八年级数学上册沪科版 第11章《平面直角坐标系》平面直角坐标系中的面积问题 题型复习题（含答案）

第11章《平面直角坐标系》复习题--平面直角坐标系中的面积问题
【题型1 求三角形的面积】
1.如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（ ）
A．19 B．20 C．21 D．21.5
2.平面直角坐标系中，由点组成的的面积是 ．
3.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，．
(1)画出三角形；
(2)将三角形向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度，得到三角形，画出三角形；
(3)直接写出点的坐标；
(4)直接写出三角形的面积．
4.在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点，点，，则的面积是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【题型2 求四边形的面积】
1.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积 （用含有k的式子表示）
2.如图，的顶点的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到．
（1）若，则的长为 ；
（2）连接，在（1）的条件下，则四边形的面积是 ．
3.在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移至线段．若点和恰好都在两坐标轴上，且点在轴的负半轴上，则四边形的面积是 ．
4.如图在平面直角坐标系中将向右平移得到，其中点A坐标为，点C坐标，点D坐标，点坐标，则在平移过程扫过的面积即四边形的面积为 ．
【题型3 由面积的值求解】
1.已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
2.已知点和点两点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12，则点A的坐标为 ．
3.如图所示，在长方形中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为，有一动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线移动，到A点停止运动．在点P移动的过程中，当三角形的面积是8时，则P点运动的时间为 秒．
4.如图，长方形在平面直角坐标系中，其中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点．若点运动的时间为秒，那么当的面积等于时，点坐标为 ．
【题型4 由面积相等求解】
1.如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，点D是x轴上一个动点，当的面积等于的面积时，点D的坐标为 ．
2.在平面直角坐标系中，有点A（2，4），点B（0，2），若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形AOC和三角形AOB面积相等，则点C的坐标为 ．
3.在平面直角坐标系中，，，，点P在x轴上，且与的面积相等，则点P的坐标为 ．
4.在平面直角坐标系中，，，，则三角形的面积为 ，如果在y轴上存在一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为 ．
【题型5 由面积间的关系求参数】
1.在平面直角坐标系中，已知点，，，，已知三角形的面积是三角形面积的2倍，则m的值为（ ）
A． B．2 C．或2 D．14或
2.如图，在平面直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别为，，，，P是y轴正半轴上一点，连接，若三角形的面积等于四边形面积的，则点P的坐标为 ．
3.如图，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标分别为，，．若在内中存在一点，使得的面积是的面积的9倍，则点的坐标为 ．
4.在平面直角坐标系中，已知点，，，．
（1）四边形的面积为 ；
（2）若轴上存在点，使的面积恰为四边形的面积的，则点坐标为 ．
【题型6 直线分图形面积】
1.如图，、、、，点在轴上，直线将四边形的面积分成两部分，则的长为 ．
2.七个边长为2的正方形按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，直线l经过点且将这七个正方形的面积分成相等的两部分，则直线l与x轴的交点B的横坐标为 ．
3.综合与实践
如图，点，分别在轴、轴上，，点的坐标为，．
(1)点的坐标是_____，点的坐标是_____．
(2)有一个智能小车，现从平面直角坐标系的原点出发，沿着轴向下匀速移动，移动速度为个单位长度/秒，将智能小车和点的连线记为线段．当线段将四边形分成面积相等的两部分时，智能小车停止移动，求智能小车移动的时间．
(3)在（2）的条件下，智能小车停止移动时，将智能小车移动到轴上的某点，连接．请问将智能小车停在轴上的哪个坐标时，能使得三角形的面积与四边形的面积相等？
4.在平面直角坐标系中，已知点,，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C，连接．当将四边形的面积分成两部分时，那么点P的坐标为 ．
【题型7 求不规则图形的面积】
1.如图，在平面直角坐标系中，点，点，将三角形向下平移2个单位长度得到三角形，与轴交于点，，则阴影部分面积是 ．
2.如图，这是某县的部分平面简图．

(1)请在图上建立适当的平面直角坐标系，并分别写出宾馆、文化宫、医院的坐标；
(2)在（1）的条件下，如果把人的行走看作平移，某人从医院出发，先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度到达超市，请在图上标出超市的位置，并写出它的坐标；
(3)顺次连接表示宾馆、文化宫、医院、超市的点成为一个封闭图形，并求这个图形的面积．
3.在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．例如：图中的与四边形均为格点多边形．图中每个小正方形边长均为1．
(1)的面积为__________，四边形的面积为__________．
(2)格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点记为L，已知格点多边形的面积可表示为（a，b为常数）．由（1）中所求图形的面积求a，b的值．
(3)若某格点多边形对应的，，则__________．
4.如图1，已知，，满足，，分别为轴，轴正半轴上的点，且在右边，在A上方，.
(1)求，两点的坐标.
(2)如图1，作和的角平分线交于点，试求的值.
(3)如图2，以、为邻边作长方形，有一动点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时有一动点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度运动，当两个点有一个到达终点时两点同时停止运动，设运动时间为，求为何值时，以、、、为顶点的图形的面积恰为长方形面积的？
参考答案
【题型1 求三角形的面积】
1.B
【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质．过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴，根据题意可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴，
∵点，点，点，
∴，
∴三角形的面积是：．
故选：B
2.12
【分析】根据A和两点的纵坐标相等，可得线段的长，再根据点的纵坐标，可得以为底的的高，从而的面积可求．
【详解】解：点，
，
，
点在直线上，
∵直线AB：与直线平行，且平行线间的距离为，
故答案为：．
3.（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：由图可得：，．
（4）解：．
4.B
【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，根据点的坐标得出点A与点B的横坐标相同，点A与点C的纵坐标相同，是解题的关键．
先根据点的坐标可得点A与点B的横坐标相同，点A与点C的纵坐标相同，即有轴，轴，进而可得，，且，问题随之得解．
【详解】解：∵，，，
∴点A与点B的横坐标相同，点A与点C的纵坐标相同，
∴轴，轴，
∴，，且，
∴，
故选：B．
【题型2 求四边形的面积】
1.
【分析】本题主要考查了坐标与图形，延长交轴于点E，过点C作轴于点F，延长交于点H，过点C作于点G，根据，，，，得出，，，，利用割补法求出四边形的面积即可．
【详解】解：延长交轴于点E，过点C作轴于点F，延长交于点H，过点C作于点G，
∵，，，，
∴轴，轴，
∴，，
∴，，
，
，
∴四边形的面积为：
．
故答案为：．
2. 30
【分析】本题考查平移的性质，梯形的面积．
（1）由点的坐标和平移的性质先求出 ，再求即可；
（2）由平移可知四边形是梯形，再根据坐标求出上底，下底和高即可．
【详解】解：（1） 的坐标分别为，，沿轴向右平移得到
故答案为：；
（2）如图，连接，
的坐标分别为，，沿轴向右平移得到
四边形是梯形
由（1）知，
梯形面积是．
故答案为：30．
3.
【分析】根据点在轴的负半轴上作出图形，可得点C坐标为，点D坐标为，然后计算即可．
【详解】解：如图所示，平移后点C坐标为，点D坐标为，
∴四边形的面积，
故答案为：．

4.8
【分析】本题考查了根据平移的性质求解，平行四边形的性质，坐标与图形，根据点C、的坐标求出平移距离，然后求出点的坐标，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：∵点，点，
∴平移距离，
∵点，
∴点的坐标为，
∵点，点D坐标，
∴点B的坐标为
∴，
由平移性质得四边形是平行四边形，
∴四边形的面积
故答案为：8．
【题型3 由面积的值求解】
1.C
【分析】本题考查了图形与坐标，先设点的坐标为，结合点，，列式三角形的面积是，因为三角形的面积是，得出，再解方程，即可作答．
【详解】解：∵点在轴上
∴设点的坐标为
依题意，
解得
∴点的坐标是或
故选：C
2.或
【分析】本题考查了坐标与图形．先求出、的长度，再利用三角形的面积列方程求出的值，然后写出点的坐标即可．
【详解】解：点和点两点，
，，
直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12，
，
解得，
所以，点的坐标为或．
故答案为：或．
3.4或或14
【分析】本题主要考查了坐标与图形，先求出，再分当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，三种情况根据三角形面积公式列出方程求出点P的运动路程，进而求出运动时间即可．
【详解】解：∵在长方形中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为，
∴，
当点P在上时，
∵三角形的面积是8，
∴，即，
∴，
∴此时运动时间为4秒；
当点P在上时，
∵三角形的面积是8，
∴，即，
∴，
∴此时运动时间为秒；
当点P在上时，
∵三角形的面积是8，
∴，即，
∴，
∴此时运动时间为秒；
综上所述，P点运动的时间为4秒或秒或14秒，
故答案为：4或或14．
4.或
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
分三种情况讨论，即点在上，上及上；再根据分上述三种情况分别画出图形，利用三角形的面积公式进行计算解答即可．
【详解】解：，，
，，
①当在上时，
∵的面积等于，
，
解得，
点，，
②当在上时，如图2，
∵的面积等于，
，
，
解得．
点；
③当在上时，
，
解得，不合题意，舍去．
综上可知，当点坐标为，或时，的面积等于，
故答案为：，或
【题型4 由面积相等求解】
1.或
【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形性质，关键是要分两种情况讨论．
求出的面积，当D在x轴正半轴上时，由三角形面积公式得到，因此，当D在x轴负半轴上时，同理求出，于是得到，，即可得到D的坐标．
【详解】解：根据题意可得：的面积，
设交x轴于M，
当D在x轴正半轴上时，
∵的面积的面积的面积的面积，
，
，
当D在x轴负半轴上时，
同理求出，
根据图象可得，
，，
∴的坐标是或，
故答案为：或．
2.（1，0），（﹣1，0），（0，﹣2）
【分析】根据题意点C的位置可分当点C在x轴上时和当点C在y轴上时两种情况进行讨论，从而根据三角形的面积公式列式，进而求得OC，得出点C的坐标．
【详解】解：根据题意可知三角形AOB面积S△AOB=×OB×|xA| =×2×2=2，
当点C在x轴上时，
∵S△AOC=S△AOB，
∴×OC×|yA| =×OC×4=2，
解得OC=1，
∴点C的坐标为（1，0），（-1，0）；
当点C在y轴上时，
∵S△AOC=S△AOB，
∴×OC×|xA|=×OC×2=2，
∴OC=2，
又点C不与点B重合，
∴点C坐标为（0，-2）．
综上所述，点C的坐标为（1，0），（-1，0），（0，-2）．
故答案为：（1，0），（-1，0），（0，-2）．
3.或
【分析】过点C作轴，轴，垂足分别为D、E，然后依据求出，设点P的坐标为，于是得到，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过点C作轴，轴，垂足分别为D、E，
则
，
设点P的坐标为，则，
∵与的面积相等，
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为或，
故答案为：或．
4. 6 或
【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键．设点，根据的面积与的面积相等，先计算的面积，然后列出等式计算y即可解答．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴的面积为：；
设点，
∵的面积与的面积相等，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为：或．
故答案为：6；或．
【题型5 由面积间的关系求参数】
1.D
【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．根据三角形的面积关系列出方程解题即可．先根据点A、B的横坐标相等得出轴以及的长，再根据三角形面积之间的关系得出关于m的方程求解即可．
【详解】解：∵三角形的面积是三角形面积的2倍，
∴，
解得：或，
故选D．
2.
【分析】本题考查利用网格求三角形的面积，先利用网格求出四边形面积，再根据三角形的面积等于四边形面积的，即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∵三角形的面积等于四边形面积的，P是y轴正半轴上一点，
∴，解得：，
则点P的坐标为，
故答案为：．
3.
【分析】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是根据题意列出关于a的方程并解出a的值．根据点的坐标先表示两个三角形面积，列方程求出求出a的值，即可得出结论．
【详解】解： ，，，
，
，
的面积是的面积的9倍，
，
解得：，
．
故答案为：
4. 80 或
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中四边形面积的计算，以及利用三角形面积公式求解特定点的坐标．
（1）过作轴于点，过作轴于点，则，，，，，，，再根据求解即可；
（2）设点坐标为，由题意得，即可得，解方程即可．
【详解】解：（1）过作轴于点，过作轴于点，
则，，，，，
∴，，
∴
，
故答案为：80；
（2）设点坐标为，
∵的面积恰为四边形的面积的，
∴，
∴，即，
解得，
∴点坐标为或，
故答案为：或．
【题型6 直线分图形面积】
1.
【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，作轴，与轴交于点，用分割法求出四边形的面积，分类讨论求出的面积，再求出的值，进而可得的值，根据坐标与图形的性质，用分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键．
【详解】解：如图，作轴，与轴交于点，
由题意可得，
，
，
∴，
∵，
∴，
当时，即，
解得，
∴点的坐标为，
∴；
当时，即，
解得，
∴点的坐标为，
∴；
综上所述，，
故答案为：．
2.
【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据直线l经过点且将这七个正方形的面积分成相等的两部分列方程求解是解本题的关键．作轴于D，轴于E， 设，则，根据题意有，代入相关数据即可求解．
【详解】解：作轴于D，轴于E
∵，
∴，
设，则，
则根据题意有：
∴，
∴，
解得：
∴直线l与x轴的交点B的横坐标为．
故答案为：．
3.（1）解：∵点，分别在轴、轴上，，点的坐标为，．
∴，
故答案为：．
（2）解：由（1）得，且，
∴
则四边形的面积
，
∴有一个智能小车，现从平面直角坐标系的原点出发，沿着轴向下匀速移动，线段将四边形分成面积相等的两部分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵移动速度为个单位长度/秒，
∴（秒）；
（3）解：∵在（2）的条件下，智能小车停止移动时，，
∴三角形的面积，
∵三角形的面积与四边形的面积相等，且由（2）得四边形的面积为20，
∴，
即，
∵，
∴当点E在点C的左边时，如图所示：
∴，
此时；
当点E在点C的右边时，，
此时，
综上：满足题意的点的坐标为或．
4.或
【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想是解本题的关键．分交线段和交两种情况，利用面积之差求出和，最后用三角形面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵点,，
，
将向下平移5个单位得线段，得矩形，
，
，
，
如图1，当交线段于E，且将四边形分成面积为两部分时，连接，延长交y轴于点M，
则，
，
连接，则，
∵将四边形的面积分成两部分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图2，当交于点E，将四边形分成面积为两部分时，
连接，延长交y轴于点G，
则，
，
连接，则，
∵将四边形的面积分成两部分，
，
，
，
过P点作交的延长线于点H，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，点P坐标为或，
故答案为：或．
【题型7 求不规则图形的面积】
1.14
【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟练掌握平移的性质是关键．用的面积减去的面积即可．
【详解】解：∵点，点，
，
，
，
∴阴影部分面积是：
．
故答案为：14．
2.（1）如图，以火车站为坐标原点建立平面直角坐标系．

宾馆；文化宫；医院．
（2）超市的位置如图所示，它的坐标为．
（3）如图所示，利用补的方法把所求不规则四边形补成一个边长为5的正方形，
则．
3.（1）解：
故答案为：
（2）解：由格点三角形ABC可得：
由格点四边形DEFG可得：
解得：
（3）解：某格点多边形对应的，，
则
故答案为：
4.（1）解：根据题意得：，
解之得：，
，；
（2）解：如图，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
∴，
即，
在中，，
，
，
，
；
（3）解：根据题意得，
当时，点在线段上，点在线段上，
如图2，
解得，
当时，点在线段上，点在线段上，
如图3
，
，
解得，
当时，点在线段上，点在线段上，
如图4
，
解得，不符合要求：
综上，当或时以、、、为顶点的图形的面积恰为长方形面积的.