4．1　点的位置与坐标系 同步练（含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）八年级上册

4．1　点的位置与坐标系
第1课时 认识平面直角坐标系
1. 了解与平面直角坐标系相关的概念，能在给定的平面直角坐标系中，根据点的坐标找到点的位置，以及由点的位置写出点的坐标．
2. 掌握平面直角坐标系内不同象限点的坐标符号规律．
建议用时：15分钟
1 （2025常州溧阳期末）下列各点中，位于第四象限的是(　　)
A. (3，4) B. (－3，4) C. (3，－4) D. (－3，－4)
2 （2025镇江丹徒期末）如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为(　　)
A. (－6，2) B. (－2，－6) C. (－2，6) D. (2，－6)
3 已知点M(2m－1，2－m)在y轴上，则m的值为(　　)
A. 　　 B. 2　　 C. 3　　 D. 0
4 若点A(2－a，a＋1)在第二象限，则a的取值范围是(　　)
A. a＞2　　 B. －1＜a＜2　　 C. a＜－1　　 D. a＜1
5 （2025宿迁泗阳期末）在平面直角坐标系中，点M(m2＋1，2)在第　　　　象限．
6 （2025宿迁泗阳一模）在平面直角坐标系中，点M的坐标是(12，－5)，则点M到x轴的距离是　　　　．
7 （2024南通通州月考）若点A(x＋2，x－4)在x轴上，则点A的坐标为　　　　．
8 （教材P115练习1变式）写出图中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标．
9 在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：(2，1)，(1，4)，(0，1)，(0，－4)，(2，－4).依次连接各点，观察得到的图形，你觉得它像什么？
建议用时：20＋5分钟
10 在平面直角坐标系中，点P(m－3，4－2m)不可能在(　　)
A. 第一象限　 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
11 若点M(－2a＋18，32－2a)在x轴上，则的值为(　　)
A. 3 B. ±3 C. 4 D. ±4
12 若点P(2a，1－3a)在第一象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为，则a的值为　　　　．
13 （2025武威凉州期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，4)，B(1，2)，C(3，－1)，请你在坐标系内找一点P（不与点B重合），使PA＝BA，PC＝BC，则点P的坐标是　　　　．
（第13题） （第14题）
14 （2025盐城建湖期末）如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，0)，C(0，6)，点B在x轴的正半轴上，连接AC，BC.若AB＝BC，则点B的坐标是　　　　．
15 （2025南京鼓楼模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形EFGC的面积分别为64和16.
(1) 请写出点A，E，F的坐标；
(2) 求△BDF的面积．
16 （2025南通海门月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴，y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
(1) 求点A(2，－4)的“长距”；
(2) 若点B(4a－5，－2)是“完美点”，求a的值；
(3) 若点C(3，3b－5)的长距为4，点D的坐标为(3b－1，5c＋3)，且点D是“完美点”，求b，c的值．
第2课时　建立合适的平面直角坐标系
1. 建立适当的平面直角坐标系表示点的位置．
2. 实际问题数学化，用平面直角坐标系解决问题．
建议用时：15分钟
1 如图，在矩形ABCD中，A(－3，2)，B(3，2)，C(3，－1)，则点D的坐标为(　　)
A. (－2，－1) 　 B. (4，－1) 　 C. (－3，－2) 　 D. (－3，－1)
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2 （2024南通启东期中）为规范书写，某中学安排学生下课后在操场上进行粉笔字练习，每个小正方形的边长都是1，五位同学的位置如图所示，若A同学的坐标用(0，1)表示，则E同学的坐标可以表示为(　　)
A. (1，－2) 　 B. (－2，2) C. (－2，－2)　 D. (－1，2)
3 如图，某吉祥物所处的位置分别为M(－2，2)，B(1，1)，则A，C，N三点中为坐标原点的是点　　　　．
4 （2025徐州沛县期末）如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点(3，0)，“兵”位于点(－1，1)，则“帅”所在位置的坐标是　　　　．
5 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，请建立适当的直角坐标系，写出点A，B，C的坐标．
6 （教材P116例3变式）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知学校的坐标为A(2，1)，图书馆的坐标为B(－1，－2).
(1) 在图中标出平面直角坐标系的原点，并建立直角坐标系；
(2) 若体育馆的坐标为C(1，－3)，请在坐标系中标出体育馆的位置；
(3) 顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到△ABC，求△ABC的面积．
建议用时：20＋5分钟
7 如图，若在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别是(－1，0)和(3，0)，则下列各点的坐标中正确的是(　　)
A. F(3，2) 　 B. G(6，5) 　 C. A(－3，3) 　 D. E(5，4)
图1 图2
（第7题） （第8题） （第9题）
8 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠A＝90°，AO＝AB，点A的坐标为(3，4)，则点B的坐标为　　　　．
9 在平面内取一定点O，引一条射线Ox，再取定一个长度单位，并确定角的方向（通常以逆时针的方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系，如图1.其中，O称为极点，Ox称为极轴，那么平面上任一点M的位置可由OM的长度m（称为点M的极径）与∠xOM的度数α（称为点M的极角）确定，有序数对(m，α)称为点M的极坐标．如图2，在极坐标系下，有一个等边三角形AOB，且AB＝4，则点B的极坐标为　　　　．
10 如图，在网格中建立直角坐标系后，点A，B的坐标分别为(3，－4)和(－1，2).
(1) 在图中准确画出平面直角坐标系，并写出点C的坐标 ；
(2) 顺次连接A，B，C，得到△ABC，点D在y轴上，且满足S△DBC＝S△ABC，求点D的坐标．
11 （2024无锡梁溪模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，B(b，0)，其中a，b满足＋(b－3)2＝0.
(1) a＝　　　　，b＝　　　　；
(2) 若在第三象限内有一点M(－2，m)，用含m的式子表示△ABM的面积；
(3) 在(2)的条件下，当m＝－时，线段BM与y轴相交于点C（0，－）.若P是y轴上的动点，当△PBM的面积是△ABM的面积的2倍时，求点P的坐标．
备用图
4．1　点的位置与坐标系
第1课时　认识平面直角坐标系
1. C　2. C　3. A　4. A　5. 一　6. 5　7. (6，0)
8. 解：A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，－2)，D(4，0)，E(3，3)，F(0，3).
9. 解：如图，图形像铅笔．
10. A　11. C　12. 　13. (5，2)　14. (8，0)
15. 解：(1) 因为正方形ABCD和正方形EFGC的面积分别为64和16，
所以正方形ABCD和正方形EFGC的边长分别为8和4，
所以OG＝8＋4＝12，
所以A(0，8)，E(8，4)，F(12，4).
(2) S△BDF＝S△BDC＋S梯形BCGF－S△DGF
＝×8×8＋×(4＋8)×4－×(8＋4)×4
＝32＋24－24＝32.
16. 解：(1) 由题意，得点A(2，－4)到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，
所以点A的“长距”为4.
(2) 因为点B(4a－5，－2)是“完美点”，
所以|4a－5|＝|－2|，
所以4a－5＝2或4a－5＝－2，
解得a＝或a＝.
(3) 因为点C(3，3b－5)的长距为4，
所以|3b－5|＝4，解得b＝3或b＝，
因为点D的坐标为(3b－1，5c＋3)，且点D是“完美点”，
所以3b－1＝5c＋3或3b－1＝－(5c＋3)，
当b＝3，c＝1或c＝－；当b＝，c＝－.
第2课时　建立合适的平面直角坐标系
1. D　2. B　3. A　4. (1，－2)
5. 解：答案不唯一，如图，以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，垂直平分线与BC的交点为原点建立直角坐标系．
因为∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，
所以y轴必经过点A，
所以∠BCA＝∠ABC＝30°，AO＝AB＝1，
在Rt△AOB中，BO＝＝＝，
所以A(0，1)，B(－，0)，C(，0).
6. 解：(1) 建立直角坐标系如图，点O即为原点．
(2) 如图，点C即为所求．
(3) S△ABC＝3×4－×2×1－×1×4－×3×3＝4.5.
7. C　8. (－1，7)　9. (4，60°)
10. 解：(1) 根据点A，B的坐标分别为(3，－4)和(－1，2)建立平面直角坐标系如图所示．点C的坐标为(4，2).
(2) 设点D到BC的距离为h，则S△DBC＝BC·h，S△ABC＝BC×[2－(－4)]＝3BC.
因为S△DBC＝S△ABC，
所以BC·h＝BC，解得h＝3，
所以点D的纵坐标为2＋3＝5或2－3＝－1，
所以点D的坐标为(0，5)或(0，－1).
11. 解：(1) －1　3
(2) 因为a＝－1，b＝3，
所以A(－1，0)，B(3，0)，
所以AB＝4.
因为M(－2，m)，且点M在第三象限，
所以m＜0，
所以△ABM的面积＝×4×(－m)＝－2m.
(3) 当m＝－时，
则M(－2，－)，S△ABM＝－2m＝－2×(－)＝3，
因为S△PBM＝2S△ABM＝6，
所以S△PBM＝S△MPC＋S△BPC＝PC×2＋PC×3＝6，
解得PC＝.
因为点C(0，－)，所以OC＝，
当点P在点C的下方时，P(0，－－)，即P(0，－)；
当点P在点C的上方时，P(0，－)，即P(0，).
综上，点P的坐标为(0，－)或(0，).