期末专题训练（三）　勾股定理 同步练 （含答案）2025-2026学年数学苏科版（2024）八年级上册

期末专题训练（三）　勾 股 定 理
考点一　勾股定理
1 （2024无锡江阴期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是(　　)
A. 100 B. 80 C. 48 D. 24
（第1题） （第3题） （第4题）
2 （2024南通启东月考）在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，则BC的长为(　　)
A. 3 B. 1 C. D. 或3
3 如图，在△ABC中，D为AB的中点，点E在AC上，且BE⊥AC.若DE＝5，AE＝8，则BE的长是(　　)
A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5
4 （2024无锡宜兴月考）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于点D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于(　　)
A. 29 B. 32 C. 36 D. 45
5 （2025徐州新沂期中）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m＞n)，过锐角顶点画一条线段把该纸片剪成两个三角形，若剪成的两个三角形都为等腰三角形，则m和n满足的等式是(　　)
A. m2＋mn＋n2＝0 B. m2＋2mn－n2＝0
C. n2－mn＋m2＝0 D. n2＋2mn－m2＝0
6 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2＋BC2＋AC2＝　　　　．
7 （2024泰州靖江期中）一个直角三角形的一条直角边长为9，斜边比另一条直角边长1，该直角三角形的面积为　　　　．
8 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为　　　　．
9 如图，把一个直立的火柴盒放倒，AB＝5 cm，BC＝2 cm，则△ACD的面积为　　　　 cm2.
（第9题） （第10题） （第11题）
10 （2025扬州期末）如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE是边AC上的中线，DF⊥BE于点F，BF＝FE.若BD＝5，CD＝8，则AD＝　　　　．
11 （2024苏州姑苏月考）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为S1，S2，S3，S4.若S1＋S4＝135，S3＝49，则S2＝　　　　．
12 （2024镇江期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD为△ABC的高，点P从点C出发沿射线CD方向以每秒1个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t s.
(1) 求线段CD的长；
(2) 连接AP，当△ACP为等腰三角形时，求t的值．
考点二　勾股定理的证明
13 （2024南京鼓楼期中）用两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．
(1) 计算该梯形的面积，说明a2＋b2＝c2；
(2) 是否存在一个直角三角形，在直角边a长度不变的基础上，它的斜边c与另一条直角边b都增加相同的长度，所得三角形仍是一个直角三角形？请判断并说明理由．
考点三　勾股定理的逆定理
14 （2024无锡惠山期末）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是(　　)
A．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 B. BC＝7，AC＝24，AB＝25
C. BC∶AC∶AB＝3∶4∶5 D. BC＝1，AC＝2，AB＝
15 （2024宜兴期末）下列给出的三条线段的长中，能组成直角三角形的是(　　)
A. 3，5，7 B. 6，8，9 C. 2，， D. ，，
16 （2025镇江丹徒期末）一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为　　　　．
17 （2024南通期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，BC上的点，连接ED并延长交CA的延长线于点F，BD＝3，BE＝2，DE＝.
(1) 求证：EF⊥BC；
(2) 求证：△ADF是等腰三角形．
考点四　勾股定理的应用
18 （2024靖江期中）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度DE为0.7 m，将秋千AD往前推送4 m（即BC为4 m），到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度BF为2.7 m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1) 求秋千的长度；
(2) 如果想要踏板离地的垂直高度为1.7 m时，需要将秋千AD往前推送
　　　　m.
　　
专题训练(三)　勾 股 定 理
1. A　2. D　3. C　4. D　5. D　6. 18　7. 180
8. 84或24　9. 　10. 6　11. 86
12. 解：(1) 因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
所以AB＝＝10，
所以×6×8＝×CD×10，
所以CD＝4.8.
(2) 在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8.
因为△ACP为等腰三角形，设CP＝t.
若CA＝PC＝6，则CP＝t＝6；
若CA＝AP，因为AD⊥CP，
所以CD＝CP＝4.8，
所以CP＝9.6，
所以t＝9.6；
若AP＝CP，则PD＝4.8－t，
因为∠ADP＝90°，AC＝6，DC＝4.8，
所以AD2＋CD2＝AC2，
所以AD＝3.6.
因为AD⊥CP，
所以∠ADP＝90°，
所以Rt△APD中，t2＝(4.8－t)2＋3.62，
解得t＝3.75.
故当t的值为6 s或9.6 s或3.75 s时，△ACP为等腰三角形．
13. 解：(1) 因为整个图形的面积＝(a＋b)(a＋b)，整个图形的面积＝ab×2＋c2，
所以(a＋b)(a＋b)＝ab×2＋c2，
即(a＋b)(a＋b)＝2ab＋c2，
整理，得a2＋b2＝c2.
(2) 不存在．理由如下：
(反证法)假定存在，且它的斜边c与另一条直角边b都增加x(x≠0)，
则a2＋(b＋x)2＝(c＋x)2，
即a2＋b2＋2bx＋x2＝c2＋2cx＋x2.
因为a2＋b2＝c2，所以2bx＝2cx，
因为x≠0，所以b＝c，这与斜边大于直角边矛盾，
所以假设不成立．
故不存在．
14. A　15. D　16.
17. 证明：(1) 因为BD＝3，BE＝2，DE＝，
所以22＋()2＝9＝32，
所以△BDE是直角三角形，即∠BED＝90°，
所以EF⊥BC.
(2) 因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.
因为DE⊥BC，
所以∠BDE＋∠B＝90°，∠F＋∠C＝90°，
所以∠F＝∠BDE.
又因为∠BDE＝∠FDA，
所以∠F＝∠FDA，
所以AF＝AD，
所以△ADF是等腰三角形．
18. 解：(1) 由题意可知DE＝0.7 m，BF＝2.7 m，CE＝BF＝2.7 m，
所以CD＝CE－DE＝2.7－0.7＝2(m).
设AB＝x m，则AC＝(x－2)m，
在Rt△ACB中，由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，
即(x－2)2＋42＝x2，解得x＝5，
即秋千的长度为5 m.
(2) 3