拉分题型6 与函数零点相关的参数问题 复习练习（含答案）高中数学必修1（苏教版2019）

eq \o(\s\up7(),\s\do5(　　拉分题型6　与函数零点相关的参数问题))
考向一　已知零点个数求参数的取值范围
1. (2023盐城中学阶段性质量检测)[多选]已知函数f(x)＝则下列说法中正确的是(　　)
A. 若函数y＝f(x)－kx有4个零点，则实数k的取值范围为
B. 关于x的方程f(x)－＝0(n∈N*)有2n＋4个不同的解
C. 对于实数x∈[1，＋∞)，不等式2xf(x)－3≤0恒成立
D. 当x∈[2n-1，2n](n∈N*)时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为1
2. (2023南通中学阶段考试)已知函数f(x)＝log2(4x＋1)＋kx为偶函数．
(1) 求实数k的值；
(2) 解关于m的不等式f(2m＋1)>f(m－1)；
(3) 设g(x)＝log2(a·2x＋a)(a≠0)，若函数f(x)与g(x)的图象有2个公共点，求实数a的取值范围．
考向二　已知函数有零点求参数的取值范围
3. (2023徐州睢宁高级中学月考)已知函数fk(x)＝2x＋(k－1)·2－x(x∈R，k∈Z).
(1) 若fk(x)是偶函数，求实数k的值；
(2) 若存在x∈[1，2]，使得f0(x)＋mf1(x)≤4成立，求实数m的取值范围；
(3) 设函数g(x)＝λf0(x)－f2(2x)＋4，若g(x)在区间[1，＋∞)上有零点，求实数λ的取值范围．
4. (2024连云港期末)设m，t为实数，函数f(x)＝ln x＋x＋m，g(x)＝x2－tx－1.
(1) 若函数f(x)在区间(2，e)上存在零点，求实数m的取值范围；
(2) 设x1∈{x|F(x)＝0}，x2∈{x|G(x)＝0}，若存在x1，x2，使得|x1－x2|≤1，则称F(x)和G(x)“零点贴近”．当m＝－1时，函数f(x)与g(x)“零点贴近”，求实数t的取值范围．
与函数零点相关的参数问题，常用数形结合思想直观求解，体现了数学抽象、直观想象等核心素养．
拉分题型6　与函数零点相关的参数问题
1. AC　当1≤x≤时，f(x)＝2x－2；当 　当函数图象比较方便画出的时候，我们可以将方程的根或者函数零点问题，转化为两个函数的交点问题来解决，会非常直观和方便．
2. (1) 由题意，得函数的定义域为R.
因为函数f(x)＝log2(4x＋1)＋kx为偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，即log2(4－x＋1)－kx＝log2(4x＋1)＋kx，
所以2kx＝log2(4－x＋1)－log2(4x＋1)＝log2＝log24－x＝－2x，
解得k＝－1，
所以实数k的值为－1.
(2) 因为f(x)＝log2(4x＋1)－x＝log2＝log2，
当x≥0时，2x≥1，y＝2x＋单调递增，
所以函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．
又函数f(x)为偶函数，
所以函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减．
因为f(2m＋1)>f(m－1)，
所以|2m＋1|>|m－1|，
解得m<－2或m>0，
所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞).
(3) 因为函数f(x)与g(x)的图象有2个公共点，
所以方程f(x)＝g(x)有两个不同的根，
则log2(4x＋1)－x＝log2(a·2x＋a)，
即a·2x＋a＝＝2x＋，a·2x＋a>0，a>0.
设t＝2x>0，则at＋a＝t＋，即(a－1)t2＋at－1＝0.
又t＝2x是R上的增函数，
所以方程(a－1)t2＋at－1＝0有两个不等的正根，
所以
解得2－2所以实数a的取值范围为(2－2，1).
　已知函数的零点个数或方程的实根个数，求参数的取值范围，一般可转化为动直线与定曲线的交点个数，借助数形结合直观求解. 若是已知二次方程的实根分布，还可以结合二次函数的图象，从开口方向、对称轴、判别式、区间端点的函数值的正负等几方面建立不等式组．
3. (1) 若fk(x)是偶函数，则fk(－x)＝fk(x)，
即2－x＋(k－1)·2x＝2x＋(k－1)·2－x，
即2－x－2x＝(k－1)·2－x－(k－1)·2x＝(k－1)(2－x－2x)，
则k－1＝1，解得k＝2，
所以实数k的值为2.
(2) 由题意，得f0(x)＝2x－2－x，f1(x)＝2x，存在x∈[1，2]，使得f0(x)＋mf1(x)≤4成立，即m·2x≤4－2x＋2－x，
则m≤＝4·2－x＋(2－x)2－1.
设t＝2－x，因为1≤x≤2，所以≤t≤，
则4·2－x＋(2－x)2－1＝t2＋4t－1＝(t＋2)2－5.
因为≤t≤，所以当t＝时，函数取得最大值ymax＝，
所以m≤，
即实数m的取值范围是.
(3) 由题意，得f2(x)＝2x＋2－x，
则f2(2x)＝22x＋2-2x＝(2x－2－x)2＋2，
则g(x)＝λf0(x)－f2(2x)＋4＝λ(2x－2－x)－(2x－2－x)2＋2.
设t＝2x－2－x，当x≥1时，函数t＝2x－2－x为增函数，则t≥2－＝.
若g(x)在区间[1，＋∞)上有零点，即g(x)＝λ(2x－2－x)－(2x－2－x)2＋2＝λt－t2＋2＝0在t≥时有解，
则λt＝t2－2，得λ＝t－.
因为t－在区间上单调递增，所以λ≥－＝，
即实数λ的取值范围是.
　本题的难点是(3)中如何对g(x)在区间[1，＋∞)上有零点进行转化，利用换元法，结合二次函数的性质求解．
4. (1) 令f(x)＝0，即ln x＋x＋m＝0，
得m＝－(ln x＋x).
令h(x)＝－(ln x＋x)，易知h(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．
因为h(2)＝－(ln 2＋2)，h(e)＝－(ln e＋e)＝－(1＋e)，
所以h(x)在区间(2，e)上的值域为(－1－e，－ln 2－2)，
所以实数m的取值范围是(－1－e，－ln 2－2).
(2) 当m＝－1时，f(x)＝ln x＋x－1，易知函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
令f(x)＝ln x＋x－1＝0，易知f(1)＝ln 1＋1－1＝0，所以x1＝1.
由|x1－x2|≤1，得|1－x2|≤1，
解得0≤x2≤2，即x2∈[0，2].
要使函数f(x)与g(x)“零点贴近”，则函数g(x)在区间[0，2]上有零点．
对于g(x)＝x2－tx－1，Δ＝t2＋4>0，
所以g(x)＝0有两个零点．
又g(0)＝－1<0，所以g(2) ≥0，
即22－2t－1≥0，解得t≤.
故实数t的取值范围是.
　已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1) 直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3) 数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．