微专题9求一次函数表达式的六种类型 同步练（含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）八年级上册

微专题9　求一次函数表达式的六种类型
类型一　根据定义求表达式
1 已知函数y＝(m－2)xm2－3－5是一次函数，则m＝　　　　．
2 已知函数y＝(m＋1)xm2－3是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是　　　　．
类型二　根据待定系数法求函数表达式
3 （2024盐城建湖期末）已知y与x－2成正比例，且当x＝1时，y＝－3.
(1) 求y与x的函数表达式；
(2) 若点(m，－9)在该函数的图象上，求m的值．
4 已知y是x的一次函数，当x＝3时，y＝1；当x＝－2时，y＝－4.
(1) 求这个函数的表达式；
(2) 当x为何值时，函数y的值为－1
类型三　根据一次函数的性质求函数表达式
5 已知一次函数y＝kx＋b，当－1≤x≤5时，－1≤y≤11，求这个一次函数的表达式．
6 如图，直线l1：y＝k1x＋6与直线l2：y＝k2x＋b相交于点A(－3，3)，l1交y轴于点B，l2交y轴负半轴于点C，且OB＝2OC.
(1) 求直线l1和l2的表达式；
(2) 若D是直线l1上的一点，且△BCD的面积是9，求点D的坐标．
类型四　根据平移求函数表达式
7 （2024南京期末）将y＝2x＋3的图象向下平移4个单位长度，所得图象对应的函数表达式是　　　　．
8 （2024无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(2，0)和B(0，－4).
(1) 求这个一次函数的表达式；
(2) 将直线AB向上平移6个单位长度，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积．
类型五　根据旋转求函数表达式
9 （2024苏州）已知直线l1：y＝x－1与x轴交于点A，将直线l1绕点A按逆时针方向旋转15°，得到直线l2，则直线l2对应的函数表达式是　　　　．
10 如图，一次函数y＝－2x＋4的图象与y轴的交点为A，将直线y＝－2x＋4绕点A按逆时针方向旋转45°，求所得的图象对应的函数表达式．
11 (1) 【模型建立】
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E.求证：△BEC≌△CDA；
(2) 【模型应用】
①已知直线l1：y＝x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A按逆时针方向旋转45°至直线l2，如图2，求直线l2的函数表达式；
②如图3，在平面直角坐标系中，点B(8，6)，作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，Q是直线y＝2x－6上的动点且在第一象限内．问点A，P，Q能否构成以Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出此时点Q的坐标；若不能，请说明理由．
图1 图2 图3
　　
　　
类型六　根据对称求函数表达式
12 若一次函数y＝a1x＋b1（a1≠0，a1，b1是常数）与y＝a2x＋b2（a2≠0，a2，b2是常数），满足a1＋a2＝0，且b1＋b2＝0，则称这两个函数是对称函数．
(1) 当函数y＝mx－2与y＝3x＋n是对称函数时，求m和n的值；
(2) 在平面直角坐标系中，一次函数y＝－3x＋5的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点B关于x轴对称，过点A，C的直线的表达式是y＝kx＋b，求证：函数y＝－3x＋5与y＝kx＋b是对称函数．
微专题9　求一次函数表达式的六种类型
1. －2　2. －2
3. 解：(1) 由y与x－2成正比例，设y＝k(x－2).
因为当x＝1时，y＝－3，
所以－3＝k×(1－2)，解得k＝3，
所以y＝3(x－2)＝3x－6，
所以y与x的函数表达式为y＝3x－6.
(2) 因为点(m，－9)在该函数的图象上，
所以－9＝3m－6，解得m＝－1，
所以m的值是－1.
4. 解：(1) 设一次函数的表达式为y＝kx＋b.
根据题意，得解得
所以这个函数的表达式为y＝x－2.
(2) 当y＝－1时，x－2＝－1，解得x＝1，
所以当x的值为1时，函数y的值为－1.
5. 解：若当x＝－1时，y＝－1；当x＝5时，y＝11，
则解得
所以此时一次函数的表达式为y＝2x＋1；
若当x＝－1时，y＝11；当x＝5时，y＝－1，
则解得
所以此时一次函数的表达式为y＝－2x＋9.
综上所述，一次函数的表达式为y＝－2x＋9或y＝2x＋1.
6. 解：(1) 将点A(－3，3)的坐标代入y＝k1x＋6，
得－3k1＋6＝3，解得k1＝1，
所以直线l1的表达式为y＝x＋6.
令x＝0，则y＝6，所以B(0，6).
因为OB＝2OC，且点C位于y轴负半轴，所以C(0，－3).
将点 A(－3，3)，C(0，－3)的坐标代入y＝k2x＋b，
得解得
所以直线l2的表达式为y＝－2x－3.
(2) 设点D到y轴的距离为m，则×9×m＝9，
所以m＝2.
在直线l1：y＝x＋6中，当x＝2时，y＝2＋6＝8；
当x＝－2时，y＝－2＋6＝4，
所以点D的坐标为(2，8)或(－2，4).
7. y＝2x－1
8. 解：(1) 因为一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(2，0)和B(0，－4)，
所以解得
所以一次函数的表达式为y＝2x－4.
(2) 因为一次函数的表达式为y＝2x－4，
所以直线AB向上平移6个单位长度后所得直线的表达式为y＝2x＋2.
因为当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－1，
所以直线与坐标轴的交点为(0，2)，(－1，0)，
所以平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积为×2×1＝1.
9. y＝x－
10. 解：过点B作BD⊥AB交旋转所得的图象于点D，过点D作DE⊥x轴于点E.
在y＝－2x＋4中，令x＝0，得y＝4，所以点A(0，4)，
所以OA＝4.
令y＝0，得x＝2，所以点B(2，0)，所以OB＝2.
因为将直线y＝－2x＋4绕点A按逆时针方向旋转45°，所以∠BAD＝45°，所以AB＝BD.
因为∠ABD＝90°，所以∠ABO＋∠DBE＝90°.
因为∠AOB＝90°，所以∠ABO＋∠OAB＝90°，
所以∠DBE＝∠OAB.
在△AOB和△BED中，
所以△AOB≌△BED(AAS)，
所以BE＝OA＝4，DE＝OB＝2，
所以OE＝OB＋BE＝6，所以点D(6，2).
设所得的图象对应的函数表达式为y＝kx＋b，
将点A(0，4)，D(6，2)的坐标代入y＝kx＋b，
得解得
所以所得的图象对应的函数表达式为y＝－x＋4.
11. 解：(1) 因为△ABC为等腰直角三角形，
所以CB＝CA，∠ACD＋∠BCE＝180°－90°＝90°.
又因为AD⊥CD，BE⊥EC，
所以∠D＝∠E＝90°.
又因为∠CBE＋∠BCE＝90°，
所以∠ACD＝∠CBE.
在△ACD与△CBE中，
所以△BEC≌△CDA(AAS).
(2) ①如图，过点B作BC⊥AB交l2于点C，过点C作CD⊥y轴于点D.
因为∠BAC＝45°，
所以△ABC为等腰直角三角形．
由(1)可知，△CBD≌△BAO，
所以BD＝AO，CD＝BO.
因为直线l1：y＝x＋4，
令y＝0，则x＝－3，
所以A(－3，0)；
令x＝0，则y＝4，
所以B(0，4)，
所以BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，
所以OD＝4＋3＝7，
所以C(－4，7).
设直线l2的函数表达式为y＝kx＋b.
将点A(－3，0)，C(－4，7)代入y＝kx＋b中，
得
解得k＝－7，b＝－21，
所以直线l2的函数表达式为y＝－7x－21.
②Q(4，2)或(，).
12. 解：(1) 因为函数y＝mx－2与y＝3x＋n是对称函数，
所以解得
(2) 对于一次函数y＝－3x＋5，
令x＝0，得y＝5；令y＝0，得x＝，
所以点A(，0)，B(0，5).
因为点C与点B关于x轴对称，所以点C(0，－5).
将点A(，0)与C(0，－5)的坐标代入y＝kx＋b，
得解得
所以直线AC的表达式为y＝3x－5.
因为－3＋3＝0，5＋(－5)＝0，
所以函数y＝－3x＋5与y＝kx＋b是对称函数．