中小学教育资源及组卷应用平台
2026届山东省青岛市高三上学期部分学生8月调研检测数学试题
本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，即
故选：B
2. 复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】由，所以，
则在复平面上对应的点为位于第四象限，
故选：D.
3. 若，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以，
所以，
故选：B
4. 某工厂生产的零件尺寸服从正态分布，质检员随机抽取100个零件，尺寸在内的零件个数约为（ ）（参考数据：）
A. 68 B. 75 C. 82 D. 95
【答案】A
【解析】∵，即，
∴，
∵质检员随机抽取100个零件，
∴尺寸在内的零件个数约为：个，
故选：A
5. 二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）
A. B. 10 C. D. 5
【答案】A
【解析】的展开式的通项为，
，
则含的项的系数是.
故选：A.
6. 已知是等比数列，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，
得到，所以，由，得到，
所以，
故选：C.
7. 已知某圆台上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，
设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处，
设球O与母线切于M点，所以，所以，
所以与全等，所以，同理，所以，
过A作，垂足为G，则，，
所以，所以，所以，所以，
所以该圆台的体积为.
故选：C
8. 已知函数的定义域为，则“，，”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】先说明充分性：因为，，，
令，得到：，所以，
再令，得到，
所以，充分性成立；
再说明必要性，因为，所以，且，
所以有，必要性成立；
故“，，”是“”的充要条件.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9. 已知平面向量，则（ ）
A. B.
C. 在上的投影向量的模为 D. 与的夹角为钝角
【答案】AC
【解析】A：由题意可得，故A正确；
B：因为，
所以，故B错误；
C：在上的投影向量的模为，故C正确；
D：与的夹角的余弦为，所以夹角不是钝角，故D错误；
故选：AC.
10. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列为等差数列 B. 对任意正整数，
C. 数列一定是等差数列 D. 数列一定是等比数列
【答案】ABC
【解析】设等差数列的公差为，则，所以，.
对于A选项，，所以，为等差数列，A对；
对于B选项，对任意的，，由等比中项的性质可得，
由基本不等式可得，B对；
对于C选项，令，
所以，，
故数列一定是等差数列，C对；
对于D选项，设等比数列的公比为，
当时，，
此时，数列不是等比数列，D错.
故选：ABC.
11. 设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】ABD
【解析】由，得该圆心为，半径为，
易知该圆过原点，由，当时，
得，作出函数图象，如图，
由图可知，当时，圆与函数的图象有2个交点，
当时，圆与函数的图象有1个交点，
当时，圆与函数的图象有2个交点，
当时，圆与函数的图象有4个交点，
根据圆与函数的对称性，后续交点情况类比即可.
故选：ABD
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】根据题意可知，该双曲线的一条渐近线方程为：，故，
则其离心率为.
故答案为：.
13. 已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为______.
【答案】
【解析】由，可得，又点及附近点从左到右是上升的，则，
由，点及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得，
联立解得，，而，于是，，
若将函数的图象向右平移个单位后，得到，
则，而，因此，
所以当时，取得最小值为.
故答案为：.
14. 如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为__________.（参考数据：）
【答案】
【解析】如图，
设弧的中点为，弧所对的圆心角为，
圆的半径，在弧上取两点，则，
分别过点作圆的切线，并交直线于点，
当过点的切线刚好是圆与圆的外公切线时，劣弧上一定还存在点，使过点的切线为两圆的内公切线，
则圆的圆心只能在线段上，且不包括端点，
过点，分别向作垂线，垂足为，则即为圆的半径，
设线段交圆于点，则弧上的点与圆上的点的最短距离即为线段的长度.
在中，，
则，
即弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
（1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．
参考公式及数据；
，，
，，，，
【答案】（1）适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型
（2）
（3）估计2024年的企业利润为93.3亿元
【小问1解析】
由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型；
【小问2解析】
由题意得：，，
，
，
所以；
【小问3解析】
令，，
估计2024年企业利润为99.25亿元．
16. 如图，平面四边形中，，，．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求；
（2）求内切圆半径的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【小问1解析】
由，则由正弦定理得，
整理得，所以由余弦定理得，
又，则．
【小问2解析】
在中，，，，
由余弦定理得，得，
所以结合（1）得，即，得，
在中，由
由（1）知，
则.
又由正弦定理有，
所以，，
又，
所以
，
又，则，则，
所以，
所以．
17. 已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，.
（1）求的方程；
（2）过P作直线的垂线，垂足为N.
（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最小值.
【答案】（1）；
（2）（i）证明见解析；（ii）.
【小问1解析】
由题设且，则，
由轴时，，不妨令，代入双曲线得，
所以，则所求方程为；
【小问2解析】
（i）设，则，由斜率不为0，设，
联立双曲线并整理得，则，
所以，
由，直线，
根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上，
令，则，
因为，所以，
而，则，
所以过定点；
（ii）由，
由（i），，可得，
令，则，
由，故，当时取等号，
综上，的最小值为.
18. 在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点.
（1）设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面平面；
（ii）求球O的半径
（2）求二面角的余弦值的最小值.
【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）球O的半径为；
（2）.
【小问1解析】
在中，由，得，
所以，且，即，
（i）证明：因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，设球心，半径，
则，
所以，
解得，所以球O的半径为；
【小问2解析】
在平面中，过P作于G，在平面中，过G作，
因平面,则平面.
则由（1），
设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内，
则，
所以，
设平面一个法向量分别为，则，
即，取，则得；
平面的一个法向量为，则，
即，取，则得，
所以，
令，则由得，则，
于是
，
当且仅当即时等号成立，
所以二面角的余弦值的最小值为.
19. 给定正整数，已知对，有，，函数.
（1）若，求；
（2）若，记为的所有零点组成的集合，为的子集，它们各有个元素，且. 设，，，且，，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）证明见解析
【小问1解析】
对，由于，，
故是的极小值点，所以.
而，所以，得.
故.
【小问2解析】
（ⅰ）对，由于，故对有，对有.
所以在上递减，在上递增.
利用，可将原条件化为.
注意到，故有一个零点，记.
而，故，所以.
又因为，
且，故在上还有一个零点，记为.
从而由的单调性，知恰有两个零点，且.
而为的子集，它们各有个元素，且，故至少有个元素.
而的元素只可能在之中，这表明它们两两不等，
且.所以包含个正数，个负数.
而为的子集，它们各有个元素，且，
故和恰好就是中的一对补集，即，.
设包含个负数，个正数，则包含个负数，个正数.
由于，，，.
故，.
从而.
由于，故.
设，则，而对有，
对有，故在上单调递减，上单调递增.
再设，则，且等号只在处取到.
故单调递增，从而，
即.而在上单调递增，故，即.
所以.
故.
（ⅱ）不妨设，则根据的单调性有.
从而由有，再根据的单调性有.
由于，.
故的值，其实就是在这个数中，
选出对异号数，再计算每对之间的距离之和.
在数轴上标出这个数后，可认为就是条端点在原点异侧且端点两两不重复的线段长之和，
故相邻两个数之间的线段被计算的次数，恰为该线段两侧的端点数目较少的一侧的端点数目.
这就说明的值和的具体元素的选取无关，而在，
时，有，
所以任何情况下都有.
由的单调性，知对有，故，即.
对，取，得；取，
得，从而.
由于，故由上面的结论知
，.
所以.
从而由知
.
设，则.
设，则，故对有，
所以在上递增，从而对有.
所以对有，故在上递增，
从而对有.
又由于，故
.
所以，即.
故.
综上，有.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2026届山东省青岛市高三上学期部分学生8月调研检测数学试题
本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 若，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
4. 某工厂生产的零件尺寸服从正态分布，质检员随机抽取100个零件，尺寸在内的零件个数约为（ ）（参考数据：）
A. 68 B. 75 C. 82 D. 95
5. 二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）
A. B. 10 C. D. 5
6. 已知是等比数列，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知某圆台上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的定义域为，则“，，”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 已知平面向量，则（ ）
A. B.
C. 在上的投影向量的模为 D. 与的夹角为钝角
10. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列为等差数列 B. 对任意正整数，
C. 数列一定是等差数列 D. 数列一定是等比数列
11. 设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为________．
13. 已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为______.
14. 如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为__________.（参考数据：）
15. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
（1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．
参考公式及数据；
，，
，，，，
16. 如图，平面四边形中，，，．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求；
（2）求内切圆半径的取值范围．
17. 已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，.
（1）求的方程；
（2）过P作直线的垂线，垂足为N.
（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最小值.
18. 在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点.
（1）设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面平面；
（ii）求球O的半径
（2）求二面角的余弦值的最小值.
19. 给定正整数，已知对，有，，函数.
（1）若，求；
（2）若，记为的所有零点组成的集合，为的子集，它们各有个元素，且. 设，，，且，，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）.
综上，有.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
