的，，总有，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为对任意的，有，
不妨设，则有
因为，所以，即，
所以在上是增函数，
因为的图像关于对称，所以，故A错误；
，故B错误；
，故C错误，D正确.
故选：D
【典例2】已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为函数的定义域为，
对、，满足，
又当时，，
令，且，则，
则，
所以，所以在上单调递减，
因为，所以，，
则不等式可化为，
所以，，解得．
因此，不等式的解集为.
故选：B.
（1）定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。
（2）性质法：若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有
①为增函数，②为增函数，
③为减函数，④为减函数。
（3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（4）复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.
增函数 减函数 增函数 减函数
增函数 减函数 减函数 增函数
随着的增大而增大 随着的增大而增大 随着的增大而减小 随着的增大而减小
增函数 增函数 减函数 减函数
【变式1】设函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以在上单调递减，
又因为，
所以当时，，当时，，
当时，代表同号，
所以等式的解集是.
故选：B.
【变式2】已知函数．
(1)讨论在上的单调性，并用定义证明；
(2)设，求证：有且仅有一个零点，且．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1），且，
①若，则，
．
因此，即在上单调递减．
②若，则，
因此，即在上单调递增．
综上，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由题意知，
当时，，所以在上不存在零点．
易得在上单调递增，且，，
所以有且仅有一个零点，且，
所以，则．
所以，
因为函数在上单调递减，
所以，即，
因为函数在上单调递增，所以，
所以，即，
变形得．
【变式3】已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有．
(1)求的值；
(2)求证：在R上为增函数；
(3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由，
故此令，则，
则；
（2）设，是R上任意两个实数，且，令，，
则，所以，
由得，所以，故，即，
故此函数为R上增函数；
（3）由已知条件得：，
故，，，
，由（2）可知在R上为增函数，
，即，
时，可得恒成立，
令，
由对勾函数性质可得在上单调递增，
所以，
所以
综上，.
题型07 利用函数单调性求参数
【典例1】已知函数，且时，都有恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】时，都有恒成立.
不妨设，则.
设函数，则且，即，
则函数在上单调递减.
（1）当时，在上单调递减，符合题意.
（2）当时，函数在上单调递增，不合题意舍去.
（3）当时，若使函数在上单调递减，只需，.
综上所述，.
故选：D
【典例2】已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数的定义域为R，
当时，，
令函数，依题意，对任意的，恒成立，
因此函数在上单调递增，
当时，则，解得，因此；
当时，函数在单调递增，因此；
当时，则恒成立，因此，
实数a的取值范围是．
故选：B
利用函数单调性求参数的取值范围．
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。
③需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
④分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求,如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，
【变式1】函数是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知当时，单调递增，则①，
当时，是对称轴为，开口向下的抛物线，则②，
因为函数是增函数，所以③，
由①②③解得，
故选：C
【变式2】已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为和
(2)
【详解】（1）函数，设，则，
在区间和上单调递增，在区间和上单调递减，
又在上单调递减，
由复合函数单调性可得的单调递增区间为和，单调递减区间为和.
（2）当时，函数的定义域关于原点对称，且，故为偶函数．
由（1）得在区间上单调递减，在区间上单调递增，
由可得解得，
即的取值范围为．
【变式3】已知函数.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值域；
(3)若在上单调递减，求实数的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
则，解得.
（2）因为，且，
可知在内单调递增，则，
所以在内的值域为；
且在内单调递增，则，
所以在内的值域为；
注意到，
所以在内的值域为.
（3）若在上单调递减，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
题型08 利用单调性比大小或解不等式
【典例1】已知，点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】二次函数，其图象的对称轴方程为，
而，所以，即，
当时，是单调增函数，
因为，所以，所以，即，
综上，．
故选：D．
【典例2】，其中，若，则得取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
画出函数的图像，
当时，，
,
即，
同理：当时，也可得，
所以的图像的图像关于对称；
所以等价于，
即，
解得：或，
又，
所以得取值范围是，
故选：B
（1）比较大小．比大小常用的方法是利用单调性比大小；搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；数形结合比大小。
注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。
（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤：
第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；
第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；
第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；
第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．
【变式1】已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式.
【答案】(1)
(2)是减函数，证明见解析
(3)或.
【详解】（1）要使函数有意义，则且，即，
所以函数定义域为.
（2）是减函数.
证明如下：
设，且，
则.
因为，所以.所以.
所以，即.
所以是减函数.
（3）函数的定义域为，
要有意义，则，即，
要有意义，则.
因为是减函数，
由，得，
即，解得或.
综上得或.
所以不等式的解集为或.
【变式2】已知定义域为的函数满足，，且当时，．
(1)求的值；
(2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数；
(3)若，求不等式的解集．
【答案】(1)0
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）解：因为，，
所以令，可得，得．
（2）证明：，且，则，
显然，，所以，又，所以，
因为当时，，所以，即，
所以在定义域上是增函数．
（3）解：因为函数的定义域为，所以解得．
由，得等价于，
而，所以，所以，解得，或（舍去），故，
故不等式的解集为．
【变式3】已知函数.
(1)当，时，求函数的值域；
(2)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
(3)当时，比较与的次小.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）当时，，对称轴为直线，
在上为减函数，在上为增函数，
，
故函数的值域为.
（2）函数，对称轴为直线，
当函数在上是单调增函数时，，，
当函数在上是单调减函数时，，，
综上得，实数的取值范围为.
（3）当时，，对称轴为直线，
在上为减函数，在上为增函数，且，
∵，
∴，故.
题型09 函数奇偶性的判断及证明
【典例1】已知函数，若正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由函数，
可得，
所以函数为奇函数，
因为正实数满足，
可得，即，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
【典例2】定义不超过的最大整数称为的整数部分，记作，为的小数部分，记作，称为小数函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．小数函数在定义域内单调递增
C．为奇函数
D．的所有零点之和为
【答案】D
【详解】对于A，根据题意，，，当时，，，所以，故A错误；
对于B，，，所以，小数函数在定义域内不是单调递增，故B错误；
对于C，由，因为，，所以，所以不是奇函数，故C错误；
对于D，的零点，即方程的根
显然不是方程的根；
当，方程化为，作出两函数与的图像如图：
由图知，两函数的交点除之外，其余的交点关于中心对称，则函数的所有零点之和为，故D正确.
故选：D.
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
【变式1】下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递增的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，易知，所以不是奇函数．错；
对于B，因为，，所以不是在定义域内单调递增的函数．错；
对于C，因为的定义域，且不关于原点对称，所以不是奇函数．错；
对于D，定义域为，，为奇函数，因为，均为增函数，所以为增函数，
故选：D．
【变式2】设定义域为的函数满足：①对于任意，都有；②当时，；③.
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性并证明；
(3)求在上的值域.
【答案】(1)奇函数
(2)在上是减函数，证明见解析
(3)
【详解】（1）的定义域为，关于原点对称，
由①，令，得，所以，
令，，得，即，
所以，所以是奇函数．
（2）对任意，由①，令，，
得，
由，结合②，得，
所以，即，
所以在上是减函数.
（3）由①，令，得，
令，，得，
所以，且在上是减函数，
所以在上的值域为.
【变式3】已知函数，
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若且，求函数在区间上的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）①当时，．
由知为奇函数．
②当时，,而，故为非奇非偶函数；
（2），
①当时，有在上单调递增，
．
②当时，有在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，所以．
．
当时，,所以；
当时，,所以．
③当时，有，在上单调递增，
在上单调递减，此时．
④当时，有，在上单调递增，
此时．
综上所述，当时，．
题型10 由奇偶性求解析式或参数
【典例1】已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】若，则，且函数是上的奇函数，
可得，
即，作出函数的图象，
由图象可知在定义域上单调递增，
若，则，解得，
所以实数x的取值范围是.
故选：C.
【典例2】已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，在上为增函数，
又函数为奇函数，所以在上也为增函数，
又，所以，
所以当时，，
当时，，
若，则，
又，所以当时，．
故选：D
（1）已知函数的奇偶性求函数值
利用奇偶性的定义求函数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解．
（2）已知函数的奇偶性求解析式
利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．
（3）已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值
①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.
②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.
【变式1】若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C．3 D．1
【答案】B
【详解】由题意可得，
又,
则，
所以.
故选：B
【变式2】已知定义域为的函数是奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断并证明的单调性；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)函数在上单调递减，证明见解析；
(3).
【详解】解：（1）因为的定义域为，且是奇函数,
所以，解得，
此时，
则，满足题意，
所以．
（2）由（1）可得，函数在上单调递减，证明如下：
在上任取且，
则，
因为且，所以，
所以，即，
所以函数在上单调递减．
（3）因为，
所以，
由（2）可知函数在上单调递减，所以，
即在上恒成立，
则，或
所以或，即．
所以实数的取值范围为．
【变式3】已知函数（）是减函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)解关于的不等式：（）.
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）函数为奇函数
证明如下：函数定义域为，
又，
所以是奇函数
（2）由已知及（1）知：不等式即，
等价于，即，
当时，则；
当时，则不等式无解；
当时，则；
综上，的解集为：
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为
当时，不等式解集为.
题型11 奇偶性与单调性的综合
【典例1】已知定义在上的函数图象关于原点对称．
(1)求的解析式；
(2)判断并用定义证明的单调性；
(3)解不等式．
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【详解】（1）由题意可得，
即，，故，
即，此时有，
故关于原点对称，故，
即的解析式为；
（2）在上单调递增；证明如下：
令，则
，
由，则，，，
故，即在上单调递增；
（3）由题意可得为奇函数，则有，
又因为在上单调递增，则有，解得，
所以原不等式的解集为．
【典例2】已知函数是定义域在上的奇函数，且.
(1)求a，b的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递增；
(3)解不等式.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）由题设，，则，
所以，则，满足题设，
所以；
（2）由（1），令，
则
，
由，则，
所以函数在上单调递增；
（3）由题设，
则，
所以，即.
【变式1】已知函数满足，.
(1)求，的值；
(2)判断的奇偶性；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)，
(2)为偶函数.
(3)
【详解】（1）由题意得，
将代入，得到，解得.
（2）由（1）可得，
其定义域为，关于原点对称，
且，
故为偶函数.
（3）当时，在上单调递增，
由复合函数单调性可知在上单调递减，且为偶函数，
故等价于，
两边平方可得，即，
解得.
【变式2】已知函数是上的偶函数．
(1)求实数的值；
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)如果对，都有成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)单调递增，理由见解析
(3)
【详解】（1）因为函数是上的偶函数，
所以有，
因为，所以；
（2）由（1）可知：，即，该函数单调递增，理由如下：
设是上任意两个实数，且，即，
，
因为，所以，
所以函数在区间上单调递增；
（3）由（2）可知：函数在区间上单调递增，
而函数是偶函数，所以函数在上单调递减，
因为，，
所以在上的值域为，
由恒成立，即，
也就是，
则，得，
所以的取值范围为.
【变式3】定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，.
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)判断函数在上的单调性，并说明理由；
(3)若，试求的值.
【答案】(1)奇函数，理由见解析
(2)在上单调递减，理由见解析
(3)1
【详解】（1）函数为奇函数.理由如下：
定义域，关于原点对称，
令，则，得，
令，则，
所以，则是上的奇函数
（2）在上单调递减，理由如下：
设，
因为，，，所以，，
所以，即，
因此在上单调递减.
（3），
因为，
所以.
题型12 幂函数图象与性质的应用
【典例1】已知幂函数，则（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】A
【详解】由幂函数的定义，知，解得：，
所以，.
故选：A.
【典例2】幂函数图象过点，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设幂函数为，则，故，，
则的定义域为，
故满足，解得.
故选：A
【变式1】已知函数是定义在内的连续函数，若对于任意，都有恒成立，则称在内是“上凸函数”．则在①，②，③这三个函数中，当时，“上凸函数”的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】对于，
当时，取，故①②不是“上凸函数”；
对于，任取，则，
要证，只需，
即证，
又成立，
则恒成立，
故在内是“上凸函数”．
故选：B.
【变式2】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由得或.
令，则.
幂函数在上单调递减，
二次函数对称轴为直线，函数在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数单调性可得函数的单调递增区间为.
故选：A.
【变式3】已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，二次函数对称轴为直线，幂函数在为增函数，
∵函数区间上单调递减，
∴，解得，
∴a的取值范围是.
故选：D.
题型13 抽象函数问题
【典例1】已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．在区间是单调递增函数
【答案】C
【详解】令，则，
所以，因为当时，，
所以，
令，所以，
即，解得：，故A错误；
由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
令，则，即
令代换，则，即，
所以，令代换，所以，故B错误；
由将代入，
可得，化简可得，
所以为奇函数，故C正确；
令，则，解得：，，故D错误.
故选：C
【典例2】已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，恒成立，
当时，，即，
函数在上为增函数，
函数是偶函数，即，
函数的图象关于直线对称，，
又函数在上为增函数，，
即，.
故选：B.
抽象函数性质的综合求解策略
（1）赋值法，即赋予特殊的值，从而将函数式转化或得到相应的函数值；
（2）用定义证明其单调性和奇偶性；
（3）借助图象或模型函数（如一次函数、反比例函数等等）辅助求解;
（4）对于抽象不等式问题,解题的关键是去掉函数符号.在解不等式的过程中,要充分利用偶函数的性质,同时要注意函数的定义域.
【变式1】已知奇函数 的定义域为，在区间上单调递增，，且 为偶函数. 若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由为上的奇函数，则关于点对称，则，
又为偶函数，则，故关于对称，则，
则，是周期为4的周期函数，
又在区间上单调递增，因此在区间上单调递减，
又，则，因此，
又关于的不等式对恒成立，则，
因此，可得，，
故选：C.
【变式2】已知函数的定义域为B，函数的定义域为，若，使得恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数的定义域为，即，
所以，所以的定义域，
由于，，
所以在区间上恒成立，
由于，当且仅当时等号成立，
所以，即的取值范围是.
故选：C
【变式3】已知函数是偶函数，当时，恒成立，设则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题设知：时，单调递增，
∵是偶函数，
∴关于对称，即上单调递减，
由对称性可知：，而，
∴，即.
故选：D.
题型14 函数模型
【典例1】2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)分别写出与时，年利润（万元）与年产量（百件）的关系式（利润＝销售收入－成本）；
(2)当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】(1)答案见解析；
(2)年产量为百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是万元.
【详解】（1）由题意可得当时，，
当时，
（2）由（1）得时，，
此时（百件）时，（万元），
当时，，
因为，，所以：
，
即
当且仅当，即时等号成立，（万元），
而，故（百件）时，利润最大，
综上所述，年产量为百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是万元.
【典例2】某地区去年用电量为，电价为0.8元/，今年计划将电价降到0.55～0.75元/．用户心理承受价位是0.40元/．下调电价后，实际价位和用户心理价位仍存在差距，假设新增的用电量与这个差值成反比（比例系数为0.2a），该地区的电力成本价为0.3元/，那么电价定为多少时仍可保证电力部门的收益增长率不低于20%？
【答案】0.60～0.75元/
【详解】设下调后的电价为x元，
依题意知，新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为0.2a），
则新增用电量为，即用电量增至，
所以今年电力部门的收益
；
要保证电力部门的收益增长率不低于20%，
则，
由，
整理得，
解得．
答：当电价定到0.60～0.75元/，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
函数的实际应用问题
(1)阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等．
(2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域．
(3)求解函数模型：研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值．
(4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．
【变式1】随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为180万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1).
(2)当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元.
【详解】（1）当时，.
当时，.
所以.
（2）当时,，当时，万元.
当时,万元.
当且仅当，即时，上式等号成立.
又，所以当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元.
【变式2】辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元．
(1)分别求函数，的解析式；
(2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？
【答案】(1)，；，.
(2)乙购买了2斤大果榛子
【详解】（1）根据题意，，，
，.
（2）由（1），，，所以，则甲选择方案二购买，花费91元，
则乙花费元，
若乙按照方案一购买，则，解得或，又，
，即乙可以购买2斤大果榛子，
若乙按照方案二购买，则，解得，
所以乙应该按照方案一购买，乙购买2斤大果榛子.
【变式3】某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为200万元，每生产台，需另投入生产成本万元，且，当生产5台时需另投入生产成本75万元.若每台设备售价70万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.
(1)求的值；
(2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式（利润销售额成本）；
(3)这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)1
(2)
(3)年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元
【详解】（1）将，代入，
得，解得.
（2）由题意得，，.
当时，由（1）知，，
则；
当时，.
则，
所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为：
.
（3）由（2）得当时，
，
所以当时，；
当时，，，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，.
又，故时，利润最大，最大利润是500万元.
综上所述，年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元.
题型15 函数的新定义问题
【典例1】若对定义域内任意，都有，则称函数为“步长”增函数．
(1)已知函数，判断是否为“2步长”增函数，并说明理由；
(2)若函数是“步长”增函数，求的最小值；
(3)若函数为上的“2024步长”增函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)3
(3)
【详解】（1）函数是“2步长”增函数．理由如下：
因为的定义域为在上都是单调递增，
所以在上单调递增，所以．
所以是“2步长”增函数．
（2）因为是“步长”增函数，
所以恒成立，
所以
恒成立，
即恒成立，
由，解得或．
因为，所以．
（3）若在上单调递增，则恒成立，符合题意；
若，分以下情况：
①当时，单调递增，则恒成立；
②当时，，单调递增，则恒成立；
③当时，若，则，解得；
④当或时，若，则．
综上，的取值范围是．
【典例2】设定义域为，若对于任意的，存在唯一的使得，则称在定义域上是“可逆函数”．
(1)设，判断是否是“可逆函数”，并说明理由；
(2)若在上是“可逆函数”，求实数的值；
(3)若，使得在定义域上是“可逆函数”，求证：．
【答案】(1)是“可逆函数”；不是“可逆函数”，理由见解析‘
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）已知，定义域为,对于任意的，
设，由，得，因为对于任意，
且唯一，所以是“可逆函数”；
已知，定义域，令，则，
由，即，得，那么，即，
判别式，方程无解，所以不是“可逆函数”
（2）由题意对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“可逆函数”，
则在定义域上是“可逆函数”当且仅当对任意，存在唯一，使得；
即当且仅当的值域是的值域的子集，
定义的值域、的值域分别为，
所以在定义域上是“可逆函数”当且仅当；
由题意在上是可逆函数，
首先当时，单调递减，此时，
由可逆函数定义可知，不包含0，即（1）；
从而在时的值域为，
由题意，
所以要满足题意，还需满足（2）；
只需（1）（2）式子同时成立即可，所以当且仅当，解得，
（3）情形一：当时，在定义域上单调递增，
则，
若在定义域上是可逆函数，
首先，此时的值域为，
同时注意到不成立，故不符合题意；
情形二：当时，在定义域上单调递增，
则，
若在定义域上是可逆函数，
首先，此时的值域为，
同时注意到不成立，故不符合题意；
情形三：当时，注意到的对称轴为，则，
（i）当时，，
由二次函数性质可知存在使得，即此时，
若在定义域上是可逆函数，
首先，此时的值域为，
同时注意到不成立，故不符合题意；
（ii）当时，由二次函数性质可知，
即此时，注意到，
若在定义域上是可逆函数，
首先，其次结合，可得应该满足；
结论得证；
【变式1】已知集合，，若存在：，使得成立，则称函数在区间D上具有性质.
(1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由；
(2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围；
(3)若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值.
【答案】(1)不具有，理由见解析；
(2)
(3)，.
【详解】（1）因为函数是增函数，所以值域，
当时，函数在区间上单调递减，所以值域，
因为不是的子集，所以函数在区间上不具有性质.
（2）①当时，函数，
此时函数在区间上单调递减，所以值域为，
又，函数在上单调递减，所以值域为，
此时，，，不符合，故舍去；
②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以值域为，
又函数在上的值域为，
此时，，，不符合，故舍去；
③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以值域为，
又函数在上的值域为，
此时，，，因为，
所以，解得，
因此，a的取值范围为.
（3）由题意得，的值域为，即，
的对称轴，且开口向下，
①当时，在上单调递减，又，，
则值域为，由，得，
解得，不满足，故舍去；
②当时，在上单调递增，又，，
则值域为，由，得，
解得，不满足，故舍去；
③当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，又，，
（i）当，即时，的值域，
由，得，解得，，符合题意；
（ii）当，即时，的值域，
由，得，解得，所以符合题意，
综上所述，t的取值为，.
【变式2】已知是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求的解析式；
(2)设函数，
①若，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
②对包含实数0的区间D，若，以为长度的三条线段都能构成三角形．将区间记为I，定义，设，求的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②
【详解】（1）是定义在上的奇函数，
，且，
当时，
，
综上，的解析式为：.
（2）①，
令，，
在上单调递增，
∴当时，，
∴不等式恒成立，转化为：，
i当时，恒成立，
ii当时，恒成立，
iii当时，，则，
由i，ii，iii知：
不等式恒成立的m的取值范围是.
②不妨设
依题意中的“，都存在以为三角形的三条边长”，
等价于，
等价于所包含的任意子区间．
由（2）知，，令，则．
又，当时，有，
∴所有符合条件的区间D上，满足，
即为：，等价于，等价于，
综上，，有.
【变式3】已知，函数．定义：表示，中的较大者．
(1)当时，比较与的大小；
(2)在（1）的条件下，设函数，求的最小值；
(3)设，函数，若在区间上既有最大值又有最小值，求的取值范围．（用表示）
【答案】(1)答案见解析
(2)．
(3)答案见解析
【详解】（1）当时，
当时，令，得，解得或；
当时，令，得，解得（舍去．
作出的大致图象如图（1）所示：
观察图象可知，当或时，；
当或时，．
（2）当时，，所以点，
由（1）可知的图象是图（1）中粗线部分，
由是减函数可知点是图象的最低点，
所以的最小值是．
（3）
①当时，的大致图象如图（2）所示，
因为在区间上既有最大值又有最小值，是开区间，
所以最大值，最小值只能在和处取得，且，
由，解得（负值舍去），又，
所以．
②当时，的大致图象如图（3）所示，
因为在区间上既有最大值又有最小值，是开区间，
所以最大值，最小值只能在和处取得，且，
由，解得（正值舍去），又，
所以．
综上，当时，的取值范围为的取值范围为；当时，的取值范围为的取值范围为．
1．已知定义在R上的函数满足，且，，，有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以的图象关于直线对称，由条件可知在上单调递减，所以在上单调递增．
对于A，，所以A错误；
对于B，因为，所以，所以B错误；
对于C，因为，所以，所以C正确；
对于D，因为且，所以，所以D错误．
故选：C.
2．定义在上的函数满足，但不恒等于，则下列说法正确的是（ ）
A．可以是上单调递增的一次函数 B．可以是偶函数
C．可以是奇函数 D．存在非零实数，使得
【答案】C
【详解】对于A，因为定义在上的函数满足，设，
所以，
所以，所以或，所以或，但不恒等于，
所以，不是上的增函数，故A错误，
对于B，因为，所以，所以不可以是偶函数，故B错误，
对于C，当时，满足，故是奇函数，故C正确，
对于D，若存在非零实数，使得，则，
故与为非零实数矛盾，故D错误，
故选：C
3．已知幂函数的图象过点，函数，则“，”的一个必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设幂函数，其图象过点，
，解得，，
,若满足，，
则在上单调递减，，解得，
的取值范围是，又是的真子集，
是的一个必要不充分条件.
故选：.
4．已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知，
函数在上单调递减，在和上单调递增，
当时，在上单调递增，即函数的最大值为，符合；
当时，在上单调递增，在上单调递减，即函数的最大值为，不符合；
当时，在和上单调递增，在上单调递减，
此时的最大值为，则，即，解得．
综上所述，.
故选：D
5．已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为是上的偶函数，所以，
又在上单调递增，结合，所以，
解得或，
故实数的取值范围为．
故选：C
6．函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由得的定义域为，又，故为偶函数，排除B，C；
当时，，则在上单调递增，排除D，
故选：A
7．已知函数满足和，且当时，，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【详解】由满足，得，
所以，所以，
所以是以4为周期的函数，
因为，
所以的图象关于直线对称，
因为当时，，
所以.
故选：C.
8．已知是定义在上的函数，若，对任意满足：，，则的值为（ ）．
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【答案】C
【详解】由，分别令，则，，，
相加得，由，可得，
所以．
由，分别用代换，
可得，，
又，
累加得，
又，所以，
由，，，，
累加可得，
即，．
故选：C．
9．已知函数，且，．若，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，得解得，，所以．
当时，，因为函数在上单调递减，在上单调递增
（破瓶颈：我们称形如的函数为对勾函数，
该函数的定义域为，在，上单调递减，
在，上单调递增），
当时，；当或时，，
所以，则．
不等式，即，则在上有解，
所以且，即，
则实数m的取值范围为．
故选：A.
10．已知函数的定义域为，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，定义域为，且，
当时，.
令，，
由对勾函数的单调性知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.
所以，即，
所以当时，，又，
所以当时，函数的值域为.
故选：C.
11．已知函数，且
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最值．
【答案】(1)
(2)最小值为，最大值为
【详解】（1）方法一：因为，，令，即，
所以，则，解得，
所以，
令，，则，
则，，
所以函数的解析式为.
方法二：由题意，所以，
又，所以，解得，
所以，即函数的解析式为.
（2）由（1）知，任取，，且，
则，
因为，，所以，即，
所以函数在上单调递增，
同理任取，且，则，
因为，，所以，即，
所以函数在上单调递减，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，
故在上的最小值为，最大值为.
12．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数．
(1)求函数图象的对称中心；
(2)判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；
(3)已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)在上单调递增
(3)
【详解】（1）方法一：设函数图象的对称中心为，
则由题意得，
即，
整理得，
所以，解得，
所以图象的对称中心为.
方法二：设函数图象的对称中心为，
因为的定义域为，所以，
则由题意可知为奇函数，
设，
则，即，解得．
则，经检验是奇函数，所以，
所以函数图象的对称中心为.
（2）函数在上单调递增
（证明如下：任取，且，
则，
因为，且，所以且，
所以，即，
所以函数在上单调递增．）
（3）由对任意，总存在，使得，
可得函数在上的值域为在上的值域的子集，
由（2）知在上单调递增，故在上的值域为，
所以原问题转化为在上的值域，
由二次函数的图象和性质可知当，即时，在上单调递增，
又，所以函数的图象恒过对称中心，
所以在上也单调递增，故在上单调递增，
又因为，故，
因为，所以，解得；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
因为的图象过对称中心，所以在上单调递增，在上单调递减，
故，
欲使，只需且，
解得，又因为，所以，
当，即时，在上单调递减，在上也单调递减，
所以在上单调递减，所以，
因为，所以，解得，
综上可得，实数的取值范围是．
13．定义：对于定义在区间上的函数和正数，若存在正数，使不等式对任意恒成立，则称函数在区间上满足阶李普希兹条件．
(1)判断函数在上是否满足1阶李普希兹条件，并说明理由；
(2)证明函数在区间上满足阶李普希兹条件，并求出的取值范围．
【答案】(1)满足1阶李普希兹条件，不满足1阶李普希兹条件，理由见解析
(2)证明见解析，
【详解】（1）满足1阶李普希兹条件，不满足1阶李普希兹条件．
理由如下：对于，
，只需，
所以存在正数，使对任意恒成立，
所以满足1阶李普希兹条件．
对于，
，不妨设，则，
，即不存在正数，使不等式对任意恒成立，
所以不满足1阶李普希兹条件．
（2）不妨设，则时，，
所以
，
故时，对任意，均有
故函数在区间上满足阶李普希兹条件，
的取值范围为．
14．已知幂函数的图象经过点．
(1)求m的值；
(2)若，求a的取值范围；
(3)设，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【详解】（1）由是幂函数，得，解得或．
当时，，当时，，不符合题意；
当时，，当时，，符合题意．
∴．
（2），即，
∵函数在R上单调递增，
∴，解得．
∴a的取值范围为．
（3），则，，
∵，
∴，当且仅当时取等号，
∴的最大值为2．
15．2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为.
(1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本）
(2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式；
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
【答案】(1)200万元
(2)
(3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元
【详解】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元.
（2）当时，；
当时，不妨设降价元，则，得到，
所以；
当时，；
所以.
（3）由（2）知，当时，，函数单调递增，
当时，利润最大，此时利润是450万元；
当时，，
当时，利润最大，此时利润是500万元；
当时，，
当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元.
因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元.
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第三章 函数的概念与性质
教学目标 1.了解函数的三种表示方法及特点； 2.掌握求函数解析式的常用方法 3.了解与认识分段函数及其定义域 4.会用分析法与图象法表示分段函数，并能掌握分段函数的相关性质. 5.理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义． 6.掌握定义法证明函数单调性的步骤． 7.掌握函数单调区间的写法. 8.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 9.会借助单调性求最值. 10.掌握求二次函数在给定区间上的最值． 11.掌握判断函数奇偶性的方法，会求与奇偶函数有关的函数解析式，能处理与函数单调性、周期性相关的综合问题.
教学重难点 1.重点 能解决与函数单调性、奇偶性、周期性有关的综合问题. 2.难点 掌握幂函数的概念，能根据幂函数的要求求出幂函数的解析式，并能根据幂函数的性质求待定参数.
知识点01 函数的概念
1．函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．
记作：，．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2．构成函数的三要素： 、 和
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这 （或为同一函数）；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关．
3．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
区间表示：
；
； ；
； ．
【即学即练】
1．取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
知识点02 函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值．
：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势．
：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值．
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
【即学即练】
1．已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则的值是（ ）
A． B． C．2025 D．2027
2．已知非空集合、满足：，，函数已知如下两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.则下列选项中正确的是（ ）
A．①、②都正确 B．①、②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
知识点03 函数的单调性
1.增函数与减函数
（1）设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值
当 时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间上是单调递增函数；
当 时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减函数.
（2）单调性的图形趋势（从左往右）
上升趋势 下降趋势
（3），的三个特征
（1）区间上的自变量的两个值，必须是 的，即区间内的全部，任意即所有，不可以随便取两个特殊值；
（2） ：一般要对和的大小进行规定，通常规定；
（3） ：即，同属于一个单调区间．
2．函数的单调区间
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．
【易错警示】
（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（2）单调区间D 定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
3．单调函数的运算性质
若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
（1）与（C为常数）具有相同的单调性.
（2）与的单调性相反.
（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.
（4）若≥0，则与具有相同的单调性.
（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；
当时，与具有相同的单调性.
（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
【即学即练】
1．“函数在上单调递减”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
知识点04 函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．
2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．
3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．
【即学即练】
1．设函数的最大值为M，最小值为m，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
2．已知，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．0
知识点05 函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有 ，那么称为偶函数．
奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有 ，那么称为奇函数．
2．奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．
3．用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性．
若，则是奇函数；
若=，则是偶函数；
若，则既不是奇函数，也不是偶函数；
若且，则既是奇函数，又是偶函数
【即学即练】
1．设函数是定义在上的奇函数，当时,，则不等式的解集为（ ）
A．() B．[] C． D．
2．已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．的一个周期为8 D．是的一个对称中心
知识点06 幂函数的图象及性质
1．作出下列函数的图象：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
2．作幂函数图象的步骤如下：
（1）先作出第一象限内的图象；
（2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；
若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性，如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．
3．幂函数解析式的确定
（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．
（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．
4．幂函数值大小的比较
（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．
（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
【即学即练】
1．若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．方程的实数根为
C．在上为增函数 D．的值域为
2．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图像是一条直线；
B．幂函数的图像都经过和点；
C．幂函数的定义域为；
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．
题型01 求函数的定义域
【典例1】函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】下列说法正确的是（ ）
A．，对任意的，，这个对应是A到B的函数
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．和表示同一函数
D．函数的最小值是
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)零次幂：中底数；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
【变式1】已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】函数，集合．
(1)求函数的定义域B；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【变式3】设函数的定义域为．
(1)求函数的定义域；
(2)设，求函数的定义域．
题型02 求函数的值域
【典例1】设全集，集合， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2)配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．
【变式1】函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】求下列函数的值域：
(1)
(2)
【变式3】求下列函数的值域：
(1)
(2)
(3)
题型03 求函数解析式
【典例1】（1）已知是一次函数，且，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知函数满足，求函数的解析式.
【典例2】（1）已知是二次函数，且满足，求解析式;
（2）已知，求的解析式;
（3）已知一次函数满足，求的解析式.
1、待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）
若已知的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。
2、配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。
3、换元法：已知的表达式，欲求，我们常设，从而求得，然后代入的表达式，从而得到的表达式，即为的表达式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
注：在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
4、利用函数的奇偶性求解析式：一般为已知x>0时， f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。首先求出f(-x)的解析式，根据f（x）=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x)
5、构造方程组法：若出现与的关系式、与的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。
(1)互为倒数：；
(2)互为相反数：或(为奇函数，为偶函数)。
6、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
【变式1】已知定义域为且的函数满足，求的解析式．
【变式2】已知函数满足.
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域.
【变式3】（1）已知，求；
（2）已知为二次函数，且，求．
题型04 分段函数
【典例1】已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】设，，，若，且，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
1、一般分段函数求值有以下四种：
（1）已知自变量的值求函数值，此种题型只需确定自变量在相应的定义域选择合适的解析式代值进行计算即可，同时也要注意函数的奇偶性、周期性的应用.求形如的函数时，求解时遵循由内到外的顺序进行；
（2)已知函数值求自变量的值，此种题型只需令相应的解析式等于函数值，求出自变量的值之后再确定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则就舍去；
(3)分段函数与不等式的综合，解简单的分段函数不等式只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.解含参的分段函数不等式要注意以下两个问题：（1）问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．
(4)分段函数图象及其应用，根据每段函数的定义区间和解析式在同一坐标系中作出图象，然后应用，作图时要注意每段图象端点的虚实.
注意：
①因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．
②“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．
2、求分段函数的值域或最值
已知分段函数解析式求值域或最值，也属于常考基本题型，解决这类问题的关键是求出分段函数中每一段对应函数值的取值范围（然后再求并集，即得分段函数的值域），或者求出分段函数中每一段对应函数值的最值（然后进行比较，即得分段函数的最值）.此外，借助于数形结合思想（即画出分段函数的图像加以分析），也是解决此类问题的常用方法.
【变式1】设函数若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】设集合，，函数，已知，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】已知函数的解析式，
(1)求；
(2)若，求a的值；
题型05 函数图象
【典例1】函数的图像如图所示，可以判断a，b，c分别满足（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【典例2】已知函数的图像的图象如下，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】点从点出发，按逆时针方向沿周长为的正方形运动一周，记， 两点连线的距离与点走过的路程为函数，则的图像大致是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式2】函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
题型06 函数单调性的判断及证明
【典例1】已知函数的图像关于对称，且对任意的，，总有，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
（1）定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。
（2）性质法：若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有
①为增函数，②为增函数，
③为减函数，④为减函数。
（3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（4）复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.
增函数 减函数 增函数 减函数
增函数 减函数 减函数 增函数
随着的增大而增大 随着的增大而增大 随着的增大而减小 随着的增大而减小
增函数 增函数 减函数 减函数
【变式1】设函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知函数．
(1)讨论在上的单调性，并用定义证明；
(2)设，求证：有且仅有一个零点，且．
【变式3】已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有．
(1)求的值；
(2)求证：在R上为增函数；
(3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
题型07 利用函数单调性求参数
【典例1】已知函数，且时，都有恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
利用函数单调性求参数的取值范围．
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。
③需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
④分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求,如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，
【变式1】函数是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围．
【变式3】已知函数.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值域；
(3)若在上单调递减，求实数的取值范围．
题型08 利用单调性比大小或解不等式
【典例1】已知，点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】，其中，若，则得取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（1）比较大小．比大小常用的方法是利用单调性比大小；搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；数形结合比大小。
注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。
（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤：
第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；
第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；
第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；
第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．
【变式1】已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式.
【变式2】已知定义域为的函数满足，，且当时，．
(1)求的值；
(2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数；
(3)若，求不等式的解集．
【变式3】已知函数.
(1)当，时，求函数的值域；
(2)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
(3)当时，比较与的次小.
题型09 函数奇偶性的判断及证明
【典例1】已知函数，若正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】定义不超过的最大整数称为的整数部分，记作，为的小数部分，记作，称为小数函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．小数函数在定义域内单调递增
C．为奇函数
D．的所有零点之和为
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
【变式1】下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递增的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】设定义域为的函数满足：①对于任意，都有；②当时，；③.
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性并证明；
(3)求在上的值域.
【变式3】已知函数，
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若且，求函数在区间上的最大值．
题型10 由奇偶性求解析式或参数
【典例1】已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（1）已知函数的奇偶性求函数值
利用奇偶性的定义求函数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解．
（2）已知函数的奇偶性求解析式
利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．
（3）已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值
①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.
②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.
【变式1】若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C．3 D．1
【变式2】已知定义域为的函数是奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断并证明的单调性；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式3】已知函数（）是减函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)解关于的不等式：（）.
题型11 奇偶性与单调性的综合
【典例1】已知定义在上的函数图象关于原点对称．
(1)求的解析式；
(2)判断并用定义证明的单调性；
(3)解不等式．
【典例2】已知函数是定义域在上的奇函数，且.
(1)求a，b的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递增；
(3)解不等式.
【变式1】已知函数满足，.
(1)求，的值；
(2)判断的奇偶性；
(3)求不等式的解集.
【变式2】已知函数是上的偶函数．
(1)求实数的值；
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)如果对，都有成立，求的取值范围．
【变式3】定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，.
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)判断函数在上的单调性，并说明理由；
(3)若，试求的值.
题型12 幂函数图象与性质的应用
【典例1】已知幂函数，则（ ）
A．8 B．4 C． D．
【典例2】幂函数图象过点，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知函数是定义在内的连续函数，若对于任意，都有恒成立，则称在内是“上凸函数”．则在①，②，③这三个函数中，当时，“上凸函数”的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型13 抽象函数问题
【典例1】已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．在区间是单调递增函数
【典例2】已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
抽象函数性质的综合求解策略
（1）赋值法，即赋予特殊的值，从而将函数式转化或得到相应的函数值；
（2）用定义证明其单调性和奇偶性；
（3）借助图象或模型函数（如一次函数、反比例函数等等）辅助求解;
（4）对于抽象不等式问题,解题的关键是去掉函数符号.在解不等式的过程中,要充分利用偶函数的性质,同时要注意函数的定义域.
【变式1】已知奇函数 的定义域为，在区间上单调递增，，且 为偶函数. 若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】已知函数的定义域为B，函数的定义域为，若，使得恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知函数是偶函数，当时，恒成立，设则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型14 函数模型
【典例1】2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)分别写出与时，年利润（万元）与年产量（百件）的关系式（利润＝销售收入－成本）；
(2)当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
【典例2】某地区去年用电量为，电价为0.8元/，今年计划将电价降到0.55～0.75元/．用户心理承受价位是0.40元/．下调电价后，实际价位和用户心理价位仍存在差距，假设新增的用电量与这个差值成反比（比例系数为0.2a），该地区的电力成本价为0.3元/，那么电价定为多少时仍可保证电力部门的收益增长率不低于20%？
函数的实际应用问题
(1)阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等．
(2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域．
(3)求解函数模型：研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值．
(4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．
【变式1】随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为180万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大利润是多少？
【变式2】辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元．
(1)分别求函数，的解析式；
(2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？
【变式3】某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为200万元，每生产台，需另投入生产成本万元，且，当生产5台时需另投入生产成本75万元.若每台设备售价70万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.
(1)求的值；
(2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式（利润销售额成本）；
(3)这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.
题型15 函数的新定义问题
【典例1】若对定义域内任意，都有，则称函数为“步长”增函数．
(1)已知函数，判断是否为“2步长”增函数，并说明理由；
(2)若函数是“步长”增函数，求的最小值；
(3)若函数为上的“2024步长”增函数，求实数的取值范围．
【典例2】设定义域为，若对于任意的，存在唯一的使得，则称在定义域上是“可逆函数”．
(1)设，判断是否是“可逆函数”，并说明理由；
(2)若在上是“可逆函数”，求实数的值；
(3)若，使得在定义域上是“可逆函数”，求证：．
【变式1】已知集合，，若存在：，使得成立，则称函数在区间D上具有性质.
(1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由；
(2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围；
(3)若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值.
【变式2】已知是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求的解析式；
(2)设函数，
①若，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
②对包含实数0的区间D，若，以为长度的三条线段都能构成三角形．将区间记为I，定义，设，求的最大值．
【变式3】已知，函数．定义：表示，中的较大者．
(1)当时，比较与的大小；
(2)在（1）的条件下，设函数，求的最小值；
(3)设，函数，若在区间上既有最大值又有最小值，求的取值范围．（用表示）
1．已知定义在R上的函数满足，且，，，有，则（ ）
A． B． C． D．
2．定义在上的函数满足，但不恒等于，则下列说法正确的是（ ）
A．可以是上单调递增的一次函数 B．可以是偶函数
C．可以是奇函数 D．存在非零实数，使得
3．已知幂函数的图象过点，函数，则“，”的一个必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
7．已知函数满足和，且当时，，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．5
8．已知是定义在上的函数，若，对任意满足：，，则的值为（ ）．
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
9．已知函数，且，．若，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的定义域为，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，且
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最值．
12．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数．
(1)求函数图象的对称中心；
(2)判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；
(3)已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
13．定义：对于定义在区间上的函数和正数，若存在正数，使不等式对任意恒成立，则称函数在区间上满足阶李普希兹条件．
(1)判断函数在上是否满足1阶李普希兹条件，并说明理由；
(2)证明函数在区间上满足阶李普希兹条件，并求出的取值范围．
14．已知幂函数的图象经过点．
(1)求m的值；
(2)若，求a的取值范围；
(3)设，求的最大值．
15．2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为.
(1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本）
(2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式；
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
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