拉分题型10 函数的新定义 复习练习（含答案）高中数学必修1（苏教版2019）

eq \o(\s\up7(),\s\do5(　　拉分题型10　函数的新定义))
考向一　文字语言给出函数的新定义
1. (2023无锡一中月考)[多选]若函数f(x)在定义域D内的某区间M上单调递增，且在区间M上也单调递增，则称f(x)在区间M上是“强增函数”，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若函数f(x)＝x＋，则存在区间M使f(x)是“强增函数”
B. 若函数f(x)＝x2＋x3，则f(x)为定义在R上的“强增函数”
C. 若函数f(x)＝2x，则存在区间M，使f(x)在区间M上不是“强增函数”
D. 若函数f(x)＝x2＋(a－3)x＋a在区间[1，＋∞)上是“强增函数”，则a＝1
2. (2023盐城中学阶段性质量检测)设函数f(x)的定义域为D，若函数f(x)满足条件：存在[a，b] D，使f(x)在区间[a，b]上的值域为[ma，mb](其中m∈(0，1])，则称f(x)为区间[a，b]上的“m倍缩函数”．
(1) 若存在[a，b] R，使函数f(x)＝log2(2x＋t)为区间[a，b]上的“倍缩函数”，求实数t的取值范围；
(2) 给定常数k>0，以及关于x的函数f(x)＝，是否存在实数a，b(a考向二　数学语言给出函数新定义
3. (2024盐城阜宁期末)[多选]若函数f(x)满足：在定义域D内存在实数x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1) 成立，则称函数f(x)为“1阶马格丁香小花花”函数. 给出下列4个函数，其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有(　　)
A. f(x)＝
B. f(x)＝ex
C. f(x)＝lg (x2＋2)
D. f(x)＝cos πx
4. (2024盐城阜宁期末)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(－x)＝2－f(x)，则称函数f(x)为“局部中心函数”．
(1) 已知二次函数f(x)＝ax2＋2x－4a＋1(a≠0)，试判断f(x)是否为“局部中心函数”，并说明理由；
(2) 若f(x)＝4x－m·2x+1＋m2－3是定义域为R上的“局部中心函数”，求实数m的取值范围．
5. (2023无锡一中月考)若函数y＝f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)＋f(x2)＝1成立，则称该函数为“和一函数”．
(1) 判断定义在区间[1，＋∞)上的函数f(x)＝是否为“和一函数”，并说明理由；
(2) 若函数g(x)＝log4x在定义域[a，b]上是“和一函数”．
①求ab的值；
②求2b－a的取值范围．
函数新定义问题的方法和技巧：
(1) 可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
(2) 可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰地描述，那么说明对此信息理解得较为透彻；
(3) 发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
(4) 如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念．
拉分题型10　函数的新定义
1. ACD　对于A，由对勾函数的单调性，得函数f(x)＝x＋在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，又函数＝1＋在区间(－∞，0)上单调递增，所以存在区间M使f(x)是“强增函数”，如M＝(－∞，－1)，故A正确；对于B，因为f(0)＝0，f＝，所以函数f(x)在R上不是增函数，所以f(x)不是定义在R上的“强增函数”，故B错误；对于C，函数f(x)＝2x在R上单调递增，令g(x)＝＝.因为g＝2，g(1)＝2，所以函数g(x)在区间上不是增函数，故存在区间M，使f(x)在区间M上不是“强增函数”，如M＝，故C正确；对于D，若函数f(x)＝x2＋(a－3)x＋a在区间[1，＋∞)上是“强增函数”，则函数y＝f(x)，y＝在区间[1，＋∞)上都单调递增．由函数f(x)＝x2＋(a－3)x＋a在区间[1，＋∞)上单调递增，得－≤1，解得a≥1.因为函数y＝＝x＋＋a－3在区间[1，＋∞)上单调递增，当a＝0时，y＝＝x－3在区间[1，＋∞)上单调递增；当a<0时，因为函数y＝x，y＝＋a－3在区间[1，＋∞)上都单调递增，所以函数y＝＝x＋＋a－3在区间[1，＋∞)上单调递增；当a>0时，y＝＝x＋＋a－3，由对勾函数的单调性可知，函数y＝在区间[，＋∞)上单调递增，所以≤1，所以02. (1) 因为x∈[a，b]，f(x)＝log2(2x＋t)为“倍缩函数”，
所以f(x)∈.
因为y＝log2x在其定义域(0，＋∞)上为增函数，y＝2x＋t在其定义域R上为增函数，
所以f(x)＝log2(2x＋t)在区间[a，b]上单调递增，
所以
即
所以a，b为2x－2＋t＝0的两个解．
令q＝2，q>0，
得q2－q＋t＝0有两个大于零的不同的实数根，
所以解得0故实数t的取值范围为.
(2) 因为f(x)＝|1－|，k>0，
所以f(x)＝
又f(x)为区间[a，b]上的“1倍缩函数”，
所以当a当0此时f(x)在区间[a，b]上单调递减，
所以解得a＝b，
故此种情况不符合题意；
当k此时f(x)在区间[a，b]上单调递增，
所以即
所以a，b是方程x2－x＋k＝0的两个正根，
所以解得0此时a＝，b＝，故此种情况符合题意；
当a当x＝k时，f(x)有最小值f(k)＝0，故此种情况不符合题意．
综上，存在a＝，b＝使f(x)＝|1－|为区间[a，b]上的“1倍缩函数”．
　本题的难点是对题中新定义的理解和转化，根据新定义，结合函数的单调性建立方程、不等式求解．
3. BD　对于A，若f(x)＝是“1阶马格丁香小花花”函数，则＝＋1有解，变形，得x2＋x＋1＝0，而该方程无实数解，故f(x)＝不是“1阶马格丁香小花花”函数；对于B，f(x)＝ex，其定义域为R，若f(x)＝ex为“1阶马格丁香小花花”函数，则方程ex+1＝ex＋e有解，变形，得(e－1)ex＝e，解得x＝ln ，故f(x)＝ex是“1阶马格丁香小花花”函数；对于C，若f(x)＝lg (x2＋2)为“1阶马格丁香小花花”函数，则lg [(x＋1)2＋2]＝lg (x2＋2)＋lg 3，即2x2－2x＋3＝0.因为Δ＝4－24＝－20<0，故方程无解，故f(x)＝lg (x2＋2)不是“1阶马格丁香小花花”函数；对于D，f(x)＝cos πx存在x＝，有f＝f＋f(1) 成立，故f(x)＝cos πx 是“1阶马格丁香小花花”函数．故选BD.
　本题中的新定义以等式的形式给出，所以只需依次将选项中函数代入新定义的等式中进行验证即可．
4. (1) 由题意，得f(x)＝ax2＋2x－4a＋1(a≠0)，x∈R，
所以f(－x)＝ax2－2x－4a＋1，
则2－f(x)＝2－ax2－2x＋4a－1＝1－ax2－2x＋4a.
当f(－x)＝2－f(x)时，ax2－2x－4a＋1＝1－ax2－2x＋4a，
整理，得a(x2－4)＝0.
因为a≠0，所以x＝±2，
所以f(x)为“局部中心函数”．
(2) 因为f(x)＝4x－m·2x+1＋m2－3是定义域为R上的“局部中心函数”，
所以方程f(－x)＝2－f(x)有解，
即4－x－m·2－x+1＋m2－3＝2－4x＋m·2x+1－m2＋3在R上有解，
整理，得4x＋4－x－2m(2－x＋2x)＋2m2－8＝0.
令2－x＋2x＝t，t∈[2，＋∞)，
则题意转化为t2－2mt＋2m2－10＝0在区间[2，＋∞)上有解．
方法一：设函数g(t)＝t2－2mt＋2m2－10，
当g(2)≤0时，t2－2mt＋2m2－10＝0在区间[2，＋∞)上有解，
即4－4m＋2m2－10≤0，解得－1≤m≤3；
当g(2)>0时，则需要满足才能使t2－2mt＋2m2－10＝0在区间[2，＋∞)上有解，
解得3综上，实数m的取值范围[－1，].
方法二：设函数g(t)＝t2－2mt＋2m2－10，t∈[2，＋∞)，则只需g(t)min≤0，
当m≤2，g(t)min＝g(2)＝4－4m＋2m2－10≤0，
解得－1≤m≤2；
当m>2，g(t)min＝g(m)＝m2－2m2＋2m2－10≤0，
解得2综上，实数m的取值范围[－1，].
　本题中新定义的实质是方程有解问题，写成新定义所需的等式，再判断方程是否有解．第(2)小问则是由方程有解，结合二次函数的图象、分类讨论思想、函数最值等建立不等式组求解．
5. (1) 在区间[1，＋∞)上的函数f(x)＝不是“和一函数”，理由如下：
因为f(x)＝在区间[1，＋∞)上单调递减，
所以f(x)∈(0，1].
当f(1)＝1时，对任意x∈[1，＋∞)，f(1)＋f(x)≠1，不符合“和一函数”的定义，
故在区间[1，＋∞)上的函数f(x)＝不是“和一函数”．
(2) ①因为g(x)在区间[a，b]上单调递增，
所以g(x)∈[log4a，log4b]，
所以g(x)的值域B＝[log4a，log4b].
又g(x)＝log4x在定义域[a，b](a>0)上是“和一函数”，
所以对任意x1∈[a，b]，g(x1)∈[log4a，log4b]，存在x2∈[a，b]，使g(x1)＋g(x2)＝1成立，
则g(x2)＝1－g(x1)∈[1－log4b，1－log4a].
设A＝[1－log4b，1－log4a]，则B A，
则即1≤log4a＋log4b≤1，
所以log4a＋log4b＝1，则ab＝4.
②由ab＝4，得b＝.
因为b>a>0，所以>a>0，解得0则2b－a＝－a.
令h(a)＝－a，a∈(0，2).
因为y＝在区间(0，2)上单调递减，y＝－a在区间(0，2)上单调递减，
所以h(a)在区间(0，2)上单调递减，
所以h(a)>h(2)＝2，
所以2b－a>2.
故2b－a的取值范围为(2，＋∞).