1．5　等腰三角形 同步练（含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）八年级上册

1．5　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质
1. 掌握等腰三角形的“等边对等角”“三线合一”的性质．
2. 熟练运用等腰三角形的相关性质解题．
建议用时：15分钟
1 （2024兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB等于(　　)
A. 100° B. 115° C. 130° D. 145°
（第1题） （第2题） （第3题） （第5题）
2 （2025镇江句容期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线l交BC于点D.若∠DAC＝37°，则∠B的度数是(　　)
A. 37° B. 30° C. 28° D. 26°
3 （2024重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC＝2，则AD的长度为　　　　．
4 （2025无锡宜兴期中）已知等腰三角形的一个内角等于40°，则它顶角的度数是　　　　．
5 （2025泰州海陵月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是中线，BD＝BE，则∠AED＝　　　　．
6 （2025南通通州月考）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.
7 （2025无锡宜兴期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE＝CE，AD与CE相交于点F.
(1) 求证：△AEF≌△CEB；
(2) 若AF＝6，求CD的长．
建议用时：20＋5分钟
8 （2025苏州姑苏期中）如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于(　　)
A. 45° B. 30° C. 60° D. 75°
（第8题） （第9题） （第11题）
9 （2024宿迁宿豫期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，使点B落在边AC上的点F处，若∠CFD＝57°，且△AEF为等腰三角形，则∠A是度数为(　　)
A. 49° B. 52° C. 52°或41° D. 49°或38°
10 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为　　　　．
11 （2025南京玄武期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，直线m，n分别是AB，AC的垂直平分线，m，n交于点P，连接CP.若∠1＝21°，则∠B的度数为　　　　．
12 （2025扬州江都期末）如图，AB＝AC＝AD.
(1) 若AD∥BC，回答下列问题：
①如果∠C＝80°，那么∠D的度数为　　　　；
②猜想∠C和∠D的数量关系并证明；
(2) 如果∠C＝2∠D，AD与BC有什么位置关系？请证明你的结论．
13 如图1，图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°－α，BD平分∠ABC.
(1) 如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是　　　　；
(2) 问题解决：如图2，求证AD＝CD；
(3) 问题拓展：如图3，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD＋AD＝BC.
图1 图2 图3
第2课时　等腰三角形的判定
掌握等腰三角形的判定定理（等角对等边）.
建议用时：15分钟
1 下列选项中能判定三角形是等腰三角形的是(　　)
A. 有两个角为30°，60° B. 有两个角为40°，80°
C. 有两个角为50°，80° D. 有两个角为100°，120°
2 （教材P45练习2变式）如图，把一张对边平行的纸条折叠，则重合部分是(　　)
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
3 （教材P45练习1变式）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的点，∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形的个数是(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E，BE＝2，则DE的长是　　　　．
5 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE∥BC交AB于点E，若△AED的周长为16，则边AB的长为　　　　．
6 （2025盐城期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BF平分∠ABC交CD于点E，交AC于点F.求证：CE＝CF.
7 （2025扬州邗江月考）如图，已知D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC.
(1) 求证：△ABC是等腰三角形；
(2) 作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．
建议用时：20＋5分钟
8 如图，直线m，n相交于点B，m，n的夹角为50°，A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（第8题） （第9题） （第10题）
9 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E 作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝8，则线段MN的长为　　　　．
10 （2025南通启东期中）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为　　　　．
11 如图，在△ABC中，BC＝8 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC.
(1) 求△PDE的周长；
(2) 若∠A＝50°，求∠BPC的度数．
12 （2025南通通州月考）在△ABC中，AB＝AC，D是边AB上一点，∠BCD＝∠A.
(1) 如图1，求证：CD＝CB；
(2) 如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为E，BE与CD相交于点F.
①求证：∠BCD＝2∠CBE；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
图1 图2 备用图
第3课时　等边三角形的判定与性质
1. 掌握等边三角形的判定方法．
2. 掌握在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，并能利用该性质进行证明、计算．
建议用时：15分钟
1 （教材P47练习1变式）如图，BD，CE是等边三角形ABC的中线，则∠1的度数为(　　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 无法确定
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2 （2025南通海门月考）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，则BE的长为(　　)
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若BD＝2，则AB的长为　　　　．
4 如图，在等边三角形ABC中，P为BC上一点，且∠1＝∠2，则∠3的度数为　　　　．
5 （2025苏州太仓期末）如图，l1∥l2，等边三角形ABC的顶点A在直线l1上，l2与△ABC的两边AC，BC分别相交．若∠1＝138°，则∠2的度数为　　　　．
6 如图，△ABC为等边三角形，M是线段BC上的任意一点，N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM相交于点Q.
(1) 求证：△BAN≌△ACM；
(2) 求∠BQM的度数．
7 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E在BC上，且AE＝BE.
(1) 求∠CAE的度数；
(2) 若D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
建议用时：20＋5分钟
8 （2025南通如皋期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，D是边BC上的任意一点，则AD的长不可能是(　　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
（第8题） （第9题） （第10题） （第11题）
9 （2025宿迁泗洪期中）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，点D在边BC上运动（不与点B，C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF，点D在边BC上从点B至点C的运动过程中，△BED周长变化规律为(　　)
A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大
10 如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC＝4，则BE＋CF＝　　　　．
11 如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn＋1的边长为　　　　．
12 如图，点A，B，C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形．
(1) 求证：AE＝CD；
(2) 若M，N分别是AE，CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论．
13 在等边三角形ABC中，点E在边AB上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC.
(1) 如图1，当E为AB的中点时，求证：CB＝2BD；
(2) 如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长．
图1 图2
第4课时　直角三角形的性质
1. 熟练运用直角三角形斜边上的中线的性质解题．
2. 掌握等腰三角形的判定与性质的综合应用．
建议用时：15分钟
1 （2025盐城期中）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M，C两点间的距离为(　　)
A. 2.4 km B. 3.6 km C. 4.2 km D. 4.8 km
（第1题） （第2题） （第4题） （第5题）
2 （教材P48例4变式）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠BDC的度数为(　　)
A. 30°　　 B. 40°　　 C. 45°　　 D. 60°
3 （2025南京建邺期末）若直角三角形斜边上的中线与高的长分别是5和4，则这个三角形的面积是　　　　．
4 （2024徐州铜山期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为　　　　．
5 如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，AB＝16，AC＝22，DE＝8，则点D到AB的距离是　　　　．
6 如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分别是AC，BD的中点，求证：EF⊥BD.
7 （2024东台期末）如图，在△ABC中，CE，BD分别是边AB，AC上的高，M是BC的中点，连接DE，EM，MD.
(1) 求证：ME＝MD；
(2) 若∠A＝45°，求∠EDM的度数．
建议用时：20＋5分钟
8 （2025苏州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，以点C为圆心，CD的长为半径画弧，与线段BD相交于另一点E，连接CE.若∠A＝∠DCE，则∠A的度数为(　　)
A. 20° B. 30° C. 36° D. 40°
（第8题） （第9题） （第10题） （第11题）
9 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，BD.若∠EBD＝35°，则∠BAD的度数为(　　)
A. 55°　　 B. 58°　　 C. 65°　　 D. 68°
10 （2024盐城建湖期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝45°，连接AC，BD，M是AC的中点，连接BM，DM.若△BMD的面积为32，则AC的长为　　　　．
11 如图，在Rt△ABC中，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A的度数为　　　　．
12 如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，G是CE的中点，DG⊥CE，垂足为G.
(1) 求证：DC＝BE；
(2) 若∠AEC＝75°，求∠BCE的度数．
13 （2025苏州期末）已知线段AC，以AC为斜边作Rt△ABC和Rt△ADC，连接BD，M，N分别是线段AC，BD的中点，连接MN，MB.
(1) 如图1，Rt△ABC和Rt△ADC在线段AC的两侧．
①求证：MN⊥BD；
②若∠BAC＝45°，∠DAC＝28°，请求出∠BMN的度数；
(2) 如图2，Rt△ABC和Rt△ADC在线段AC的同侧，若∠BAC＝α，∠DAC＝β(α>β)，则∠BMN的度数为　　　　（用含α，β的代数式表示）.
图1 图2
1．5　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质
1. B　2. A　3. 2　4. 40°或100°　5. 110°
6. 证明：过点A作AF⊥BC，垂足为F，
因为AB＝AC，AF⊥BC，
所以BF＝CF.
因为AD＝AE，AF⊥DE，
所以DF＝EF，
所以BF－DF＝CF－EF，
所以BD＝CE.
7. (1)证明：因为AD⊥BC，
所以∠B＋∠BAD＝90°.
因为CE⊥AB，
所以∠B＋∠BCE＝90°，
所以∠EAF＝∠ECB.
在△AEF和△CEB中，
所以△AEF≌△CEB(ASA).
(2) 解：因为△AEF≌△CEB，
所以AF＝BC.
因为AB＝AC，AD⊥BC，
所以CD＝BD，BC＝2CD，
所以AF＝2CD，
所以CD＝AF＝×6＝3.
8. A　9. D　10. 60°或120°　11. 67°
12. 解：(1) ①40°
②∠C＝2∠D，理由如下：
因为AD∥BC，
所以∠D＝∠DBC，
又因为AB＝AD，
所以∠D＝∠ABD，
所以∠ABC＝2∠D.
因为AB＝AC，
所以∠C＝∠ABC＝2∠D.
(2) AD∥BC，证明如下：
因为AB＝AC，∠C＝2∠D，
所以∠ABC＝∠C＝2∠D.
因为AB＝AD，
所以∠ABD＝∠D，
所以∠DBC＝∠D，
所以AD∥BC.
13. (1) 角平分线上的点到角的两边距离相等
(2) 证明：如图1，作DE⊥BA交BA的延长线于点E，DF⊥BC于点F.
因为BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
所以DE＝DF.
因为∠BAD＋∠C＝180°，∠BAD＋∠EAD＝180°，
所以∠EAD＝∠C.
在△DEA和△DFC中，
所以△DEA≌△DFC(AAS)，
所以DA＝DC.
(3) 证明：如图2，在BC上截取BK＝BD，连接DK.
因为AB＝AC，∠A＝100°，
所以∠ABC＝∠C＝40°.
因为BD平分∠ABC，
所以∠DBK＝∠ABC＝20°.
因为BD＝BK，
所以∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A＋∠BKD＝180°，
由(2)的结论得AD＝DK，
因为∠BKD＝∠C＋∠KDC，
所以∠KDC＝∠C＝40°，
所以DK＝CK，
所以AD＝DK＝CK，
所以BD＋AD＝BK＋CK＝BC.
图1 图2
第2课时　等腰三角形的判定
1. C　2. B　3. D　4. 2　5. 10
6. 证明：因为∠ACB＝90°，CD⊥AB，
所以∠CBF＋∠CFB＝∠DBE＋∠DEB＝90°.
因为BF平分∠ABC，
所以∠CBF＝∠DBE，
所以∠CFB＝∠DEB.
又因为∠FEC＝∠DEB，
所以∠CFB＝∠FEC，
所以CE＝CF.
7. (1) 证明：因为AF平分∠DAC，
所以∠DAF＝∠CAF.
因为AF∥BC，
所以∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，
所以∠B＝∠ACB，
所以AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．
(2) 解：因为AB＝AC，∠B＝40°，
所以∠ACB＝∠B＝40°，
所以∠ACE＝180°－∠ACB＝140°.
因为CG平分∠ACE，
所以∠ACG＝∠GCE＝∠ACE＝70°.
因为AF∥BC，
所以∠AGC＝∠GCE＝70°.
8. D　9. 8　10. 2
11. 解：(1) 因为BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
所以∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE.
因为PD∥AB，PE∥AC，
所以∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
所以∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
所以BD＝PD，CE＝PE，
所以△PDE的周长＝PD＋DE＋PE＝BD＋DE＋EC＝BC＝8 cm.
(2) 因为∠A＝50°，
所以∠ABC＋∠ACB＝130°，
所以∠ABC＋∠ACB＝65°.
因为BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
所以∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
所以∠PBC＋∠PCB＝65°，
所以∠BPC＝180°－65°＝115°.
12. (1) 证明：因为AB＝AC，
所以∠ABC＝∠ACB.
因为∠BDC是△ADC的一个外角，
所以∠BDC＝∠A＋∠ACD.
因为∠ACB＝∠BCD＋∠ACD，∠BCD＝∠A，
所以∠BDC＝∠ACB，
所以∠ABC＝∠BDC.
所以CD＝CB.
(2) ①证明：因为BE⊥AC，
所以∠BEC＝90°，
所以∠CBE＋∠ACB＝90°.
设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°－α，
所以∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°－α，
所以∠BCD＝180°－∠BDC－∠ABC＝180°－(90°－α)－(90°－α)＝2α，
所以∠BCD＝2∠CBE.
②解：因为∠BFD是△CBF的一个外角，
所以∠BFD＝∠CBE＋∠BCD＝α＋2α＝3α.
当BD＝BF时，∠BDC＝∠BFD＝3α，
因为∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°－α，
所以90°－α＝3α，
所以α＝22.5°，
所以∠A＝∠BCD＝2α＝45°；
当DB＝DF时，∠DBE＝∠BFD＝3α，
因为∠DBE＝∠ABC－∠CBE＝90°－α－α＝90°－2α，
所以90°－2α＝3α，
所以α＝18°，
所以∠A＝∠BCD＝2α＝36°；
当FB＝FD时，∠DBE＝∠BDF，
因为∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，
所以不存在FB＝FD.
综上，∠A的度数为45°或36°.
第3课时　等边三角形的判定与性质
1. C　2. C　3. 8　4. 60°　5. 102°
6. (1) 证明：因为△ABC为等边三角形，
所以AB＝BC＝CA，∠BAC＝∠BCA＝60°.
因为BM＝CN，
所以CM＝AN.
在△BAN和△ACM中，
所以△BAN≌△ACM(SAS).
(2) 解：因为△BAN≌△ACM，
所以∠CAM＝∠ABN，
所以∠BQM＝∠ABN＋∠BAQ＝∠CAM＋∠BAQ＝∠BAC＝60°.
7. (1) 解：因为AB＝AC，∠BAC＝120°，
所以∠B＝∠C＝30°.
因为AE＝BE，所以∠B＝∠EAB＝30°.
因为∠BAC＝120°，所以∠CAE＝∠BAC－∠EAB＝90°，
即∠CAE＝90°.
(2) 证明：由(1)，得∠CAE＝90°，∠C＝30°，
所以∠AED＝60°，所以AE＝EC.
因为D为线段EC的中点，
所以ED＝EC，
所以AE＝ED，则△ADE是等边三角形．
8. A　9. D　10. 2　11. 2n-1
12. (1) 证明：因为△ABD，△BCE都是等边三角形，
所以AB＝BD，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE＝60°，
所以∠ABD＋∠DBE＝∠DBE＋∠CBE，即∠ABE＝∠DBC.
在△ABE和△DBC中，
所以△ABE≌△DBC(SAS)，
所以AE＝CD.
(2) 解：△BMN是等边三角形，理由如下：
因为△ABE≌△DBC，
所以∠BAE＝∠BDC.
因为AE＝CD，M，N分别是AE，CD的中点，
所以AM＝AE＝CD＝DN.
在△ABM和△DBN中，
所以△ABM≌△DBN(SAS)，
所以BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，
所以∠DBM＋∠DBN＝∠DBM＋∠ABM＝∠ABD＝60°，
即∠MBN＝60°，
所以△BMN是等边三角形．
13. (1) 证明：因为△ABC为等边三角形，
所以∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°.
因为E为AB的中点，
所以CE⊥AB，CE是∠ACB的平分线，
所以∠BEC＝90°，∠BCE＝30°，
所以2EB＝BC.
因为ED＝EC，
所以∠EDC＝∠ECD＝30°，
所以∠DEB＝∠ABC－∠EDC＝60°－30°＝30°，
所以BD＝BE，
所以2BD＝BC.
(2) 解：如图，过点E作EF∥BC，交AC于点F.
因为△ABC为等边三角形，
所以∠A＝∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
所以△AEF为等边三角形，
所以∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE.
因为ED＝EC，
所以∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，
所以∠EDB＝∠FEC.
在△BDE和△FEC中，
所以△BDE≌△FEC(AAS)，
所以BD＝EF，
所以AE＝BD＝2，
所以CD＝BC＋BD＝12＋2＝14.
第4课时　直角三角形的性质
1. A　2. B　3. 20　4. 4　5. 11
6. 证明：连接DE，BE.
因为∠ABC＝∠ADC＝90°，E为AC的中点，
所以BE＝AC，DE＝AC，所以BE＝DE.
因为F为BD的中点，所以EF⊥BD.
7. (1) 证明：因为CE，BD分别是边AB，AC上的高，
所以∠BEC＝∠CDB＝90°.
因为M是BC的中点，
所以EM＝BC，DM＝BC，所以ME＝MD.
(2) 解：因为∠A＝45°，
所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝135°.
因为∠BEC＝∠CDB＝90°，M为BC的中点，
所以EM＝BM，DM＝CM，
所以∠BEM＝∠ABC，∠MDC＝∠ACB，
所以∠ABC＋∠BEM＋∠ACB＋∠MDC＝135°×2＝270°，
所以∠EMB＋∠DMC＝180°×2－270°＝90°，
所以∠EMD＝180°－(∠EMB＋∠DMC)＝180°－90°＝90°.
因为ME＝MD，所以∠EDM＝45°.
8. C　9. A　10. 16　11. 30°
12. (1) 证明：连接ED.因为G是CE的中点，DG⊥CE，
所以DE＝DC.
因为AD是高，所以△ABD是直角三角形．
又因为CE是中线，所以E是AB的中点，
所以ED是Rt△ABD的中线，
所以DE＝BE＝AE，所以BE＝CD.
(2) 解：因为DE＝BE＝AE＝DC，
所以∠BCE＝∠DEC，∠BAD＝∠ADE，
所以∠EDB＝2∠BCE，
∠ADE＝
＝＝.
因为AD是高，所以∠EDB＋∠ADE＝90°，
即2∠BCE＋＝90°，
所以3∠BCE＝75°，所以∠BCE＝25°.
13. (1) ①证明：如图1，连接MD.
因为∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
所以BM＝AC，DM＝AC，
所以BM＝DM.
又因为N是BD的中点，
所以MN⊥BD.
②解：因为∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
所以BM＝AM＝MC＝DM.
又因为∠BAC＝45°，∠DAC＝28°，
所以∠MBC＝∠MCB＝90°－∠BAC＝45°，∠MCD＝∠CDM＝90°－∠DAC＝62°，
所以∠BMD＝360°－45°×2－62°×2＝146°.
因为BM＝DM，MN⊥BD，
所以∠BMN＝∠DMN＝∠BMD＝×146°＝73°.
(2) α－β　提示：如图2，连接MD，因为∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，所以AM＝BM＝MD，所以∠MBA＝∠BAC＝α，∠MDA＝∠DAC＝β，所以∠AMB＝180°－2α，∠CMD＝2β，所以∠BMD＝180°－∠AMB－∠CMD＝2α－2β.因为BM＝MD，N是BD的中点，所以∠BMN＝∠DMN＝∠BMD＝(2α－2β)＝α－β.
图1 图2