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2026届四川省广安市三区联考高三上学期8月月考数学试题
注意事项
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前， 务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
3.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂对应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
4.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
5.考试结束后， 将答题卡、试卷、草稿纸全部交回.
请考生注意：所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
预祝你们考试成功
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，是全集的三个子集，定义：表示集合中元素的个数，若，，则所有的有序子集列有（ ）
A. 360个 B. 640个 C. 960个 D. 1920个
【答案】C
【解析】由，得从全集中选择3个元素分别作为中的元素，不同方法种数是，
余下的两个元素中的每一个元素只能是属于中的一个或都不属于这3个集合，
因此余下的两个元素中的每一个元素都有4种不同的选择方法，
所以所有的有序子集列有个.
故选：C
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】由题意可得.
故选：B.
3. 已知三棱柱的体积为12，则三棱锥的体积为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】三棱锥与三棱柱等底等高，则三棱锥的体积是三棱柱体积的，即三棱锥的体积为4.
故选：B
4. 设一组样本的容量为60，经过数据整理，得出了如下所示的频数分布表，则该组样本的第75百分位数为（ ）
数据分组区间
频数 16 20 12 6 6
A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
【答案】C
【解析】因为，，，
故第75百分位数必在内，
设第75百分位数为，则有，解得.
故选：C.
5. 等差数列前n项和为，，则（ ）
A. 32 B. 42 C. 52 D. 62
【答案】C
【解析】由等差数列得：，
，即，
；
故选：C．
6. 函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则的值是（ ）
A. B.
C. 1 D.
【答案】D
【解析】由题意可知该函数的周期为，所以，
f(x)＝tan 2x，所以
故选：D
7. 设分别是直线和圆上的动点，则的最小值是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】B
【解析】
圆方程可化为：，故圆心，半径，
∴圆心到直线的距离，
∴的最小值为.
故选：B.
8. 函数及其导函数的定义域均为．若，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，则，
，，即在R上单调递减，
又，则不等式等价于，
，即，
，解得.
所以不等式的解集为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关于向量的说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若动点P满足，则点P为的重心
C. 若且，则
D. 若非零向量，满足，则
【答案】BD
【解析】解：对于A，因为零向量与任何向量平行，当时，不满足题意；故错误；
对于B，因为，
所以，即，
取中点，连接，
则，
所以，
所以点P为的重心，故正确；
对于C，因为且，
所以，
所以或，即，
所以或，故C错误；
对于D，因为非零向量，满足，
所以，，
所以，
所以，故D正确.
故选：BD.
10. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与相交于两点，为弦的中点，于点，为与的交点，则（ ）
A. B.
C. D. 若，且，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】如图，作于点于点．
对于A，由抛物线的定义得，，所以，
所以是以为斜边的直角三角形，即，故A正确；
对于B，由，，得，所以，
因为，所以，又，
所以，所以，所以，故B正确；
对于C，在中，由，可知，所以，
所以，所以，故C错误；
对于D，设直线交准线于点，直线的倾斜角为，，
则，则，由，可得，
所以，因为是关于的减函数，
又，所以，所以，
又．所以的取值范围是，故D正确．
故选：ABD．
11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则是直角三角形
D. 若为锐角三角形，则
【答案】BCD
【解析】对于A：若，
则可得或或，即或或，故A错误；
对于B：若，则由正弦定理可得，则，
所以，即，故B正确；
对于C：若，由余弦定理可得，
即，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，即，所以是直角三角形，故C正确；
对于D：因为为锐角三角形，所以，所以，
所以，同理可得，，
所以，
则
，
即，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是______．
【答案】
【解析】过直线与的交点，
故，解得，故交点坐标；
故过点且与直线垂直的直线方程为，整理得．
故答案为：．
13. 已知角满足，则__________.
【答案】2
【解析】由题意，可得，
因为，可得，
则
，
整理得，所以.
故答案为：.
14. 五边形中，若把顶点、、、、染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染的颜色不相同，则不同的染色方法有__________种．
【答案】30
解析：由题意知本题需要分类来解答，
首先A选取一种颜色，有3种情况.
如果A的两个相邻点颜色相同，2种情况；
这时最后两个边也有2种情况；
如果A的两个相邻点颜色不同，2种情况；
这时最后两个边有3种情况.
∴方法共有3(2×2+2×3)=30种.
四、解答题：共5小题，其中15小题满分13分，16和17小题每小题满分15分，18和19小题每小题满分17分，大题满分77分.
15. 2024年高考数学全国1卷采用新的试卷结构，其中多选题（每道题有A，B，C，D四个选项，考查位置：第9~11题），得分规则变化较大，具体如下：
多选题（每题6分） 得分情况
正确选项个数 2个（如） 选对1个（选A或C） 3分
选对2个（选） 6分
3个（如） 选对1个（选A或B或D） 2分
选对2个（选或或） 4分
选对3个（选） 6分
为让学生适应新试卷结构，某学校组织了一场考试．已知每道多选题随机地从四个选项中做选择，每个选项是否正确相互独立．每道题正确选项为2个或3个的概率均为．
（1）第10题已知A选项是正确的，甲同学已判断出来，但其他选项不确定，所以只填了A选项，记甲同学第10题得分为X，求．
（2）第11题甲同学毫无头绪，随机填了A选项，记甲同学第11题得分为Y，求．
（3）若本次考试第9~11题正确选项都为2个，乙同学每道题都得满分，甲同学知道后说：“这3道题有些知识点你是会的．”若乙同学三道题都随机选择两个选项，求乙每道题都得分的概率p，并根据p值大小判定甲同学的话是否正确．（p值保留两位有效数字）
【答案】（1）
（2）
（3），甲同学的话是正确的．
小问1解析】
由题，X的可能取值为2或3，因为每道题正确选项为2个或3个的概率均为，
所以，
所以X的分布列如下：
X 2 3
P
所以.
【小问2解析】
由题，Y的可能取值为0，2，3，
因为，
，
，
所以Y的分布列如下：
Y 0 2 3
P
所以.
【小问3解析】
设事件M：“乙同学在某道题上选两个选项且得分”，
则，
设事件N：“乙同学每道题都得分”，
所以，
故事件N为小概率事件，所以乙同学不可能每道题都乱答且得满分，甲同学的话是正确的．
16. 等差数列的前项和为，已知.
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最大值.
【答案】（1）；
（2），最大值为16
【小问1解析】
设等差数列的首项为，公差为，
则，解得，
故数列的通项公式为；
【小问2解析】
由（1），
故当时，取得最大值，最大值为16.
17. 已知椭圆的短轴长为4，离心率为过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，在的左侧).
（1）求椭圆C方程；
（2）若直线与直线交于点M，的面积为求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【小问1解析】
由题意可得：，解得：，
故，，，
所以椭圆C的方程为.
【小问2解析】
当直线斜率为0时，不符合题意，舍去.
当直线斜率不为0时，设直线方程为，设，
联立，得，
易知，则，.
易知，，
所以直线：①，直线：②，
联立①②，
所以，
因为，
所以，
解得，
故直线的方程为或.
18. 如图，在正四棱柱中，是的中点，且.
（1）证明：平面.
（2）证明：平面
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【小问1解析】
在正四棱柱中，连接，连接，则为中点，
而是的中点，则，又平面，平面，
所以平面.
【小问2解析】
四边形是正四棱柱的对角面，则四边形为矩形，
在正方形中，，则矩形为正方形，，而，
因此，又平面，平面，则，又，
平面，于是平面，而平面，
因此，又平面，
所以平面.
19. 已知函数．
（1）若曲线在处的切线平行于直线，求的值以及函数的最小值；
（2）证明：对一切的，都有；
（3）当时，若曲线与曲线存在两交点，记直线的斜率为，证明：．
【答案】（1），最小值为4；
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【小问1解析】
由题意，，所以，
所以，
法1：，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以．
法2：，
当且仅当，即时，取等号，所以函数的最小值为4；
【小问2解析】
证明：先证，则．
设，则，
因为，所以，即在上单调递增，又，
所以当时，，
当，则，所以；
同理，当，则也成立；
所以，则．
【小问3解析】
设，其中，由（2）知，则，
取，得，，所以①，
将和相减，得，，所以代入①，
所以，即．
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注意事项
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前， 务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
3.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂对应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
4.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
5.考试结束后， 将答题卡、试卷、草稿纸全部交回.
请考生注意：所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
预祝你们考试成功
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，是全集的三个子集，定义：表示集合中元素的个数，若，，则所有的有序子集列有（ ）
A. 360个 B. 640个 C. 960个 D. 1920个
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. 8 D. 10
3. 已知三棱柱的体积为12，则三棱锥的体积为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
4. 设一组样本的容量为60，经过数据整理，得出了如下所示的频数分布表，则该组样本的第75百分位数为（ ）
数据分组区间
频数 16 20 12 6 6
A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
5. 等差数列前n项和为，，则（ ）
A. 32 B. 42 C. 52 D. 62
6. 函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则的值是（ ）
A. B.
C. 1 D.
7. 设分别是直线和圆上的动点，则的最小值是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
8. 函数及其导函数的定义域均为．若，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
9. 下列关于向量的说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若动点P满足，则点P为的重心
C. 若且，则
D. 若非零向量，满足，则
10. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与相交于两点，为弦的中点，于点，为与的交点，则（ ）
A. B.
C. D. 若，且，则的取值范围为
11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则是直角三角形
D. 若为锐角三角形，则
12. 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是______．
13. 已知角满足，则__________.
14. 五边形中，若把顶点、、、、染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染的颜色不相同，则不同的染色方法有__________种．
15. 2024年高考数学全国1卷采用新的试卷结构，其中多选题（每道题有A，B，C，D四个选项，考查位置：第9~11题），得分规则变化较大，具体如下：
多选题（每题6分） 得分情况
正确选项个数 2个（如） 选对1个（选A或C） 3分
选对2个（选） 6分
3个（如） 选对1个（选A或B或D） 2分
选对2个（选或或） 4分
选对3个（选） 6分
为让学生适应新试卷结构，某学校组织了一场考试．已知每道多选题随机地从四个选项中做选择，每个选项是否正确相互独立．每道题正确选项为2个或3个的概率均为．
（1）第10题已知A选项是正确的，甲同学已判断出来，但其他选项不确定，所以只填了A选项，记甲同学第10题得分为X，求．
（2）第11题甲同学毫无头绪，随机填了A选项，记甲同学第11题得分为Y，求．
（3）若本次考试第9~11题正确选项都为2个，乙同学每道题都得满分，甲同学知道后说：“这3道题有些知识点你是会的．”若乙同学三道题都随机选择两个选项，求乙每道题都得分的概率p，并根据p值大小判定甲同学的话是否正确．（p值保留两位有效数字）
16. 等差数列的前项和为，已知.
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最大值.
17. 已知椭圆的短轴长为4，离心率为过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，在的左侧).
（1）求椭圆C方程；
（2）若直线与直线交于点M，的面积为求直线的方程.
18. 如图，在正四棱柱中，是的中点，且.
（1）证明：平面.
（2）证明：平面
19. 已知函数．
（1）若曲线在处的切线平行于直线，求的值以及函数的最小值；
（2）证明：对一切的，都有；
（3）当时，若曲线与曲线存在两交点，记直线的斜率为，证明：．
所以，即．
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