拉分题型8 函数中的双变量问题 复习练习（含答案）高中数学必修1（苏教版2019）

eq \o(\s\up7(),\s\do5(　　拉分题型8　函数中的双变量问题))
考向一　含有双变量的方程
1. (2024宁波九校期末联考)已知函数f(x)＝若对任意x1∈[2，＋∞)，都存在唯一的x2∈(－∞，2)，使得f(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是________．
2. (2024南京师大附中期末)已知函数f(x)＝x|x|，函数g(x)＝x2－2x－m.
(1) 求不等式f(x3－2)>－1的解集；
(2) 若对于任意x2∈[－1，2]，都存在x1∈[－2，1]，使得g(x2)＝f(x1)，求实数m的取值范围．
考向二　含有双变量的不等式
3. (2024常州期末)已知函数f(x)＝log2的定义域为[－2，0]，若存在x1，x2∈[－2，0]，满足|f(x1)－f(x2)|≥3，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
4. (2023南通中学阶段考试)已知函数f(x)＝.
(1) 求f(－2)＋f(2)的值；
(2) 求函数f(x)的值域；
(3) 若g(x)＝[f(x)]2－＋2a，且对任意的x1，x2∈R，都有|g(x1)－g(x2)|<3，求实数a的取值范围．
5. (2023如皋期中)已知函数f(x)＝2－log2x，g(x)＝
(1) 求函数g(x)的最大值；
(2) 若对任意x1∈[4，16]，x2∈R，不等式f(2kx1)·f(x)>g(x2)恒成立，求实数k的取值范围．
函数中双变量问题大致有以下几种类型：(1) 等式中的双变量问题，一般将同一变量放到同一边，利用函数的值域之间的关系建立不等式(组)求解；(2) 不等式中的双变量问题，一般将同一变量放到同一边，利用函数的最值之间的关系建立不等式(组)求解．
拉分题型8　函数中的双变量问题
1. 　设函数f(x)在区间(－∞，2)和[2，＋∞)上的值域分别为A，B.当m≤0时，函数y＝，y＝x－1在区间[2，＋∞)上均单调递增，则函数f(x)＝x＋－1在区间[2，＋∞)上单调递增；当0<≤2，即0－2，则2－x>2-2＝.当m≤，且x<2时，f(x)＝2－x－m>－m，即A＝(－m，＋∞)，此时，函数f(x)＝x＋－1在区间[2，＋∞)上单调递增，则f(x)≥f(2)＝1＋，即B＝[1＋，＋∞).由题意可知，B A，则1＋>－m，解得m>－，所以－0，当－log2m≤x<2时，f(x)＝m－2－x∈，如图1所示．若对任意x1∈[2，＋∞)，都存在唯一的x2∈(－∞，2)，使得f(x2)＝f(x1)，只需＋1≥m－，解得m≤，所以4时，>2，函数f(x)＝x＋－1在区间[2，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增，则B＝[2－1，＋∞).当x<2时，f(x)＝当x<－log2m时，f(x)＝2－x－m>0，当－log2m≤x<2时，f(x)＝m－2－x∈，如图2所示. 若对任意x1∈[2，＋∞)，都存在唯一的x2∈(－∞，2)，使得f(x2)＝f(x1)，只需2－1≥m－，解得≤m≤，与m>4矛盾，所以m不存在．综上，实数m的取值范围是.
图1 图2
　利用函数值相等求参数的取值范围，解题的关键在于对参数进行分类讨论，结合图形将题中的信息等价转化为不等式求解．
2. (1) 因为函数f(x)＝x|x|的定义域为R，
且f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2，
则f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)是R上的增函数．
又f(－1)＝－1，所以不等式f(x3－2)>－1，即f(x3－2)>f(－1)，
所以x3－2>－1，解得x>1，
所以不等式f(x3－2)>－1的解集为(1，＋∞).
(2) 因为函数g(x)＝x2－2x－m在区间[－1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，
g(－1)＝3－m，g(1)＝－1－m，g(2)＝－m，
所以当x2∈[－1，2]时，g(x2)∈[－1－m，3－m].
因为函数f(x)在区间[－2，1]上单调递增，
所以当x1∈[－2，1]时，f(x1)∈[－4，1]，
由题意，得解得2≤m≤3，
所以实数m的取值范围为[2，3].
　若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)，则f(x)的值域是g(x)值域的子集．
3. D　令u(x)＝－a，则u(x)在区间[－2，0]上单调递减，所以u(x)的最小值为u(0)＝1－a>0，得a<1，且u(x)∈[1－a，4－a].令g(u)＝log2u，则g(u)在区间[1－a，4－a]上单调递增，所以g(u)∈[log2(1－a)，log2(4－a)].因为存在x1，x2∈[－2，0]，满足|f(x1)－f(x2)|≥3，则f(x)max－f(x)min≥3，所以g(u)max－g(u)min＝log2(4－a)－log2(1－a)＝log2≥3，解得≤a<1，所以实数a的取值范围是.
　同一函数中的双变量问题一般求函数的最大值与最小值，再结合存在性问题与最值关系的转化即可求解．
4. (1) f(－2)＋f(2)＝＋＝＋＝－＝0.
(2) f(x)＝＝－1.
因为2x>0，所以2x＋1>1，则0<<2，
所以－1<－1<1，
所以函数f(x)的值域为(－1，1).
(3) g(x)＝[f(x)]2－＋2a＝[f(x)]2－2a＝[f(x)]2－2af(x).
令t＝f(x)，则g(x)＝h(t)＝t2－2at，t∈(－1，1)，函数h(t)的对称轴为直线t＝a.
当a≥1时，函数h(t)在区间(－1，1)上单调递减，所以|g(x1)－g(x2)|所以(1＋2a)－(1－2a)≤3，解得a≤，
此时a的取值不存在；
当a≤－1时，函数h(t)在区间(－1，1)上单调递增，所以|g(x1)－g(x2)|所以(1－2a)－(1＋2a)≤3，解得a≥－，
此时a的取值不存在；
当－1所以|g(x1)－g(x2)|所以
解得1－≤a≤－1，
此时1－≤a≤－1满足要求．
综上，实数a的取值范围为[1－，－1].
　本题(3)中的易错点是分类讨论时有遗漏的情况，分a≥1，a≤－1，－15. (1) 当x≤1时，g(x)＝|2x－1|，
此时0<2x≤2，－1<2x－1≤1，
则0≤g(x)＝|2x－1|≤1；
当x>1时，g(x)＝f(x)－1＝1－log2x单调递减，
此时g(x)综上所述，当x＝1时，g(x)取得最大值1.
(2) 因为对任意x1∈[4，16]，x2∈R，不等式f(2kx1)·f(x)>g(x2)恒成立，且g(x2)≤1，
所以对任意x1∈[4，16]，f(2kx1)·f(x)>1恒成立．
由题意，得f(2kx1)·f(x)＝[2－log2(2kx1)](2－log2x)＝2(2－k－log2x1)(1－log2x1).
令m＝log2x1，2≤m≤4，
则不等式可化为2(2－k－m)(1－m)>1，
即2m2＋2(k－3)m－2k＋3>0对任意m∈[2，4]恒成立．
令h(m)＝2m2＋2(k－3)m－2k＋3，m∈[2，4]，
则函数图象的开口向上，对称轴为直线m＝－＝.
当≤2，即k≥－1时，
h(m)min＝h(2)＝8＋4(k－3)－2k＋3>0，
解得k>，符合题意；
当2<<4，即－5h(m)min＝h＝>0，
即k2－2k＋3<0，不等式无解，舍去；
当≥4，即k≤－5时，
h(m)min＝h(4)＝32＋8(k－3)－2k＋3＝6k＋11>0，
解得k>－，不符合题意，舍去．
综上，实数k的取值范围为.
　一般地，已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]，y＝g(x)，x∈[c，d].
(1) 若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，总有f(x1)(2) 若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，有f(x1)(3) 若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，有f(x1)