九年级上册教案
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播问题与一元二次方程
教学内容 第1课时 传播问题与一元二次方程 课时 1
核心素养目标 会用数学的眼光观察世界：能用示意图表示并抽象出题目中的数量关系，通过整式变形观察发现其中蕴含的规律. 会用数学的思维思考问题：通过所学的知识转化代数式形式及解方程，培养学生推理能力与计算能力. 会用数学的语言表达思想：养成善于利用数学的语言表示规律或数量关系的习惯，借助实际生活的问题培养应用意识.
知识目标 1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程. 2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系. 3.会找出实际问题（传播问题）中的相等关系并建模解决问题.
教学重点 会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.
教学难点 正确分析问题（传播问题）中的数量关系.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导入 二、探究新知 当堂练习 一、新课导入 观察下列视频，了解传染病的特征和防护措施，那你知道传染病是如何传染的吗？ 师生活动：教师播放视频，学生通过观看学习传染病的传染原理. 二、探究新知 知识点1：传播问题与一元二次方程 合作探究 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 师生活动： 教师提问：如何解决这一问题呢？ 学生独立思考并小组讨论，小组代表发言，若有小组用自己的方法讲解清楚，教师应予以肯定，若没有同学想出计算方法，教师可提议画示意图分析. 动手实践 请画出传染示意图 (设传染 x 轮). 师生活动：教师通过PPT放映展示示意图，并提示学生在第二轮的时候，传染源依旧传染了x人. 根据示意图，填写下列表格并作答. 师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师引导学生将多相似化为 (1+x)2 的形式. 教师请学生代表列方程解答，教师整理板书如下： 如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感 分析： 师生活动：学生独立思考，小组讨论，小组代表发言，预测学生可能用话示意图或列式方式得出规律. 教师也可引导学生列式表示轮传染后患流感人数：1 + x + x(1 + x) + x[1 + x + x(1 + x)] = (1 + x)2 + x(1 + x)2 = (1 + x)3 3 轮传染后的人数是： (1 + x)3 = (1 + 10)3 = 1331 (人). (2) n 轮传染后有多少人患流感 师生活动：学生独立思考，小组讨论，小组代表发言，预测小组能得出正确答案 (1+x) + x(1 + x) + … + x(1 + x)n-1 = (1 + x)n人 例题精析 例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少小分支 师生活动：学生先独立思考，教师可提示学生设每个支干长出 x 个小分支，并画出示意图如下： 学生独立完成，学生代表板书，教师适当点评： 链接中考 (通辽)为增强学生身体素质。提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场)现计划安排 21 场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请 x 个球队参加比赛，根据题意，可列方程______________. 师生活动：学生先独立解答，教师巡堂查看，教师请用不同方法的同学分别上台讲解，预测如下： 三、当堂练习 1. 某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次手，有多少人参加聚会？ 2. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌. (1) 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2) 按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？ 3. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数. 设计意图：借助多媒体吸引学生注意，帮助学生理解知识点，快速进入课堂. 设计意图：教师通过具体问题与画示意图分析帮助学生直观了解病毒传播的情况，加深学生对传播问题的理解. 设计意图：让学生通过观察图片列式，强化学生数学语言表达能力. 借助示意图和列表分析，培养学生学习习惯和推理能力. 设计意图：引导学生列式，学会举一反三，在整式的转化过程中发现规律，激发学生的学习兴趣与探究意识. 设计意图：区别于病毒传播问题，本题主干不会继续分化，提醒学生具体问题具体分析，养成严谨思考的习惯. 设计意图：一题多种方法解答，活跃学生思路，激发学生思考的兴趣，提高学生的解题技巧. 设计意图：巩固足球比赛类问题的解题技巧. 设计意图：强化传播类问题的解题能力. 设计意图：强化学生用数学语言表达问题的能力与解一元二次方程的熟练程度.
板书设计 传播问题 传染 (1 + x)n 支干 1 + x + x2 + … + xn
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
教学反思 教师需要引导学生分析每一轮传播的人数，让学生从计算中发现规律，体会数学模型的精妙. 另外需要让学生知道区分传播源头是否会一直传播下去，还是会像树干与枝干问题一样不会分化，这也就要求学生要认知读题与思考，避免模式化做题.九年级上册教案
21.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 平均变化率问题与一元二次方程
教学内容 第2课时 平均变化率问题与一元二次方程 课时 1
核心素养目标 会用数学的眼光观察世界：通过建立数学模型来解决增长率与降低率问题，强化学生符号意识与抽象能力. 会用数学的思维思考问题：正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型，培养学生推理意识. 会用数学的语言表达思想：养成善于利用数学的语言解释生活中的问题，发展实践能力.
知识目标 1.学会建立数学模型以解决增长率与降低率问题. 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.
教学重点 通过建立数学模型来解决增长率与降低率问题.
教学难点 正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导入 二、探究新知 当堂练习 一、新课导入 思考 小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是75分，第二次月考增长了 20%，第三次月考又增长了20%，问他第三次数学成绩是多少？ 师生活动：学生先独立思考，教师请学生叙述分析思路并整理为板书： 二、探究新知 知识点1：平均变化率与一元二次方程 探究 两年前生产1 t甲种药品的成本是5000元，生产1 t乙种药品的成本是6000元. 随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3000元，生产1 t乙种药品的成本是3600元. 哪种药品成本的年平均下降率较大？ 问题1 甲种、乙种药品年平均下降额分别是多少？ 师生活动：教师提问，学生代表回答： 甲：(5000-3000)÷2=1000 (元)； 乙：(6000-3600)÷2=1200 (元). 问题2 甲种、乙种药品年平均下降额分别是多少？它们和下降额相同吗？ 师生活动：教师出示下降率公式 动手实践 设甲下降率x，设下降率y . 请自己动手写出分析过程并尝试解答. 师生活动：教师出示表格，请学生代表填写，教师适当评价与指导，完成表格如下： 学生再独立解答，学生代表板书，教师与其余学生评价与完善板书： 教师适时追问：舍去1.775，为什么呢？ 预测学生能回答：根据实际情况，下降率应小于1，否则一年前成本为负数. 教师引导学生填空并总结. 问题3 经过计算，你能得出什么结论呢 经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格. 一般下降率不可为负，且不大于 1. 例题精析 例1 某市政府工作报告：某年全市生产总值为 1585亿元，经过连续两年增长后，预计两年后达到 2180 亿元，求某市的平均每年增长率. 师生活动：学生先独立思考，教师引导学生分析数量关系： 学生再独立解答，学生代表板书，教师与其余学生评价与完善板书： 教师引导学生总结：年均增长率需要考虑实际情况取值. 链接中考 1.(武汉青山区期中)随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的成本是 5000元，现在生产一吨药的成本是4050元. 设生产成本的年平均下降率为 x，下面所列方程正确的是 ( )
A.5000(1 + x2) = 4050 B.4050(1 + x2) = 5000 C.5000(1 - x2) = 4050 D.4050(1 - x2) = 5000 师生活动：学生先独立思考，然后请学生回答，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知. 三、当堂练习 1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量为 720 吨，平均每月的增长率是x，则可列方程( ) A. 500(1 + 2x) = 720 B. 500(1 + x)2 = 720 C. 500(1 + x2) = 720 D. 720(1 + x)2 = 500 2. 某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今、明两年的投资总额为8万元．若设该校今、明两年在实验器材投资上的年平均增长率是x，则可列方程为 .(不用化简) 3. (东营中考)“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700 kg的目标，第三阶段实现水稻亩产量 1008 kg的目标. (1) 如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； (2) 按照 (1) 中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产达到1200 kg，请通过计算说明他们的目标是否能实现. 设计意图：引入实际问题，使学生感受到增长率的应用，用直观的示意图的方式帮助学生分析题目，促使学生的学习形成正向迁移. 设计意图：将问题细分为5个小问题，帮助学生逐步分析，克服畏难心理，理清解决问题的思路，强化学生推理能力. 设计意图：通过简单的问题帮助学生明晰下降率和下降额的区别与联系. 设计意图：用表格将数量关系明晰化，进一步引导学生动手实践，培养学生思考问题的能力. 设计意图：提醒学生解决实际问题要考虑实际情况取舍. 设计意图：类比下降率探索增长率的应用，提高学生学习的迁移水平. 设计意图：通过练习巩固所学知识，锻炼学生独立分析问题并列式的能力. 设计意图：让学生通过练习巩固增长率的知识. 设计意图：让学生通过练习巩固平均变化率的知识. 设计意图：让学生通过练习巩固平均变化率的知识，提高解题技巧.
板书设计 平均变化率问题与一元二次方程 增长率：a(1 + x)n 下降率：a(1 - x)n
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
教学反思 本节课内容与实际生活紧密相关，教师可以用大量的实际例子帮助学生理解增长率、下降率以及平均变化率，让学生学会用数学眼光看待问题，并分析在此趋势下未来的发展，培养学生理性分析的思维模式.九年级上册教案
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 几何面积问题与一元二次方程
教学内容 第3课时 几何面积问题与一元二次方程 课时 1
核心素养目标 会用数学的眼光观察世界：挖掘几何问题中的代数信息，把握问题本质，发展学生数形结合思维与空间想象力. 会用数学的思维思考问题：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，培养学生推理意识. 会用数学的语言表达思想：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题，发展应用能力.
知识目标 1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型. 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.
教学重点 运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.
教学难点 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导入 二、探究新知 当堂练习 一、新课导入 引例： 要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？ 师生活动：教师播放PPT，学生先独立思考，再小组讨论. 二、探究新知 知识点1：几何图形与一元二次方程 合作探究 请尝试分析一下此题的解题思路 并回答下述五个问题. 师生活动：教师引导学生分析题意 ①根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是 27∶21 = 9∶7，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推： 教师追问：学生独立思考，学生代表发言，教师适当评价与指导，预测可得答案： 设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm 和 7a cm. 由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 ②设上、下边衬的宽均为9x cm，而不是设为x cm，这样做有什么好处？ 教师追问：学生独立思考，学生代表发言，教师适当评价与指导，预测可得答案： 列出的方程为整数式，方便计算. ③解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法吗？ 教师追问：学生独立思考，学生代表发言，教师适当评价与指导，预测可得答案： ④方程的哪个根符合实际意义？为什么？ 教师追问：学生独立思考，学生代表发言，教师适当评价与指导，预测可得答案： ⑤请尝试换一种设未知数的方法，更简单的解决上
述问题. 教师追问：学生小组讨论，小组代表展示，教师适当评价与完善板书： 方法总结： 在几何图形的面积问题中：
规则图形：面积公式. 不规则图形：割或补成规则图形，找出各部分面积之间的等量关系，再运用规则图形的面积公式列出方程. 例题精析 例1 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？ 师生活动：学生先独立解答，然后请学生代表上台板书，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知. 教师追问：还有其他列法吗？ 若有学生还有其他方法，教师都应予以肯定，若没有，教师补充讲解如下方法： 方法总结： 解决有关图形面积问题： 链接中考 (襄阳) 改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长 (AD)16 m，宽 (AB)9 m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草，要使草坪部分的总面积为 112 m2，则小路的宽应为多少？ 师生活动：学生先独立解答，然后请学生板书，教师与其余学生评价与完善板书. 三、当堂练习 1. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ） A．x2 + 130x - 1400 = 0 B．x2 + 65x - 350 = 0 C．x2 - 130x - 1400 = 0 D．x2 - 65x - 350 = 0 2.(黄冈月考)某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场. 鸡场的一边靠墙，墙的对面留有一个2 米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长为30米.
(1) 若墙长为 8米，要围成的鸡场面积是120平方米，则鸡场的长和宽各为多少米 (2) 围成的鸡场面积能达到180平方米吗？说明理由. 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点P沿AC边从点A向终点C以1 cm/s 的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为 9 cm ？ 设计意图：引入实际问题，使学生发现几何问题中的代数信息，养成用数学的眼光看问题的习惯. 设计意图：将问题细分为5个小问题，帮助学生逐步分析，克服畏难心理，理清解决问题的思路，强化学生推理能力. 设计意图：通过简单的问题帮助学生明晰矩形的长宽的数量关系，引导学生设未知数. 设计意图：提示学生简便计算，复习解一元二次方程的方法，锻炼学生的计算能力. 设计意图：提醒学生解决实际问题要考虑实际情况取舍. 设计意图：一题多种方法解答，活跃学生思路，激发学生思考的兴趣，提高学生的解题技巧. 设计意图：方法总结锻炼学生归纳能力. 设计意图：一题多种方法解答，活跃学生思路，激发学生思考的兴趣，提高学生的解题技巧，发展学生数形结合思维与空间想象力. 设计意图：讲解平移转化法，发展学生空间想象力. 设计意图：通过真题训练，培养学生举一反三和自主学习意识，提高学习的迁移水平. 设计意图：巩固列一元二次方程解决几何面积问题的能力. 设计意图：巩固用一元二次方程解决几何面积问题的能力. 设计意图：练习动点问题中一元二次方程的应用，提高应用能力.
板书设计 几何面积问题与一元二次方程 规则图形：面积公式 不规则图形：割补法
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
教学反思 本节课将代数与几何面积结合在一起，需要学生充分发挥几何想象力，教师可以借助多媒体或其他教具展示平移转换，辅助学生理解此方法，帮助学生感受动态变化中的不变的量，体会数学的巧妙之处.
