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第二章 一元二次函数、方程和不等式
教学目标 1.会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质。 2.会利用不等式性质比较大小。 3.会利用不等式的性质进行简易的求范围与证明。 4.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。 5.掌握一元二次方程的求解方法, 掌握一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的分布情况。 6.掌握图象法解一元二次不等式，会解简单的能转化为一元二次不等式的分式不等式。
教学重难点 1.重点 掌握重要的不等式、基本不等式（均值不等式）的内容，成立条件及公式的证明。 2.难点 利用基本不等式的性质及变形求相关函数的最值及证明。
知识点01 实数大小的比较
1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.
2、作差法比大小：①；②；③
3、不等式性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个 ，不等号的方向不变
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个 ，不等号的方向改变
【即学即练】
1．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．若实数，，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
知识点02 不等式的性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 （等价于）
传递性 （推出）
可加性 （等价于
可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性 ，同为正数
可开方性
【即学即练】
1．若，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
知识点03 基本不等式
基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
如果，有 （当且仅当 时，取“”号）
特别的，如果,用分别代替,代入，可得： ，当且仅当时，“”号成立.
【即学即练】
1．已知，且，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．存在三个实数，满足下列两个等式：①；②，其中表示这三个实数中的最大值，则（ ）
A．的最大值是2 B．的最小值是2
C．的最大值是 D．的最小值是
知识点04 利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
【即学即练】
1．已知 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．6
知识点05 基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）
【即学即练】
1．已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
2．若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
知识点06 三个正数的基本不等式
如果，，，那么（当且仅当 时，取“”号）
【即学即练】
1．设表示，，，中最大的数，例如.已知，均为正数，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．若 表示三个数中的最大值，则对任意的正实数，，的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
知识点07 一元二次不等式的有关概念
1、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：
①（其中均为常数）
②（其中均为常数）
③（其中均为常数）
④（其中均为常数）
2、一元二次不等式的解与解集
使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形.
【即学即练】
1．设集合，.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
知识点08 四个二次的关系
1、一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．
2、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
判别式
二次函数(的图象
一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根
()的解集
()的解集
【即学即练】
1．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
2．若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
知识点09 一元二次不等式的解法
1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
2：写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；
②时，求根；
③时，方程无解
3：根据不等式，写出解集.
【即学即练】
1．已知二次函数，若不等式的解集为，则函数图像为（ ）
A．开口向上，对称轴为的抛物线 B．开口向上，对称轴为的抛物线
C．开口向下，对称轴为的抛物线 D．开口向下，对称轴为的抛物线
2．已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
知识点10 解分式不等式
1、定义：
与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。
2、分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
【即学即练】
1．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
题型01 一元二次不等式（含参）
【典例1】“”是“关于的不等式有解”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【变式2】对于两个实数，规定．
(1)证明：关于的不等式的解集为；
(2)设关于的不等式的解集为，且，求自然数的所有取值．
【变式3】设，．
(1)若，函数的定义域为，求函数的值域；
(2)若函数的定义域为，且关于的不等式有正数解，求的取值范围；
(3)若函数的定义域为，且使得关于的不等式成立的任意一个，都满足不等式，求的取值范围．
题型02 由一元二次不等式的解确定参数
【典例1】已知不等式的解集为或，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】已知，且关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．命题“，”为假命题
D．若的解集为M，则
【变式1】已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】已知二次函数．
(1)若的解集为，求ab的值；
(2)解关于x的不等式．
【变式3】已知关于x的不等式的解集为或.
(1)求a，b的值；
(2)当，，且满足，求的最小值.
题型03 一元二次方程根的分布问题
【典例1】“”是“一元二次方程有两个正实根”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（）
A．或 B．
C． D．或
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.
【变式1】“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知集合.
(1)若A是空集，求实数a的取值范围；
(2)当时，若为非空集合，求实数a的取值范围.
【变式3】已知关于x的方程（其中均为实数）有两个不等实根.
(1)若，求m的取值范围；
(2)若满足，且，求p的取值范围.
(3)若为两个整数根，p为整数，且，求.
题型04 一元二次不等式的恒成立（有解）问题
【典例1】“”是“关于x的一元二次不等式的解集为R”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
1、一元二次不等式在R上恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；
(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足.
注：①已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
②已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
③含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成kf(x)形式．则可以转化为函数值域求解．
设f(x)的最大值为M，最小值为m.
(1)k(2)k>f(x)恒成立 k>M，k≥f(x)恒成立 k≥M.
2、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a，即n≤a.
具体如下：
设
（1）当时，上恒成立，
上恒成立
（2）当时，上恒成立
上恒成立
注：①。
②
【变式1】“”是“在上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2】设函数.
(1)求不等式的解集：
(2)若不等式对都成立，求的取值范围.
【变式3】（1）若对于任意实数x都有恒成立，求实数a的取值范围；
（2）已知，求关于x的不等式的解集.
题型05 “1”的代换转化为基本不等式求最值
【典例1】已知定义在上的函数满足，当时，若，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知，且，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
（1）若已知条件中的“１”（ 常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数.
模型1 已知正数满足，求的最小值。
模型2 已知正数满足求的最小值。
（2）常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
①根据已知条件或其变形确定定值(常数)；②把确定的定值(常数)变形为1；③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；④利用基本不等式求解最值．
（3）有些问题从形式上看，似乎具备和与倒数和的一些特征，但细究起来，又存在明确的区别，求解此类问题时，需要对条件和结论中的表达式进行合理、巧妙的配凑与构造;从而变形、构造出和与倒数和的关系.
【变式1】如图，某农户计划用的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地．设该矩形菜地与墙平行的边长为，与墙垂直的边长为．
(1)当为何值时，面积取得最大值？最大面积为多少？
(2)求的最小值．
【变式2】已知，是正实数，且，求的最小值．
【变式3】求最值：
(1)已知，且满足，求的最小值；
(2)已知，求的最大值；
(3)已知，且满足，求的最小值.
题型06 基本不等式（条件最值问题）
【典例1】若正数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．15 B．18 C．24 D．36
【典例2】若正实数满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知实数，，满足，求的最小值．
【变式3】已知实数，，满足，求的最小值.
题型07 与基本不等式有关的恒成立问题
【典例1】已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】，不等式恒成立，则正数的最小值是（ ）
A．8 B．16 C．27 D．36
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
【变式1】已知函数．
(1)解不等式；
(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【变式2】求解下列各题：
(1)求的最大值.
(2)求的最小值.
(3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围.
【变式3】求下列代数式的最值：
(1)已知，求的最小值；
(2)已知，，且满足.求的最小值；
(3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值.
题型08 不等式与实际问题的关联
【典例1】某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元．
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
【变式1】某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？
【变式2】某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）
【变式3】已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题．
(1)请根据基本不等式，证明：；
(2)请利用（1）的结论，证明：；
(3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米
题型09 函数与方程的思想
【典例1】关于的不等式的解集是，那么不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为
【变式1】不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
【变式2】已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ．
【变式3】已知不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
题型10 分类讨论思想
【典例1】已知函数.
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
(2)当时，求不等式的解集.
【典例2】设函数.
(1)若，求的解集；
(2)若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围；
(3)解关于的不等式：.
【变式1】已知函数，a，
(1)若关于x的不等式的解集为或，求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式
【变式2】已知关于实数的函数．
(1)若的解集为，求的值；
(2)解关于实数的不等式．
【变式3】设函数的图象过点．
(1)若，，求的最小值；
(2)解关于的不等式.
当时，不等式的解集为或.
题型11 化归与转化的思想
【典例1】对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知.若恒成立，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．，或
C． D．，或
【变式2】已知，对于恒成立，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．64 B．25 C．13 D．12
1．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知正实数，满足，则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
5．已知长为，宽为的长方形面积为，则其周长的最小值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
6．实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的一元一次不等式组有2个负整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
9．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
11．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
12．已知二次函数满足：①；②对任意，恒成立．
(1)求的解析式；
(2)若存在实数，使得当时，恒成立，求实数的最大值．
13．已知函数
(1)若的两根为 且 求实数m的值；
(2)若函数的图象在区间上与x轴只有一个交点，求实数m的取值范围.
14．高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．
(1)若，，求和．
(2)若集合是有限集，将集合的元素个数记为．已知，且存在实数满足对任意恒成立，求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件．
15．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）．
(1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？
(3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
教学目标 1.会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质。 2.会利用不等式性质比较大小。 3.会利用不等式的性质进行简易的求范围与证明。 4.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。 5.掌握一元二次方程的求解方法, 掌握一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的分布情况。 6.掌握图象法解一元二次不等式，会解简单的能转化为一元二次不等式的分式不等式。
教学重难点 1.重点 掌握重要的不等式、基本不等式（均值不等式）的内容，成立条件及公式的证明。 2.难点 利用基本不等式的性质及变形求相关函数的最值及证明。
知识点01 实数大小的比较
1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.
2、作差法比大小：①；②；③
3、不等式性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
【即学即练】
1．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【详解】对于A选项，当时不满足，故A错误；
对于B选项，由不等式性质知，两边同时乘以，可得，故B错误；
对于C选项，若，则，，，，
故，即，故C正确；
对于D选项，取，，可得，故D错误．
故选：C
2．若实数，，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为实数，，满足，，，
所以，
∴；
又，
∴；
∴．
故选：A．
知识点02 不等式的性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 （等价于）
传递性 （推出）
可加性 （等价于
可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性 ，同为正数
可开方性
【即学即练】
1．若，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【详解】对于A，若，满足，则，所以A错误，
对于B，因为，，所以，即得，又因为，
则，所以B正确，
对于C，若，满足，则，所以C错误，
对于D，若，则，所以D错误，
故选：B.
2．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于A，，因为，所以，所以即，故选项A正确.
对于B，，取，，，，则，故选项B错误.
对于C，，取，，，，则，故选项C错误.
对于D，，取，，则，故选项D错误.
故选：A.
知识点03 基本不等式
基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
如果，有（当且仅当时，取“”号）
特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.
【即学即练】
1．已知，且，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由，即，又，
所以，可得，当且仅当时等号成立，A对，B错；
由，即，
所以，当且仅当时等号成立，C、D错.
故选：A
2．存在三个实数，满足下列两个等式：①；②，其中表示这三个实数中的最大值，则（ ）
A．的最大值是2 B．的最小值是2
C．的最大值是 D．的最小值是
【答案】B
【详解】由题意可知，中有2个负数，1个正数，其中是负数，，
则，
所以，则，且，
所以，即，所以的最小值为2.
故选：B
知识点04 利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
【即学即练】
1．已知 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
，
当且仅当时取等号，
所以最大值为.
故选：A
2．已知且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】B
【详解】已知，且，
法一：由得，
则
，
当且仅当时取等号，则的最小值为；
法二：由得，
则，
当且仅当，即，时取等号，
则的最小值为．
故选：B.
知识点05 基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）
【即学即练】
1．已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【详解】因为是正实数，则，
当且仅当即，时取得等号．
故选：A．
2．若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【详解】因为，，且，则，
，同理，
则，
当且仅当时，的最小值为.
故选：B.
知识点06 三个正数的基本不等式
如果，，，那么（当且仅当时，取“”号）
【即学即练】
1．设表示，，，中最大的数，例如.已知，均为正数，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【详解】设，则，
当且仅当，即时取等号，则.
故选：B
2．若 表示三个数中的最大值，则对任意的正实数，，的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【详解】设，则，，，
因，则得．又因，所以，
当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为2．
故选：B.
知识点07 一元二次不等式的有关概念
1、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：
①（其中均为常数）
②（其中均为常数）
③（其中均为常数）
④（其中均为常数）
2、一元二次不等式的解与解集
使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形.
【即学即练】
1．设集合，.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】或.
因为函数图象的对称轴为，，，
根据对称性可知，要使中恰含有一个整数，则这个整数为2，
所以有且，即，即，即.
故选：B.
2．关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】原不等式可化为，
若，则不等式的解集是，不等式的解集中不可能有个正整数；
所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中个正整数分别是，，，，
令，解得,所以的取值范围是．
故选：B．
知识点08 四个二次的关系
1、一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．
2、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
判别式
二次函数(的图象
一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根
()的解集
()的解集
【即学即练】
1．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【详解】设，
则由题意可知，即，解得，
故实数的取值范围是.
故选：C．
2．若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】B
【详解】关于x的方程有两个实根，即方程有两个实根，
所以 ，即对任意实数恒成立，
所以，即，得.
故选：B.
知识点09 一元二次不等式的解法
1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
2：写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；
②时，求根；
③时，方程无解
3：根据不等式，写出解集.
【即学即练】
1．已知二次函数，若不等式的解集为，则函数图像为（ ）
A．开口向上，对称轴为的抛物线 B．开口向上，对称轴为的抛物线
C．开口向下，对称轴为的抛物线 D．开口向下，对称轴为的抛物线
【答案】C
【详解】因不等式的解集为，则的根为或2，
则由韦达定理可得.又注意到
，则开口向下，对称轴为.
故选：C
2．已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以，
所以
，当且仅当，即时取等号.
故选：B
知识点10 解分式不等式
1、定义：
与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。
2、分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
【即学即练】
1．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题可知的根为1和2，代入方程可得，，
不等式等价于，则解集为，
故选：D.
2．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，则不等式解集为.
故选：B
题型01 一元二次不等式（含参）
【典例1】“”是“关于的不等式有解”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若关于的不等式有解，
则，得.
由“”可以推出“”，
由“”不能推出“”，
所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件.
故选：C.
【典例2】对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，，此时解集为或，
当时，，此时解集为，
当时，，此时解集为或，
当时，不等式为，此时解集为，
当时，，此时解集为，
故A正确，B、C、D错误.
故选：A.
【变式1】关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【详解】，
所以不等式的解集为，所以，
所以（当且仅当时取“=”）.
故选：A.
【变式2】对于两个实数，规定．
(1)证明：关于的不等式的解集为；
(2)设关于的不等式的解集为，且，求自然数的所有取值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)或或.
【详解】（1）不等式可化为．
当时，不等式可化为，解得，所以；
当时，不等式可化为，恒成立，所以；
当时，不等式可化为，解得，所以．
综上所述，关于的不等式的解集为.
（2）不等式，即，也即，
当时，，解得，，满足．
当时，因为，，，
所以，即，解得或．
当时，即，
当时，，所以；
当时，，所以，
所以，满足．
当时，即，
当时，，所以；
当时，，所以，
所以，满足．
综上，或或.
【变式3】设，．
(1)若，函数的定义域为，求函数的值域；
(2)若函数的定义域为，且关于的不等式有正数解，求的取值范围；
(3)若函数的定义域为，且使得关于的不等式成立的任意一个，都满足不等式，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）时，，
因为，，
，，
所以值域是.
（2），令得或，
因为的图象是开口向上的抛物线，
要使得关于的不等式有正数解，
则要求，解得，所以的取值范围是.
（3），令得或，
由得，
要使得关于的不等式成立的任意一个，都满足不等式，
则，
当即时，由得，所以成立，符合题意；
当即时，由得，所以成立，符合题意；
当即时，由得，
由得，所以，
综上，的取值范围是.
题型02 由一元二次不等式的解确定参数
【典例1】已知不等式的解集为或，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】∵不等式的解集为或，
可得,是方程的两根，
由韦达定理可得： ，，且，
所以的解集，即，
所以解集为，
故选：A.
【典例2】已知，且关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．命题“，”为假命题
D．若的解集为M，则
【答案】C
【详解】因为，且关于x的不等式的解集为，
所以，且的根为和2，所以，得，，
对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，，所以，，
因为，，所以，故B错误；
对于C，即为，即，无解，
故命题“，”为假命题，故C正确；
对于D，因为是由向上平移一个单位，所以 ，故D错误.
故选：C．
【变式1】已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，，所以，
所以，即，解得：或．
因为有两个不等根，所以，
解得：或，则的取值范围是．
故选：B
【变式2】已知二次函数．
(1)若的解集为，求ab的值；
(2)解关于x的不等式．
【答案】(1)3
(2)答案见解析
【详解】（1）若的解集为，则1，b是方程的根，
由，解得：，由解得：，
所以；
（2）由二次函数知，
不等式整理得，即，
由得
①当时，不等式等价于：，
若，即时，解集为；
若，即时，解集为：；
若，即时，解集为；
②当时，不等式等价于：，解集为
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
【变式3】已知关于x的不等式的解集为或.
(1)求a，b的值；
(2)当，，且满足，求的最小值.
【答案】(1)
(2)8
【详解】（1）因为不等式的解集为或，
可知1和是方程的两个实数根且，
方法一：可得，解得；
方法二：由1是的根，则，解得，
将代入得，解得或，
所以.
（2）由（1）知，可得，
且，，
可得，
当且仅当，即时，等号成立
所以的最小值为8.
题型03 一元二次方程根的分布问题
【典例1】“”是“一元二次方程有两个正实根”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、，
由题意可得，解得，
因为 ，
所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件.
故选：B.
【典例2】已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（）
A．或 B．
C． D．或
【答案】B
【详解】设关于x的方程的两个根分别为,
则由根与系数的关系，知
所以由题意知，
即，
解得.
故选：B
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.
【变式1】“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由一元二次方程的两个根为，
又方程有一个正实数根和一个负实数根，
，，
即“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件为，
则其充分不必要条件的范围应为的真子集，
结合选项可得选项C符合题意，
故选：C.
【变式2】已知集合.
(1)若A是空集，求实数a的取值范围；
(2)当时，若为非空集合，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若A是空集，则方程无实根，
当时，，解得，此时，不符合题意；
所以，，解得，
故实数a的取值范围为；
（2）当时，.
所以方程至少有一个正实根.
①当时，，解得，
所以，符合题意；
②当时，由，则且，
若时，，此时，符合题意；
当且时，方程有两个不相等实根，设为，
且方程有两正根或一正根和－负根，
所以或，
解得或.
综上，实数a的取值范围为.
【变式3】已知关于x的方程（其中均为实数）有两个不等实根.
(1)若，求m的取值范围；
(2)若满足，且，求p的取值范围.
(3)若为两个整数根，p为整数，且，求.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）当时，由题意，若时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根，
若方程有两个不等的实数解，
则，解得且，
所以的范围是 .
（2），方程为，，
则，又，即
∴，即，
所以，解得．
所以的取值范围为．
（3）依题意：，且，
，，
因为均为整数，
所以也是整数，
∴或，
时，，又且，∴，
时，，又且，∴．
综上，或．
题型04 一元二次不等式的恒成立（有解）问题
【典例1】“”是“关于x的一元二次不等式的解集为R”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】充分性：若，，一元二次不等式的解集为，即充分性不成立；
必要性：若一元二次不等式的解集为，则，即必要性成立.
因此，“”是“一元二次不等式的解集为”的必要不充分条件.
故选：B.
【典例2】已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【详解】∵，∴在区间上单调递增，
∴当时，当时，
令，
要想关于x的不等式在区间上恒成立，
则当时，当时，
∴，则，即，
∴，当且仅当，即时取等号.
故选：B.
1、一元二次不等式在R上恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；
(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足.
注：①已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
②已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
③含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成kf(x)形式．则可以转化为函数值域求解．
设f(x)的最大值为M，最小值为m.
(1)k(2)k>f(x)恒成立 k>M，k≥f(x)恒成立 k≥M.
2、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a，即n≤a.
具体如下：
设
（1）当时，上恒成立，
上恒成立
（2）当时，上恒成立
上恒成立
注：①。
②
【变式1】“”是“在上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】根据题意，若在上恒成立，
所以，在上恒成立，
由“对勾函数”可知，函数在上单调递增，
所以，当时，，可得，
所以，在上恒成立“的充要条件是”“，
因为 ，
因此，“”是“在上恒成立”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式2】设函数.
(1)求不等式的解集：
(2)若不等式对都成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【详解】（1）不等式，
当时，解得；当时，不等式无解；当时，解得，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
（2），不等式
，而当时，，当且仅当时取等号，则，
所以的取值范围是.
【变式3】（1）若对于任意实数x都有恒成立，求实数a的取值范围；
（2）已知，求关于x的不等式的解集.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【详解】（1）根据题意，恒成立，
显然当时，不成立，
则，解得；
（2），
当时，，则，
当时，令，则，或，此时，∴或，
当时，即时，，
当，即时，，
当时，即时，，
综上所述:当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为；当时，；
当时，解集为.
题型05 “1”的代换转化为基本不等式求最值
【典例1】已知定义在上的函数满足，当时，若，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由得，
即，所以的周期为，
，
，
因为，，所以，，
由基本不等式有：，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
【典例2】已知，且，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【详解】，，
当且仅当，即时取等号.
故选：A.
（1）若已知条件中的“１”（ 常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数.
模型1 已知正数满足，求的最小值。
模型2 已知正数满足求的最小值。
（2）常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
①根据已知条件或其变形确定定值(常数)；②把确定的定值(常数)变形为1；③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；④利用基本不等式求解最值．
（3）有些问题从形式上看，似乎具备和与倒数和的一些特征，但细究起来，又存在明确的区别，求解此类问题时，需要对条件和结论中的表达式进行合理、巧妙的配凑与构造;从而变形、构造出和与倒数和的关系.
【变式1】如图，某农户计划用的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地．设该矩形菜地与墙平行的边长为，与墙垂直的边长为．
(1)当为何值时，面积取得最大值？最大面积为多少？
(2)求的最小值．
【答案】(1)当时，面积取得最大值，最大面积为
(2)
【详解】（1）由题意得，，都为正数，
则该菜地的面积为，
当且仅当时，等号成立，
所以当时，面积取得最大值，最大面积为．
（2）由，，都为正数，则，
所以
，
当且仅当，又，即时，等号成立，
所以的最小值为．
【变式2】已知，是正实数，且，求的最小值．
【答案】
【详解】解法1：设，，
则，所以
．
因为，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，
当且仅当，时取等号．
所以的最小值为．
解法2：因为，则，
所以
，
当且仅当，即，时取等号．
所以的最小值为．
解法3：，
当且仅当，即，，即，时取等号．
所以的最小值为．
【变式3】求最值：
(1)已知，且满足，求的最小值；
(2)已知，求的最大值；
(3)已知，且满足，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，且，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，有最小值，最小值为；
（2）因为，则，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以当时，有最大值，最大值为；
（3）因为，所以，
因为，所以，
当且仅当，即，即时取等号，
故当时，有最小值，最小值为.
题型06 基本不等式（条件最值问题）
【典例1】若正数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．15 B．18 C．24 D．36
【答案】B
【详解】由，得，
则，
∴，
当且仅当，即时等号成立．
∴的最小值是18.
故选：B
【典例2】若正实数满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，
又因为，所以，
即得，
所以当且仅当时取等号，
所以，所以的最大值是
故选：B.
【变式1】已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立，
又，当且仅当时取等号，
故.
故选：A
【变式2】已知实数，，满足，求的最小值．
【答案】
【详解】解法1：由想到“均值换元法”，于是引入新的参数，
设，，，其中．
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值是．
解法2：由，
得，
即，当且仅当时等号成立, 即的最小值是．
解法3：由均值不等式有，
所以，当且仅当时等号成立．即的最小值是．
【变式3】已知实数，，满足，求的最小值.
【答案】
【详解】由，得，
所以，
即或，
解得或，
所以.
综上，当时，取得最小值.
题型07 与基本不等式有关的恒成立问题
【典例1】已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为对任意的恒成立，
可得对任意的恒成立，
又因为，可得，
则，
当且仅当即时等号成立，
所以最小值为，所以，可得，即，
所以，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
【典例2】，不等式恒成立，则正数的最小值是（ ）
A．8 B．16 C．27 D．36
【答案】B
【详解】由基本不等式可知，
当且仅当取得等号，由题意，
∴正数的最小值是16.
故选：B
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
【变式1】已知函数．
(1)解不等式；
(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）因为，所以，
首先，令，解得或，
当时，解，得到，
当时，，此时原不等式无解，
当时，解，得到，
综上，当时，原不等式解集为，
当时，原不等式无解，
当时，原不等式解集为，
（2）因为对任意的，恒成立，
所以恒成立，
故，即，
因为，所以，，
即，故，令，
从而，又，
，
当且仅当时取等，此时解得(负根舍去)，
故，即实数的取值范围为.
【变式2】求解下列各题：
(1)求的最大值.
(2)求的最小值.
(3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）当时，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，函数的最大值为.
（2）当时，，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为.
（3）因为，且，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，
因为恒成立，则，即，解得.
因此，实数的取值范围是.
【变式3】求下列代数式的最值：
(1)已知，求的最小值；
(2)已知，，且满足.求的最小值；
(3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】(1)最小值为5
(2)最小值为18
(3)最大值为9.
【详解】（1）因为，则，由基本不等式得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为5.
（2）因为，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值为18.
（3）不等式恒成立化为恒成立，
又因为，所以，因此
,
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
即实数的最大值为9.
题型08 不等式与实际问题的关联
【典例1】某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元．
【答案】
【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m，
所以房屋的总造价为，
因为，所以，
当且仅当即时等号成立.
故答案为：.
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
【变式1】某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？
【答案】当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元．
【详解】解：设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元．
【变式2】某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）
【答案】长为m，宽为m时总造价最低．
【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，，
，
当且仅当，又，即，时取到等号，
故长为m，宽为m时总造价最低．
【变式3】已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题．
(1)请根据基本不等式，证明：；
(2)请利用（1）的结论，证明：；
(3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)米
【详解】（1）证明：因为，，当且仅当，时等号成立,
所以当且仅当，时等号成立.
所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立.
（2）解：由于，当且仅当时等号成立，
令, 得，
即，故.
所以，当且仅当时等号成立.
（3）解：做成的长方体的底面是一个边长为的正方形，高为.
所以.
由（2）中已证的不等式，可知，
当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立.
所以，因此，
综上所述，当米，长方体盒子的容积取到最大值立方米.
题型09 函数与方程的思想
【典例1】关于的不等式的解集是，那么不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为不等式的解集是，
所以是方程的两根，且，
由韦达定理可得，即，
则不等式，解得.
故选：A
【典例2】已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为
【答案】C
【详解】由题意知，和3是方程的两根，且，
则有，故得.
对于AB，由和，可推得，故AB均错误；
对于C，因或故，故C正确；
对于D，由上分析，不等式可化为，
因，故可解得，即的解集为，故D错误.
故选：C.
【变式1】不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】依题意可知和3是方程的两个实数根，且；
因此，解得；
所以不等式可化为，即，
解得或，即不等式的解集为
故选：A
【变式2】已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ．
【答案】或
【详解】由关于的不等式的解是，
则和是方程的两个实根，
由根与系数的关系得，整理得，
则当时，关于的不等式转化为，解得；
当时，关于的不等式转化为，解得．
综上关于的不等式的解为或．
故答案为：或．
【变式3】已知不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】由题意，为方程的根，且，
则，解得，
不等式，即为，
即，解得，
则不等式的解集为．
故答案为：
题型10 分类讨论思想
【典例1】已知函数.
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
(2)当时，求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意可知的两根为和，
所以由根与系数的关系得，
解得.
（2）当时，则，解得；
当时，，
当时，则，解得或；
当时，则，
当时，即，解，得；
当时，即，解，得；
当时，即，解，得.
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【典例2】设函数.
(1)若，求的解集；
(2)若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围；
(3)解关于的不等式：.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【详解】（1）由函数，
若，可得，
又由，即不等式，即，
因为，且函数对应的抛物线开口向上，
所以不等式的解集为，即的解集为.
（2）由对一切实数恒成立，
即对恒成立，
，
，
，
，
当且仅当时，即时等号成立，
所以的取值范围是.
（3）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为.
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或；
综上，当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【变式1】已知函数，a，
(1)若关于x的不等式的解集为或，求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式
【答案】(1)；
(2)答案见解析
【详解】（1）因为关于x的不等式的解集为或，
所以和1是方程的两个根，
所以，
解得；
（2）不等式可化为：，
整理得，
即，
当时，，
则不等式的解集为，
当时，，
则不等式的解集为空集，
当时，，
则不等式的解集为，
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为空集；
当时，不等式的解集为
【变式2】已知关于实数的函数．
(1)若的解集为，求的值；
(2)解关于实数的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）若的解集为，则，，
，，
∴；
（2）整理可得，配方得
分以下情况讨论：
1．时，，解得或
2．时，，解得
3．时，，解得或
综上所述：当时解集为；当时解集为；当时解集为
【变式3】设函数的图象过点．
(1)若，，求的最小值；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为函数的图象过点，
所以，即，由，，
所以，
当且仅当时取等号，即时取得最小值为.
（2）因为，所以，
当时，不等式的解为；
当时，得，则不等式的解为；
当时，得，则不等式的解为或；
当时，得，则不等式的解为；
当时，得，则不等式的解为或；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或.
题型11 化归与转化的思想
【典例1】对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为对任意，不等式恒成立.
所以，其中，
设，，因为，
所以当时，函数，取最小值，最小值为，
所以，
故选：A.
【典例2】已知.若恒成立，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由，则恒成立，又，可得，
所以恒成立，即，
由，当且仅当时取等号，
所以.
故选：A
【变式1】已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．，或
C． D．，或
【答案】A
【详解】，
，当且仅当时等号成立，
恒成立，，
解得.
故选：A.
【变式2】已知，对于恒成立，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】对于恒成立，且均单调递增，
则，
所以，所以
则，
当且仅当，即，取的最小值为2.
故选：B.
【变式3】已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．64 B．25 C．13 D．12
【答案】B
【详解】，，则，
不等式 恒成立，即恒成立，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即实数m的最大值为.
故选：B.
1．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，对于不等式，此时，则对任意实数都满足；
当时，对于不等式，即，解得：；
当时，对于不等式，即，解得：，
综上要使对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是，即，
故选：B
2．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以．
故选：C.
3．已知，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误．
对于B，当时，满足，但，所以B错误．
对于C，因为，所以，则，所以C正确．
对于D，当时，，不符合，所以D错误．
故选：C.
4．已知正实数，满足，则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】
，
当且仅当时取等号.
故选：D
5．已知长为，宽为的长方形面积为，则其周长的最小值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【答案】D
【详解】由题意得，则，
则，等号成立时，
故周长的最小值为.
故选：D
6．实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
7．若关于的一元一次不等式组有2个负整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】已知，解不等式得：；
又因为，关于的一元一次不等式组有2个负整数解，则这两个解为：，，
所以，.
故选：B.
8．函数的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【详解】设，则，，
因为，
由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以.
故选：D.
9．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】关于的不等式，而，
由原不等式的解集中的整数恰有3个，得，
解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是，
则，即，于是，又，
因此，解得，
实数的取值范围是，
故选：C
10．已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令（），原方程转化为．
关于的方程有4个互不相同的实数根，即有2个不同的正根，
因此有。解得．
故选：D．
11．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】C
【详解】不等式可化为：，
当，即时，不等式为，恒成立，满足题意；
当，即时，要使不等式恒成立，则需，
解得：；
综上所述：的取值范围为.
故选：C.
12．已知二次函数满足：①；②对任意，恒成立．
(1)求的解析式；
(2)若存在实数，使得当时，恒成立，求实数的最大值．
【答案】(1)
(2)8
【详解】（1）设（）．
由条件②知，当时，有，所以．
由条件①知，，则，所以，
又，即对任意恒成立，
则有，解得．
所以．
（2）显然．存在实数，使得当时，
，即恒成立，
等价于存在实数，使得，
解得，
又在单调递减，所以时，，
所以，即实数的最大值为8.
13．已知函数
(1)若的两根为 且 求实数m的值；
(2)若函数的图象在区间上与x轴只有一个交点，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得：，，
由，
化简得，解得.
故.
（2）当只有一个根，且此根位于区间，
则得，解得，
所以；
当有两个根时，有一个根在区间内，且另一个根位于之外，
则，解得，即；
当有两个根位于区间内，且只有一个根在区间内，则另一个根为时，可得，
此时，解得另一个根，故此种情况不符题意；
当有两个根位于区间内，且只有一个根在区间内，则另一个根为时，可得，
此时，解得另一个根，故此种情况符合题意；
综上所述：的取值范围为.
14．高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．
(1)若，，求和．
(2)若集合是有限集，将集合的元素个数记为．已知，且存在实数满足对任意恒成立，求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件．
【答案】(1)，
(2)，，，．
【详解】（1）由题意可得，，
．
（2）设，，，，
则，，，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以实数的取值范围为．
若取到最大值，则，即，
可得，即，所以，．
15．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）．
(1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？
(3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值．
【答案】(1)长为，宽为
(2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为．
(3)．
【详解】（1）由题得，即，，，
设每间虎笼的面积为，则，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为．
（2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时，
可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为．
（3）依题意，得．
方法一， ，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
方法二，，则，，
当且仅当时等号成立．
故，当且仅当时等号成立．
所以的最小值为．
1
