拉分题型9 含有绝对值的函数问题 复习练习（含答案）高中数学必修1（苏教版2019）

eq \o(\s\up7(),\s\do5(　　拉分题型9　含有绝对值的函数问题))
考向一　含有绝对值的一次函数、二次函数
1. (2023海安高级中学月考)[多选]已知函数f(x)＝x2＋2|x－a|(a∈R)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 当a＝0时，f(x)为偶函数
B. 存在实数a，使得f(x)为奇函数
C. 当－1D. 方程f(x)－m＝0可能有三个实数根
2. (2023南通中学阶段考试)定义min{a，b}＝若函数f(x)＝min{x2－3x＋3，－|x－3|＋3}，则f(x)的最大值为________；若f(x)在区间[m，n]上的值域为，则n－m的最大值为________．
考向二　含有绝对值的三角函数
3. (2024连云港期末)[多选]已知函数f(x)＝2|cos x|－cos |x|，则下列说法中正确的是(　　)
A. 函数f(x)的最大值为3
B. 函数f(x)的最小正周期为π
C. 函数f(x)的图象关于直线x＝π对称
D. 函数f(x)在区间上单调递减
4. (2024保定期末)[多选]已知函数f(x)＝－，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)的图象关于直线x＝对称
B. f(x)的图象关于点(π，0)对称
C. 当x∈时，f(x)＝f
D. 当x∈时，f(x)≤－2
考向三　含有绝对值的指数函数
5. (2024海安期末)已知函数f(x)＝|ex－a|＋|e－x＋a|，其中a∈R.
(1) 若a＝0，证明：f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
(2) 求f(x)的最小值．
当函数解析式中含有绝对值时，首先要观察绝对值的位置和绝对值内的结构，分析能否利用图象变换整体考虑绝对值，其次考虑去掉绝对值，弄清对应区间上绝对值内代数式的正负情况，再去掉绝对值．
拉分题型9　含有绝对值的函数问题
1. AC　由题意，得函数f(x)的定义域为R，当 a＝0时，f(x)＝x2＋2|x|，f(－x)＝(－x)2＋2|－x|＝x2＋2|x|＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，故A正确；当a≠0时，由 f(a)＝a2，f(－a)＝a2＋4|a|，得f(a)＋f(－a)＝2a2＋4|a|≠0，则函数不可能为奇函数，故B错误；f(x)＝x2＋2|x－a|＝＝因为－1f(a)＝a2，所以函数f(x)的最小值为f(a)＝a2，故C正确；当－1　本题的难点是对绝对值的处理，一般是去掉绝对值，将函数写成分段函数，结合二次函数和分段函数的图象研究单调性，进而求其最小值，研究根的情况．
2. 3　　当x2－3x＋3＝－|x－3|＋3时，解得x＝1或x＝3，所以f(x)＝作出f(x)的图象如图所示．由图象可知，当x＝3时，f(x)有最大值，且最大值为f(3)＝3；当f(x)＝时，解得x＝或x＝或x＝；当f(x)＝2时，x＝或x＝4.由图象可知，当m∈，n＝时，f(x)的值域为，此时n－m的最大值为－＝；当m＝4，n＝时，f(x)的值域为，此时n－m＝<.综上，n－m的最大值为.
　处理含有绝对值的函数时，首先要去绝对值，转化为分段函数，必要时还可作出图象，使得问题直观化．
3. AC　对于A，当x∈[－，]时，f(x)＝2|cos x|－cos |x|＝2cos x－cos x＝cos x∈[0，1]；当x∈时，f(x)＝2|cos x|－cos |x|＝－2cos x－cos x＝－3cos x∈[0，3].又f(x＋2π)＝2|cos (x＋2π)|－cos |x＋2π|＝2|cos x|－cos |x|＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为2π，可得f(x)的最大值为3，故A正确；对于B，因为y＝cos x为偶函数，所以f(x)＝2|cos x|－cos |x|＝2|cos x|－cos x.因为f(x＋π)＝2|cos (x＋π)|－cos (x＋π)＝2|cos x|＋cos x≠f(x)，所以f(x)的最小正周期不是π，故B错误；对于C，因为f(2π－x)＝2|cos (2π－x)|－cos (2π－x)＝2|cos x|－cos x＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝π对称，故C正确；对于D，由A得，当x∈时，f(x)＝－3cos x 不单调，故D错误．故选AC.
　函数的对称性：若f(x＋a)＋f(－x＋b)＝c，则函数f(x)关于点中心对称；若f(x＋a)＝f(－x＋b)，则函数f(x)关于直线x＝对称．
4. ACD　 因为f＝－＝－，f(－x)＝－＝－＝f，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，故A正确；因为f＝0，f＝－2，所以f(x)的图象不关于点(π，0)对称，故B错误；因为当x∈时，x＋∈，f＝－＝＋＝f(x)，所以当x∈时，f(x)＝f，故C正确；由sin x≠0，cos x≠0，得x≠，k∈Z，所以f(x)的定义域为.当x∈时，f(x)＝＋＝，令sin x＋cos x＝sin ＝t，t∈[－，－1)，则sin x cos x＝，所以函数f(x)＝g(t)＝＝.当x∈时，函数y＝sin (x＋)在区间上单调递减，在区间上单调递增．又因为函数y＝t－在区间[－，－1)上单调递增，且 y＝t－<0在区间[－，－1)上恒成立，所以g(t)在区间[－，－1)上单调递减，所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当x∈时，f(x)≤f＝－2，故D正确．故选ACD.
　注意换元法在三角函数问题中的应用，如f(x)＝，令t＝sin x＋cos x，则sin x cos x＝，则f(x)可转化为g(t)＝＝，通过研究g(t)的单调性，再利用复合函数的单调性求得f(x)的最值．
5. (1) 当a＝0时，f(x)＝ex＋e－x.
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1因为x1，x2∈(0，＋∞)，所以x1＋x2>0，
所以ex1＋x2－1>0.
又x1所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
(2) 令t＝ex，则t>0，
则f(x)＝|ex－a|＋|e－x＋a|＝|t－a|＋|＋a|.
当a＝0时，f(x)＝t＋≥2；
当a>0时，f(x)＝|t－a|＋|＋a|＝
因为y＝2a－t＋在区间(0，a]上单调递减，
所以y＝2a－t＋≥2a－a＋＝a＋.
当t>a时，y＝t＋为对勾函数，
当a≥1时，y＝t＋在区间(a，＋∞)上单调递增，
所以y＝t＋>a＋，
所以f(x)的最小值为a＋.
当0所以y＝t＋≥2.
因为a＋>2，所以此时f(x)的最小值为2.
当a<0时，f(x)＝|t－a|＋|＋a|＝
因为y＝t－－2a在区间上单调递增，
所以y＝t－－2a>－＋a－2a＝－－a.
当0当a≤－1时，y＝t＋在区间上单调递减，
所以y＝t＋≥－a－，
故此时f(x)的最小值为－a－，
当－1所以y＝t＋≥2.
因为－a－＝(－a)＋>2，
所以此时f(x)的最小值为2，
综上，当－1　当不能确定绝对值里的代数式的正负时，需要分类讨论，利用正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，最终去掉绝对值．