3．3　勾股定理的简单应用 同步练 （含答案）2025-2026学年数学苏科版（2024）八年级上册

3．3　勾股定理的简单应用
第1课时　勾股定理在实际生活中的应用
1. 能利用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题．
2. 能在实际问题中构造直角三角形解决实际问题．
建议用时：15分钟
1 （教材P98例1变式）如图，一棵树从3 m处折断了，树顶端和树底端的距离为4 m，那么这棵树原来的高度是(　　)
A. 8 m　　　　 B. 5 m　　　　 C. 9 m　　　　 D. 7 m
（第1题） （第2题） （第3题）
2 如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B(∠C＝90°)绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知AC＝6 km，BC＝8 km，则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为(　　)
A. 2 km　　 B. 3 km　　 C. 4 km　　 D. 5 km
3 如图，长3.4 m的梯子靠在墙上，梯子的底端和墙脚线的距离为1.6 m，则梯子顶端距离地面的高度MN为　　　　m.
4 一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港，则A，C两港之间的距离为　　　　km.
5 如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4 m，BE＝1 m．求滑道AC的长．
6 （教材P99练习2变式）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE为2.2 m．一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C的距离为2.4 m．如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E的距离为2 m，那么此时梯子底端B与右墙角点E的距离是多少米？
建议用时：20＋5分钟
7 如图，将一根24 cm的筷子置于底面直径为12 cm，高为5 cm的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是(　　)
A. h≤19　　 B. 11≤h≤19　　 C. 12≤h≤19　 D. 13≤h≤19
（第7题） （第8题） （第9题）
8 （2024南京秦淮期末）如图，南京地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的AB，BC两段构成，若BC段的长度为8 cm，点A，C之间的距离比AB段长2 cm，则AB段的长度为　　　　cm.
9 《九章算术》“勾股”章中记载了这样一个问题：“今有开门去阃(kǔn)一尺不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（AD和BC），门边沿D，C两点到门槛AB的距离是1尺（1尺＝10寸），两扇门的间隙CD为2寸，则门槛AB长为　　　　寸．
10 如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120 m，BM的长为150 m．求：
(1) 供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2) 喷泉B到小路AC的最短距离．
11 （2024广东期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向，由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离CA，CB分别为300 km，400 km. AB＝500 km，以台风中心为圆心，周围250 km以内为受影响区域．
(1) 海港C受台风影响吗？为什么？
(2) 如果台风中心移动的速度为20 km/h，那么台风影响海港C的持续时间有多长？
第2课时　勾股定理在几何图形中的应用
能利用勾股定理及勾股定理的逆定理解决几何问题．
建议用时：15分钟
1 （2025南通如东期末）如图，在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.若AB＝4 cm，则DE＋DF等于(　　)
A. 4 cm B. 2 cm　　C. 2 cm　　D. cm
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2 （2025扬州邗江一模）象棋是中国的传统棋种，如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是(　　)
A. 5 B. C. D.
3 （2025扬州广陵期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为　　　　．
4 （2025宿迁宿城期末）如图，已知等腰三角形ABC的底边BC＝5，D是腰AB上一点，且CD＝4，BD＝3，则AD的长为　　　　．
5 （教材P100探究变式）在如下的数轴上确定表示的点M.
6 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点．
(1) 请你猜测EF与AC的位置关系，并说明理由；
(2) 当AC＝8，BD＝10时，求EF的长．
建议用时：20＋5分钟
7 （2025苏州张家港月考）如图，在长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为(　　)
A. 3 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 12 cm2
（第7题） （第8题） （第9题）
8 （2025浙江一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中的阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝4时，阴影部分的面积为　　　　．
9 （2025泰州兴化期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，若点P在边AC上运动，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接BP，则BP＋PQ的最小值是　　　　．
10 （2025苏州期中）如图，在△ABC中，E为边AB上的一点，连接CE并延长，过点A作AD⊥CE，垂足为D.已知AD＝7，AB＝20，BC＝15，DC＝24.
(1) 求证：∠B为直角；
(2) 记△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S2－S1的值为　　　　．
11 （2025扬州高邮期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16 cm，BC＝12 cm，M，N是△ABC边上的两个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2 cm/s，点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为4 cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s.
(1) 出发2 s后，求MN的长；
(2) 当点M在边BC上运动时，出发几秒后，△MNB是等腰三角形？
(3) 当点M在边CA上运动时，求能使△BCM成为等腰三角形的t的值．
3．3　勾股定理的简单应用
第1课时　勾股定理在实际生活中的应用
1. A　2. C　3. 3　4. 50
5. 解：设AC＝x m，则AE＝AC＝x m，AB＝AE－BE＝(x－1)m，
由题意，得∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，由AB2＋BC2＝AC2，得(x－1)2＋42＝x2，
解得x＝8.5，
所以滑道AC的长为8.5 m.
6. 解：设此时梯子底端B与右墙角点E的距离为x m，则BC＝(2.2－x)m.
由题意可知AC＝2.4 m，DE＝2 m，AB＝DB，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理，得AB2＝BC2＋AC2，DB2＝BE2＋DE2，
所以BC2＋AC2＝BE2＋DE2，
即(2.2－x)2＋2.42＝x2＋4，
解得x＝1.5，
故此时梯子底端B与右墙角点E的距离为1.5 m.
7. B　8. 15　9. 101
10. 解：(1) 在Rt△MNB中，由BN2＝BM2－MN2，得BN＝90(m)，
所以AN＝AB－BN＝250－90＝160(m).
在Rt△AMN中，由AM2＝AN2＋MN2，得AM＝200(m)，
所以供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝200＋150＝350(m).
(2) 因为AB＝250 m，AM＝200 m，BM＝150 m，
所以AB2＝BM2＋AM2，
所以△ABM是直角三角形，且BM⊥AC，
所以喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝150 m.
11. 解：(1) 海港C受台风影响．理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于点D.
因为AC＝300 km，BC＝400 km，AB＝500 km，
所以AC2＋BC2＝AB2，
所以△ABC是直角三角形，
所以S△ABC＝×AC×BC＝×CD×AB，
即300×400＝500×CD，
所以CD＝＝240(km)，
因为以台风中心为圆心，周围250 km以内为受影响区域，
所以海港C受台风影响．
(2) 当EC＝250 km，FC＝250 km时，正好影响C海港，
因为ED＝＝70(km)，
所以EF＝140 km.
因为台风中心移动的速度为20 km/h，
所以140÷20＝7(h)，
即台风影响海港C的持续时间为7 h.
第2课时　勾股定理在几何图形中的应用
1. B　2. A　3. 3.5　4.
5. 解：在数轴上画出点B表示3，作AB垂直于x轴，截取AB＝1，根据勾股定理，得OA＝＝，在数轴上用圆规截取OM＝OA，点M表示的数就是.
6. 解：(1) EF⊥AC.理由如下：
连接AE，CE.
因为∠BAD＝90°，E为边BD的中点，
所以AE＝BD.
因为∠DCB＝90°，E为边BD的中点，
所以CE＝BD，
所以AE＝CE.
因为F是AC的中点，
所以EF⊥AC.
(2) 因为AC＝8，BD＝10，E，F分别是边BD，AC的中点，
所以AE＝CE＝5，CF＝4.
因为EF⊥AC，
所以EF＝＝＝3.
7. C　8. 16　9.
10. (1) 证明：因为AD⊥CE，
所以∠D＝90°.
因为AD＝7，DC＝24，
所以AC2＝AD2＋DC2＝625＝252.
因为AB＝20，BC＝15，202＋152＝252，
所以AB2＋BC2＝AC2，
所以△ABC是直角三角形，且∠B为直角．
(2) 66
11. 解：(1) 当t＝2时，AN＝2t＝4 cm，BM＝4t＝8 cm.
因为AB＝16 cm，
所以BN＝AB－AN＝16－4＝12(cm).
在Rt△MNB中，由勾股定理可得
MN＝＝＝(cm)，
即MN的长为 cm.
(2) 由题意可知AN＝2t cm，BM＝4t cm，
又因为AB＝16 cm，
所以BN＝AB－AN＝(16－2t)cm.
当△MNB为等腰三角形时，有BM＝BN，
所以16－2t＝4t，解得t＝，
所以出发 s后△MNB是等腰三角形．
(3) 在△ABC中，由勾股定理可求得AC＝20 cm，
当点M在AC上运动时，CM＝(4t－12)cm.
因为△BCM为等腰三角形，
所以有BM＝BC，CM＝BC和CM＝BM三种情况：
①当BM＝BC＝12 cm时，如图，过点B作BE⊥AC，
则CE＝CM＝2t－6.
在Rt△ABC中，由S△ABC＝AB·BC＝BE·AC，
得BE＝＝9.6.
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2＝BE2＋CE2，
即122＝(9.6)2＋(2t－6)2，
即(2t－6)2＝7.22，
即2t－6＝7.2或2t－6＝－7.2，
解得t＝6.6或t＝－0.6(舍去).
②当CM＝BC＝12 cm时，则4t－12＝12，解得t＝6.
③当CM＝BM时，即∠C＝∠MBC，
因为∠C＋∠A＝90°＝∠CBM＋∠MBA，
所以∠A＝∠MBA，
所以MB＝MA，所以CM＝AM＝10 cm，
即4t－12＝10，解得t＝5.5.
综上，当t的值为6.6或6或5.5时，△BCM为等腰三角形．