3．1　勾 股 定 理 同步练 （含答案）2025-2026学年数学苏科版（2024）八年级上册

3．1　勾 股 定 理
第1课时　勾股定理的发现
掌握勾股定理，会用勾股定理解决问题．
建议用时：15分钟
1 （2025无锡期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，则AB2－BC2等于(　　)
A. 4 B. 16 C. 20 D. 25
2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若∠A＝90°，则a2＋b2＝c2 B. 若∠B＝90°，则a2＋b2＝c2
C. 若∠C＝90°，则a2＋c2＝b2 D. 若∠A＝90°，则c2＋b2＝a2
3 (1) 在△ABC中，∠C＝90°，若c＝13，b＝12，则a＝　　　　；
(2) 在△ABC中，∠C＝90°，若a∶b＝3∶4，c＝10，则a＝　　　　，b＝　　　　．
(3) （2025无锡梁溪期末）如果直角三角形的两条边长分别为2和3，那么它的第三条边长为　　　　．
4 （2025盐城盐都期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，以AB，BC，AC三边为边长的三个正方形面积分别为S1，S2，S3.若AB＝5，S3＝5，则S2的值为　　　　．
（第4题） （第5题） （第6题）
5 （教材P88例2变式）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为　　　　．
6 （2025宿迁宿豫期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E.若CE＝1，CD＝，则AE的长为　　　　．
7 （2025泰州兴化期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20.
(1) 求BC的长；
(2) 过点A作AD⊥BC，垂足为D，求BD的长．
建议用时：20＋5分钟
8 （2025常州溧阳期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，若BC＝，AE∶EC＝3∶2，则AB的长为(　　)
A. B. C. D. 3
（第8题） （第9题） （第10题） （第11题）
9 （2024南通启东月考）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S3＋S2－S1＝18，则图中阴影部分的面积为(　　)
A. 6 B． C. 5 D．
10 如图，在△ABC中，∠C＝90°，c＝2，则a2＋b2＋c2＝　　　　．
11 （2025徐州睢宁期中）对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD＝4，BC＝2，则AB2＋CD2＝　　　　．
12 如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作AD⊥BC，垂足为D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
13 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝6 cm，动点P从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.
(1) 求边BC的长；
(2) 当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3) 当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
备用图1 备用图2
第2课时　勾股定理的证明
能够利用面积法进行勾股定理的证明．
建议用时：15分钟
1 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为“弦图”．观察图形，可以验证的公式是(　　)
A. (a＋b)(a－b)＝a2－b2　　 B. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C. c2＝a2＋b2 D. (a－b)2＝a2－2ab＋b2
图1 图2
（第1题） （第2题）
2 （2025南通如皋期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图2中的大正方形ABCD的边长为　　　　．
3 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同．当两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放时，也可以用面积法来证明，请将下面证明过程补充完整．（用含字母的代数式填空）
证明：连接DB，过点D作边BC上的高DF，交BC的延长线于点F，
则四边形DFCE为长方形，所以DF＝EC＝　　　　．
因为S四边形ABCD＝S△ACD＋　　　　＝　　　　＋ab，
且S四边形ABCD＝S△ADB＋　　　　＝c2＋　　　　，
所以　　　　＋ab＝c2＋　　　　，
即　　　　　　　　．
4 如图，对任意符合条件的Rt△ABC，绕其锐角顶点A逆时针旋转90°得到Rt△AED(∠BAE＝90°)，连接BE，延长DE，BC，交于点F，易知四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．
建议用时：20＋5分钟
5 （2024南通）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m＞n).若小正方形面积为5，且(m＋n)2＝21，则大正方形面积为(　　)
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
（第5题） （第7题）
6 若n>1，△ABC三边长分别是n2－1，2n，n2＋1，则△ABC是　　　　三角形．
7 如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是14，整个图形（连同空白部分）的面积是36，则大正方形ABCD的边长是　　　　．
8 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形(Rt△ABC≌Rt△DAE)按如图所示的方式放置，∠DAB＝∠B＝90°，点E在边AB上，现设Rt△ABC的两直角边长分别为CB＝b，AB＝a，斜边长为AC＝c.
(1) 求证：AC⊥DE；
(2) 请根据上述图形的面积关系证明勾股定理．
9 如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，E为AC上的一点，连接BE，DE，DE的延长线交AB于点F.已知DE＝AB，∠CAD＝45°.
(1) 求证：DF⊥AB；
(2) 利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2＋b2＝c2.
3．1　勾 股 定 理
第1课时　勾股定理的发现
1. B　2. D　3. (1) 5　(2) 6　8　(3) 或　4. 20　5. 3－　6. 2
7. 解：(1) 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，
所以BC＝＝＝25.
(2) 因为AD⊥BC，
所以S△ABC＝AB·AC＝BC·AD，
所以AD＝＝＝12，
所以BD＝＝＝9.
8. B　9. B　10. 8　11. 20
12. 解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则有CD＝14－x.
由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，
所以152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9，
所以AD＝12，
所以S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84.
13. 解：(1) 在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝102－62＝64，所以BC＝8 cm.
(2) 由题意可知BP＝2t cm.
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8 cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝2t cm，CP＝(2t－8) cm，AC＝6 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝62＋(2t－8)2，
在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，即102＋[62＋(2t－8)2]＝(2t)2，
解得t＝.
综上，当△ABP为直角三角形时，t的值为4或.
(3) ①当AB＝BP时，易得t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16 cm，易得t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝2t cm，CP＝|2t－8| cm，AC＝6 cm.
在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2，即(2t)2＝62＋(2t－8)2，解得t＝.
综上，当△ABP为等腰三角形时，t的值为5或8或.
第2课时　勾股定理的证明
1. C　2.
3. b－a　S△ABC　b2　S△DCB　a(b－a)　b2
a(b－a)　a2＋b2＝c2
4. 解：由题意，得S正方形ACFD＝b2，
且S四边形ABFE＝S△ABE＋S△BEF＝c2＋(a＋b)(b－a)＝c2＋b2－a2.
因为S正方形ACFD＝S四边形ABFE，
所以c2＋b2－a2＝b2，
整理，得a2＋b2＝c2.
5. B　6. 直角　7. 5
8. 证明：(1) 因为Rt△ABC≌Rt△DAE，
所以∠ACB＝∠DEA.
因为∠B＝90°，
所以∠ACB＋∠BAC＝90°，
所以∠DEA＋∠BAC＝90°，
所以∠AFE＝180°－∠BAC－∠DEA＝90°，
所以AC⊥DE.
(2) 由题意，得S梯形ABCD＝·AB＝·a＝a2＋ab，
且S△CBE＝BE·BC＝b(a－b)＝ab－b2.
因为Rt△ABC≌Rt△DAE，
所以DE＝AC＝c，
所以S四边形AECD＝S△ADE＋S△CDE
＝AF·DE＋CF·DE ＝AC·DE＝c2，
所以ab－b2＋c2＝a2＋ab，
整理，得a2＋b2＝c2.
9. 证明：(1) 因为AC⊥BD，∠CAD＝45°，
所以AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°.
在Rt△ABC与Rt△DEC中，
所以Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)，
所以∠BAC＝∠EDC.
因为∠EDC＋∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，
所以∠AEF＋∠BAC＝90°，
所以∠AFE＝90°，所以DF⊥AB.
(2) 因为S△BCE＋S△ACD＝S△ABD－S△ABE，
所以a2＋b2＝c·DF－c·EF＝c·(DF－EF)＝c·DE＝c2，
整理，得a2＋b2＝c2.