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第一章 集合与常用逻辑用语
教学目标 1.元素与集合 ① 理解元素与集合的概念,熟练常用数集的概念及其记法. ② 了解“属于”关系的意义. ③了解有限集、无限集、空集的意义. 2.集合的表示方法 掌握集合的常用表示方法(列举法、描述法及相互转化). 3.元素的性质 理解集合元素的三个性质:确定性、无序性、互异性. 4.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集; 5.理解与掌握空集的含义,在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。 6.理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义与具体要求. 7.会判断命题成立的充分、必要、充分必要条件.
教学重难点 1.重点 理解并集、交集、全集与补集的意义,会集合间的运算. 2.难点 理解全称量词与存在量词的含义,并能掌握全称量词命题与存在量词命题的概念,能用数学符号表示两种命题,能准确判断两类命题的真假,及判定方法.
知识点01 集合的表示方法与分类
1、常用数集及其符号
常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
数学符合 或
2、集合的表示方法
(1)自然语言法:用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
(2)列举法:把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
注用列举法表示集合时注意:
①元素与元素之间必须用“,”隔开.
②集合中的元素必须是明确的.
③集合中的元素不能重复.
④集合中的元素可以是任何事物.
(3)描述法定义:一般地,设表示一个集合,把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为,这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
(4)(韦恩图法):
在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图形称为图。
3、集合的分类
根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.
(1)有限集:含有有限个元素的集合是有限集,如方程的实数解组成的集合,其中元素的个数为有限个,故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示,也可将元素写在图中来表示.
(2)无限集:含有无限个元素的集合是无限集,如不等式的解组成的集合,其中元素的个数为无限个,故为无限集.通常用描述法表示。
【即学即练】
1.在整数集中,被除所得余数为的所有整数组成的一个集合称为“类”,记为,即,、、、、,给出如下四个结论:①;②;②;④若整数、属于同一“类”,则“”,其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】对于①,,,结论①正确;
对于②,,,结论②错误;
对于③,对于任意一个整数,它除以的余数可能是、、、、,,结论③正确;
对于④,整数、属于同一“类”,设、,、、、、,则存在、,使得,,,结论④正确.故选C.
2.有下列说法:其中正确的说法是( )
(1)0与表示同一个集合
(2)由1,2,3组成的集合可表示为或;
(3)方程的所有解的集合可表示为;
(4)集合是有限集.
A.(1)、(4) B.(1)、(3)、(4) C.(2) D.(3)
【答案】C
【详解】对于(1),0是元素,不表示集合,为集合,二者不一样,(1)错误;
对于(2),由集合元素的无序性知,(2)正确;
对于(3),方程的所有解的集合可表示为,(3)错误;
对于(4),集合是无限集.
故选:C
知识点02 元素与集合
1元素与集合的关系
(1)属于(belong to):如果是集合的元素,就说属于,记作 .
(2)不属于(not belong to):如果不是集合的元素,就说不属于,记作.
2集合元素的三大特性
(1)确定性:给定的集合,它的元素必须是确定的,也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了,我们把这个性质称为集合元素的确定性.
(2)互异性(考试常考特点,注意检验集合的互异性):一个给定集合中元素是互不相同的,也就是说,集合中的元素是不重复出现的,我们把这个性质称为集合元素的互异性.
(3)无序性:集合中的元素是没有固定顺序的,也就是说,集合中的元素没有前后之分,我们把这个性质称为集合元素的无序性.
【即学即练】
1.已知集合,若,则( )
A. B.
C. D.不属于M,Q,P中的任意一个
【答案】A
【详解】∵,
∴,,
∴,
∴.
故选:A.
2.已知非空数集满足:任意的,则,若集合中含有4个元素,则这四个元素之积为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】由题意可得,,,
,则,
.
故选:C.
知识点03 子集
1子集:
一般地,对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合为集合的子集
(1)记法与读法:记作(或),读作“含于”(或“包含”)
(2)性质:①任何一个集合是它本身的子集,即.
②对于集合,,,若,且,则
(3)图表示:
2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别
符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系.
【即学即练】
1.若集合的三个子集满足 ,则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合,则的所有“亲密子集”的组数为( )
A.9 B.12 C.15 D.18
【答案】D
【详解】的所有子集有:;
(1)若,为单元素集合,为双元素集合,符合要求的有:
, , , ,
, ,共组;
(2)若,为单元素集合,为三元素集合,符合要求的有:
, , ,共组;
(3)若,为双元素集合,为三元素集合,符合要求的有:
, , ,共组;
(4)若为单元素集合,为双元素集合,为三元素集合,符合要求的有:
, , ,
, , ,共组;
综上所述,满足要求的“亲密子集”一共有组.
故选:D.
2.已知集合,若,且对任意的,,均有,则中元素个数的最大值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【详解】因为集合,
所以
,
由得,
所以与异号或其中至少有一个为,
又,,,
所以满足条件的集合或
或
或
,
所以集合中元素个数的最大值为.
故选:.
知识点04 集合相等
一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.
(1)的图表示
(2)若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素排列顺序无关
【即学即练】
1.已知集合,.则( )
A. B.是的真子集
C. D.
【答案】C
【详解】从中任取一个元素,一定是偶数,所以,
从中任取一个元素,,所以,
所以,
故选:C
2.下列说法正确的是( )
A.由组成的集合可表示为或
B.与是同一个集合
C.集合与集合是同一个集合
D.集合与集合是同一个集合
【答案】A
【详解】集合中的元素具有无序性,故A正确;
是不含任何元素的集合,是含有一个元素0的集合,故B错误;
集合,集合,故C错误;
集合中有两个元素,集合中只有一个元素,为方程,故D错误.
故选:A.
知识点05 真子集
如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集;
(1)记法与读法:记作,读作“真包含于”(或“真包含”)
(2)性质:①任何一个集合都不是它本身的真子集.
②对于集合,,,若,且,则
(3)图表示:
【即学即练】
1.已知集合,则A子集的个数为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
【答案】D
【详解】由已知可得,
所以,所以,
所以A子集的个数为个,
故选:D.
2.含有有限个元素的数集,定义“交替和”如下:把集合中的数按从小到大的顺序排列,然后从最大的数开始交替地加减各数,例如的交替和是;而的交替和是5,则集合的所有非空子集的交替和的总和为( )
A.12 B.32 C.80 D.192
【答案】B
【详解】集合的所有非空子集为
,
所以交替和的总和为
.
故选:B
知识点06 空集
我们把不含任何元素的集合,叫做空集,记作:
规定:空集是任何集合的子集,即;
性质:(1)空集只有一个子集,即它的本身,
(2),则
和 和 和
相同点 都表示无 都是集合 都是集合
不同点 表示集合; 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素,该元素为:
关系 或者
【即学即练】
1.已知六个关系式①;②;③;④;⑤;⑥,它们中关系表达正确的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【详解】根据元素与集合、集合与集合关系:
是的一个元素,故,①正确;
是任何非空集合的真子集,故、,②③正确;
没有元素,故,④正确;且、,⑤错误,⑥正确;
所以①②③④⑥正确.
故选:C
2.设非空集合满足:当时,有,给出如下四个命题:
①若,则;②若,则;③若,则;④若,则或;其中正确的命题个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【详解】∵非空集合满足:当时,有
∴,,
则,,且,
即或,且
①当时,有,所以,故正确;
②当时,,所以,故正确;
③当时,,所以,所以,故正确;
④当时,可知或,故正确;
故选:D
知识点07 并集与交集
1、并集
(1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示.
2、交集
(1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成.
(2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或.
(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是.
(4)当时,和同时成立.
【即学即练】
1.已知集合或,,若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为,则,且集合或,.
当时,则,合乎题意;
当时,则,
因为,则,解得;
当时,,
因为,则,解得,此时,.
综上所述,实数的取值范围是.
故选:A.
2.判断下列命题为真命题的个数( )
①0是的真子集;
②;
③如果集合A是集合B的子集,那么集合B就不是集合A的子集;
④如果,那么除以4的余数为0或1.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】B
【详解】对于①,因为0是集合中的元素,所以,故①错误;
对于②,当时,,此时不是的真子集,故②错误;
对于③,当时,,且,故③错误;
对于④,,当,时,则除以4的余数为0,
当时,则除以4的余数为1,
综上,除以4的余数为0或1,故④正确.
所以真命题个数为1.
故选:B.
知识点08 全集与补集
全集:在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫做全集,常用表示,全集包含所有要研究的这些集合.
补集:设是全集,是的一个子集(即),则由中所有不属于集合的元素组成的集合,叫做中子集的补集,记作 ,即.
补集的性质: , , .
【即学即练】
1.设全集,集合,则中元素的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【详解】根据题给条件:可知,所以
即.
集合则,元素个数为4.
故选:B.
2.设全集,,,则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】由图可知阴影部分表示的集合为,
因为,所以或,所以,
所以图中阴影部分表示的集合为.
故选:.
知识点09 德摩根律与容斥原理
1、德摩根律
(1)
(2)
2、容斥原理
一般地,对任意两个有限集,
进一步的:
【即学即练】
1.学业水平测试按照考生原始成绩从高分到低分分为,,,,五个等级,某班共有名学生且全部选考物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中,这两科等级均为的学生共有人.这两科中只有一科等级为的学生,其另外一科等级一定为.则该班()
等级科目
物理
化学
A.物理化学等级都是的学生至多有人
B.物理化学等级都是的学生至少有人
C.这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人
D.这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人
【答案】C
【详解】两科等级均为的学生有人,
因为仅有一科等级为的学生,其另外一科等级为,
所以物理等级为,化学等级为的有人人;
化学等级为,物理等级为的有人;
对于A,物理等级为的共有人,则化学等级也为的至多有人,A错误;
对于B,物理等级为的共有人,则化学等级也为的至少有人,B错误;
对于C,两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人,C正确;
对于D,两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人,D错误.
故选:C.
2.“运动改造大脑”,为了增强身体素质,某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂,课堂分为球类项目A 径赛项目B 其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A,20名同学选择径赛项目B,18名同学选择其他健身项目C;其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C,3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目,则这个班同学人数是( )
A.51 B.50 C.49 D.48
【答案】B
【详解】
由题意,,,,,
,,
因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目,
所以这个班同学人数是.
故选:B.
知识点10 充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作:
在逻辑推理中“”的几种说法
(1)“如果,那么”为真命题.
(2)是的充分条件.
(3)是的必要条件.
(4)的必要条件是.
(5)的充分条件是.
这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已..
2、从集合的角度理解充分与必要条件
若以集合的形式出现,以集合的形式出现,即:,:,则
(1)若,则是的充分条件;
(2)若,则是的必要条件;
(3)若,则是的充分不必要条件;
(4)若,则是的必要不充分条件;
(5)若,则是的充要条件;
(6)若且,则是的既不充分也不必要条件.
【即学即练】
1.已知集合,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若,则.
①若,则,则,满足;
②若,则或.
时,,满足;
时,与元素的互异性相矛盾,故舍去.
综上所述,若,或,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
2.设,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】若“”,则有,可推出“”成立,
若“”,则有或,解得或,推不出“”,
所以“”是“”的充分不必要条件,
故选:A
知识点11 全称量词与全称量词命题
概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.
对全称量词与全称量词命题的理解
(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.
(2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等.
(3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”.
(4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
【即学即练】
1.命题“任意实数,都有”的否定是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】命题“任意实数,都有”的否定是:
.
故选:B.
2.已知命题,若命题是假命题,则实数的取值范围是( )
A. B.
C.或 D.或
【答案】A
【详解】因为命题是假命题,
可得:为真命题;
可得:,
解得:,
故选:A
知识点12 存在量词与存在量词命题
概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为.
对存在量词与存在量词命题的理解
(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
(3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.
(4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”.
(5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
【即学即练】
1.已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】命题“”是假命题,则其否定“”是真命题.
当时,若,则,满足条件.
若,则在上单调递增,的最小值为,
要使成立,则,即,则,
若,则在上单调递减,的最小值为,
要使成立,则,即,则,
综上,当原命题为假时的取值范围是,
下面判断各个选项:
选项A:,不能推出,且也不能推出,
所以既不是充分条件也不是必要条件,
选项B:,能推出,但不能推出,
所以是充分不必要条件,
选项C:,不能推出,且不能推出,
所以是既不是充分条件也不是必要条件,
选项D:范围就是,为充要条件.
故选:B.
2.命题:“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】B
【详解】依据题意,先改变量词,然后否定结论,
可得命题,的否定是:
,.
故选:B
题型01 集合的含义与表示
【典例1】若,则下列结论中正确结论的个数为( )
①;②;③若,则;④若,且,则;⑤存在且,满足.
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【详解】若,
对于①,,①正确;
对于②,当中时,,所以,②正确;
对于③,若,不妨设,
则,,所以,③正确;
对于④,若且,不正确,
例如,,④不正确;
对于⑤,存在且,满足,
例如,,
若,
则,故,⑤正确.
综上,①②③⑤正确.
故选:C.
【典例2】已知集合,则集合等于( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】,时,,
时,,
或或或时,,
或或或时,,
故.
故选:D.
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合,要明了集合{x|y=f(x)},{y|y=f(x)},{(x,y)|y=f(x)}三者是不同的.
(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【变式1】设是整数集的一个非空子集,对于,如果,且,那么是的一个“孤立元”,给定,由的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有( )个.
A.0 B.2 C.4 D.6
【答案】D
【详解】若不是孤立元,.
设另一元素为,
假设,此时,不合题意,故.
据此分析满足条件的集合为,共有6个.
故选:D
【变式2】由实数-a,a,|a|,所组成的集合最多含有的元素个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【答案】B
【详解】当a=0时,这四个数都是0,所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时,=|a|=所以一定与a或-a中的一个一致.故组成的集合中有两个元素.
故选:B.
【变式3】用表示非空集合中的元素个数,定义,若,,且,设实数的所有可能取值组成的集合是,则等于( )
A.5 B.3 C.2 D.4
【答案】B
【详解】根据定义可知,又,所以可得或;
由方程可得或;
当时,方程只有一个实数根,此时,符合题意;
当时,必有,此时方程有两个不相等的实数根;
显然都不是方程的根,
则方程有两个相等的实数根,且异于,
此时,可得或,经检验均满足题意;
故可知,可得.
故选:B
题型02 集合间的基本关系
【典例1】若且则称集合为“和谐集”.已知集合,则集合的子集中“和谐集”的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【详解】根据题意可知,当时,,所以不是“和谐集”中的元素;
当时,;当时,;当时,;
所以是“和谐集”中的一组元素;
当时,,当时,无意义,所以不是“和谐集”中的元素;
综上可知,集合的子集中“和谐集”的个数只有1个,即.
故选:B
【典例2】含有有限个元素的数集,定义其“交替和”如下:把集合中的数按从小到大的顺序排列,然后从最大的数开始交替地加减各数,例如的“交替和”是;而的交替和是,则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题知,
将集合的子集两两配对:使且,则符合条件的集合对有个,
又由题设定义有集合与集合的交替和之和为4,
所以交替和的总和为.
故选:A.
1、两种方法:
(1)化简集合,从表达式中寻找两集合的关系;
(2)用列举法(图示法)表示各集合,从元素(图形)中寻找关系
2、一个关键:关键是看它们是否具有包含关系,若有包含关系就是子集关系
3、根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论(必须优先考虑空集的情况),做到不漏解,其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
(1)若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解,此时应注意集合中元素的互异性;
(2)若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到.
【变式1】设集合,,那么( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意得,
即是的奇数倍构成的集合,
,
即是的整数倍构成的集合,
所以.
故选:.
【变式2】下列每组集合是相等集合的是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】D
【详解】对于A,,,故,所以A错误;
对于B,为点集,为数集,故,所以B错误;
对于C,,,故,所以C错误;
对于D,数集和数集元素一样,故,所以D正确,
故选:D.
【变式3】若集合,,且,则实数的值可以是( ).
A.2 B.2,
C.2,,0 D.2,,0,1
【答案】C
【详解】因为,所以.
当时,集合不满足集合元素的互异性;
当时,或(舍去),即,
此时,,满足;
当时,或,
当时,,,满足,
当时,,,满足.
所以或或.
故选:C.
题型03 集合的基本运算
【典例1】已知集合,,则的非空真子集的个数为( )
A.4 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【详解】因为,,所以,所以的非空真子集的个数为.
故选:C.
【典例2】已知集合,集合A,B,C满足:①每个集合恰有6个元素②,集合中元素最大值与最小值之和称为的特征数,记作. 则的最大值与最小值之和( ).
A.116 B.132 C.126 D.114
【答案】D
【详解】因为满足:①每个集合都恰有个元素;②,
所以一定各包含个不同数值,
集合中元素的最小值分别是1,2,3,最大值是18,13,8,
特征数的和最小,如:,特征数为;
,特征数为;
,特征数为;
则最小,最小值为;
当集合中元素的最小值分别是1,6,11,最大值是18,17,16时,
特征数的和最大,
如:,特征数为;
,特征数为;
,特征数为;
则最大,最大值为,
故的最大值与最小值的和为.
故选:D.
1、集合基本运算的方法技巧
2、数形结合常使集合间的运算更简捷、直观
对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算,可借助韦恩(Venn)图实施;对连续的数集间的运算,常利用数轴进行;对点集间的运算,则往往通过坐标平面内的图形求解.这些在本质上都是数形结合思想的体现和运用.
3、集合运算中参数问题的求解策略
集合运算中的求参数问题,首先要会化简集合,因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查,以体现综合性,其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(Venn)图等)及端点值的取舍.
具体步骤如下:(1)化简所给集合;(2)用数轴表示所给集合;(3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组);(4)解不等式(组);(5)检验.
【变式1】设集合,其中为自然数集,,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为,,
所以,故A错误;
,故B错误;
,故C错误;
又,而,则,
所以,故D正确.
故选:D.
【变式2】已知全集为,集合,满足,则下列运算结果为的是( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由得当 时, ,故选项A不正确;
,当时, ,故选项B不正确;
当 时, ,故选项C不正确;
因为,所以,故选项D正确.
故选:D.
【变式3】已知集合,集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】对于集合,
当时,
当时,
所以,
又,,
所以,
故选:C
题型04 韦恩图及其应用
【典例1】已知全集,集合,,给出下列4种方式表示图中阴影部分:①②③④,正确的有几个?( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为,,故②③正确;
因为,,
所以,故①正确;
,故④错误.
所以正确的有3个.
故选:C.
【典例2】如图,已知矩形表示全集,是的两个子集,若,集合,,则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】对于方程,
当时,,解得,
当时,,即,恒成立,
当时,,解得,
∴.
由题意得,,.
图中阴影部分表示在集合B中不在集合A中的元素构成的集合,为.
故选:D.
韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系,先分析集合关系,化简集合,再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算.对复杂的集合关系问题,或相关的数学应用问题,可通过构造韦恩(Venn)图进行求解.
【变式1】设全集,或,,如图,阴影部分所表示的集合为( )
A. B.
C.或 D.
【答案】B
【详解】由题意得,阴影部分可表示为,
因为或,,
则或,
且,所以.
故选:B.
【变式2】设全集,集合,,则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.或 B.或
C. D.
【答案】D
【详解】由可得,,
故,进而.
故选:D
【变式3】如图,三个圆形区域分别表示集合A,B,C.用集合U,A,B,C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合,不正确的是( )
A.图形I表示的集合为
B.图形Ⅲ表示的集合为
C.图形Ⅴ表示的集合为
D.图形Ⅷ表示的集合为
【答案】D
【详解】图形I表示的集合为;
图形Ⅱ表示的集合为;
图形Ⅲ表示的集合为;
图形Ⅳ表示的集合为;
图形Ⅴ表示的集合为;
图形Ⅵ表示的集合为;
图形Ⅶ表示的集合为;
图形Ⅷ表示的集合为.
故选:D.
题型05 集合的新定义问题
【典例1】当一个非空数集G满足“如果,则,且时,”时,我们称G就是一个数域,以下四个关于数域的命题:①是任何数域的元素;②若数域G有非零元素,则;③集合是一个数域;④有理数集是一个数域,其中真命题有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
【详解】对①:当时,有,所以0是任何数域的元素,故①正确;
对②:取非0实数,则,再由,则,可得任意正整数属于,故②正确;
对③:若为数域,取,,则不成立,故③错误;
对④:任取有理数,,令,,则, ,
,且,所以有理数集是数域,故④正确.
所以正确的有:①②④.
故选:B.
【典例2】对于任意两个数,定义某种运算“”如下:①当同为奇数或同为偶数时,;②当一奇一偶时,,则集合的子集个数是个( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】当都是偶数或都是奇数时,
则或或或或或或或或;
当是偶数,是奇数时,,或;
当是奇数,是偶数时,,或;
集合中含有个元素,它的子集个数为,
故选:B
(1)遇到新定义问题,先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到解题的过程中,这是解答新定义型问题的关键所在;
(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件.
【变式1】给定数集M,若对于任意,都有,且,则称集合M为闭集合,则下列说法正确的是( )
A.自然数集是闭集合
B.无理数集是闭集合
C.集合为闭集合
D.若集合,为闭集合,则也为闭集合
【答案】C
【详解】取,则,故A错误;
取,则,不是无理数,故B错误;
设,,则,,故C正确;
取,,
由C选项可知是闭集合,同理可证也是闭集合,则为被整除或被整除的全体整数集,
取,则,不能被或整除,即,故D错误.
故选:C
【变式2】集合,,且M、N都是集合的子集,若把叫做集合的长度,那么集合的长度的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】根据新定义可知集合M的长度为,集合N的长度为,
当集合的长度最小时,M与N应分别在区间上的左右两端,
故的长度的最小值是
故选:B.
【变式3】在山东省实验中学科技节中,高一李明同学定义了可分比集合:若对于集合满足对任意,,都有,则称是可分比集合.例如:集合是可分比集合.若集合A,B均为可分比集合,且,则正整数的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】B
【详解】解法一:一方面,取满足题意,则;
另一方面,若,不妨设,则,则,此时,且,矛盾!
综上所述,正整数的最大值为7.
解法二:,则,又,即若,内的数均不属于,
若,则,则,又,矛盾,
所以,当时,符合,所以.
故选:B.
题型06 充分条件与必要条件的判断
【典例1】已知集合是4与10的公倍数,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】∵4与10的最小公倍数为20,
∴是4与10的公倍数,
∵,
∴ ,即由得不到,由能得到,
故是的必要不充分条件.
故选:B.
【典例2】“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是( )
A. B.m<1
C. D.
【答案】D
【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件
为,解得,
又是的充分不必要条件,
故选:.
1.充要条件的四种判断方法
(1)定义法:根据p q,q p进行判断;
对充分和必要条件的理解和判断,要搞清楚其定义的实质:,则是的充分条件,同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立,就成立;所谓“必要”是指要使得成立,必须要成立(即如果不成立,则肯定不成立).
牢记:小范围可以推大范围,大范围不可以推小范围
若p q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 p / q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且q p
注意区别是的充分不必要条件与的充分不必要条件是两者的不同.
(1)是的充分不必要条件且(注意标志性词:“是”,此时与正常顺序)
(2)的充分不必要条件是且(注意标志性词:“的”,此时与倒装顺序)
(2)集合法:根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,即可解决充分必要性的问题
第一:化简条件和结论
第二:根据条件与结论范围的大小进行判断
第三:充分、必要条件的判断,一般可根据如下规则判断:
若以集合的形式出现,以集合的形式出现,即:,:,则
①若,则是的充分条件;
②若,则是的必要条件;
③若,则是的充分不必要条件;
④若,则是的必要不充分条件;
⑤若,则是的充要条件;
⑥若且,则是的既不充分也不必要条件.
(3)传递法:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件.
①若是的充分条件,是的充分条件,则是的充分条件;
②若是的必要条件,是的必要条件,则是的必要条件;
③若是的充要条件,是的充要条件,则是的充要条件.
(4)等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断真假
2.判断充要条件需注意的三点
(1)要分清条件与结论分别是什么;
(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断;
(3)直接判断比较困难时,可举出反例说明.
【变式1】若不等式是成立的充分条件,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由题设,不等式且成立的充分条件是,
则,所以,
所以实数a的取值范围是.
故选:B.
【变式2】“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】充分性,因为可得到或,
若或时,可得,所以是的充分条件;
必要性,若,当时,满足,但,
故不是的必要条件,
故选:A
【变式3】设,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】,
故是的必要不充分条件,
故选:B
题型07 充分条件与必要条件的探求与应用
【典例1】设,则“”的充要条件为( )
A.至少有一个为1 B.都为1
C.都不为1 D.
【答案】A
【详解】由,则,可得或,即至少有一个为1,
所以“”的充要条件为至少有一个为1,故只有A符合,其它选项均不符.
故选:A
【典例2】给出下列各组条件:
①:,:;②:,:;
③:,:方程有实根;④:或,:.
其中是的充要条件的有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【答案】A
【详解】①由,即中至少有一个为0,
又由,可得且,即同时为0,
即,所以是的必要不充分条件;
②由,可得,即,
所以,可得,即,
所以是的充要条件.
③方程有实数根的充要条件是,解得,
所以,所以是有实数根的充分不必要条件.
④:或,:.
所以,所以或是的必要不充分条件.
故选:A.
1.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
①准确化简条件,也就是求出每个条件对应的充要条件;
②注意问题的形式,看清“p是q的……”还是“p的……是q”,如果是第二种形式,要先转化为第一种形式,再判断;
③灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系,充分、必要条件的判断常通过“ ”来进行,即转化为两个命题关系的判断,当较难判断时,可借助两个集合之间的关系来判断.(对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“没它不行”.)
2.根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点
①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解;
②要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
【变式1】已知集合M和集合N,那么的充要条件是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】对A,若,则,故A错误:
对B,若,则不能得到,故B错误;
对C,若,故C正确;
对D,,当是真子集时,不能得到,故D错误.
故选:C
【变式2】已知集合,.
(1)若,均有,求实数的取值范围;
(2)若,设:,,求证:成立的充要条件为.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】(1).
因为,均有,所以.
当时,,满足题意;
当时,,解得,所以.
综上,,即的取值范围是.
(2)证明:充分性:当时,则,
所以当时,,所以,为真命题,充分性成立;
必要性:若:,为真命题,则:,为假命题.
先求:,为真命题时的范围,
因为,所以,由:,,得.
则或,解得或,所以.
因为:,为假命题,所以.
综上,若,则成立的充要条件为.
【变式3】已知“”是“关于的方程至少有一个负根”的充要条件,求的值.
【答案】
【详解】“关于的方程至少有一个负根”的情况有:
当时,方程,解得,符合题意.
当时,方程有实根的充要条件是判别式,解得且,
设方程的两根为分别为,,则,,
①当时,方程的两根均为零即,不合题意;
②当时,,即方程有两个异号根;
③当时,,,即方程有两个负根;
综上所述,“”是“方程至少有一个负根”的充要条件,所以.
题型08 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
【典例1】下列命题中为真命题的是( )
A. B.是整数
C. D.
【答案】B
【详解】对于A 选项,对于命题,因为对于任意实数,,所以,恒大于,A选项错误.
对于B 选项,对于任意的整数,一定是整数,也一定是整数,所以是整数,B选项正确.
对于C 选项,对于命题,当时,,不满足,C选项错误.
对于D 选项,对于命题,例如,则,D选项错误.
故选:B.
【典例2】已知命题:,,命题:,,则( )
A.和都是真命题 B.和都是真命题
C.和都是真命题 D.和都是真命题
【答案】C
【详解】当时,成立,所以命题为真命题;
当或1时,命题为假命题,所以为真命题;
故选:C.
命题名称 真假 判断方法一 判断方法二
全称量词命题 真 所有对象使命题真 否定为假
假 存在一个对象使命题假 否定为真
存在量词命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假
假 所有对象使命题假 否定为真
【变式1】设集合,,,,其中,下列说法正确的个数是( )
①对任意a,是的子集,对任意b,不是的子集;
②对任意a,是的子集,存在b,使得是的子集;
③存在a,不是的子集,对任意b,不是的子集;
④存在a,不是的子集,存在b,使得是的子集.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】B
【详解】对于集合,,
任意,即,则,即有,
因此对任意a,是的子集,命题③④错误;
对于集合,,
当时,,,则是的子集,
当时,,,
则不是的子集,命题①③错误,
所以对任意a,是的子集,存在b,使得是的子集,命题②正确,正确命题的个数为1.
故选:B
【变式2】已知命题,命题,则下列说法中正确的是( )
A.命题都是真命题 B.命题是真命题,是假命题
C.命题是假命题,是真命题 D.命题都是假命题
【答案】C
【详解】因为时,,是假命题;
因为时,,是真命题;
故选:C.
【变式3】已知集合,
(1)若,求;
(2)判断命题“,”的真假,并说明理由;
(3)若,求的取值范围.
【答案】(1)
(2)真命题,理由见解析
(3)
【详解】(1)解:,
当时,,则或,
此时,.
(2)解:若,则,解得,
因为,所以,命题“,”为真命题.
(3)解:因为,则,
若,则,解得;
若,由可得,该不等式组无解.
综上所述,实数的取值范围是.
题型9 全称量词命题与存在量词命题的否定
【典例1】已知命题,命题,则( )
A.和都是真命题 B.和都是真命题
C.和都是真命题 D.和都是真命题
【答案】B
【详解】对于而言,取,则,故是假命题,是真命题.
对于而言,令,,,
由零点存在性定理可知,存在,使得,
故是真命题,是假命题.
综上,和都是真命题.
故选:B
【典例2】若命题p:有些三角形是锐角三角形,则( ).
A.p是真命题,且p的否定:所有的三角形都不是锐角三角形
B.p是真命题,且p的否定:所有的三角形都是锐角三角形
C.p是假命题,且p的否定:所有的三角形都不是锐角三角形
D.p是假命题,且p的否定:所有的三角形都是锐角三角形
【答案】A
【详解】p:有些三角形是锐角三角形为真命题,
根据存在量词命题否定为全称量词命题。
所以p的否定:所有的三角形都不是锐角三角形,
故选:A.
(1)含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
(2)全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤
①改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写;
②否定结论:对原命题的结论进行否定.
(3)命题的否定与否命题的区别
“否命题”是对原命题“若,则”的条件和结论分别加以否定而得的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非”,只是否定命题的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有且只有一个为真,而原命题与否命题的真假无必然联系.
【变式1】已知命题,;命题,,则( )
A.和都是真命题 B.和都是真命题
C.和都是真命题 D.和都是真命题
【答案】B
【详解】对于命题,时,,
所以,为假命题,为真命题,
对于命题,,解得或,
所以,,为真命题,为假命题,
所以和都是真命题.
故选:B
【变式2】已知命题.命题.
(1)写出两个命题的否定;
(2)若两个命题都是真命题,求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】(1)因为,
所以非,
因为,
所以;
(2)因为,所以,
又,故,故,
命题.
即,又,故.
综上,当两个命题都是真命题时,的取值范围为.
【变式3】已知集合,集合,命题,命题,.
(1)若命题为假命题,求实数的取值范围;
(2)若命题和命题至少有一个为真命题,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【详解】(1)若为真命题,则,
所以,所以,
所以命题为假命题时,的取值范围为.
(2)当为假命题时,即“”为真命题,
所以,所以的取值范围为,
所以当均为假命题时的取值范围为,
所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或.
题型10 根据命题的真假求参数
【典例1】命题是假命题,则的范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】由题意得,命题的否定:.
∵命题是假命题,
∴命题的否定是真命题.
当时,,符合题意,
当时,,解得,
综上所述,的范围是.
故选:A.
【典例2】已知集合,集合,如果命题“,”为假命题,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为命题“,”为假命题,
所以,命题“,”为真命题;
因为集合,集合,
所以,当时,即时,成立,
当时,
由“,”得,解得,
综上所述,实数的取值范围为.
故选:A
(1)已知命题的真假,可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围.
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决.
(3)利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立,可根据以下原则进行求解:
①,;
②,;
③,;
④,.
【变式1】设全集,集合,,其中.
(1)若“”是“”的必要而不充分条件,求实数a的取值范围;
(2)若命题“,使得”是真命题,求实数a的取值范围.
【答案】(1);
(2).
【详解】(1),
“”是“”的必要而不充分条件,
,解得,
即实数的取值范围为;
(2)若命题“,使得”是假命题,则,
,或,
①当时,,解得,
②当时,则,无解,
即命题为假命题时,实数的取值范围为,
命题为真命题时,实数的取值范围为.
【变式2】已知,命题,;命题,.
(1)若p是真命题,求a的最大值;
(2)若p、q中有且只有一个是真命题,求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【详解】(1)若p是真命题,即恒成立,时,的最小值为,所以,
即a的最大值为.
(2)若q是真命题,,解得或,
若q是假命题,,解得,
由已知p、q一真一假,
若p真q假,则,
若q真p假,则,
综上: 或
【变式3】已知集合,集合,.
(1)若“”是“”的充分不必要条件,求实数的取值范围;
(2)若命题“,都有”是真命题,求实数的取值范围;
(3)若,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】(1)若“”是“”的充分不必要条件,则是的真子集,
所以,解得,
所以实数的取值范围为;
(2)若命题“,都有”是真命题,则是的子集,
当时,,得;
当时,,不等式组无解,
综上实数的取值范围为;
(3)若,
当时,,得;
当时,或,解得或无解,
综上,
所以实数的取值范围为.
1.设集合,则B是A的真子集的一个充分不必要条件是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】,
若,则,B A,
若,则,B A,
若,则,B A,
∴B A的一个充分不必要条件是.
故选:B
2.已知集合,,若为的真子集,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】当时,满足为的真子集,此时,解得.
当时,则或解得.
综上,,即m的取值范围是.
故选:C.
3.设集合,在上定义运算“·”为:,其中,.那么满足条件的有序数对共有( )
A.12个 B.8个 C.6个 D.4个
【答案】A
【详解】由已知得,
故,化简得.
当时,,,,;
当时,,,,;
当时,,;
当时,,.
综上,满足条件的有序数对共有12对.
故选:A.
4.已知集合,,若集合中恰好只有两个整数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意,集合A中的整数为0,1,2,3.因为,所以集合中至少有3个整数,所以集合中的两个整数只能为0,1或2,3.
若集合中的两个整数是2,3,则解得;
若集合中的两个整数是0,1,则解得.
综上可得,或,即的取值范围是.
故选:A
5.已知全集,集合,,则正确的关系是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由,当,,所以,
当,,所以,所以,故A错误;
,故B正确;由,所以,故C错误;
因为,所以,故D错误.
故选:B.
6.命题“,”为假命题的一个充分不必要条件为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由命题“,”为假命题,则由“,”为真命题,
则,因,所以,所以可得,
所以原命题为假命题的一个充分不必要条件是,故A正确.
故选:A.
7.已知全集,集合A,B是U的子集,若,,,则集合( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为,
又,,所以,
又,
所以,
故选:D.
8.命题“,”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】∵,∴.
若命题“,”是真命题,则,即.
命题“,”是真命题的充分不必要条件对应的范围是的真子集,根据选项可知D选项符合题意.
故选:D.
9.设为全集,,是集合,则“存在集合使得,”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】1.判断充分性
已知,所以.
又因为,即中的元素都在中.而中的元素都不在中,
所以和没有公共元素,即.
由此可知,当“存在集合使得,”时,能推出“”,
所以“存在集合使得,”是“”的充分条件.
2. 判断必要性
已知,即和没有公共元素.此时取集合,
那么对于全集,就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图,
因为和没有公共元素,所以中的元素都不属于,即,
同时(即).所以当“”时,
能推出“存在集合使得,”,
所以“存在集合使得,”是“”的必要条件.
则“存在集合使得,”是“”的充分必要条件.
故选:C.
10.设是整数集的一个非空子集,对于,如果且,那么是的一个“孤立元”,给定,由的3个元素构成的所有集合中,含有“孤立元”的集合共有( )个.
A.14 B.16 C.18 D.20
【答案】B
【详解】由题意,要使集合含有“孤立元”,则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可,
故满足条件的集合有:,,,,,,
,,,,,,,,
,.
故选:B.
11.设集合,,若,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为集合,,
若,由集合的互异性知,则或.
当时,,
,有,得,
所以;
当时,集合,,有,
又,所以,得,不满足题意.
综上.
故选:C.
12.已知集合,,.
(1)若“”是“”的充分不必要条件,求实数的取值范围;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)已知“”是“”的充分不必要条件,根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集.
已知,,则,解得.
故实数的取值范围为.
(2)当时,因为,所以,解得,此时成立;
当时,,解得.
因为,,则或,解得或,故此时.
综上,若,则实数的取值范围为.
13.已知数集具有性质:对任意的,,使得成立.
(1)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;
(2)求证:.
【答案】(1)具有性质,不具有性质,理由见解析
(2)证明见解析
【详解】(1)对于数集,若具有性质,则,,
因为,即,
,即,
,即,
所以具有性质;
对于数集,若具有性质,则,,
因为,即,,即,
,即,,即,
,即,,即,
,即,,即,
,即,,即,
所以不具有性质.
(2)因为集合具有性质:
即对任意的,使得成立,
又因为,,所以,,
所以,
即,
将上述不等式相加得:,
所以,
因为,所以,
故.
14.已知集合,集合.
(1)若“”是“”的充分不必要条件,求实数的取值范围;
(2)若命题“,都有”是真命题,求实数的取值范围;
(3)若命题“,”是真命题,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】(1)若“”是“”的充分不必要条件,则是的真子集,
所以,解得,
所以实数的取值范围为.
(2)若命题“,都有”是真命题,则是的子集.
当时,满足,此时,得;
当时,若,则,不等式组无解.
综上,实数的取值范围为.
(3)方法一:“,”是真命题,则,所以,所以.
所以,解得,所以实数的取值范围为.
方法二:“,”是真命题,则.
当时,若,则;
若,则或,解得.
综上,当时,.
所以当时,,即实数的取值范围为.
15.设全集,集合.
(1)若时,求;
(2)若,求实数的取值范围;
(3)若,求实数的取值范围.
【答案】(1),或
(2)
(3).
【详解】(1)因为,所以,又,
所以.
方法一 因为或,或,
所以或.
方法二 或.
(2)因为,所以,
又,所以解得,
所以的取值范围是.
(3)因为,所以(,分为与两种情况讨论).
若,则,可得,满足;
若,要使,则不等式组无解.
综上,的取值范围是.
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第一章 集合与常用逻辑用语
教学目标 1.元素与集合 ① 理解元素与集合的概念,熟练常用数集的概念及其记法. ② 了解“属于”关系的意义. ③了解有限集、无限集、空集的意义. 2.集合的表示方法 掌握集合的常用表示方法(列举法、描述法及相互转化). 3.元素的性质 理解集合元素的三个性质:确定性、无序性、互异性. 4.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集; 5.理解与掌握空集的含义,在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。 6.理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义与具体要求. 7.会判断命题成立的充分、必要、充分必要条件.
教学重难点 1.重点 理解并集、交集、全集与补集的意义,会集合间的运算. 2.难点 理解全称量词与存在量词的含义,并能掌握全称量词命题与存在量词命题的概念,能用数学符号表示两种命题,能准确判断两类命题的真假,及判定方法.
知识点01 集合的表示方法与分类
1、常用数集及其符号
常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
数学符合 或
2、集合的表示方法
(1)自然语言法:用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
(2)列举法:把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
注用列举法表示集合时注意:
①元素与元素之间必须用“,”隔开.
②集合中的元素必须是明确的.
③集合中的元素不能重复.
④集合中的元素可以是任何事物.
(3)描述法定义:一般地,设表示一个集合,把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为,这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
(4)(韦恩图法):
在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图形称为图。
3、集合的分类
根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.
(1)有限集:含有有限个元素的集合是有限集,如方程的实数解组成的集合,其中元素的个数为有限个,故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示,也可将元素写在图中来表示.
(2)无限集:含有无限个元素的集合是无限集,如不等式的解组成的集合,其中元素的个数为无限个,故为无限集.通常用描述法表示。
【即学即练】
1.在整数集中,被除所得余数为的所有整数组成的一个集合称为“类”,记为,即,、、、、,给出如下四个结论:①;②;②;④若整数、属于同一“类”,则“”,其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
2.有下列说法:其中正确的说法是( )
(1)0与表示同一个集合
(2)由1,2,3组成的集合可表示为或;
(3)方程的所有解的集合可表示为;
(4)集合是有限集.
A.(1)、(4) B.(1)、(3)、(4) C.(2) D.(3)
知识点02 元素与集合
1元素与集合的关系
(1)属于(belong to):如果是集合的元素,就说属于,记作 .
(2)不属于(not belong to):如果不是集合的元素,就说不属于,记作.
2集合元素的三大特性
(1)确定性:给定的集合,它的元素必须是确定的,也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了,我们把这个性质称为集合元素的确定性.
(2)互异性(考试常考特点,注意检验集合的互异性):一个给定集合中元素是互不相同的,也就是说,集合中的元素是不重复出现的,我们把这个性质称为集合元素的互异性.
(3)无序性:集合中的元素是没有固定顺序的,也就是说,集合中的元素没有前后之分,我们把这个性质称为集合元素的无序性.
【即学即练】
1.已知集合,若,则( )
A. B.
C. D.不属于M,Q,P中的任意一个
2.已知非空数集满足:任意的,则,若集合中含有4个元素,则这四个元素之积为( )
A. B.
C. D.
知识点03 子集
1子集:
一般地,对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合为集合的子集
(1)记法与读法:记作(或),读作“含于”(或“包含”)
(2)性质:①任何一个集合是它本身的子集,即 .
②对于集合,,,若,且,则
(3)图表示:
2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别
符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系.
【即学即练】
1.若集合的三个子集满足 ,则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合,则的所有“亲密子集”的组数为( )
A.9 B.12 C.15 D.18
2.已知集合,若,且对任意的,,均有,则中元素个数的最大值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
知识点04 集合相等
一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则 .
(1)的图表示
(2)若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素排列顺序无关
【即学即练】
1.已知集合,.则( )
A. B.是的真子集
C. D.
2.下列说法正确的是( )
A.由组成的集合可表示为或
B.与是同一个集合
C.集合与集合是同一个集合
D.集合与集合是同一个集合
知识点05 真子集
如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集;
(1)记法与读法:记作,读作“真包含于”(或“真包含”)
(2)性质:①任何一个集合都 它本身的真子集.
②对于集合,,,若,且,则
(3)图表示:
【即学即练】
1.已知集合,则A子集的个数为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
2.含有有限个元素的数集,定义“交替和”如下:把集合中的数按从小到大的顺序排列,然后从最大的数开始交替地加减各数,例如的交替和是;而的交替和是5,则集合的所有非空子集的交替和的总和为( )
A.12 B.32 C.80 D.192
知识点06 空集
我们把不含任何元素的集合,叫做空集,记作:
规定:空集是任何集合的子集,即 ;
性质:(1)空集只有一个子集,即它的本身,
(2),则
和 和 和
相同点 都表示无 都是集合 都是集合
不同点 表示集合; 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素,该元素为:
关系 或者
【即学即练】
1.已知六个关系式①;②;③;④;⑤;⑥,它们中关系表达正确的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.设非空集合满足:当时,有,给出如下四个命题:
①若,则;②若,则;③若,则;④若,则或;其中正确的命题个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点07 并集与交集
1、并集
(1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:① ;② ;③ .可用下图所示形象地表示.
2、交集
(1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成.
(2)对于“”,包含以下两层意思:① ;② ,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或.
(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是.
(4)当时,和同时成立.
【即学即练】
1.已知集合或,,若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.判断下列命题为真命题的个数( )
①0是的真子集;
②;
③如果集合A是集合B的子集,那么集合B就不是集合A的子集;
④如果,那么除以4的余数为0或1.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
知识点08 全集与补集
全集:在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫做全集,常用表示,全集包含所有要研究的这些集合.
补集:设是全集,是的一个子集(即),则由中所有不属于集合的元素组成的集合,叫做中子集的补集,记作 ,即 .
补集的性质: , , .
【即学即练】
1.设全集,集合,则中元素的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.设全集,,,则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B.
C. D.
知识点09 德摩根律与容斥原理
1、德摩根律
(1)
(2)
2、容斥原理
一般地,对任意两个有限集,
进一步的:
【即学即练】
1.学业水平测试按照考生原始成绩从高分到低分分为,,,,五个等级,某班共有名学生且全部选考物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中,这两科等级均为的学生共有人.这两科中只有一科等级为的学生,其另外一科等级一定为.则该班()
等级科目
物理
化学
A.物理化学等级都是的学生至多有人
B.物理化学等级都是的学生至少有人
C.这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人
D.这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人
2.“运动改造大脑”,为了增强身体素质,某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂,课堂分为球类项目A 径赛项目B 其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A,20名同学选择径赛项目B,18名同学选择其他健身项目C;其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C,3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目,则这个班同学人数是( )
A.51 B.50 C.49 D.48
知识点10 充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作:
在逻辑推理中“”的几种说法
(1)“如果,那么”为真命题.
(2)是的充分条件.
(3)是的必要条件.
(4)的必要条件是.
(5)的充分条件是.
这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已..
2、从集合的角度理解充分与必要条件
若以集合的形式出现,以集合的形式出现,即:,:,则
(1)若,则是的充分条件;
(2)若,则是的必要条件;
(3)若,则是的充分不必要条件;
(4)若,则是的必要不充分条件;
(5)若,则是的充要条件;
(6)若且,则是的既不充分也不必要条件.
【即学即练】
1.已知集合,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.设,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
知识点11 全称量词与全称量词命题
概念:短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.
对全称量词与全称量词命题的理解
(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.
(2)常见的全称量词还有“ ”“ ”等.
(3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”.
(4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
【即学即练】
1.命题“任意实数,都有”的否定是( )
A. B.
C. D.
2.已知命题,若命题是假命题,则实数的取值范围是( )
A. B.
C.或 D.或
知识点12 存在量词与存在量词命题
概念:短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为.
对存在量词与存在量词命题的理解
(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
(2)常见的存在量词还有“ ”“ ”“ ”“ ”等.
(3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.
(4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”.
(5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
【即学即练】
1.已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是( )
A. B.
C. D.
2.命题:“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
题型01 集合的含义与表示
【典例1】若,则下列结论中正确结论的个数为( )
①;②;③若,则;④若,且,则;⑤存在且,满足.
A.2 B.3 C.4 D.5
【典例2】已知集合,则集合等于( )
A. B.
C. D.
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合,要明了集合{x|y=f(x)},{y|y=f(x)},{(x,y)|y=f(x)}三者是不同的.
(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【变式1】设是整数集的一个非空子集,对于,如果,且,那么是的一个“孤立元”,给定,由的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有( )个.
A.0 B.2 C.4 D.6
【变式2】由实数-a,a,|a|,所组成的集合最多含有的元素个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【变式3】用表示非空集合中的元素个数,定义,若,,且,设实数的所有可能取值组成的集合是,则等于( )
A.5 B.3 C.2 D.4
题型02 集合间的基本关系
【典例1】若且则称集合为“和谐集”.已知集合,则集合的子集中“和谐集”的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【典例2】含有有限个元素的数集,定义其“交替和”如下:把集合中的数按从小到大的顺序排列,然后从最大的数开始交替地加减各数,例如的“交替和”是;而的交替和是,则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为( )
A. B. C. D.
1、两种方法:
(1)化简集合,从表达式中寻找两集合的关系;
(2)用列举法(图示法)表示各集合,从元素(图形)中寻找关系
2、一个关键:关键是看它们是否具有包含关系,若有包含关系就是子集关系
3、根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论(必须优先考虑空集的情况),做到不漏解,其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
(1)若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解,此时应注意集合中元素的互异性;
(2)若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到.
【变式1】设集合,,那么( )
A. B. C. D.
【变式2】下列每组集合是相等集合的是( )
A., B.,
C., D.,
【变式3】若集合,,且,则实数的值可以是( ).
A.2 B.2,
C.2,,0 D.2,,0,1
题型03 集合的基本运算
【典例1】已知集合,,则的非空真子集的个数为( )
A.4 B.1 C.2 D.3
【典例2】已知集合,集合A,B,C满足:①每个集合恰有6个元素②,集合中元素最大值与最小值之和称为的特征数,记作. 则的最大值与最小值之和( ).
A.116 B.132 C.126 D.114
1、集合基本运算的方法技巧
2、数形结合常使集合间的运算更简捷、直观
对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算,可借助韦恩(Venn)图实施;对连续的数集间的运算,常利用数轴进行;对点集间的运算,则往往通过坐标平面内的图形求解.这些在本质上都是数形结合思想的体现和运用.
3、集合运算中参数问题的求解策略
集合运算中的求参数问题,首先要会化简集合,因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查,以体现综合性,其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(Venn)图等)及端点值的取舍.
具体步骤如下:(1)化简所给集合;(2)用数轴表示所给集合;(3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组);(4)解不等式(组);(5)检验.
【变式1】设集合,其中为自然数集,,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【变式2】已知全集为,集合,满足,则下列运算结果为的是( ).
A. B. C. D.
【变式3】已知集合,集合,,则( )
A. B. C. D.
题型04 韦恩图及其应用
【典例1】已知全集,集合,,给出下列4种方式表示图中阴影部分:①②③④,正确的有几个?( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【典例2】如图,已知矩形表示全集,是的两个子集,若,集合,,则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B. C. D.
韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系,先分析集合关系,化简集合,再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算.对复杂的集合关系问题,或相关的数学应用问题,可通过构造韦恩(Venn)图进行求解.
【变式1】设全集,或,,如图,阴影部分所表示的集合为( )
A. B.
C.或 D.
【变式2】设全集,集合,,则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.或 B.或
C. D.
【变式3】如图,三个圆形区域分别表示集合A,B,C.用集合U,A,B,C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合,不正确的是( )
A.图形I表示的集合为
B.图形Ⅲ表示的集合为
C.图形Ⅴ表示的集合为
D.图形Ⅷ表示的集合为
题型05 集合的新定义问题
【典例1】当一个非空数集G满足“如果,则,且时,”时,我们称G就是一个数域,以下四个关于数域的命题:①是任何数域的元素;②若数域G有非零元素,则;③集合是一个数域;④有理数集是一个数域,其中真命题有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【典例2】对于任意两个数,定义某种运算“”如下:①当同为奇数或同为偶数时,;②当一奇一偶时,,则集合的子集个数是个( )
A. B. C. D.
(1)遇到新定义问题,先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到解题的过程中,这是解答新定义型问题的关键所在;
(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件.
【变式1】给定数集M,若对于任意,都有,且,则称集合M为闭集合,则下列说法正确的是( )
A.自然数集是闭集合
B.无理数集是闭集合
C.集合为闭集合
D.若集合,为闭集合,则也为闭集合
【变式2】集合,,且M、N都是集合的子集,若把叫做集合的长度,那么集合的长度的最小值为( )
A. B. C. D.
【变式3】在山东省实验中学科技节中,高一李明同学定义了可分比集合:若对于集合满足对任意,,都有,则称是可分比集合.例如:集合是可分比集合.若集合A,B均为可分比集合,且,则正整数的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
题型06 充分条件与必要条件的判断
【典例1】已知集合是4与10的公倍数,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【典例2】“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是( )
A. B.m<1
C. D.
1.充要条件的四种判断方法
(1)定义法:根据p q,q p进行判断;
对充分和必要条件的理解和判断,要搞清楚其定义的实质:,则是的充分条件,同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立,就成立;所谓“必要”是指要使得成立,必须要成立(即如果不成立,则肯定不成立).
牢记:小范围可以推大范围,大范围不可以推小范围
若p q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 p / q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且q p
注意区别是的充分不必要条件与的充分不必要条件是两者的不同.
(1)是的充分不必要条件且(注意标志性词:“是”,此时与正常顺序)
(2)的充分不必要条件是且(注意标志性词:“的”,此时与倒装顺序)
(2)集合法:根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,即可解决充分必要性的问题
第一:化简条件和结论
第二:根据条件与结论范围的大小进行判断
第三:充分、必要条件的判断,一般可根据如下规则判断:
若以集合的形式出现,以集合的形式出现,即:,:,则
①若,则是的充分条件;
②若,则是的必要条件;
③若,则是的充分不必要条件;
④若,则是的必要不充分条件;
⑤若,则是的充要条件;
⑥若且,则是的既不充分也不必要条件.
(3)传递法:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件.
①若是的充分条件,是的充分条件,则是的充分条件;
②若是的必要条件,是的必要条件,则是的必要条件;
③若是的充要条件,是的充要条件,则是的充要条件.
(4)等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断真假
2.判断充要条件需注意的三点
(1)要分清条件与结论分别是什么;
(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断;
(3)直接判断比较困难时,可举出反例说明.
【变式1】若不等式是成立的充分条件,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【变式2】“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【变式3】设,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
题型07 充分条件与必要条件的探求与应用
【典例1】设,则“”的充要条件为( )
A.至少有一个为1 B.都为1
C.都不为1 D.
【典例2】给出下列各组条件:
①:,:;②:,:;
③:,:方程有实根;④:或,:.
其中是的充要条件的有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
1.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
①准确化简条件,也就是求出每个条件对应的充要条件;
②注意问题的形式,看清“p是q的……”还是“p的……是q”,如果是第二种形式,要先转化为第一种形式,再判断;
③灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系,充分、必要条件的判断常通过“ ”来进行,即转化为两个命题关系的判断,当较难判断时,可借助两个集合之间的关系来判断.(对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“没它不行”.)
2.根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点
①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解;
②要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
【变式1】已知集合M和集合N,那么的充要条件是( )
A. B. C. D.
【变式2】已知集合,.
(1)若,均有,求实数的取值范围;
(2)若,设:,,求证:成立的充要条件为.
【变式3】已知“”是“关于的方程至少有一个负根”的充要条件,求的值.
题型08 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
【典例1】下列命题中为真命题的是( )
A. B.是整数
C. D.
【典例2】已知命题:,,命题:,,则( )
A.和都是真命题 B.和都是真命题
C.和都是真命题 D.和都是真命题
命题名称 真假 判断方法一 判断方法二
全称量词命题 真 所有对象使命题真 否定为假
假 存在一个对象使命题假 否定为真
存在量词命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假
假 所有对象使命题假 否定为真
【变式1】设集合,,,,其中,下列说法正确的个数是( )
①对任意a,是的子集,对任意b,不是的子集;
②对任意a,是的子集,存在b,使得是的子集;
③存在a,不是的子集,对任意b,不是的子集;
④存在a,不是的子集,存在b,使得是的子集.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【变式2】已知命题,命题,则下列说法中正确的是( )
A.命题都是真命题 B.命题是真命题,是假命题
C.命题是假命题,是真命题 D.命题都是假命题
【变式3】已知集合,
(1)若,求;
(2)判断命题“,”的真假,并说明理由;
(3)若,求的取值范围.
题型9 全称量词命题与存在量词命题的否定
【典例1】已知命题,命题,则( )
A.和都是真命题 B.和都是真命题
C.和都是真命题 D.和都是真命题
【典例2】若命题p:有些三角形是锐角三角形,则( ).
A.p是真命题,且p的否定:所有的三角形都不是锐角三角形
B.p是真命题,且p的否定:所有的三角形都是锐角三角形
C.p是假命题,且p的否定:所有的三角形都不是锐角三角形
D.p是假命题,且p的否定:所有的三角形都是锐角三角形
(1)含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
(2)全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤
①改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写;
②否定结论:对原命题的结论进行否定.
(3)命题的否定与否命题的区别
“否命题”是对原命题“若,则”的条件和结论分别加以否定而得的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非”,只是否定命题的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有且只有一个为真,而原命题与否命题的真假无必然联系.
【变式1】已知命题,;命题,,则( )
A.和都是真命题 B.和都是真命题
C.和都是真命题 D.和都是真命题
【变式2】已知命题.命题.
(1)写出两个命题的否定;
(2)若两个命题都是真命题,求实数的取值范围.
【变式3】已知集合,集合,命题,命题,.
(1)若命题为假命题,求实数的取值范围;
(2)若命题和命题至少有一个为真命题,求实数的取值范围.
题型10 根据命题的真假求参数
【典例1】命题是假命题,则的范围是( )
A. B.
C. D.
【典例2】已知集合,集合,如果命题“,”为假命题,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
(1)已知命题的真假,可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围.
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决.
(3)利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立,可根据以下原则进行求解:
①,;
②,;
③,;
④,.
【变式1】设全集,集合,,其中.
(1)若“”是“”的必要而不充分条件,求实数a的取值范围;
(2)若命题“,使得”是真命题,求实数a的取值范围.
【变式2】已知,命题,;命题,.
(1)若p是真命题,求a的最大值;
(2)若p、q中有且只有一个是真命题,求a的取值范围.
【变式3】已知集合,集合,.
(1)若“”是“”的充分不必要条件,求实数的取值范围;
(2)若命题“,都有”是真命题,求实数的取值范围;
(3)若,求实数的取值范围.
1.设集合,则B是A的真子集的一个充分不必要条件是( )
A. B.
C. D.
2.已知集合,,若为的真子集,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.设集合,在上定义运算“·”为:,其中,.那么满足条件的有序数对共有( )
A.12个 B.8个 C.6个 D.4个
4.已知集合,,若集合中恰好只有两个整数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知全集,集合,,则正确的关系是( )
A. B. C. D.
6.命题“,”为假命题的一个充分不必要条件为( )
A. B. C. D.
7.已知全集,集合A,B是U的子集,若,,,则集合( )
A. B. C. D.
8.命题“,”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
9.设为全集,,是集合,则“存在集合使得,”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.设是整数集的一个非空子集,对于,如果且,那么是的一个“孤立元”,给定,由的3个元素构成的所有集合中,含有“孤立元”的集合共有( )个.
A.14 B.16 C.18 D.20
11.设集合,,若,则的值为( )
A. B. C. D.
12.已知集合,,.
(1)若“”是“”的充分不必要条件,求实数的取值范围;
(2)若,求实数的取值范围.
13.已知数集具有性质:对任意的,,使得成立.
(1)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;
(2)求证:.
14.已知集合,集合.
(1)若“”是“”的充分不必要条件,求实数的取值范围;
(2)若命题“,都有”是真命题,求实数的取值范围;
(3)若命题“,”是真命题,求实数的取值范围.
15.设全集,集合.
(1)若时,求;
(2)若,求实数的取值范围;
(3)若,求实数的取值范围.
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