3．2　勾股定理的逆定理 同步练（含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）八年级上册

3．2　勾股定理的逆定理
1. 掌握直角三角形的判断条件，并会利用勾股定理的逆定理进行计算及证明．
2. 会用勾股定理的逆定理判断一组数是否为勾股数．
建议用时：15分钟
1 （2025无锡滨湖期末）下列各组数中，是勾股数的一组是(　　)
A. 1，2，3 B. 1，1， C. 5，12，13 D. 0.3，0.4，0.5
2 （2025泰州兴化期末）下列四组线段长度中，可以构成直角三角形的是(　　)
A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. ，4， D. 1，，
3 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若c2＝a2－b2，则∠C是(　　)
A. 锐角　　　 B. 直角　　　 C. 钝角　　　 D. 不确定
4 如图，以△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，如果S1＋S2＝S3，那么△ABC的形状是
　　　　三角形．
5 三条线段的长分别为m，n，p，且满足(m＋n)(m－n)＝p2，则以这三条线段为边组成的三角形为　　　　．
6 （教材P95练习3变式）一个三角形三边长的比为3∶4∶5，且其周长为36 cm，则其面积为　　　　cm2.
7 已知△ABC的三边长分别为3，4，5，则最长边上的中线长为　　　　．
8 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且AB＝15，AD＝12，CD＝16.求证：△ABC是直角三角形．
9 如图，四边形ABCD是公园中的一块空地，∠B＝90°，AB＝6 m，BC＝8 m，CD＝24 m，AD＝26 m．
(1) 连接AC，判断△ACD的形状并说明理由；
(2) 为美化公园环境，欲在该空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需费用多少元？
建议用时：20＋5分钟
10 若△ABC的三边a，b，c满足(a－c)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是(　　)
A. 等腰三角形　　　　 B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形　　　D. 等腰直角三角形
11 如图，P是等边三角形ABC内一点，连接PA，PB，PC，且PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，以AC为边在△ABC外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则下列结论中错误的是(　　)
A. △APP′是正三角形 B. △PCP′是直角三角形
C．∠APB＝150° D．∠APC＝135°
（第11题） （第12题）
12 如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD为△ABC的角平分线，则CD的长为　　　　．
13 如图，在△ABC中，边AB上的垂直平分线DE与AB，AC分别交于点D，E，且CB2＝AE2－CE2.
(1) 求证：∠C＝90°；
(2) 若AC＝4，BC＝3，求CE的长．
14 （2024南通海门期末）满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
(1) 请把下列三组勾股数补充完整：
①　　　　，8，10；②5，　　　　，13；③8，15，　　　　；
(2) 小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn（m，n均为正整数），那么另外两个数可以写成m2＋n2，m2－n2，如4＝2×2×1，5＝22＋12，3＝22－12.请你帮小敏证明这三个数2mn，m2＋n2，m2－n2是勾股数；
(3) 如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数，求m＋n的值．
3．2　勾股定理的逆定理
1. C　2. D　3. A　4. 直角　5. 直角三角形　6. 54　7. 2.5
8. 证明：因为AD⊥BC，AB＝15，AD＝12，CD＝16，
由BD2＝AB2－AD2，得BD＝9，
由AC2＝AD2＋CD2，得AC＝20，
所以BC＝BD＋CD＝25，
所以BC2＝252＝625，AB2＋AC2＝152＋202＝625，
所以BC2＝AB2＋AC2，所以△ABC是直角三角形．
9. 解：(1) △ACD是直角三角形．理由如下：
连接AC. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 m，BC＝8 m，根据勾股定理，得AC＝＝＝10(m).
在△ACD中，AC＝10 m，CD＝24 m，AD＝26 m，
因为102＋242＝262，所以AC2＋CD2＝AD2，
所以△ACD是直角三角形．
(2) 由题意可得S△ABC＝×6×8＝24(m2)，S△ACD＝×10×24＝120(m2)，
所以S四边形ABCD＝24＋120＝144(m2)，
所以144×80＝11 520(元)，
即铺满这块空地共需费用11 520元．
10. C　11. D　12. 3
13. (1) 证明：连接BE.因为边AB上的垂直平分线为DE，所以AE＝BE.
因为CB2＝AE2－CE2，所以CB2＝BE2－CE2，
所以CB2＋CE2＝BE2，所以∠C＝90°.
(2) 解：设CE＝x，则AE＝BE＝4－x，
在Rt△BCE中，BE2－CE2＝BC2，
所以(4－x)2－x2＝32，解得x＝，
所以CE的长为.
14. (1) ①6　②12　③17
(2) 证明：因为(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4＋n4－2m2n2＋4m2n2＝m4＋n4＋2m2n2，(m2＋n2)2＝m4＋n4＋2m2n2，
所以(m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2.
又2mn，m2＋n2，m2－n2是正整数，
所以2mn，m2＋n2，m2－n2是勾股数．
(3) 解：约去公因数，得7，24，25，
因为偶数24＝2×3×4，25＝42＋32，7＝42－32，
所以m＝4，n＝3，所以m＋n＝7.