九年级上册教案
21.2 解一元二次方程
第1课时 直接开方法
教学内容 第1课时 直接开方法 课时 1
核心素养目标 会用数学的眼光观察世界：通过解决实际问题、结合平方根的意义，掌握直接开方法的意义，发展抽象思维能力和转化迁移思想. 会用数学的思维思考问题：会用直接开方法解一元二次方程，提高解题能力；通过平方根的定义讨论一元二次方程的两根. 会用数学的语言表达思想：养成善于利用数学的语言解释生活中的问题，发展实践能力.
知识目标 1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程； 2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程.
教学重点 运用开平方法解形如x2=p或 (x+n)2=p (p≥0)的方程.
教学难点 会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导入 二、探究新知 当堂练习 一、新课导入 古代行军打仗，常常需要先探知敌方驻扎情况. 某日，侦察兵汇报：“敌方驻扎在30里之外，营地形似正方形，约16方里.”将军立马说：“原来敌方营地长4里.” 师生活动：学生先独立解答，然后学生代表回答，教师教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知. 教师追问：思考：将军是怎么知道敌方营地长的？ 教师由此可以引出后面的探究. 二、探究新知 知识点：直接开平方法 问题：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，小林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 师生活动：学生先独立思考，由学生代表发言，教师整理思路： 教师追问：x为何值呢，为什么？ 合作探究 探究1 解方程 x2 = 25，求出盒子的棱长. 师生活动：教师引导学生思考：根据平方根的意义，x1 = 5，x2 = -5. 教师提示：用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义，盒子的棱长为5dm. 动手实践 解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法. (1) x2 = 4； (2) x2 = 0； (3) x2 + 1 = 0. 师生活动：学生独立思考并小组讨论，小组代表发言，教师整理板书： 教师追问：你能归纳一下这类方程的解的情况吗？ 定义总结 一般的，对于可化为 x2 = p 的方程： 师生活动：学生小组讨论，小组代表发言，师生共同完成表格： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 例题精析 例1 利用直接开平方法解下列方程： （1）x2 = 6； （2）x2 - 900 = 0. 师生活动：学生先独立解答，然后请学生代表上台板书，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知. 练一练 1. 解下列方程. (1) 2x2 - 120 = 0； (2) 4x2 + 2 = 123 . 师生活动：学生先独立解答，然后请学生板书，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知. 合作探究 探究2 对照上面方法，你认为怎样解方程 (x + 3)2 = 5？ 师生活动：学生小组讨论，小组代表发言，教师适时引导与评价，并整理板书： 例题精析 例2 解下列方程： (1) (x＋1)2 = 2； (2) (x 1)2 4 = 0. 师生活动：学生独立解答，然后由学生代表板书，老师给予适当的评价，并适时加以引导与更正. 链接中考 解方程：(2x + 3)2 = (3x + 2)2. 师生活动：学生先独立解答，然后请学生回答，教师给予恰当评析并完善板书. 解：开方，得 2x + 3 = 3x + 2 或 2x + 3 = -3x - 2 ， 解得 x1 = 1 或 x2 = -1. 三、当堂练习 1. 用直接开平方解方程 (x - 3)2 = 8，得方程的根为 ( ) 2.下面是小李同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗？如果有错，指出具体位置并帮他改正. 解： 3. 关于 x 的方程 m(x + h)2 + k = 0 (m，h，k 均为常数，m ≠ 0) 的解是 x1 = -3， x2 = 2，则方程m(x + h - 3)2 + k = 0 的解是多少？ 设计意图：引入实际问题，帮助学生回忆平方根的定义，养成学回用数学的眼光看问题的习惯，并由此引出本节课的学习探究. 设计意图：通过题目引发学生思考，检验学生列式与方程化简的能力. 设计意图：让学生根据平方根的意义，解出方程，再考虑实际情况进行取舍，帮助学生学会全面思考问题. 设计意图：进一步加强学生用直接开方法解方程的能力，让学生直观感受方程的解的三种情况. 设计意图：通过讨论总结一元二次方程的解的三种情况，强化分类意识，提高归纳能力. 设计意图：通过例题与练一练，加强学生对直接开平方法解一元二次方程的能力，发展学生计算能力. 设计意图：引导学生掌握降次的思想与整体思想，提高学生的解题技巧. 设计意图：通过练习巩固整体思想与直接开方法解一元二次方程的能力. 设计意图：发展学生分类讨论的能力，提高学生解题技巧. 设计意图：巩固直接开平方解一元二次方程. 设计意图：通过纠错检验学生对解一元二次方程步骤的掌握情况，起到查漏补缺的作用. 设计意图：巩固用方程的根求系数与解一元二次方程的方法.
板书设计 直接开方法 一般的，对于可化为 x2 = p 的方程：
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
教学反思 直接开平方法的应用得益于平方根的定义的掌握，所以课程开始需要让学生回忆起平方根的定义，又区别于求平方根，在实际问题中让学生学会具体问题具体分析. 在学生一定程度上掌握求解方法后，讨论方程两根的三种情况，为下节课做铺垫.九年级上册教案
21.2 解一元二次方程
第2课时 配方法
教学内容 第2课时 配方法 课时 1
核心素养目标 会用数学的眼光观察世界：经历观察、思考和分析，掌握加减消元法的意义，进一步理解一元二次方程的“消元”法中的化归思想. 会用数学的思维思考问题：能分析一元二次方程中的信息，选择恰当的方法解一元二次方程，培养数据意识，形成合理判断. 会用数学的语言表达思想：会用加减法解一元二次方程，提高综合解题能力，在解题中激发对数学的兴趣，发展创新意识和应用能力.
知识目标 1.了解配方法的概念. 2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. 3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
教学重点 掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
教学难点 探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导入 二、探究新知 当堂练习 一、新课导入 引言：要设计一座高 2m 的人体雕像，使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全身的高度比，则雕像的下部应设计多少米高？ 师生活动：教师引导学生第一节课引入的解题思路及所列方程： 解：设雕像下部 BC = x m， 列方程得 x 2 = 2(2 - x )， 整理得 x 2 + 2x - 4 = 0． 教师追问：如何解出该一元二次方程？ 预设学生可能暂时不会计算，教师可以引出后面的探究. 二、探究新知 知识点 1：配方法 探究一：解方程 (x + 1)2 = 5. 师生活动：学生先独立思考，由学生代表发言，教师出示过程及结果. 探究二：比较下列方程，并说出它们的区别和联系. (x + 1) 2 = 5 ① x2 + 2x - 4 = 0 ② 师生活动：学生小组讨论，小组代表发言，教师适时评价与引导，帮助学生发现①可由②转化而成，并鼓励学生尝试化简！ 合作探究 回忆完全平方公式： 师生活动：教师提问，学生积极回答. 探究三：怎么样把方程②化成具有方程①这种形式的方程呢？并尝试解方程. 师生活动：学生小组讨论，小组代表发言，教师整理板书如图. 动手实践 填一填 填上适当的数或式，使下列各等式成立. 师生活动：学生先独立解答，然后请5名学生回答，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知. 定义总结： 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 把握二次项系数为 1 的完全平方式的特点： 常数项等于一次项系数一半的平方. 例题精析 例1 解下列方程： x2 - 8x + 1 = 0；（2）2x2 + 1 = 3x ； （3）3x2 - 6x + 4 = 0. 师生活动：教师示范完整的规范过程（如下）： 教师引导学生叙述解题思路并展示： 教师鼓励学生请尝试按照（1）写出（2）（3）完整解题步骤. 练一练 解方程： (1) (无锡) x2 - 2x - 5 = 0； (2) (徐州) x2 - 2x - 1 = 0. 师生活动：学生先独立解答，然后请学生回答，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知. 定义总结 对于一般的一元二次方程可配方转化成 (x + n)2 = p： 师生活动：教师引导学生回忆上节课知识，学生完成表格： 教师引导引导总结： 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 知识点2：配方法的应用 典例精析 例2 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2 4k＋5 的值必定大于零. 师生活动：学生先独立解答，然后请学生代表发言叙述思路，教师给予恰当评析并整理板书. 例3 a，b，c为△ABC的三边长，且a2 - 6a + b2 - 8b + +25 = 0 试判断△ABC的形状. 师生活动：学生先独立解答，然后请学生代表发言叙述思路，教师给予恰当评析并整理板书. 例4 用配方法求最值. 2x2 4x + 5 的最值； 3x2 + 6x 7 的最值. 师生活动：学生先独立解答，然后请学生代表板书，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知. 解：(1)原式 = 2(x 1)2 + 3 ∵ 2(x 1)≥0，∴ 2(x 1)2 + 3≥3 . 当 x = 1 时，有最小值3. (2) 原式= 3(x 1)2 －4 ∵ 3(x 1)≤0，∴ 2(x 1)2 + 3≤－4. 当 x = 1 时，有最大值 4. 总结：ax2 + bx + c (a，b，c均为常数且a≠0 ) 型代数式： 三、当堂练习 1. 解下列方程： （1）x2 + 4x - 9 = 2x - 11；（2）x(x + 4) = 8x + 12； （3）4x2 - 6x - 3 = 0； （4）3x2 + 6x - 9 = 0. 2. 利用配方法证明：不论x取何值，代数式 x2 x 1 的值总是负数，并求出它的最大值. 3. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足等式a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断△ABC的形状. 设计意图：重申引言，与第一节课相联系，使教学更具有连贯性，同时引出本节课的配方法. 设计意图：通过探究一，联系上节课所学的直接开平方法，提前让学生意识到将一般式转化为这种形式可以求解. 设计意图：通过探究二使学生发现引言中的方程可以转化为(x+n)2=p (p≥0)的形式. 设计意图：帮助学生回忆完全平方公式，并以小组讨论的形式让学生尝试把方程②化成具有方程①这种形式的方程，教师从旁引导，助力学生学会独立思考. 设计意图：通过练习巩固配方技巧，由此总结配方法的定义与特点. 设计意图：通过例题规范学生用配方法解一元二次方程的过程，再次梳理思路，强化学生计算能力. 设计意图：让学生在计算中熟练应用配方法. 设计意图：类比上节课的知识让学生讨论方程的两根，并总结用配方法解一元二次方程的一般步骤. 设计意图：掌握配方法在验证式子恒为正的应用，提高学生的应用能力. 设计意图：掌握配方法在其他方面的应用，综合提高学生的解题能力. 设计意图：引导学生用配方法求最值，发展学生的逻辑思维. 设计意图：练习用配方法解一元二次方程. 设计意图：巩固用配方法验证代数式正负性及求最值的应用. 设计意图：强化学生对配方法的掌握，提高数形结合能力.
板书设计 配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤：
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
教学反思 这节课在直接开方法的基础上探讨，让学生逐步学会通过培完全平方式解一元二次方程，养成用配方法解方程的意识. 让学生尝试自己总结配方法的步骤与意义. 本节课还要把握难点在于用配方法的实际应用，即求代数式的最值，帮助学生理清其中的逻辑思路.
