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2026届云南省玉溪第一中学高三上学期开学考试数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，，若，则
A. 有最小值 B. 有最小值
C. 有最大值 D. 有最大值
4. 已知等差数列的前项和为，且，若，，成等比数列，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 已知是偶函数，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
6. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ）
A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1
C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1
8. 足球是由个正五边形和个正六边形组成的．如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的正五边形展开放平，若正多边形边长为，、、分别为正多边形的顶点，则（ ）
A. B.
C. D.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，且，则
B 设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位
C. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，则
10. 已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A. 存在，使得
B. 当时，与垂直
C. 对任意，都有
D. 当时，在方向上的投影的数量为
11. 在棱长为的正方体中，点 E， F分别是棱BC的中点，下列选项中正确的是（ ）
A. 直线EF与所成的角为
B. 平面AEF截正方体所得的截面面积为
C. 若点P满足其中则三棱锥的体积为定值
D. 以为球心，4为半径作一个球，则该球面与三棱锥表面相交的交线长为
12. 已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______．
13. 已知，，则______．
14. 数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为.若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有______个.若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为______.
15. 已知函数.
（1）当时，求在区间上的值域；
（2）若存在，当时，，求的取值范围.
16. 已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）点在边上，且，求的周长．
17. 如图，四棱台中，上 下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.
（1）求证：∥平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由
18. 足球是一项大众喜爱的运动.卡塔尔世界杯揭幕战将在年月日打响，决赛定于月日晚进行，全程为期天．
（1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各名观众进行调查，得到列联表如下：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男性
女性
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？
（2）校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
①求（直接写出结果即可）；
②证明：数列为等比数列，并判断第次与第次触球者是甲的概率的大小．
附：，．
19. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，.
（1）求Γ的方程；
（2）对于给定的非空点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.
（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求；
（ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：.
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2026届云南省玉溪第一中学高三上学期开学考试数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以．
故选：B．
2. 复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】变形得，
所以.
故选：A.
3. 已知，，若，则
A. 有最小值 B. 有最小值
C. 有最大值 D. 有最大值
【答案】A
【解析】由题意，可知，，且，
因为，则，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，取得最小值，
故选A．
4. 已知等差数列的前项和为，且，若，，成等比数列，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】根据题意，设等差数列公差为d，
则，
又，
所以，
即，
若，，成等比数列，则，
则，
即
解得：
故选：C
5. 已知是偶函数，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】因为为偶函数，则，
又因不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
6. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，因此，而，所以.
故选：A
7. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ）
A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1
C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1
【答案】C
【解析】AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，
则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为，
故恒成立，
故在R上单调递增，则A，B显然错误；
对于C，D，，
由图像可知时，，
当时，，
所以上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，也为最大值，且，C正确，D错误．
故选：C
8. 足球是由个正五边形和个正六边形组成的．如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的正五边形展开放平，若正多边形边长为，、、分别为正多边形的顶点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】连接，由余弦定理可得，
易知正五边形的每个内角为，
所以，
，则，
，
，
，
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，且，则
B 设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位
C. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，则
【答案】ABD
【解析】对于选项A，由，，则，所以，故正确；
对于选项B，若有一个回归方程，变量x增加1个单位时，，故y平均减少5个单位，正确；
对于选项C，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误；
对于选项D，在某项测量中，测量结果服从正态分布，由于正态曲线关于对称，则，正确.
故选：ABD.
10. 已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A. 存在，使得
B. 当时，与垂直
C. 对任意，都有
D. 当时，在方向上的投影的数量为
【答案】BD
【解析】对：若，则，即，故不存在这样的使得，故A错误；
对：当时，则，
则，则与垂直成立，故B正确；
对：若，则，得，即，
，此时存在，故C错误；
对：因为，即，结合，
解得，所以，
在方向上的投影的数量为，故D正确．
故选：BD．
11. 在棱长为的正方体中，点 E， F分别是棱BC的中点，下列选项中正确的是（ ）
A. 直线EF与所成的角为
B. 平面AEF截正方体所得的截面面积为
C. 若点P满足其中则三棱锥的体积为定值
D. 以为球心，4为半径作一个球，则该球面与三棱锥表面相交的交线长为
【答案】BCD
【解析】
解：对于A，连接因为E，F分别是棱BC，的中点，所以
所以直线EF与所成的角为
因为几何体是正方体，所以为等边三角形，
所以，即直线EF与所成的角为，故A错误；
对于B，连接因为平行且相等，故四边形为平行四边形，
所以，所以
所以平面AEF截正方体所得的截面为梯形
因为，，梯形的高为，
所以梯形的面积为故B正确.
对于C，因为其中，所以，
所以 ，所以P点在线段上 ，
又因为与平行平面平面
所以P到平面的距离为定值，三角形的面积为定值，
所以为定值.故C正确；
对于D，因为 是直角三角形，球面与这两个面的交线和为以为圆心，圆心角为以4为半径的圆弧，其弧长为，
是直角三角形，球面与这个面的交线是以B为圆心，圆心角，半径为2的圆弧，其弧长为，
是等边三角形，球面与这个面的交线是以为圆心，圆心角，半径为4的圆弧，其弧长为
所以球面与三棱锥表面的交线长为， 故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______．
【答案】
【解析】由函数满足，则，所以的周期为，
由，则，
可得的图象如图，
方程的解，即为与的交点横坐标，
且当时，
由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为.
故答案为：
13. 已知，，则______．
【答案】
【解析】由得：,
由得：,
所以，,
所以.
故答案为：
14. 数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为.若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有______个.若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为______.
【答案】 ①. 240 ②.
【解析】由数字组成的五位五进制数，要求每个数字都要出现，
则需要先从中选取一个数字作为重复出现的数字，
再将不重复出现的3个数字从五个位置中选3个进行排列，
最后剩余两个位置排重复数字，
故所求不同的五位五进制数共有个，
数字组成的三位五进制数总共有个，
设这个三位五进制数从左到右的数字分别为，
转化成十进制数后此数为，
此数能被3整除等价于能被3整除，
因为，所以能被3整除的只有三种情况，
若，则的取值有、两种，
若，则的取值有、、、、五种，
若，则的取值有、两种，
故能被3整除的数共有个，则所求概率为.
故答案为：240，
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）当时，求在区间上的值域；
（2）若存在，当时，，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1解析】
因为，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增.
因为，，，且，
所以的值域是.
【小问2解析】
因为.
①若，当时，，所以在上递增，
所以，不符合题意.
②若，当时，；当时，，
所以在上递减，在上递增，
要存在，当，，
则只需，所以.
16. 已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）点在边上，且，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【小问1解析】
由及正弦定理得，
所以，
所以，
因，所以，所以．
【小问2解析】
在中，，解得，
在中，，所以，
所以周长．
17. 如图，四棱台中，上 下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.
（1）求证：∥平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由
【答案】（1）详见解析；
（2）；
（3）存在点，此时.
【小问1解析】
证明：因为平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，则
，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
因为，
所以，所以，
又因为平面，
所以∥平面；
【小问2解析】
解：由（1）知，，
所以点到平面的距离为；
【小问3解析】
解：假设边上存在点满足条件，，
则，
设直线与平面所成角为，
由题意可得，
化简得，则或（舍去），
即存在点符合题意，此时.
18. 足球是一项大众喜爱的运动.卡塔尔世界杯揭幕战将在年月日打响，决赛定于月日晚进行，全程为期天．
（1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各名观众进行调查，得到列联表如下：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男性
女性
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？
（2）校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
①求（直接写出结果即可）；
②证明：数列为等比数列，并判断第次与第次触球者是甲的概率的大小．
附：，．
【答案】（1）认为喜爱足球运动与性别有关
（2）① ；②证明见解析，第次触球者是甲的概率大
【小问1解析】
假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过.
【小问2解析】
①由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，
故传给甲的概率为，故．
②第次触球者是甲的概率记为，
则当时，第次触球者是甲的概率为，第次触球者不是甲的概率为，
则，可得，
且，所以是以为首项，公比为的等比数列；
可得，所以，
则，，
所以第次触球者是甲的概率大.
19. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，.
（1）求Γ的方程；
（2）对于给定的非空点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.
（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求；
（ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：.
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【小问1解析】
因为当垂直于轴时，，而直线与Γ相切，则，解得，
又椭圆的离心率为，则椭圆的半焦距，，
所以的方程为.
【小问2解析】
（i）当的斜率存在时，设的方程为：，
由消去得：，
由直线与椭圆相切，得，整理得，
于是圆心到直线的距离，
则的面积为，
设，求导得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因此当时，取得最大值，此时，
当的斜率不存在时，由（1）知，，
由，得，则.
对于线段上任意点，连接并延长与圆交于点，则是圆上与最近的点，
当为线段的中点时，取得最大值，所以.
（ii）因为均存在，
设点，且，
设是集合中到的最近点，根据对称性，不妨设，
令点到集合的最近点为，点到集合的最近点为，
因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则，
因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则，
因此，
而在坐标平面中，，又点是集合中到点的最近点，则，
所以.
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