拉分题型7 构造新函数解决问题 复习练习（含答案）高中数学必修1（苏教版2019）

eq \o(\s\up7(),\s\do5(　　拉分题型7　构造新函数解决问题))
考向一　构造函数求值
1. (2024海安期末)已知正数a，b满足aea＝b ln b，则＋＝________．
2. (2024南京师大附中期末)设a为实数，若实数x0是关于x的方程ex＋(1－a)x＝ln a＋ln x的解，则＝________．
考向二　构造函数解不等式
3. (2023海安高级中学月考)若2 021x－2 021y<2 022－x－2 022－y(x，y∈R)，则下列结论中正确的是(　　)
A. ln (y－x＋1)>0
B. ln (y－x＋1)<0
C. ln |x－y|>0
D. ln |x－y|<0
4. (2023盐城中学阶段性质量检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意00，且f(2)＝2，则不等式f(x)－x>0的解集为(　　)
A. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
B. (－2，2)
C. (－2，0)∪(0，2)
D. (－2，0)∪(2，＋∞)
5. (2024南平期末)已知函数f(x)＝2 023x＋log2 023(＋x)－2 023－x＋3，则关于x的不等式f(4x－1)＋f(x)>6的解集为(　　)
A. (2 023，＋∞)
B. (－∞，2 023)
C.
D.
构造函数的前提是能够同构出相似的代数式，将等式或不等式同构变形的过程是关键，需要有较强的基本功和变通能力．
拉分题型7　构造新函数解决问题
1. 2　因为正数a，b满足aea＝b ln b，且aea>0恒成立，所以ln b>0，变形，得aea＝b ln b＝ln b·eln b．令f(x)＝xex，x>0，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1　本题的难点是同构的应用，变形得到aea＝ln b·eln b，并得到ln b>0，进而构造函数f(x)＝xex，利用定义法研究其单调性．
2. 　由ex＋(1－a)x＝ln a＋ln x，得ex＋x＝ax＋ln ax，即ex＋x＝eln ax＋ln ax.设f(x)＝ex＋x，x∈R，则f(x)＝ex＋x是R上的增函数，则由ex＋x＝eln ax＋ln ax，得x＝ln ax，即ex＝ax.又实数x0是关于x的方程ex＋(1－a)x＝ln a＋ln x的解，即ex0＝ax0，所以＝＝＝.
　等式或不等式中，同时出现ln x与ex，常常使用同构变形，将等式或不等式两边变为同一结构，再构造函数来解决问题．
3. A　由2 021x－2 021y<2 022－x－2 022－y(x，y∈R)，得2 021x－2 022－x<2 021y－2 022－y.因为函数y＝2 021x，y＝－2 022－x均是R上的增函数，所以函数f(x)＝2 021x－2 022－x是R上的增函数，则2 021x－2 022－x<2 021y－2 022－y，即f(x)x，所以y－x＋1>1，所以ln (y－x＋1)>ln 1＝0，故A正确，B错误；对于C，D，由题目条件，无法判断|x－y|与1的大小，故C，D错误．
4. D　因为00时，不等式f(x)－x>0等价于f(x)>x，即>1，即g(x)>g(2)，解得x>2.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以当x＝0时，不等式f(x)－x>0无解．因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)＝为偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递减．当x<0时，不等式f(x)－x>0等价于f(x)>x，即<1，即g(x)0的解集为(－2，0)∪(2，＋∞).
　本题的难点在于利用函数单调性的定义研究的是哪个函数的单调性，即构造函数是难点，后面利用该函数的单调性和奇偶性综合解抽象函数不等式也就水到渠成．
5. D　设g(x)＝f(x)－3＝2 023x－2 023－x＋log2 023(＋x).因为>|x|，所以函数g(x)的定义域为R.又g(－x)＝2 023－x－2 023x＋log2 023(－x)＝－(2 023x－2 023－x)＋log2 023＝－(2 023x－2 023－x)－log2 023(＋x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．当x>0时，y＝log2 023(＋x)，y＝2 023x－2 023－x均为增函数，所以g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，则g(x)>g(0)＝0.又g(x)是奇函数，所以g(x)是R上的增函数．由f(4x－1)＋f(x)>6，得f(4x－1)－3>－[f(x)－3]，即g(4x－1)>－g(x)＝g(－x)，则4x－1>－x，解得x>，所以不等式f(4x－1)＋f(x)>6的解集为.
　对所要解的不等式进行变形，将两边同构，进而构造相应的函数，利用函数的单调性、奇偶性等化简不等式．