5．4　用一次函数解决问题 同步练（含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）八年级上册

5．4　用一次函数解决问题
第1课时　用一次函数表达式解决实际问题
1. 能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的表达式．
2. 通过用一次函数表达数量变化及其关系的过程，体会模型思想．
建议用时：15分钟
1 已知小球从点A运动到点B，速度v(m/s)是时间t(s)的正比例函数，3 s时小球的速度是6 m/s，则速度v与时间t之间的关系式是(　　)
A. v＝　　　 B. v＝　　　 C. v＝3t　　　 D. v＝2t
2 气温随着高度的升高而下降，下降的一般规律是从地面到高空11 km处，每升高1 km，气温下降6 ℃；高于11 km时，几乎不再变化．设地面的气温为20 ℃，则当离地面13 km时，气温为(　　)
A. －44 ℃　　　 B. －45 ℃　　　 C. －46 ℃　　　 D. －47 ℃
3 （2024湖北）铁的密度为7.9 g/cm3，铁块的质量m(g)与它的体积V(cm3)之间的函数关系式为m＝7.9V，则当V＝10 cm3时，m＝　　　　g．
4 （2024东营）在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5 cm，当所挂物体的质量为2 kg时，弹簧长13.5 cm，则当所挂物体的质量为5 kg时，弹簧的长度为　　　　cm.
5 （2024南京鼓楼期末）风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．当气温为5 ℃时，下表列出了风寒温度和风速的几组对应值，则T与v的函数表达式可能是　　　　．
风速v/(km/h) 0 10 20 30 40
风寒温度T/℃ 5 3 1 －1 －3
6 暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张80元的学生暑期专享卡，每次健身费用10元；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用20元．
(1) 设健身次数为x（次），所需费用为y（元），分别就两种活动方案写出y关于x的函数表达式；
(2) 当学生消费次数在什么范围时，选择方案一更划算？
7 文具超市出售某品牌的水笔，每盒标价50元，为了促销，超市制定了A，B两种方案．方案A：每盒水笔打9折；方案B：5盒以内（包括5盒）不打折，超过5盒后，超过的部分打8折．
(1) 若购买水笔x盒，请分别直接写出用A方案购买水笔的费用y1（元）和用B方案购买水笔的费用y2（元）关于x（盒）的关系式；
(2) 若你去购买水笔，选择哪种方案更优惠？请说明理由．
8 某航空公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．若超过规定质量，则须购买行李票．已知当行李的质量超过规定时，行李票费用是行李质量的一次函数．当行李质量为60 kg时，行李票费用为6元；当行李质量为80 kg时，行李票费用为10元，则旅客最多可免费携带的行李质量是(　　)
A. 10 kg　　　 B. 20 kg　　　 C. 30 kg　　　 D. 40 kg
9 （2025镇江句容期末）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离y(cm)与所挂物重x(kg)之间满足一次函数关系，下表为记录的部分数据．
x/kg 1 2 3 …
y/cm 8 13.5 19 …
若不挂重物，则秤砣到秤纽的水平距离是(　　)
　　　
A. 1 cm B. 2.5 cm C. 4 cm D. 5.5 cm
10 声音在空气中的传播速度v(m/s)与温度t(℃)的关系如下表：
温度t/℃ 0 5 10 15 20
速度v/(m/s) 331 336 341 346 351
若声音在空气中的传播速度v(m/s)是温度t(℃)的一次函数，则当t＝25 ℃时，声音的传播速度为　　　　m/s.
11 某“品牌产品网络直播”的收益y（元）与直播时间x(h)之间满足一次函数关系，若直播1 h的收益为500元，直播4 h的收益为1 100元，则直播3 h的收益为　　　　元．
12 （2024甘南州）某网络经销商购进了一批A型钥匙扣和B型钥匙扣．已知购进A型钥匙扣50个、B型钥匙扣30个共需870元，购进A型钥匙扣30个、B型钥匙扣50个共需810元．
(1) 每个A型钥匙扣和B型钥匙扣的进价分别是多少元？
(2) 该经销商决定购进A型钥匙扣和B型钥匙扣共100个，投入资金不超过1 000元，并将A型钥匙扣的售价定为每个20元，B型钥匙扣的售价定为每个15元，请问如何进货可以使该经销商获得最大利润？最大利润是多少元？
13 （2025盐城响水一模）某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从批发店购进甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600元．
(1) 甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？
(2) 已知甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元．该班计划购进这两类拼图总费用不低于2 100元且不超过2 200元.若购进的甲、乙两类拼图共200盒，且全部售出，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？
(3) 在(2)的条件下，若该班级在“义卖活动”中，对售出的每一盒甲类拼图优惠a(0＜a≤5)元，其他条件不变，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大，最大利润为多少元（可用含a的式子表示）？
第2课时　用一次函数图象解决实际问题
能结合一次函数的图象将简单的实际问题转化为数学问题——建立一次函数，从而解决实际问题．
建议用时：15分钟
1 一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比，弹簧总长y(cm)关于所挂物体质量x(kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是(　　)
A. 3　　　 B. 4　　　 C. 5　　　 D. 6
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2 （2024泰州兴化期末）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若建立如图所示的平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则下列大小关系中正确的是(　　)
A. k2＜0＜k1　　 B. k1＜0＜k2　 C. k1＜k2＜0　 D. k2＜k1＜0
3 一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示．当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x，则当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为　　　　．
4 （教材P163问题变式）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s(km)和时间t(h)的关系，则出发
　　　　h后两人相遇．
5 （2025南通如皋月考）某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取．居民每月应交水费y（元）与用水量x(t)之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题：
(1) 若用水不超过10 t，则水费为　　　　元/t；
(2) 求居民每月应交水费y（元）与用水量x(t)之间的函数表达式；
(3) 若某户居民8月共交水费65元，求该户居民8月共用水多少吨？
6 （2024无锡）大运河畔有一条笔直的健身步道，小明、小亮分别从相距1 500 m的M，N两点同时出发，相向而行．两人离点M的距离s关于时间t的函数关系如图中折线所示．小明跑了一段路之后与小亮相距250 m，休息1 min之后与小亮相距400 m，小明继续跑了4 min后与小亮同时到达各自终点．
(1) 图中a的值为　　　　；
(2) 求图中BC所对应的函数表达式；
(3) 求小明、小亮相遇的时间．
建议用时：20＋5分钟
7 （2024南通）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20 km.两人前进路程s(km)与甲的前进时间t(h)之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法中正确的是(　　)
A. 甲比乙晚出发1 h B. 乙全程共用2 h
C. 乙比甲早到B地3 h D. 甲的速度是5 km/h
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为2∶3，甲、乙两车离AB的中点C的路程y(km)与甲车出发时间t(h)的函数图象如图所示，则下列说法中不正确的是(　　)
A. 乙车的速度为90 km/h
B. a的值为
C. b的值为150
D. 当甲、乙车相距30 km时，甲行走了 h或 h
9 若甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s(km)与时间t(h)的关系如图所示，则乙的速度是　　　　km/h.
10 （2025扬州模拟）某快递公司每天上午9：30—10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x(min)之间的函数图象如图所示，则从9：30开始，经过　　　　min，两仓库快递件数相同．
11 （2025南通月考）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间为t(h)，甲组加工零件的数量为y甲（个），乙组加工零件的数量为y乙（个），其函数图象如图所示．
(1) 求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
(2) 求a的值，并说明a的实际意义；
(3) 求甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个．
12 （2025浦口模拟）若A，B两地相距240 km，一辆快车和一辆慢车分别从A，B两地同时出发相向而行，相遇后两车继续行驶．快车到达B地后立即按原路原速返回，慢车到达A地后停止．快、慢两车离A地的距离y1，y2(km)与出发时间x(h)之间的函数关系如图所示．
(1) 补全y1与x之间的函数图象；
(2) 若慢车的速度为30 km/h.
①点P的坐标为　　　　；
②快车到达A地前，两车何时相距30 km
(3) 若慢车在快车返回A地后的0.5 h内到达，则慢车速度v的范围是　　　　．
5．4　用一次函数解决问题
第1课时　用一次函数表达式解决实际问题
1. D　2. C　3. 79　4. 15　5. T＝－0.2v＋5
6. 解：(1) 由题意，得方案一：y＝10x＋80，
方案二：y＝20x.
(2) 由题意，得10x＋80＜20x，解得x＞8，
所以当学生消费次数大于8次时，选择方案一更划算．
7. 解：(1) 方案A：y1＝45x，
方案B：y2＝
(2) 当0＜x≤5，且x是整数时，
因为y1＝45x，y2＝50x，所以y1＜y2，
所以选择方案A更优惠；
当x＞5，且x是整数时，
因为y1＝45x，y2＝50＋40x，
分三种情况：
当y1＝y2，即45x＝50＋40x时，x＝10；
当y1＞y2，即45x＞50＋40x时，x＞10；
当y1＜y2，即45x＜50＋40x时，x＜10.
综上所述，当购买10盒时，A，B两种方案一样优惠；当购买小于10盒时，方案A更优惠；当购买大于10盒时，方案B更优惠．
8. C　9. B　10. 356　11. 900
12. 解：(1) 设每个A 型钥匙扣的进价为x元，B型钥匙扣的进价为y元．
由题意，得解得
故每个A 型钥匙扣的进价为12元，B型钥匙扣的进价为9元．
(2) 设利润为W元，购进A型钥匙扣a个，则购进B型钥匙扣(100－a)个．
由题意，得W＝(20－12)a＋(15－9)(100－a)＝2a＋600.
因为12a＋9(100－a)≤1 000，
所以a≤33，且a为非负整数．
因为2＞0，所以W随着a的增大而增大，
所以当a＝33时，W最大，最大值为2×33＋600＝666，
故该经销商应购进A型钥匙扣33个，B型钥匙扣67个，可获得最大利润，最大利润为666元．
13. 解：(1) 设乙类拼图的每盒进价是x元，则甲类拼图的每盒进价是(x＋5)元．
由题意，得20(x＋5)＋30x＝600，解得x＝10，
所以x＋5＝10＋5＝15，
所以甲类拼图的每盒进价是15元，乙类拼图的每盒进价是10元．
(2) 设购进甲类拼图m盒，则购进乙类拼图(200－m)盒．
因为总费用不低于2 100元且不超过2 200元，
所以2 100≤15m＋10(200－m)≤2 200，
解得20≤m≤40.
设全部售出所获得总利润为w元，则w＝(25－15)m＋(18－10)(200－m)＝2m＋1 600.
因为2＞0，所以w随m的增大而增大，
所以当m＝40时，w取得最大值，最大值为2×40＋1 600＝1 680，
所以当购进甲类拼图40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1 680元．
(3) 设购进甲类拼图n盒，则购进乙类拼图(200－n)盒，同(2)，得20≤n≤40.
设全部售出所获得总利润为y元，则y＝(25－15－a)n＋(18－10)(200－n)＝(2－a)n＋1 600.
当2－a＞0，即0＜a＜2时，y随n的增大而增大，
所以当n＝40时，y取得最大值，最大值为(2－a)×40＋1 600＝1 680－40a；
当2－a＝0，即a＝2时，y＝1 600；
当2－a＜0，即2＜a≤5时，y随n的增大而减小，
所以当n＝20时，y取得最大值，最大值为(2－a)×20＋1 600＝1 640－20a.
综上所述，当0＜a＜2时，甲类拼图为40盒时，最大利润是(1 680－40a)元；当a＝2时，甲类拼图大于等于20盒小于等于40盒时，利润总是1 600元；当2＜a≤5时，甲类拼图为20盒时，最大利润是(1 640－20a)元．
第2课时　用一次函数图象解决实际问题
1. A　2. D　3. y＝80x－10　4. 0.35
5. 解：(1) 2.5
(2) 当0≤x≤10时，设y与x之间的函数表达式为y＝kx.
因为点(10，25)在该函数图象上，
所以25＝10k，解得k＝2.5，
即当0≤x≤10时，y与x之间的函数表达式为y＝2.5x；
当x＞10时，设y与x之间的函数表达式为y＝ax＋b，
则解得
即当x＞10时，y与x之间的函数表达式为y＝4x－15.
综上所述，y与x之间的函数表达式为y＝
(3) 将y＝65代入y＝4x－15，得65＝4x－15，
解得x＝20，
所以该户居民8月共用水20 t.
6. 解：(1) 10
(2) 因为10－4＝6(min)，
所以6 min时小亮与点N的距离为150×6＝900(m)，则此时小明与点M的距离为1 500－900＋400＝1 000(m)，
所以点B(6，1 000).
设BC所对应的函数表达式为s＝kt＋b(k，b为常数，且k≠0).
将点B(6，1 000)和C(10，1 500)的坐标分别代入s＝kt＋b，
得解得
所以BC所对应的函数表达式为s＝125t＋250(6≤t≤10).
(3) 因为点B(6，1 000)，所以点A(5，1 000)，
所以OA段小明的速度为1 000÷5＝200(m/min).
因为1 500÷(200＋150)＝(min)，
所以小明、小亮相遇的时间为 min.
7. D　8. D　9. 3.6　10. 20
11. 解：(1) 设y乙与t之间的函数关系式是y乙＝kt＋b，
则 解得
所以y乙与t之间的函数关系式是y乙＝120t－600(5≤t≤8).
(2) 由图象，得甲的工作效率为120÷3＝40(个/h)，
a＝120＋40×(8－4)＝280，
所以a的值是280，实际意义是当甲加工8 h时，一共加工了280个零件．
(3) 设甲组加工c h时，甲、乙两组加工零件的总数为480个，则120＋40(c－4)＋(120c－600)＝480，解得c＝7.
故甲组加工7 h时，甲、乙两组加工零件的总数为480个．
12. 解：(1) 因为快车到达B地后立即按原路原速返回，
所以快车返回A地时，x＝＋＝，
补全y1与x之间的函数图象，如图所示．
(2) ①(2，180)
②由题意，得y2＝240－30x，当0≤x≤时，y1＝90x.
因为两车相距30 km，
所以|240－30x－90x|＝30，
解得x＝或x＝；
当＜x≤时，y1＝240－90(x－)＝－90x＋480，
因为两车相距30 km，
所以|240－30x－(－90x＋480)|＝30，
解得x＝或x＝.
综上所述，当x＝或x＝或x＝或x＝时，两车相距30 km.
(3) ＜v＜45