中小学教育资源及组卷应用平台
2026届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考卷（一）数学（B卷）
一、单选题
1．若全集，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】集合 ，集合.
因为全集 （所有实数）,所以 .
选项 A: 取（因为 )，但 （因为 仅包含正实数），因此，，选项 A 错误；
选项 B: 取（当 时，)，但 （因为 )，因此，，选项 B 错误；
选项 C: ，，对于任意 ，有 ，所以 ，因此，，选项 C 正确；
选项 D: ，，取 ，但 ，所以 ，因此，，选项 D 错误.
故选： C.
2．已知复数z满足：，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，
故选：B
3．下列说法正确的是（ ）
A．某单位有男职工60人，女职工40人，其中男职工平均年龄为36岁，女职工平均年龄为30岁，则该单位全体职工的平均年龄是33岁
B．已知随机变量，若，则
C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1
D．某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量Y，则
【答案】D
【详解】对A，单位男职工概率为，女职工概率为，
其中男职工平均年龄为36岁，女职工平均年龄为30岁，
则该单位全体职工的平均年龄是岁，故A错误；
对B，随机变量，若，则，
则，故B错误；
对C，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数绝对值越接近于1，故C错误；
对D，某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量，
则服从二项分布，即，所以，
所以，故D正确.
故选：D
4．已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由图象过点可知，AC选项满足，BD选项不满足，故排除BD；
对A，，而对于C，，故排除C.
故选：A
5．双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上，且，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题知，，
又，则的横坐标为，
根据对称性不妨设在轴上方，
由，解得，则，
于是，故，
即，，化简可得，
于是，即，
故渐近线方程为：.
故选：B
6．球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．四面体的外接球直径为，且，，则A、B两点在外接球上的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】球的半径为， 设球心为O，，
所以在中，由于，，所以，
所以A、B两点之间的球面距离为
故选：C
7．已知数列的前n项和为，，，（ ）
A．300 B．301 C．324 D．325
【答案】B
【详解】由得，，
两式作差得，
则
.
故选：B
8．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过l上一点P作圆的两条切线，切点分别为M、N，设线段的中点为Q，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】设点，，
因为是圆的切线，所以，
所以在以为直径的圆上，
其圆的方程为，
又在圆上，
则将两个圆的方程作差得直线的方程：，
即，所以直线恒过定点，
又因为，四点共线，所以，
即在以为直径的圆上，
其圆心为，半径为，
所以，
所以的最大值为.
故选：D．
二、多选题
9．已知函数，则下列正确的是（ ）
A．在上的值域为
B．是图象的一条对称轴
C．将图象上的所有点向右平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称
D．在区间上有6个零点
【答案】BC
【详解】由题意得，
，
对于A，，则，则，
则，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，平移后的函数解析式为，是偶函数，故C正确；
对于D，令，则，
令，得，则，
则在区间上有4个零点，故D错误.
故选：BC
10．正方体中，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．直线与平面所成角的取值范围为
D．直线与直线所成的角为定值
【答案】ABD
【详解】
对于A，在正方体中，平面，平面，则，
因，平面，故平面，
因平面，故，同理可得，
因平面，则平面，
又点P为线段上的动点，即平面，故，故A正确；
对于B，易证，因平面，平面，故平面，
则点到平面的距离不变，又的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C，如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，
因点P为线段上的动点，设，，则，
因，设平面的法向量为，
则，故可取，
设直线与平面所成角为，则，
因在上单调递减，故，故得，故C错误；
对于D，根据C项建系，可得，设直线与直线所成的角为，
则，即，故D正确.
故选：ABD.
11．已知，下列正确的是（ ）
A．当时，的值域为
B．当时，有2个零点
C．若有两个不同的极值点，则a的取值范围为
D．过点可作的两条切线，则a的取值范围为
【答案】ACD
【详解】当时，，，当时，，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以且时，，所以的值域为，故A正确；
当时，，由可得
，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以无解，即无零点，故B错误；
，由函数有两个极值点，得，即有两个实数根，令，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递增，上单调递减，，
且，当时，函数恒成立，因此当时，有两个实数根，所以函数有两个极点时，的取值范围是，故C正确；
由，设过点的直线与曲线相切时的切点为，斜率，切线方程为，
而点在切线上，则，即有，由过点可作曲线两条切线，得方程有两个不相等的实数根，令，
则函数有2个零点，求导得，
①若，由，得或，由，得，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得极大值；当时，取得极小值，
又，
当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意；
②若，恒成立，函数在上单调递增，
因此函数最多1个零点，不合题意；
③若，由，得或，由，得，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得极大值；当时，取得极小值，又，
显然当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意；
④若，显然，当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，要函数有2个零点，必有，得，
当时，，
而函数在上的值域为，因此在上的值域为，当时，令，求导得，函数在上单调递减，则，，
而函数在上单调递减，值域为，因此函数在上的值域为，于是当时，函数有两个零点，
所以过点可作曲线两条切线时，的取值范围是，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
12．若平面向量，，，则实数 ．
【答案】
【详解】由题意有，
所以，
故答案为：.
四、单选题
13．某校5名同学参加，，三项志愿者服务工作，每名同学参加一项工作，每项工作至多需要2名同学．若同学甲参加工作，则不同的安排方法共有 种．
【答案】30
【详解】若只有甲同学参加工作，则共有（种）安排方法；
若除同学甲外，还有一名同学参加工作，则共有（种）安排方法；
故共有（种）安排方法.
故答案为：30.
五、填空题
14．定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”．已知锐角三角形的外接圆半径为2，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．分别以a，b，c为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，则平面区域D的“直径”的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由正弦定理可得，其中，由，则，
由题意可作图如下：
易知平面区域D的“直径”为半圆弧上的两点连线，取的中点分别为，
由，则即的长小于等于周长的一半，当与重合时取等，
同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于周长的一半，因此区域的“直径”为的周长的一半，
由正弦定理可得
，
在锐角三角函数中，易知，解得，则，
可得，所以.
故答案为：.
六、解答题
15．已知正项等差数列的公差为2，的前n项和为，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意有，又因为，，成等比数列，
所以，即，
化简整理得，解得，所以；
（2）由（1）有，所以，
所以
.
16．如图，已知四棱锥，底面，，，，，E为棱上靠近点P的三等分点．
(1)证明：直线平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，记，连接，如下图：
在梯形中，易知，则，
由题意可得，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）由题意易知两两垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
可得，，，
设平面的法向量，则，
令，则，所以平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则.
17．“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
学历 使用情况 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 50 50 100
合计 115 85 200
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，．
（i）求比赛结束后甲获胜的概率；
（ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)认为DeepSeek的使用情况与学历无关
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）由题意有：零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，，
所以据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关；
（2）（i）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为，
所以，，
比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30，
所以，，
所以比赛结束后甲获胜的概率，
（ii）设事件“比赛结束后甲获胜”，事件“比赛结束时乙恰好答对一道题”，
,
所以，
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为．
18．已知函数，
(1)求函数的单调区间；
(2)函数，当时，函数和的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由函数，求导可得，
令，即，因为恒成立，所以，解得，
令，即，因为恒成立，所以，解得，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）因为当时，函数和的图象上分别存在点和关于轴对称，
那么与在上有交点，即在上有解，
令，则函数在上存在零点，
求导可得，令，
求导可得，由，则在恒成立，
所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增，，
当时，，，则，使得，
由得，由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
由，，则显然成立，
所以函数在上存在零点，符合题意；
当时，，则在上恒成立，
所以函数在上单调递增，则，
显然函数在上不存在零点，不符合题意.
综上所述，.
19．将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的离心率为，点在E上．
(1)求E的方程；
(2)设椭圆G与椭圆E在“一簇椭圆系”中，椭圆G的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若过M的直线l交椭圆E于另一点N，l交椭圆G于A，B两点．
（i）证明：；
（ii）O为坐标原点，P为椭圆G的右顶点，若点A在第一象限，且，是否存在椭圆G使得，若存在，求出椭圆G的方程；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）由题意可得椭圆的离心率，可设，，则，
由椭圆，则椭圆，代入，可得，解得，
所以椭圆.
(2)
（i）因为椭圆与椭圆在＂一簇椭圆系＂中，所以椭圆的离心率，
设椭圆的方程为，则，即，所以椭圆的方程为，
当直线的斜率不存在时，方程为，则，，，显然，
设直线的方程为，设，，，
联立，将代入得，
展开得，整理为，则，
联立，将代入得，
展开得，两边同乘得，
即，易知，
由韦达定理，
设的中点为，则，，
的中点也为，
所以与的中点重合，根据椭圆的对称性可知.
（ii）因为，设，
则，即，
由，则，
将代入得，，
再代入得，化简得，
由，，则直线的斜率，
即直线的方程为，过作轴，交于，
由，则，解得，
即
已知，，
因为，由可得，
由位于第一象限，则，由，则，代入，
化简可得，解得，所以椭圆的方程为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2026届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考卷（一）数学（B卷）
一、单选题
1．若全集，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足：，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．某单位有男职工60人，女职工40人，其中男职工平均年龄为36岁，女职工平均年龄为30岁，则该单位全体职工的平均年龄是33岁
B．已知随机变量，若，则
C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1
D．某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量Y，则
4．已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A． B．
C． D．
5．双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上，且，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．四面体的外接球直径为，且，，则A、B两点在外接球上的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列的前n项和为，，，（ ）
A．300 B．301 C．324 D．325
8．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过l上一点P作圆的两条切线，切点分别为M、N，设线段的中点为Q，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
9．已知函数，则下列正确的是（ ）
A．在上的值域为
B．是图象的一条对称轴
C．将图象上的所有点向右平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称
D．在区间上有6个零点
10．正方体中，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．直线与平面所成角的取值范围为
D．直线与直线所成的角为定值
11．已知，下列正确的是（ ）
A．当时，的值域为
B．当时，有2个零点
C．若有两个不同的极值点，则a的取值范围为
D．过点可作的两条切线，则a的取值范围为
12．若平面向量，，，则实数 ．
13．某校5名同学参加，，三项志愿者服务工作，每名同学参加一项工作，每项工作至多需要2名同学．若同学甲参加工作，则不同的安排方法共有 种．
14．定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”．已知锐角三角形的外接圆半径为2，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．分别以a，b，c为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，则平面区域D的“直径”的取值范围是 ．
15．已知正项等差数列的公差为2，的前n项和为，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和．
16．如图，已知四棱锥，底面，，，，，E为棱上靠近点P的三等分点．
(1)证明：直线平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
学历 使用情况 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 50 50 100
合计 115 85 200
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，．
（i）求比赛结束后甲获胜的概率；
（ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．已知函数，
(1)求函数的单调区间；
(2)函数，当时，函数和的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，求a的取值范围．
19．将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的离心率为，点在E上．
(1)求E的方程；
(2)设椭圆G与椭圆E在“一簇椭圆系”中，椭圆G的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若过M的直线l交椭圆E于另一点N，l交椭圆G于A，B两点．
（i）证明：；
（ii）O为坐标原点，P为椭圆G的右顶点，若点A在第一象限，且，是否存在椭圆G使得，若存在，求出椭圆G的方程；若不存在，说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
