期末综合测试卷A 同步练 2025-2026学年数学苏科版（2024）八年级上册

期末综合测试卷A
（时间：120分钟　满分：150分）
一、 选择题（每小题3分，共24分）
1. （2025东台期末）在平面直角坐标系中，点P(4，－2)所在的象限为(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 如图，已知CD＝CA，∠D＝∠A，添加下列条件仍不能证明△DEC≌△ABC的是(　　)
A. ∠DEC＝∠B　　 B. ∠ACD＝∠BCE C. CE＝CB D. DE＝AB
图1 图2
（第2题） （第7题） （第8题）
3. （2024扬州宝应期末）下列结论中，正确的是(　　)
A. 81的立方根是3　　 B. 的平方根是±4
C. 立方根等于平方根的数是1　　 D. 4的算术平方根是2
4. 下列各组数中，是勾股数的是(　　)
A. 12，15，18　　 B. 6，8，12　　 C. 4，5，6　 D. 7，24，25
5. 关于直线l：y＝kx＋k(k≠0)，下列说法中不正确的是(　　)
A. 点(0，k)在直线l上　　 B. 直线l经过定点(－1，0)
C. 当k＞0时，y随x的增大而增大　　 D. 直线l经过第一、二、三象限
6. （2024常州溧阳期末）已知点A（，m），B(2，n)在一次函数y＝ax＋b(a＞0)的图象上，则m与n的大小关系是(　　)
A. m＞n　　 B. m＝n　　 C. m＜n　　 D. 无法确定
7. （2024南京鼓楼期末）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，点A在ED上．若AE＝1，AD＝3，则BC的长为(　　)
A. 　　 B. 　　 C. 2.5　　 D. 2
8. 如图1（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积 y与点P运动的时间x(s)之间的函数关系图象如图2所示，则CD的长为(　　)
A. 5　　 B. 6　　 C. 7　　 D. 8
二、 填空题（每小题3分，共30分）
9. 36的平方根是　　　　．
10. －π的绝对值是　　　　．
11. 点A(3，5)关于x轴对称的点的坐标是　　　　．
12. 已知点P(m－2，2m－1)在第二象限，则实数m的取值范围是　　　　．
13. 已知a－1的平方根是±2，b＋1的立方根为2，则代数式的值为　　　　．
14. （2024南京鼓楼期末）如图，一架2.5 m长的梯子AB，斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为1.5 m，则梯子的顶端距离地面为　　　　m.
（第14题） （第15题） （第16题） （第17题） （第18题）
15. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－6，0)，线段AB向右平移4个单位长度到线段CD，线段CD与y轴交于点E，若△CEO的面积为4，则点E的坐标为　　　　．
16. 如图，直线l1：y＝－x＋m与x轴交于点A，直线l2：y＝2x＋n与y轴交于点B，与直线l1交于点P(2，2)，则△PAB的面积为　　　　．
17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s，则当t＝　　　　时，△ABP为直角三角形．
18. （2024苏州姑苏期末）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－6，0)，B(0，8)，C(9，0)，M是线段OB上的一点，连接AM并延长交BC于点N.若AM平分∠BAC，则点N的坐标是　　　　．
三、 解答题（共96分）
19. （10分）（2025泰州姜堰期末）(1) 计算：（）2＋－；
(2) 已知(x＋1)3＋1＝0，求x的值．
20. （8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，延长CB到点E，使BE＝AD，连接AE，AC，且AE＝AC，求证：AD∥EC.
21. （8分）（2024南京秦淮期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD.
(1) 若∠A＝25°，求∠DBC的度数；
(2) 若BC＝4，求BD的长．
22. （8分）（2024南京鼓楼期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADC和△ABE分别是以AC，AB为腰的等腰直角三角形，BE与CD相交于点F.
(1) 求证：∠FBC＝∠FCB；
(2) 连接AF，求证：AF⊥BC.
23. （8分）如图，已知直线y＝kx＋b经过点A(5，0)，B(1，4).
(1) 求直线AB的函数表达式；
(2) 若直线y＝2x－4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
(3) 根据图象，写出关于x的不等式2x－4>kx＋b的解集．
24. （10分）如图，在△ABC中，∠ACB，∠ABC的平分线l1，l2相交于点O.
(1) 求证：点O在∠BAC的平分线上；
(2) 连接OA，若AB＝AC＝5，OB＝4，OA＝2，求点O到边BC的距离．
25. （10分）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1 350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1 060元（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变）.
(1) A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
(2) 若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
26. （10分）小明从A地匀速前往B地，同时小亮从B地匀速前往A地，图1表示两人距离B地的路程y(m)与行驶时间x(min)之间的函数关系．马小虎审题不清，将“两人距离B地的路程y”看成了“两人距离A地的路程y”，由此得到小明的速度为100 m/min.
(1) A地与B地的距离为　　　　m，a＝　　　　m，b＝　　　　min，小明的实际速度为　　　　m/min；
(2) 求当0≤x≤60时，两人的距离s(m)与x(min)的函数表达式，并在图2中画出图象；
(3) 当两人之间的距离不大于2 000 m时，直接写出x的取值范围．
图1 图2
27. （12分）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD.
(1) 如图1，若以AC为腰向外作等腰直角三角形ACE，∠EAC＝90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G.求证：
①∠AEB＝∠ACF；
②EF2＋BF2＝2AC2；
(2) 如图2，若以AC为边向外作等边三角形ACE，在AD上取一点F，使得AE＝EF，请判断△BCF的形状，并说明理由．
图1 图2
28. （12分）（2025泰州兴化期末）
【问题导入】
如图1，在直线l上找一点P，如何使得PA＋PB最小？
图1 图2
小华同学的思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，与直线l交于点P.由对称可得PA′＝PA，所以PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当且仅当A′，P，B三点共线时，PA′＋PB＝A′B，此时PA＋PB最小．
如图2，在直线l上找一点P，如何使得|PA－PB|最大？
小明同学的思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′并延长交直线l于点P.由对称可得PA′＝PA，所以|PA－PB|＝|PA′－PB|≤A′B，当且仅当A′，P，B三点共线时，|PA－PB|＝A′B，此时|PA－PB|最大．
可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决．
【理解运用】
(1) 如图3，直线y＝x＋b上有点A(4，a)，B(－2，1)，点P在x轴上运动，点Q在直线AB下方的y轴上运动．
①求a，b的值；
②当PA＋PB最小时，求点P的坐标；
③令t＝QA－QB－PA－PB，当t的值最大时，求点Q的坐标及t的最大值；
【深度探究】
(2) 在(1)的条件下，且满足t＝QA－QB－PA－PB，当t的值最大时，若M，N分别是线段OP，OQ上的动点，且PM＝ON，连接PN，MQ，当PN＋MQ最小时，求点M的坐标．
图3 备用图
期末综合测试卷A
1. D　2. C　3. D　4. D　5. D　6. C　7. A　8. B
9. ±6　10. π－　11. (3，－5)　12. ＜m＜2　13.
14. 2　15. (0，4)　16. 10　17. 2或　18. (，)
19. 解：(1) ()2＋－
＝3＋(－4)－2
＝－1＋(－2)
＝－3.
(2) (x＋1)3＋1＝0，
(x＋1)3＝－1，
x＋1＝－1，
x＝－2.
20. 证明：在△ABE和△CDA中，
所以△ABE≌△CDA(SSS)，所以∠E＝∠CAD.
因为AE＝AC，所以∠E＝∠ACE，
所以∠ACE＝∠CAD，所以AD∥EC.
21. 解：(1) 因为MN垂直平分AB，
所以DA＝DB，所以∠DBA＝∠A＝25°.
因为∠C＝90°，
所以∠ABC＝90°－25°＝65°，
所以∠DBC＝∠ABC－∠DBA＝65°－25°＝40°.
(2) 设BD＝x，则DA＝x，所以CD＝8－x，
在△BCD中，由勾股定理，得BD2＝CD2＋BC2，
所以x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，
所以BD＝5.
22. 证明：(1) 因为AB＝AC，△ADC和△ABE分别是以AC，AB为腰的等腰直角三角形，
所以AD＝AE＝AB＝AC，∠DAC＝∠EAB＝90°，BE＝CD，
所以∠DAB＝90°－∠DAE＝∠EAC，
所以△ABD≌△ACE(SAS)，
所以BD＝CE.
因为CD＝BE，BC＝BC，
所以△BCD≌△CBE(SSS)，
所以∠BCD＝∠CBE，
即∠FBC＝∠FCB.
(2) 由(1)知，BF＝FC.
因为AB＝AC，
所以AF是BC的垂直平分线，
所以AF⊥BC.
23. 解：(1) 因为直线y＝kx＋b经过点A(5，0)，B(1，4)，
所以解得
所以直线AB的函数表达式为y＝－x＋5.
(2) 若直线y＝2x－4与直线AB相交于点C，
则解得
所以点C的坐标为(3，2).
(3) 根据图象可得x>3.
24. (1) 证明：过点O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D，E，F.
因为∠ACB，∠ABC的平分线l1，l2相交于点O，
所以OD＝OF，OE＝OF，
所以OD＝OE，
所以点O在∠BAC的平分线上．
(2) 解：因为AB＝AC，AO平分∠BAC，
所以AO⊥BC.
因为OF⊥BC，所以A，O，F三点共线．
设OF＝x，则AF＝OA＋OF＝x＋2.
在Rt△ABF中，BF2＝AB2－AF2，
即BF2＝25－(x＋2)2，
在Rt△OBF中，BF2＝OB2－OF2，
即BF2＝16－x2，
所以25－(x＋2)2＝16－x2，
解得x＝，所以OF＝，
所以点O到边BC的距离是.
25. 解：(1) 设A种树苗每棵的价格是x元，B种树苗每棵的价格是y元．
根据题意，得解得
所以A种树苗每棵的价格是40元，B种树苗每棵的价格是10元．
(2) 由购买A种树苗的数量为t棵，得购买B种树苗的数量为(42－t)棵．
因为B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍，
所以42－t≤2t，解得t≥14.
根据题意，得W＝40t＋10(42－t)＝30t＋420.
因为30＞0，所以W随t的增大而增大，
所以当t＝14时，Wmin＝30×14＋420＝840.
故购进A种树苗14棵，B种树苗28棵时，费用最少，最省费用是840元．
26. 解：(1) 4 500　1 500　30　150
(2) 根据题意，得小亮的实际速度为1 500÷15＝100(m/min)，
当0≤x≤15时，s＝4 500－(150＋100)x＝－250x＋4 500；
当15＜x≤20时，s＝4 500－(150＋100)×15－150(x－15)＝－150x＋3 000；
当20＜x≤30时，s＝150(x－20)＝150x－3 000；
当30＜x≤60时，s＝1 500＋100(x－30)＝100x－1 500.
综上所述，s与x的函数表达式为s＝
图象如图所示：
(3) x的取值范围是10≤x≤35.
27. (1) 证明：①因为AB＝AC，D是BC的中点，
所以∠BAF＝∠CAF.
在△BAF和△CAF中，
所以△BAF≌△CAF(SAS)，
所以∠ABF＝∠ACF.
因为AB＝AC，△ACE是等腰直角三角形，
所以AB＝AE，所以∠ABE＝∠AEB，
所以∠AEB＝∠ACF.
②因为△BAF≌△CAF，所以BF＝CF.
因为∠AGF＝∠AEB＋∠EAG，∠AGF＝∠ACF＋∠CFG，∠AEB＝∠ACF，
所以∠CFG＝∠EAG＝90°，
所以EF2＋BF2＝EF2＋CF2＝EC2.
因为△ACE是等腰直角三角形，
所以∠CAE＝90°，AC＝AE，
所以EC2＝AC2＋AE2＝2AC2，
即EF2＋BF2＝2AC2.
(2) 解：△BCF为等边三角形．理由如下：
因为AE＝EF，所以∠FAE＝∠AFE.
因为△ACE为等边三角形，
所以AE＝CE，∠AEC＝60°，所以EF＝CE，
所以∠EFC＝∠ECF，
所以∠AFC＝∠AFE＋∠CFE＝(180°－∠AEF)＋(180°－∠CEF)＝(360°－∠AEF－∠CEF)＝×(360°－60°)＝150°.
由(1)可知，BF＝CF，∠AFB＝∠AFC，
所以∠BFC＝360°－∠AFB－∠AFC＝60°，
所以△BCF为等边三角形．
28. 解：(1) ①由题意，得
解得
②如图1，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，则PA＋PB最小．
设直线AB′的函数表达式为y＝kx＋m，
所以
解得
所以y＝x＋，
当y＝0时，0＝x＋，解得x＝－，
所以点P的坐标为(－，0).
③如图1，作点B关于y轴的对称点B″(2，1)，作直线AB″交y轴于点Q，
此时t＝QA－QB－PA－PB最大．
设直线AB″的函数表达式为y＝px＋q，则
解得所以y＝x－2，
当x＝0时，y＝－2，
所以点Q的坐标为(0，－2).
因为QA－QB＝QA－QB″＝AB″＝＝，PA＋PB＝PA＋PB′＝AB′＝＝，
所以tmax＝QA－QB－PA－PB＝－.
(2) 如图2，作PG⊥x轴，截取PG＝OP.
因为PM＝ON，∠GPM＝∠PON＝90°，
所以△GPM≌△PON(SAS)，
所以PN＝GM，
所以PN＋MQ＝GM＋MQ≥GQ，当且仅当G，M，Q三点共线时，PM＋QN最小．
因为点G(－，)，Q(0，－2)，
所以直线GQ的函数表达式为y＝－x－2，
当y＝0时，－x－2＝0，解得x＝－，
所以点M的坐标为(－，0).
图1 图2