拉分题型5 三角函数的图象和性质的综合应用 复习练习（含答案）高中数学必修1（苏教版2019）

eq \o(\s\up7(),\s\do5(　　拉分题型5　三角函数的图象和性质的综合应用))
考向一　正弦、余弦函数的图象和性质
1. (2024连云港期末)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是(　　)
A. f(x)的图象关于直线x＝－对称
B. f(x)的图象关于点对称
C. f(x)在区间上单调递减
D. f(x)在区间上的值域为(1，3)
2. (2024常州期末)[多选]已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)＋1(其中ω，φ均为常数，且ω>0，|φ|<π)恰能满足下列4个条件中的3个：①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)的图象经过点；③函数f(x)的图象关于点对称；④函数f(x)的图象关于直线x＝－对称，则这3个条件的序号可以是(　　)
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
3. (2024惠州期末)[多选]已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，f(x)的图象经过点(0，1)和点，且f(x)在区间上单调，则下列结论中正确的是(　　)
A. ω＝5
B. φ＝
C. f＝－2
D. f＋f(－x)＝0
考向二　“陌生”三角函数的图象和性质
4. (2024南京期末)[多选]古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念. 余切函数可以用符号表示为f(x)＝cot x，其中cot x＝tan ，则下列关于余切函数的说法中正确的是(　　)
A. 定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}
B. 在区间上单调递增
C. 与正切函数有相同的对称中心
D. 将函数y＝－tan x的图象向右平移个单位长度可得到函数y＝cot x的图象
三角函数的图象是性质的直观表现，能够将三角函数的对称性、周期性、单调性等与图象进行转化是解决这类问题的关键．
拉分题型5　三角函数的图象和性质的综合应用
1. C　由函数f(x)的图象，得f(x)min＝1，f(x)max＝5，所以A＝＝2，B＝＝3，所以f(x)＝2sin (ωx＋φ)＋3.又由f(0)＝2sin φ＋3＝2，得sin φ＝－.因为|φ|<，所以φ＝－.又因为f＝2sin ＋3＝1，即sin (＋)＝1，所以＋＝＋2kπ，k∈Z，可得ω＝2＋12k，k∈Z.由图象可知>，所以T>，即>，解得0<ω<3，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin ＋3.对于A，因为f＝2sin ＋3＝2，不是函数的最值，故A错误；对于B，因为f＝2sin (－)＋3＝4≠3，所以点不是函数f(x)的对称中心，故B错误；对于C，由x∈，得2x－∈.根据正弦函数的性质，得y＝sin x在区间上单调递减，所以函数f(x)在区间上单调递减，故C正确；对于D，由x∈，得2x－∈(－π，0)，则－2≤2sin <0，1≤2sin (2x－)＋3<3，所以函数f(x)在区间上的值域为[1，3)，故D错误．
　本题的难点是根据函数图象求解析式，熟悉解析式中各个参数的意义和求解方法．
2. AB　若①正确，则＝π，解得ω＝2；若②正确，则f(0)＝cos φ＋1＝，cos φ＝.又|φ|<π，所以φ＝±；若③正确，则＋φ＝＋k1π，k1∈Z；若④正确，则－＋φ＝k2π，k2∈Z. 对于A，ω＝2，取φ＝－，－＝，满足条件，此时④不满足，故A正确；对于B，ω＝2，取φ＝，－＋＝0，满足条件，此时③不满足，故B正确；对于C，＋＝＝T＝π，k∈N，解得k＝，不成立，故C错误；对于D，相减得到＋＝＝＋k3π，k3∈Z，则ω＝，k3∈Z，此时－＋φ＝－×＋φ＝－π＋φ＝k2π，整理，得7φ＝(7k2＋2k3)π＋π，k2，k3∈Z，而φ＝±，故不成立，故D错误．故选AB.
　本题的难点是如何推理，方法是根据①②③④分别得到ω＝2，φ＝±，＋φ＝＋k1π，k1∈Z，－＋φ＝k2π，k2∈Z，再对各个选项进行推理判断．
3. ACD　由图象可知，A＝2，所以f(x)＝2sin (ωx＋φ).因为f(x)的图象过点(0，1)，所以f(0)＝2sin φ＝1，则sin φ＝.因为0<φ<π，所以φ＝或φ＝.因为f(x)在区间上单调，所以＝≥－＝，所以0<ω≤6.①当φ＝时，f(x)＝2sin .因为f(x)的图象过点，所以2sin ＝0，所以－＋＝kπ，k∈Z，可得ω＝－6k＋1，k∈Z.又 0<ω≤6，所以k＝0，ω＝1，此时f(x)＝2sin ，显然f(x)在x＝0附近单调递增，这与图象矛盾，故B错误；②当φ＝时，f(x)＝2sin (ωx＋).因为f(x)的图象过点，所以2sin (－＋)＝0，所以－＋＝kπ，k∈Z，可得ω＝－6k＋5，k∈Z.又0<ω≤6，所以k＝0，ω＝5，所以f(x)＝2sin .当x∈时，令t＝5x＋，则t∈，此时y＝2sin t在区间上单调递减，故A正确；因为f＝2sin (5×＋)＝2sin (6π＋)＝2sin ＝－2，故C正确；因为f(x＋)＝2sin [5(x＋)＋]＝2sin (5x＋＋9π)＝－2sin (5x＋)，f(－x)＝2sin ＝－2sin (5x－)＝－2sin ＝2sin (5x＋)，所以f(x＋)＋f(－x)＝－2sin (5x＋)＋2sin (5x＋)＝0，故D正确．故选ACD.
　解答本题的关键在于：分析出φ的取值并结合单调性求解出ω的值后，要根据图象对所得结果进行检验，排除一组ω，φ的取值，由此才可继续分析剩余选项.
4. ACD　由正切函数的定义域可知，－x≠k1π＋，即x≠－k1π(k1∈Z)，所以余切函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，故A正确；当x∈时，－<－x<0.因为t＝－x为减函数，y＝tan t，t∈为增函数．由复合函数单调性知，y＝cot x＝tan 在区间上单调递减，故B错误；因为y＝tan x图象的对称中心为点(k∈Z)，令－x＝(k∈Z)，解得x＝.由k∈Z，得x＝(n＝1－k∈Z)，即f(x)＝cot x的对称中心为点(n∈Z)，故余切函数与正切函数有相同的对称中心，故C正确；将y＝－tan x的图象向右平移个单位长度可得y＝－tan ＝tan (－x)＝cot x的图象，故D正确．故选ACD.
　解决陌生的三角函数问题的关键是转化为熟悉的三角函数问题，再结合正弦函数、余弦函数和正切函数的图象和性质求解．