第3章勾股定理达标检测卷 同步练（含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）八年级上册

第3章勾股定理达标检测卷
(时间：100分钟　满分：120分)
一、 选择题(每小题3分，共24分)
1. 在△ABC中，∠BAC＝90°，则下列结论中正确的是(　　)
A. BC＝AC＋BA B. AC2＝AB2＋BC2
C. AB2＝AC2＋BC2　　　 D. BC2＝AB2＋AC2
2. (2024连云港海州月考)下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是(　　)
A. AB∶BC∶AC＝3∶4∶5 B. AB∶BC∶AC＝1∶2∶
C. ∠A－∠B＝∠C D. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
3. (2025常州期末)如图，根据尺规作图痕迹，点M在数轴上表示的数是(　　)
A. －1 B. C. ＋1 D. 5
(第3题) (第4题) (第5题)
4. 如图，正方形小方格的边长为1，则网格中的线段长为无理数的个数为(　　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5. 如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于点M.若CM＝3，则CE2＋CF2的值为(　　)
A. 6　　 B. 9　　 C. 18 　 D. 36
6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于点E，交AC于点D.若AB＝15，BC＝9，则△BCD的周长为(　　)
A. 16　　 B. 20　　 C. 21　　 D. 24
(第6题) (第7题) (第8题)
7. 如图，将长方形ABCD沿着AE折叠，点D落在边BC上的点F处．若CE＝3，CF＝4，则AD的长为(　　)
A. 6　　 B. 8　　 C. 10　　 D. 12
8. (2024南京建邺二模)如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中，最短路径的长是(　　)
A. B. ＋ C. 3 D. 4
二、 填空题(每小题3分，共30分)
9. 若三角形的三边长分别为5，12，13，则它最长边上的高为________．
10. (2025南京玄武期末)在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，则△ABC的面积为________．
11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB，AC为边的正方形的面积分别为S1，S2.若S1＝20，S2＝11，则BC的长为________．
(第11题) (第12题) (第13题) (第14题)
12. 如图，在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若CD＝2，则AC2＋BC2＝________．
13. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足为A，且OP＝5，OA＝4，则点P到OM的距离为________．
14. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若CD＝3 cm，则AC＝________cm.
15. (2025盐城亭湖期中)如图，在底面周长约为6 m且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方(从点A到点C，B为AC的中点)，每根华表刻有雕龙的部分柱的身高约16 m，则雕刻在石柱上的巨龙至少为________m.
(第15题) (第16题) (第18题)
16. 如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°.若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则(a＋b)2的值为________．
17. (2025扬州广陵期中)观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41….若a，144，145是其中的一组勾股数，则a＝________．(提示：5＝，13＝，…)
18. (2025泰州海陵期末)如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝∠ACD＝90°，M是AD的中点，N是BC上的动点，连接MN.若AD＝8，BC＝6，则MN的最小值为________．
三、 解答题(共66分)
19. (6分)如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝13 cm，BC＝10 cm，AD⊥BC于点D，求AD的长．
20. (8分)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC及BC的延长线于点D，E，F，且CB2＝AE2－CE2.
(1) 求证：∠ACB＝90°；
(2) 若AC＝12，BC＝9，求CE的长．
21. (8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1) 在线段AC上找一点D，使得点D到AB，BC的距离相等(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2) 连接BD，若BC＝6，AB＝10，求AD的长．
22. (8分)(2025镇江丹徒期中)勾股定理体现了数与形的完美结合，小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵感，发现新的拼图方法：如图，两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点D在边BC上，顶点F，B重合，连接AE，AD.设AB，DE交于点G.已知∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b(a＞b)，AB＝DE＝c.请你回答下列问题：
(1) ∠AGE＝________，S四边形ADBE＝________(用含字母c的代数式表示)；
(2) 请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理．
23. (8分)(2025连云港赣榆期中)2024年某文化旅游品牌活动在青秀山风景区拉开帷幕，大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A，B两站的直线距离为25 km，C，D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B.已知DA＝15 km，CB＝10 km，现在小明要在直线AB上找到地点E.
(1) 若要使得C，D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在距离A站多少 千米处？
(2) 若要使得地点E到C，D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在距离A站多少 千米处？
24. (8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为1 cm/s，设出发的时间为t s.
(1) 若AP恰好是∠BAC的平分线，求t的值；
(2) 问当t为何值时，△BCP为等腰三角形？
25. (10分)在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c.若∠C为直角，则a2＋b2＝c2；若∠C为锐角或钝角，则a2＋b2与c2之间有怎样的大小关系呢？我们一起进行探究吧．
(1) 阅读并填空：如图1，若∠C为锐角，则a2＋b2＞c2.
证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝BC－CD＝a－CD.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝________，
所以________，
即c2－(a－CD)2＝b2－CD2，
所以a2＋b2－c2＝2a·CD.
因为a＞0，CD＞0，所以a2＋b2－c2＞0，即a2＋b2＞c2.
(2) 解答问题：如图3，若∠C为钝角，试推导a2＋b2与c2的大小关系．
图1 图2 图3
26. (10分)(2025南京鼓楼期中)与直角三角形三条边长对应的3个正整数(a，b，c)称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如(6，8，10)，(9，12，15)，(12，16，20)等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如(5，12，13)，(8，15，17)等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数(a，b，c)才能满足关系式a2＋b2＝c2.设(a，b，c)为一组勾股数，观察下表回答问题：
表1　　　　　　 　　　　　　　　 　表2
a b c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
a b c
6 8 10
8 15 17
10 24 26
12 35 37
　　
(1) 根据表1的规律写出勾股数(11，________，________)；
观察可得：表1中b，c与a2之间的关系是________(填勾股定理不得分)；
(2) 根据表2的规律写出勾股数(16，________，________)；
观察可得：表2中b，c与a2之间的关系是________(填勾股定理不得分)；
(3) 老师告诉小明一组符合表1或表2的勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？(请用勾股定理的形式直接写出结果，例如32＋42＝52)
第3章勾股定理 达标检测卷
1. D　2. D　3. B　4. B　5. D　6. C　7. C　8. A
9. 　10. 60　11. 3　12. 16　13. 3　14. 3＋
15. 20　16. 110　17. 17　18.
19. 解：因为AB＝AC，AD⊥BC，所以BD＝BC＝5 cm.
在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝＝12(cm)，
所以AD的长为12 cm.
20. 解：(1) 连接BE.
因为ED垂直平分AB，所以AE＝BE.
因为CB2＝AE2－CE2，所以CB2＝BE2－CE2，
所以CB2＋CE2＝BE2，
所以△BCE是直角三角形，
所以∠ACB＝90°.
(2) 设CE＝x，则AE＝12－x.
因为BE＝AE，所以BE＝12－x.
在△BEC中，∠ECB＝90°，BC＝9，
所以CB2＋CE2＝BE2，
即92＋x2＝(12－x)2，解得x＝，
所以CE的长为.
21. 解：(1) 如图，点D即为所求．
(2) 过点D作DT⊥AB于点T.
因为BD平分∠ABC，DC⊥BC，DT⊥BA，
所以DC＝DT.
设DC＝DT＝x.
在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，
所以AC＝＝＝8.
因为S△ABC＝AC·BC＝BC·DC＋·AB·DT，
所以6×8＝6x＋10x，解得x＝3，
所以AD＝AC－CD＝8－3＝5.
22. 解：(1) 90°　c2
(2) 方法一：S四边形ACBE＝(AC＋EF)BC＝(b＋a)a＝ab＋a2；
方法二：S四边形ACBE＝S△ACD＋S四边形ADBE＝b(a－b)＋c2＝ab－b2＋c2.
根据上面的两种方法可得出 ab＋a2＝ab－b2＋c2，
所以a2＋b2＝c2.
23. 解：(1) 因为C，D两活动点到地点E站的距离相等，
所以DE＝CE.
因为DA⊥AB，CB⊥AB，
所以∠A＝∠B＝90°，
所以AE2＋AD2＝DE2，BE2＋BC2＝CE2，
所以AE2＋AD2＝BE2＋BC2.
设AE＝x km，则BE＝AB－AE＝(25－x)km.
因为DA＝15 km，CB＝10 km，
所以x2＋152＝(25－x)2＋102，
解得x＝10，即AE＝10 km，
所以小明所在的E站应在距离A站10 km处．
(2) 作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E′，
则点E′到C，D两地的距离之和最短，过点D′作D′F⊥CB的延长线于点F，
则∠F＝90°，D′F＝AB＝25，CF＝CB＋BF＝CB＋AD′＝CB＋AD＝25，
所以D′F＝CF.
易得E′C＋E′D的最小值即为CD′，此时∠BCE′＝45°，
则∠AE′D′＝∠CE′B＝45°，
所以∠AD′E′＝∠AE′D＝45°，
所以AE′＝AD＝15 km，
所以要使得地点E到C，D两地的距离之和最短，小明所在的E站应在距离A站15 km处．
24. 解：(1) 如图1，过点P作PE⊥AB，垂足为E.
因为AP恰好是∠BAC的平分线，且∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，
所以CP＝EP，AC＝4 cm.
又AP＝AP，所以△ACP≌△AEP(HL)，
所以AE＝AC＝4 cm，BE＝5－4＝1(cm).
设CP＝x，则BP＝3－x，PE＝x，
所以在Rt△BEP中，BE2＋PE2＝BP2，
即12＋x2＝(3－x)2，解得x＝，
所以BP＝3－＝(cm)，
所以CA＋AB＋BP＝4＋5＋＝(cm)，
此时t＝÷1＝.
故t的值为.
(2) 如图2，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，
若点P在CA上，则t＝＝3；
如图3，当BP＝BC＝3 cm时，△BCP为等腰三角形，
则AP＝AB－BP＝2 cm，
所以t＝(4＋2)÷1＝6；
如图4，若点P在AB上，CP＝CB＝3 cm，过点C作CD⊥AB于点D，则根据直角三角形的面积法，得CD＝.
在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD＝，
所以PB＝2BD＝，
所以CA＋AP＝4＋5－＝5.4，
此时t＝5.4÷1＝5.4；
如图5，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，过点P作PD⊥BC于点D，则BD＝CD，
所以AP＝BP＝AB＝，
所以t＝(4＋)÷1＝6.5.
综上所述，当t的值为3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形．
图1 图2 图3 图4 图5
25. 解：(1) AC2－CD2　AB2－BD2＝AC2－CD2
(2) a2＋b2＜c2.理由如下：
如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
则BD＝BC＋CD＝a＋CD.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2，
所以AB2－BD2＝AC2－CD2，
即c2－(a＋CD)2＝b2－CD2，
所以a2＋b2－c2＝－2a·CD.
因为a＞0，CD＞0，所以a2＋b2－c2<0，
即a2＋b2＜c2.
26. 解：(1) 60　61　a2＝b＋c
(2) 63　65　a2＝b＋c
(3) 当145符合表1时，中间的数为144，
因为145＋144＝289，且172＝289，
所以这组勾股数为17，144，145；
当145符合表2时，中间的数为143，
因为145＋143＝288，且288×2＝576，242＝576，
所以这组勾股数是24，143，145.
综上，这组勾股数为17，144，145，即172＋1442＝1452或24，143，145，即242＋1432＝1452.