1．4　线段垂直平分线与角平分线 同步练（含答案）2025-2026学年数学苏科版（2024）八年级上册

1．4　线段垂直平分线与角平分线
第1课时　线段垂直平分线的性质
1. 掌握线段垂直平分线的性质定理和性质定理的逆定理．
2. 会运用线段垂直平分线的性质进行计算、证明．
建议用时：15分钟
1 （2025南通海门期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”，根据所学知识，下列选项中正确的是(　　)
A. AC与BD互相垂直平分 B. AC垂直平分BD
C. BD平分一组对角 D. AC平分一组对角
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2 （2025无锡锡山月考）如图，在△ABC中，D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝2，△ABE的周长为12，则△ABC的周长为(　　)
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
3 （2024镇江）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC＝8，CD＝5，则BD＝　　　　．
4 （2025南京建邺期末）如图，BD是线段AC的垂直平分线．若AB＝5，CD＝4，则四边形ABCD的周长为　　　　．
5 如图，在△ABC中，AD是BC的中垂线，若BC＝8，AD＝6，则图中阴影部分的面积是　　　　．
6 （2025无锡锡山期中）如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE.
(1) 求证：AB＝EC；
(2) 若△ABC的周长为19 cm，AC＝8 cm，则DC的长为多少？
7 如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE.求证：OE垂直平分BD.
建议用时：20＋5分钟
8 在△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，点A到BC的距离是6，点O到BC的距离是4，则AO为(　　)
A. 2　　　 B. 10　　　 C. 2或10　　　 D. 无法测量
9 （教材P36练习1变式）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）.在这张5×5的方格纸中，找出格点C，使AC＝BC，则满足条件的格点C有(　　)
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
（第9题） （第10题）
10 如图，已知AD垂直平分BC，点C在AE的垂直平分线上，则AB＋BD与DE的关系是　　　　．
11 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与直线AC相交，所成锐角为40°，则△ABC顶角的度数为　　　　．
12 如图，AB＝CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E.求证：∠ABE＝∠CDE.
13 如图，在△ABC中，D为BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF交AB于点E，连接EG，EF.
(1) 求证：BG＝CF；
(2) 请你猜想BE＋CF与EF的大小关系，并说明理由．
第2课时　角平分线的性质
1. 掌握角平分线的性质定理和性质定理的逆定理．
2. 会运用角平分线的性质进行计算、证明．
建议用时：15分钟
1 （2025盐城东台期中）已知∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为4，则点P到OB的距离(　　)
A. 不大于4 B. 大于4 C. 等于4 D. 小于4
2 （2024常州）如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则下列说法中正确的是(　　)
A. d1与d2一定相等 B. d1与d2一定不相等
C. l1与l2一定相等 D. l1与l2一定不相等
（第2题） （第3题） （第4题）
3 （2024南京玄武三模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝　　　　．
4 如图，∠AOB＝74°，QC⊥OA，垂足为C，QD⊥OB，垂足为D，若QC＝QD，则∠AOQ＝　　　　．
5 （教材P40习题8变式）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，BD＝CD.求证：EB＝FC.
6 如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD.求证：AD是∠BAC的平分线．
建议用时：20＋5分钟
7 （2025盐城月考）如图，△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，则△ABC的面积为(　　)
A. 84 B. 63 C. 42 D. 21
（第7题） （第8题） （第9题）
8 （2025盐城月考）如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8 cm，BC＝10 cm，则四边形ABCD的面积是　　　　cm2.
9 （教材P39练习2变式）如图，在△ABC中，∠ABC＝48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠EBF＝　　　　．
10 如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB相交于点C，D，问PC与PD相等吗？试说明理由．
11 如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1) 如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，求∠EFA的度数；
(2) 在(1)的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
(3) 如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，且(1)中的其他条件不变，试问在(2)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
图1 图2 图3
1．4　线段垂直平分线与角平分线
第1课时　线段垂直平分线的性质
1. C　2. D　3. 3　4. 18　5. 12
6. (1) 证明：因为EF垂直平分AC，
所以AE＝EC.
因为AD⊥BC，BD＝DE，
所以AB＝AE，
所以AB＝EC.
(2) 解：因为△ABC的周长为19 cm，
所以AB＋BC＋AC＝19 cm.
因为AC＝8 cm，
所以AB＋BC＝11 cm.
因为AB＝EC，BD＝DE，
所以AB＋BD＝DE＋EC＝DC，
所以AB＋BC＝AB＋BD＋DC＝2DC＝11 cm，
所以DC＝ cm.
故DC的长为 cm.
7. 证明：在△ABO和△CDO中，
所以△AOB≌△COD(ASA)，
所以OB＝OD.
因为BE＝DE，
所以OE垂直平分BD.
8. C　9. A　10. AB＋BD＝DE　11. 50°或130°
12. 证明：如图，连接AE，CE.
因为AC，BD的垂直平分线相交于点E，
所以AE＝CE，BE＝DE.
在△ABE和△CDE中，
所以△ABE≌△CDE(SSS)，
所以∠ABE＝∠CDE.
13. (1)证明：因为BG∥AC，所以∠C＝∠GBD.
因为D是BC的中点，所以BD＝DC.
在△CFD和△BGD中，
所以△CFD≌△BGD(ASA)，所以BG＝CF.
(2) 解：BE＋CF＞EF.理由如下：
因为△CFD≌△BGD，
所以CF＝BG，FD＝GD.
又因为ED⊥GF，所以EG＝EF.
在△BGE中，BE＋BG＞EG，
所以BE＋CF＞EF.
第2课时　角平分线的性质
1. C　2. A　3. 1　4. 37°
5. 证明：因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD＝∠CAD.
又因为DE⊥AB，DF⊥AC，
所以DE＝DF.
又因为DE⊥AB，DF⊥AC，BD＝CD，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
所以Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
所以EB＝FC.
6. 证明：因为BE⊥AC，CF⊥AB，
所以∠BFD＝∠CED＝90°.
在△BDF与△CDE中，
所以△BDF≌△CDE(AAS)，
所以DF＝DE，
所以AD是∠BAC的平分线．
7. C　8. 40　9. 24°
10. 解：PC与PD相等．理由如下：
如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.
因为OM平分∠AOB，点P在OM上，所以PE＝PF.
又因为∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，
所以∠EPF＝90°，
所以∠EPC＋∠CPF＝90°.
又因为∠CPD＝90°，所以∠CPF＋∠FPD＝90°，
所以∠EPC＝∠FPD＝90°－∠CPF.
在△PCE与△PDF中，
所以△PCE≌△PDF(ASA)，所以PC＝PD.
11. 解：全等三角形作法如图1所示，△BOD≌△COD.
(1) 如图2，因为∠ACB＝90°，∠B＝60°，
所以∠BAC＝30°.
因为AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，
所以∠DAC＝∠BAC＝15°，∠ECA＝∠ACB＝45°，
所以∠EFA＝∠DAC＋∠ECA＝15°＋45°＝60°.
(2) FE＝FD，理由如下：
如图2，在AC上截取AG＝AE，连接FG.
因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠EAF＝∠GAF.
在△EAF和△GAF中，
所以△EAF≌△GAF(SAS)，
所以FE＝FG，∠EFA＝∠GFA＝60°，
所以∠GFC＝180°－60°－60°＝60°，
所以∠DFC＝∠GFC.
在△FDC和△FGC中，
所以△FDC≌△FGC(ASA)，
所以FD＝FG，所以FE＝FD.
(3) FE＝FD仍然成立，理由如下：
如图3，同(2)可得△EAF≌△HAF，
所以FE＝FH，∠EFA＝∠HFA.
又由(1)知，∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠ACB，
所以∠FAC＋∠FCA＝(∠BAC＋∠ACB)＝(180°－∠B)＝60°，
所以∠AFC＝180°－(∠FAC＋∠FCA)＝120°，
所以∠EFA＝∠HFA＝180°－120°＝60°.
同(2)可得△FDC≌△FHC，
所以FD＝FH，所以FE＝FD.
图1 图2 图3